6.2.4 向量的数量积（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高一数学必修第二册（人教A版2019）

知识点 1 向量的夹角 6.2.4　向量的数量积 必备知识 清单破 　　已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作 =a, =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做 向量a与b的夹角,即<a,b>=θ.   　　当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向;当θ= 时,a与b垂直,记作a⊥b. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 　 　　已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或 内积),记作a·b,即a·b=|a|·|b|cos θ. 　　规定:零向量与任一向量的数量积为0. 　　注意:①向量数量积的结果不再是向量,而是数量;②a·b中的“·”表示数量积这种运算, 不能省略,也不能用“×”代替. 知识点 2 向量的数量积 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 　 1.如图,设a,b是两个非零向量, =a, =b,过 的起点A和终点B,分别作 所在直线的垂 线,垂足分别为A1,B1,得到 ,则称上述变换为向量a向向量b投影, 叫做向量a在向量b上 的投影向量.   2.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe. 知识点 3 投影与投影向量 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 　 　　设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|= . (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点 4 向量数量积的性质 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 　 　　对于向量a,b,c和实数λ,有 (1)a·b=b·a; (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 知识点 5 向量数量积的运算律 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.在等边△ABC中, 与 的夹角是60°吗? 2.如果a·b=0,则一定有a=0或b=0吗? 3.a·a常记作a2,由a2=b2能推出a=b或a=-b吗? 4.对于两个非零向量a,b,a·b的符号与两向量的夹角θ有什么关系? 5.对于向量a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一定成立吗? 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不是.两向量起点不同,需把它们平移,使起点为同一点,故夹角为120°. 2.不一定.若两个非零向量a,b满足a⊥b,则a·b=0. 3.不能.因为a2=|a|2,b2=|b|2,所以由a2=b2能推出|a|=|b|,不能推出a=b或a=-b. 4.当a·b<0时,θ为钝角或θ=180°;当a·b>0时,θ为锐角或θ=0°;当a·b=0时,θ=90°. 5.不一定.因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以(a·b)·c与向量c共线,a·(b·c)与向量a共线. 因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 关键能力 定点破 定点 1 向量数量积的运算 1.求向量的数量积时,需明确两个关键点:模和夹角,再利用公式a·b=|a||b|cos θ求解. 2.若问题中要求数量积的两个向量的模和夹角不是已知的,则可以借助向量的线性运算将其 转化为已知模及夹角的向量. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°,则 (1)a·b=　　　    ; (2)a·(a+b)=　　　    ; (3)(2a-b)·(a+3b)=　　　    . 12 28  -16 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)a·b=|a||b|cos 60°=4×6× =12. (2)a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+a·b=16+12=28. (3)(2a-b)·(a+3b)=2a2-3b2+5a·b=2|a|2-3|b|2+5a·b=2×16-3×36+5×12=-16. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 思路点拨    用 , 表示 , ,然后利用运算律求解. 典例2 在等腰直角△ABC中,AB=AC=1, =3 ,2 = + ,则 · =　　　    . 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    ∵ =3 , ∴ =  = ( - ), ∴ = + =  +  . ∵2 = + , ∴ - = - ,即 = , ∴ =  =  +  , ∴ = - =  -  . 由题意得 ⊥ ,| |=| |=1, ∴ · = ·  =-  +  =- + = . 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 　  1.求向量的模 　　求模一般利用公式|a|2=a2,计算时不要忘记开方,即|a|= .有时也会用到公式|a±b|=  = . 　　在平面图形中求向量的模时,注意利用图形特征对向量的数量积或夹角进行转化. 2.求向量的夹角 　　求两个非零向量a,b的夹角θ的关键是计算a·b及|a||b|,利用cos θ= ,结合θ∈[0,π],求出 θ的值. 3.由夹角范围求参数的取值范围 　　对于非零向量a,b,根据夹角θ的范围,可列关于数量积的不等式:若θ∈ ,则a·b>0;若θ 定点 2 向量数量积的应用 ∈ ,则a·b<0;若θ= ,则a·b=0,然后通过解不等式求得参数的取值范围. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图,在△ABC中,已知| |=2,| |=6 ,∠BAC=45°,边BC,AC上的中线AM,BN相交于点 P.   (1)求| |; (2)求∠MPN的余弦值. 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析     (1)由题意可得M为BC的中点, 所以 = ( + ), 所以 = ( + +2 · ), 所以 = ( + +2| |·| |·cos∠BAC), 又| |=2,| |=6 ,∠BAC=45°, 所以 = × =25, 所以| |=5. (2)由题意可得N为AC的中点, 所以 = - =  - , 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 所以| |=  =  = = , 又 = ( + ), 所以 · = ( + )·  =   = × =13, 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 所以cos< , >= = = . 易知∠MPN为向量 与 的夹角, 所以cos∠MPN= , 所以∠MPN的余弦值为 . 第六章　平面向量及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 $$