6.2.4 向量的数量积(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 6.2　平面向量的运算 6.2.4　向量的数量积 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学1 平面向量的数量积 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 ∠AOB＝θ 〈a，b〉 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 同向 反向 垂直 |a||b|cos θ a·b |a||b|cos θ 0 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学2 投影向量 投影向量 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学3 平面向量数量积的性质和运算律 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 0 |a||b| －|a||b| ≤ 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 b·a a·c＋b·c 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1.掌握平面向量的数量积的定义．(重点) 2．理解平面向量的数量积的几何意义．(难点) 3．了解向量的数量积与实数的乘法的区别. 1.通过力做功抽象出数量积，培养数学抽象和逻辑推理等核心素养． 2．借助数量积的运算，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [提示]　|F|cos θ. 一个物体在力F的作用下产生位移s，如图． 如何计算这个力所做的功？ [提示]　W＝|s||F|cos θ. 力F在位移方向上的分力是多少？ 力做功的大小与哪些量有关？ [提示]　与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关． ◎结论形成 1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(→))＝b，则__________(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，记作_____________． (2)特例：①当θ＝0时，向量a，b_____； ②当θ＝π时，向量a，b_____； ③当θ＝eq \f(π,2)时，向量a，b_____，记作a⊥b. 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量_____________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作________，即a·b＝_____________.规定零向量与任何向量的数量积等于___. 设a，b是两个非零向量，eq \o(AB,\s\up17(→))＝a，eq \o(CD,\s\up17(→))＝b，过eq \o(AB,\s\up17(→))的起点A和终点B，分别作eq \o(CD,\s\up17(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得eq \o(A1B1,\s\up17(→))，这种变换为向量a向向量b投影，eq \o(A1B1,\s\up17(→))叫做向量a在向量b上的_____________. [提示]　a·a＝|a|2cos 0°＝|a|2. 在什么条件下可求cos θ？ [提示]　已知a·b及|a||b|时，可得cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|). 已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角． 若a·b＝0，则a与b有什么关系？ [提示]　∵a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°，a⊥b. a·a等于什么？ ◎结论形成 1．设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝___. (3)当a与b同向时，a·b＝_______________； 当a与b反向时，a·b＝__________________. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝_______. (4)|a·b|___|a||b|. eq \r(a·a) 2．向量数量积的运算律 (1)a·b＝________. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝__________________. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (3)a，b共线⇔a·b＝|a||b|.(　　) (4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知向量a与b的夹角θ＝120°，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝3，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝4，则a·b＝(　　) A．－6eq \r(3)　　　　　　 B．－6 C．6 D．6eq \r(3) 解析　根据平面向量数量积的定义可得a·b＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cos120°＝3×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6，故选B. 答案　B 3．下列命题不正确的是(　　) A．|a|＝eq \r(a2) B．λ(a·b)＝a·(λb) C．(a－b)c＝a·c－b·c D．a与b共线⇔a·b＝|a||b| 答案　D 4．若a·b＜0，则a与b的夹角θ的取值范围是_____． 解析　a·b＝|a||b|cos θ＜0， ∵cos θ＜0，又θ∈[0，π]，∴θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)). 答案　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) eq \x(题型一　向量数量积的运算) (1)已知两个单位向量e1，e2的夹角为eq \f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，求b1·b2； (2)设正三角形ABC的边长为eq \r(2)，eq \o(AB,\s\up17(→))＝c，eq \o(BC,\s\up17(→))＝a，eq \o(CA,\s\up17(→))＝b，求a·b＋b·c＋c·a. [解析]　(1)由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝eq \f(1,2)，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3eeq \o\al(2,1)－2e1·e2－8eeq \o\al(2,2)＝3－2×eq \f(1,2)－8＝－6. (2)如图，因为|a|＝|b|＝|c|＝eq \r(2)，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°， 所以a·b＋b·c＋c·a ＝eq \r(2)×eq \r(2)×cos 120°×3＝－3. 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　 [触类旁通] 1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．0 解析　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B. 