广东省广雅中学等多校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题

2024—2025学年度高二年级3月联考 数学参考答案及解析 三、填空题 12．3e－cos 1　【解析】 由题意可得在x∈[0，1]时恒大于0，即f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝3e－cos 1.故答案为3e－cos 1. 13．32　【解析】 设的公比为q，q>0，由，或q＝，当q＝2时，，当q＝时，不符合题意，故.故答案为32. 14．e　【解析】 方法1：设直线l与曲线和曲线的切点分别为，，，，故切线方程分别为，整理得，即，将上式代入下式可得，整理得，l的斜率.设函数f＝，f′＝，当1<a<e时，f′<0；当a>e时，f′>0，故f在上单调递减，在上单调递增，f的最小值为f＝e，故l斜率的最小值为e. 方法2：，，故曲线可看作由曲线向右平移ln a，再向上平移a得到，，，直线l与曲线和曲线的切点分别为，，切点处导数值相等，故可看作由向右平移ln a，再向上平移a得到，故，，l的斜率.设函数f＝，f′＝，当1<a<e时，f′<0；当a>e时，f′>0，故f在上单调递减，在上单调递增，f的最小值为f＝e，故l斜率的最小值为e.故答案为e. 四、解答题 15．解：(1)由题意可得直线l与圆C相切，(1分) 所以圆心C(3，0)到直线l的距离，(4分) 解得k＝－.(5分) (2)设P(x，y)，因为＝2，即，(7分) 即，(8分) 即点P在以D为圆心，2为半径的圆上，(9分) 又点P在直线l上，即直线l与圆有公共点，(10分) 所以，解得0≤k≤， 即k的取值范围为.(13分) 16．解：(1)由题意易得，(1分) 因为为等差数列，设其公差为d，由于成等比数列， 故，(3分) 解得d＝1或d＝0，d＝0不满足题意，舍去，(5分) 故，又因为，所以，(7分) 经检验n＝1时同样满足，故.(8分) (2)由(1)知，(9分) 因为，所以，(12分) 故，证毕．(15分) 17．解：(1)联立方程，(2分) 可得，(3分) 即x＝1或，解得，(5分) 将x0代入曲线y1，可得.(6分) (2)设函数(a>0)， 则.(9分) 当a∈时，g′<0；当a∈时，g′>0.(11分) 所以g在上单调递减，在上单调递增．g≥g＝e，(14分) 故x0的最小值为e.(15分) 18．解：(1)设底面椭圆方程为：，其中，因为e＝，所以＝，(2分) 当点E为底面椭圆左焦点时，此时m＝＝＝，(4分) 当点E为底面椭圆右焦点时，此时m＝＝＝3.(6分) (2)因为m＝，以O为原点(O为AB中点)，以AB所在直线为x轴，过点O作平行于CD的直线为y轴，平行于AA1的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， (8分) 易知E，C，D(－a，－a，0)，B(a，0，0)，A1(－a，0，b)，(9分) 所以，＝，＝，(10分) 设平面A1CB的法向量为m＝(p，q，z)，平面A1DB的一个法向量为n＝(δ，γ，ω)，(11分) 则，即，解得，令p＝3，可得平面A1CB的一个法向量为m＝(3，4，4)，(13分) 同理可得n＝(3，－4，4)，(14分) 所以，(16分) 故平面A1CB与平面A1DB夹角的余弦值为.(17分) 19．解：(1)由题设知a＝2，(1分) .解得b＝，(2分) 故C的方程为.(3分) (2)设，，，其中，，，1，2.(4分) 因为BM∥AP，所以直线BM的斜率为，方程为，(5分) 与C联立得.同理可知，直线AN的方程为，(6分) 与C联立得，故直线MN的方程为，(7分) 点P到直线MN的距离.(8分) 而，故.(10分) (3)设O为坐标原点，F为弦MN中点，则由(2)知，故P为线段OF中点．(11分) 由几何关系知，，(12分) 所以.因此四边形ABMN的面积，(13分) 下面求的最小值．直线AB的方程为3x＋2y＋6＝0， 故P到直线AB的距离.(14分) 而＝是定值，所以取最小值当且仅当d2取到最小值．记，与C联立得.这是关于y0的二次方程，故判别式，(15分) 解得t≥2，当y0＝－时，等号成立．所以当P时，四边形ABMN面积取得最小值5.