2.1.1 倾斜角与斜率教材例题习题变式-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程教材例题习题变式 2.1.1 倾斜角与斜率 本专题为：教材P54页例1及习题2.1：综合运用P58页第8题的变式 教材例1： 例1、如图2.1-6,已知,求直线的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是针角. 解:直线的斜率; 直线的斜率; 直线的斜率. 由及可知,直线与的倾斜角 均为锐角;由可知,直线的倾斜角为钝角. 变式1：数据不变，变换问题 1．已知，点线段上的点，则直线的斜率取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出直线的斜率，再结合图象即可求出答案． 【详解】∵，∴直线的斜率， 直线的斜率，∵点线段上的点， ∴由图可知，直线的斜率取值范围是：， 变式2：数据不变，变换题型 1．（多选）已知，，，则下列说法正确的是（    ） A．直线AB的斜率为7 B．直线BC的倾斜角为钝角 C．若，则是直线CA的一个方向向量 D．中，边AB上中线的斜率为－5 【答案】BCD 【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用方向向量的概念可判断C选项；利用中点坐标结合斜率公式可判断D选项. 【详解】对于A，直线的斜率为，故A错误；对于B，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为钝角，故B正确；对于C，直线的斜率为，所以直线CA的一个方向向量为,即，故C正确；对于D，设边的中点为，则，，即点，则，故D正确. 变式3：题型不变，变换数据 1．在△ABC中，已知A（3，﹣2），B（1，﹣3），C（1，1）. (1)求直线AB，AC，BC的斜率； (2)判断直线AC的倾斜角是锐角还是钝角或直角. 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为，直线BC的斜率不存在； (2)直线AC的倾斜角是钝角 【分析】（1）直接由斜率公式求解； （2）由直线AC的斜率小于0，可知直线AC的倾斜角是钝角. 【详解】（1）由A（3，﹣2），B（1，﹣3），C（1，1）， 得，， ∵B与C的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在； ∴直线AB的斜率为，直线AC的斜率为，直线BC的斜率不存在； （2）∵0，∴直线AC的倾斜角为钝角. 2．在中，已知，求直线的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角、钝角或直角． 【答案】答案见解析 【分析】根据倾斜角的概念，斜率公式及倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】因为两点的横坐标相同，所以直线垂直于轴，倾斜角为， 即直线的斜率不存在，倾斜角为直角； 因为两点纵坐标相同，所以直线平行于轴，即垂直于轴， 即直线的斜率为0，倾斜角为，既不是钝角也不是锐角和直角； 两点横坐标不相同，纵坐标也不相同，由， 又，所以直线的倾斜角为， 即直线的斜率为，倾斜角为钝角． 变式4：变换数据及问题 1．已知点，，，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ；若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】分别画出图象，数形结合可得答案. 【详解】 由，，直线过点与线段相交，如上图，,，则直线的斜率的取值范围是； 由，，直线过点与线段相交，如上图，， ，则直线的斜率的取值范围， 2．已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3；(2) 【分析】（1）由斜率公式直接求解；（2）由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． （2）当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 3．已知． (1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)，直线BC的一个方向向量为；(2). 【分析】（1）利用斜率公式求出直线AB，BC的斜率，从而求出直线BC的一个方向向量； （2）当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，求出kAC即可． 【详解】（1）直线AB的斜率为，直线BC的斜率为1， ∴直线BC的一个方向向量为． （2） 如图，当点D由点B运动到点C时， 直线AD的斜率由kAB增大到kAC， 由（1）可知kAB，kAC， ∴直线AD的斜率的变化范围为[，]． 习题2.1：综合运用第8题 8、经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，求直线的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由。 【答案】； 【分析】由题知，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 变式1、数据不变，变换题型 1．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点斜率公式可求解斜率，进而得，然后求解三角不等式得答案． 【详解】设直线的倾斜角为，, 所以，即，由题意知：，解得：或．倾斜角的取值范围是，故BCD错误，A正确， 2．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【详解】，如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是， 3．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出坐标系，连接，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】如图所示， 设直线l的倾斜角为，，则，， ∵直线l与连接，的线段总有公共点，∴， 即，∴． 4．经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l倾斜角与斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意求出，结合图象即可求出结果． 【详解】依题意得，，所以直线l斜率， 倾斜角 变式2、点P不变，变换A、B两点及题型 1．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形及斜率定义可得答案. 【详解】如图，当公共点在AO之间（不含O）时，直线l的斜率为负， 当公共点在A时，斜率有最大值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在OB之间（不含O）时，直线l的斜率为正， 当公共点在B时，斜率有最小值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在O点时，直线l的斜率不存在. 综上，直线l的斜率的取值范围是.      2．经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线l的倾斜角为，根据直线l与连接的线段总有公共点，可得或，结合正切函数的图象即得. 【详解】 如图所示，设直线l的倾斜角为，则 直线与连接的线段总有公共点，或， 即或，又，则有.故选：C. 3．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】   设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线的倾斜角范围为. 变式3、变换P、A、B三点及题型 1．经过点作直线，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】画出图形，利用斜率坐标公式，数形结合求出范围. 【详解】如图，直线的斜率，直线的斜率，而直线与线段总有公共点，所以直线l斜率的取值范围为.    2．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合图像，求出的斜率即可得到结果. 【详解】 ，，在射线逆时针旋转至射线时斜率逐渐变大， 直线与线段总有公共点，所以的取值范围为． 3．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出的斜率，根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即，因为， 所以或，故直线的倾斜角的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程教材例题习题变式 2.1.1 倾斜角与斜率 本专题为：教材P54页例1及习题2.1：综合运用P58页第8题的变式 教材例1： 例1、如图2.1-6,已知,求直线的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是针角. 解:直线的斜率; 直线的斜率; 直线的斜率. 由及可知,直线与的倾斜角 均为锐角;由可知,直线的倾斜角为钝角. 变式1：数据不变，变换问题 1．已知，点线段上的点，则直线的斜率取值范围是 ． 变式2：数据不变，变换题型 1．（多选）已知，，，则下列说法正确的是（    ） A．直线AB的斜率为7 B．直线BC的倾斜角为钝角 C．若，则是直线CA的一个方向向量 D．中，边AB上中线的斜率为－5 变式3：题型不变，变换数据 1．在△ABC中，已知A（3，﹣2），B（1，﹣3），C（1，1）. (1)求直线AB，AC，BC的斜率； (2)判断直线AC的倾斜角是锐角还是钝角或直角. 2．在中，已知，求直线的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角、钝角或直角． 变式4：变换数据及问题 1．已知点，，，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ；若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 2．已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 3．已知． (1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动，求直线AD的斜率的变化范围． 习题2.1：综合运用第8题 8、经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，求直线的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由。 【答案】； 【分析】由题知，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 变式1、数据不变，变换题型 1．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 2．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 3．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l倾斜角与斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2、点P不变，变换A、B两点及题型 1．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 变式3、变换P、A、B三点及题型 1．经过点作直线，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围为 .   2．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 ． 3．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$