答案　B 2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则eq \o(BD,\s\up17(→))·eq \o(CD,\s\up17(→))＝_______. 解析　eq \o(BD,\s\up17(→))·eq \o(CD,\s\up17(→))＝eq \o(BD,\s\up17(→))·eq \o(BA,\s\up17(→))＝(eq \o(BA,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→)))·eq \o(BA,\s\up17(→))＝(eq \o(BA,\s\up17(→)))2＋eq \o(BC,\s\up17(→))·eq \o(BA,\s\up17(→))＝a2＋a2 cos 60°＝eq \f(3,2)a2. 答案　eq \f(3,2)a2 eq \x(题型二　向量模的有关计算) (1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_______. (2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝eq \r(10)，求|b|. (1)[解析]　|a＋2b|2＝(a＋2b)2 ＝|a|2＋2|a||2b|cos 60°＋(2|b|)2 ＝22＋2×2×2×eq \f(1,2)＋22＝4＋4＋4＝12， 所以|a＋2b|＝eq \r(12)＝2eq \r(3). [答案]　2eq \r(3) (2)[解析]　因为|2a＋b|＝eq \r(10)， 所以(2a＋b)2＝10， 所以4a2＋4a·b＋b2＝10， 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1， 所以4×12＋4×1×|b|×eq \f(\r(2),2)＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2eq \r(2)|b|－6＝0， 解得|b|＝eq \r(2)或|b|＝－3eq \r(2)(舍去)． 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．　 [触类旁通] 3．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．1 解析　由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝eq \f(1,2)，所以|b|＝eq \f(\r(2),2)，故选B. 答案　B 4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝eq \r(3)，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝_______. 解析　a2＋b2－2a·b＝3，a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，∴a2－2a·b＝0，∴b2＝3，即|b|＝eq \r(3). 答案　eq \r(3) 一题多变)eq \x(题型三　与向量垂直、夹角有关的问题 ) (1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_______． (2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角． (1)[解析]　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2) ＝keeq \o\al(2,1)＋keeq \o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2 ＝2k＞0，∴k＞0. 当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围为k＞0且k≠1. [答案]　(0,1)∪(1，＋∞) (2)[解析]　由已知条件得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋3b·7a－5b＝0，,a－4b·7a－2b＝0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7a2＋16a·b－15b2＝0，,7a2－30a·b＋8b2＝0，)) eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(①,②)) ②－①得23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2， ∴|a|＝|b|，∴cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq \f(1,2). ∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(π,3). [母题变式] 将例3(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围． 解析　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq \o\al(2,1)＋keeq \o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2 ＝2k＜0， ∴k＜0. 当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1. [素养聚焦]　通过夹角、垂直等问题，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． 求向量a与b夹角的思路 (1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值． (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．　 [触类旁通] 5．(多选题)已知正方形ABCD的边长为1，向量a，b满足eq \o(AB,\s\up17(→))＝a，eq \o(BC,\s\up17(→))＝b－a，则(　　) A.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝1 B．cos〈a，b〉＝eq \f(\r(2),2) C.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a·b))＝1 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－b))⊥b 解析　∵eq \o(AB,\s\up17(→))＝a，eq \o(BC,\s\up17(→))＝b－a， ∴eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝b，又正方形ABCD的边长为1， ∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up17(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up17(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq \r(2)，〈a，b〉＝eq \f(π,4)，故A错误； ∴cos〈a，b〉＝eq \f(\r(2),2)，a·b＝1×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝1，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a·b))＝1，故B，C正确； ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－b))·b＝2a·b－b2＝2－2＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－b))⊥b，故D正确． 故选BCD. 答案　BCD 知识落实 技法强化 (1)向量数量积及运算律． (2)投影向量． (3)向量数量积的性质. 注意：①向量夹角共起点；②a·b>0不能推断两向量夹角为锐角，a·b<0不能推断两向量夹角为钝角；③向量数量积不满足结合律. $$