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$参考答案及解析 数学 2024一2025学年度高二年级3月联考 数学参考答案及解析 一、选择题 -1,f(x)=x3+x2-2,故f(a十1)=f(0)=-2.故 1.A【解折】因为y=异=1一品则= 选A 7.C【解析】由等差数列性质可得a:-1十4-1=2a:, (x十1)可得y1=。=2.故选A 2 a1十aek-1=2a4,又aE-a-1-a+1=0,所以 am十2则g=2, 2.A【解析】由题意可得山=” a(a4-2)=0,故a。=0或ae=2,因为S-1= a;4'a 子，两式相乘可得a=。故选A (a+a=)(2k-1=a4(2k-1)=22,故a≠0， 2 则a4=2,所以2(2k一1)=22，所以k=6.故选C. 3.C【解析】因为f(x)=e-∫(1)x,所以f(x)= 8,D【解析】由题意建立如图所示的空问直角坐标系， e-f1).则f1)=e-了1)，得f1)=分 故选C 4.B【解析】由圆M:(x一1)十(y-2)=1的方程 可得圆心M(1,2),C:4x2十my=0恰好经过圆心 M,故4×1°十2m=0,解得m=一2，故C的方程为 x=之，即C的准线方程为y=一合故选B 则B(0,0,0),A(1.0,0),C(0,1,0),D(1,1.1), 5,D【解析】由题意知f(x)的定义域为（一o∞，0）U B(0,0,1),C(011),M(1,21,N(1, (0.+∞)，所以了(x)=2x-号，因为f(x)在[2， 1.AB=(-1,0,1),AC=(-1,1.0),BD +∞)上单调递增，所以了(x)=2x-号≥0对于 (1,11),因为AB·BD=0,AC.BD=0,所以 BD=(1,1,1)是平面ABC的一个法向量，设 x∈[2，十oo)恒成立，即a≤2x2对于x∈[2，十o∞)恒 成立，又函数y=2x在R上单调递增，故2x≥2× N(分1,1)关于平面ACB的对称点为 22=16,所以a≤16.故选D. N(,,),所以NN⊥平面ACB,且NN的中 6.A【解析】由题意可得子(x)=3x2-2ax十a2十a, 点（宁十十十号十专）在平面ACB 又x=0是f(x)的极小值点，所以f(0)=a2十a= 0,解得a=0或a=-1,当a=0时，f(x)=3x≥0 上，故BD∥NN,又BD=(1,1,1),NN= 恒成立，f(x)单调递增，不符合题意，舍去，所以a= (红-子%-1-1小所以 ·1 数学 参考答案及解析 2=y-1=2。-1 此MN=A成，M市=士A店-士Ad+A,P0= ,解得 11 2十 1 AD.由于MN,MP,PQ两两垂直，故M·M市=0， 2 MPi=0,P·Mi=0,即-号Ai·Ai+ y%=0 放N(-号o,0),则1MN1=乎， A亦·AA=0,Ai.AD=0.A成.A市-之+Ad =0 ·A=0,解得A·A市=0，A,AA=- IMN=号，故△MPN周长的最小值为E+区 2 AA·AD=号则cos∠BAD=0o0s∠BAM=-之 故选D. 二、选择题 cos∠AAD=交，故∠BAD=90,∠BAA=12C, 9.ACD【解析】因为S(t)=3r+2在t∈[1,6]上单 ∠DAA=60°.故A,C正确，B错误，1M不1=1，P0 调递增，所以S(t)≤3×6十2=110.故A正确：该玩 =1,则由向量-√(2A店-2A市+AA) 具车在[1,4幻内的平均速度为S4)二S1 4-1 -√合-号又MN.MD,PQ两两垂直，故四面体 3X16+2-3-2=15,故B错误：又S(:)=6t,则该 3 MNPQ的体积V=号·MN·(侵·MP·PQ) 玩具车在t=5时的瞬时速度是S(5)=30,故C正 E 确：该玩具车的速度u和时间t的关系式是v(t)= ，故D正确.故选ACD. S(t)=6t(1≤≤6)，故D正确.故选ACD. 三、填空题 10.AC【解析】由题可得，a。一aa+1=1,因为a1=2, 12.3e一cos1【解析】由题意可得了'(x)=3e十sinx 可求得am=号a,=-1a=2,放A正确B错误： 在x∈[0,1]时恒大于0，即f(x)在[0,1]上单调递 增，所以f(x)mm=f(1)=3e-cos1.故答案为3e 由此可得数列{α.}是以3为周期的周期数列，所以 cos 1. a0=aa=一1，故C正确；同理可得S= 13.32【解析】设{am}的公比为q,g>0,由a4一a1= 675(a1十a:十a,).可求得S:s=675×(2十 1 (aq-a1=15 15,a1-a1=6→ 1）=2025,2Sm-2025≠2023，放D错误.故 →g=2或g=2,当 a1q3-a1q=6 2 选AC. ?=2时a1=1,当9=2时，a,=-16<0不符合题 11.ACD【解析】由六面体ABCD-A:B:CD是棱长 意，故a=1×2=32.故答案为32. 均为1的平行六面体，以AB、AD,AA为基底.由于 14.e【解析】方法1：设直线1与曲线”=e十a和曲线 M,N、P,Q分别为AD、BC、ABCD的中点，因 业=ae的切点分别为(x),(y),y=e,y ·2 参考答案及解析 数学 (y=e(x-x)+e+a 3k-2 =3 =ae,故切线方程分别为 (4分) W√十(-1)下 y=ae3(x-m)十ae (y=e1x+(1-x1)e'i+a 解得k=一2 (5分) 整理得 y=aex十a(1一r)e4 (2)设P(x,y),因为|PO=2|PC|,即√r+y= e =ae: 即 ,将上式代入下 2(x-3)+y, (7分) (1-x1)c1十a=a(1-x)e 即(x一4)2+y=4, (8分) 式可得(1一na一x)ae十a=a(1一x)e,整理 即点P在以D(4,0)为圆心，2为半径的圆上， 得e=。l的斜率k=a=品。设函数 (9分) fa)-=品(>1)fa)-号当1<a< 又点P在直线（上，即直线（与圆D:(x一4）2十y =4有公共点， (10分) 时，f(a)<0:当a>e时，f(a)>0,枚f(a)在 所以d= 14k-21 (1,e]上单调递减，在[e,十o∞)上单调递增， √+(-1) <2,解得0<k<子 f(a)的最小值为f(e)=e,故l斜率的最小值为e 即的取值范周为[0，号] (13分) 方法2：y=e十a,y=e+h·,故曲线为=e十a可 16.解：(1)由题意易得T1=a1=2, (1分) 看作由曲线y2=e+a“向右平移lna,再向上平移a 因为{T.)为等差数列，设其公差为d,由于T,T, 得到，y1=e,y':=e+n“,直线l与曲线y1=e十a T,成等比数列， 和曲线y:=中“的切点分别为(x,y)· 故T=T,T,→(2+2d)=2(2+6d0, (3分) (xy),切点处导数值相等，故(xy)可看作由 解得d=1或d=0,d=0不满足题意，舍去，(5分) (x,)向右平移lna,再向上平移a得到，故x= +na,n-为十al的斜率一产-品。设 故T,=n十1，又因为a=否（≥2，所以a, ”+1 (7分) 函数fa)=品a(1fa)-品当1K n a<e时，f(a)<0:当a>e时，(a)>0,故 经检验n=1时同样满足，放a,=十旦 (8分) f(a)在(1，e]上单调递减，在[e,十o∞)上单调递 (2)由(1D知a,=+1=1+1 (9分) 增，f(a)的最小值为f(e)=e,故l斜率的最小值 为e故答案为e 因为6=a4-a,所以么=1+一1-是 四、解答题 h=是 (12分) 15.解：(1)由题意可得直线1与圆C相切， (1分) 所以圆心C(3,0)到直线L的距离d= 故=1-+-++-=1- 3 数学 参考答案及解析 <1,证毕. (15分) (yi=xIn (ar)-ax+1 17.解：(1)联立方程 (2分) y:=In (ax)+1-a 可得(x-1)n(ax)=a(x-1), (3分) 即x=1或n(ar)=a,解得x=g (5分) 0 (8分) 将x代人曲线y,可得n=glnc心-a·g+1=1. a 易知E(-号，0,0).C(-7a,号a,0)D(-7a, (6分) (2)设函数g(a)=号(a>0, 号a,0）Ba,0,0),A(-a0,b, (9分) 则g(a)=g(a-12 所以Ai=(2a,0,-b,BC=（-号a,号a,0, a2 (9分) 当a∈(0,1)时，g'(a)<0:当a∈(1，十oo)时， =(-a,-a0小 (10分) g'(a)>0. (11分) 设平面ACB的法向量为m=(p,g,),平面ADB 所以g(a)在(0,1门上单调递减，在[1，十∞)上单 的一个法向量为n=(6,Y) (11分) 调递增.g(a)≥g(1)=e, (14分) m·AB=0 2ap-bz=0 故x的最小值为e (15分) 则 ·即 ·解得 m·BC=0 8 6 ap+7ag=0 18.解：1)设底面椭周方程为：号+苦-1a>6>0 其中=瓜-6，因为=，所以台=，(2分) ,令p=3,可得平面A:CB的一个法向量 当点E为底面椭圆左焦点时，此时m AEL BE 为m=(3,4,45): (13分) (4分) 同理可得n=(3,-4,45), (14分) m·n 当点E为底面椭圆右焦点时，此时m= AEL BE 所以|cos<m,n>|=Tm×m-73' 41 (16分) a十c=3. (6分) 故平面A.CB与平面A,DB夹角的余弦值为号 a-c (17分) (2)因为m=,以0为原点(0为AB中点)，以AB 19.解：(1)由题设知a=2, (1分) 所在直线为x轴，过点O作平行于CD的直线为y (-4)3 a 云=1.解得6=5， (2分) 轴，平行于AA的直线为：轴，建立如图所示的空 间直角坐标系， 故C的方程为号-苦-1 (3分) 。4 参考答案及解析 数学 (2)设P(x,y),M(xy),N(x,为)，其中x,> 2 (3+SArn),SAr 2 (S△MAB十S△Nn)= 0.号-号=1i=012 (4分) 1 (SAMPR+SaNw) (12分) 因为BM∥AP,所以直线BM的斜率为，' 十2，方程 所以SA 6十S十Sa1业 4 为y-3=2(+4) (5分) _SW十S+S世.因此四边形ABMN的面 4 与C联立得M(2红十2。，2十受x)人同理可知。 积S=5SaMB· (13分) 直线AN的方程为y=二3 ”+(x+2), 下面求S△出的最小值，直线AB的方程为3x十2y (6分) +6=0 与C联立得N(2。-2,2-号)，故直线MN 故P到直线AB的距离d,=3十2y+6 √13 _3(x-2x) 的方程为y一2少，=西 (7分) (14分) 点P到直线MN的距离d,= 12 而|AB|=√3是定值，所以S取最小值当且仅 √/(3.x)十(4y) 当d:取到最小值.记3x。十2y十6=t,与C联立得 (8分) 8%+4(1-6)y%-(-121)=0.这是关于y的二 面MN=4√()=√)+( 次方程，故判别式△=48(t-12t+12)≥0，(15分) 故Sam=之d.IMN]=6, (10分) 解得t⊙2(3+√6)，当=- 时，等号成立：所以 (3)设O为坐标原点，F为弦MN中点，则由(2)知 当P(6,-)时，四边形ABMN面积取得最小 OM+ON=(4x。,4y)=4O币，故P为线段OF中 点 (11分) 值5(3+√6). (17分) 由儿何关系知Sa=专(Sam十Sa) ·5 1 2 2024—2025学年度高二年级3月联考 数学试题 3 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用<m></m>铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.曲线在点 处的切线斜率为( ) A.2 B.1 C. D. [解析] 因为，则，可得 .故选A. √ 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5 2.已知首项为1的数列满足，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得，则，，两式相乘可得 .故选A. √ 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 3.已知函数，则 ( ) A.0 B.1 C. D. [解析] 因为，所以，则 ，得 .故选C. √ 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 4.已知抛物线恰好经过圆的圆心，则 的准线 方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由圆的方程可得圆心， 恰好经 过圆心，故，解得，故的方程为，即 的准线方程 为 .故选B. √ 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8 5.若函数在上单调递增，则 的最大值为( ) A.4 B.8 C.12 D.16 [解析] 由题意知的定义域为，所以，因为 在 上单调递增，所以对于恒成立，即 对于 恒成立，又函数在上单调递增，故 ，所以 .故选D. √ 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 6.已知是函数的极小值点，则 ( ) A. B.0 C. D.或 [解析] 由题意可得,又是 的极小值点，所以 ，解得或.当时，恒成立， 单 调递增，不符合题意，舍去，所以， ，故 .故选A. √ 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 7.记为等差数列的前项和，且,，则 ( ) A.12 B.8 C.6 D.3 [解析] 由等差数列性质可得， ，又 ，所以，故或 ，因为 ，故，则 ，所以 ，所以 .故选C. √ 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11 8.棱长为1的正方体中，,，为平面 上 的一动点（包含边界），则 周长的最小值为（附：平面的截距式方程为: ，其中,,分别为平面在,, 轴上的截距）( ) A. B. C. D. √ 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12 [解析] 由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13 则,,,,,,,,1, ， ，，，因为， ， 所以是平面的一个法向量，设关于平面 的对称点为 ，所以 平面，且的中点 在平面 上，故，又， ，所以 ，解得 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14 ，故，则，，故 周长的最小值为 .故选D. 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放， 其运动的位移方程满足 ，则( ) A.该玩具车位移的最大值为110 B.该玩具车在 内的平均速度为12.5 C.该玩具车在 时的瞬时速度为30 D.该玩具车的速度和时间的关系式是 √ √ √ 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16 [解析] 因为在上单调递增，所以 ，故A 正确；该玩具车在内的平均速度为 ，故B错误；又 ，则该玩具车在时的瞬时速度是 ，故C正确；该玩具车的速度 和时间的关系式是，故D正确.故选 . 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17 10.记为首项为2的数列的前项和，已知 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 由题可得，，因为，可求得，， ， 故A正确，B错误；由此可得数列是以3为周期的周期数列，所以 ， 故C正确；同理可得 ，可求得 ，,故D错误.故选 . √ √ 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18 11.平行六面体的各棱长为1，且、、、分别为、 、 、中点.若、、 两两垂直，则( ) A. B. C. D.四面体的体积为 √ √ √ 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 [解析] 由六面体是棱长均为1的平行六面体，以、、 为基底. 由于、、、分别为、、、的中点，因此 ， ，.由于、、两两垂直，故 、 、，即， ， ，解得，， ，则 ，，，故 ， ， .故A，C正确，B错误；， ，则由向量 ，又、、 两两垂直，故四面体 的体积，故D正确.故选 . 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数在 上的最大值为__________. [解析] 由题意可得在时恒大于0，即在 上单调递增， 所以.故答案为 . 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 13.已知正项等比数列满足，，则 ____. 32 [解析] 设的公比为，，由 ， 或，当时，，当 时， 不符合题意，故 .故答案为32. 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22 14.曲线与曲线 公切线斜率的最小值为__. [解析] 方法1:设直线与曲线和曲线的切点分别为 ， ，，，故切线方程分别为 ，整理得 ， 即 ，将上式代入下式可得 ，整理得，的斜率 .设函 数，，当时，；当 时， ，故在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 23 ，故斜率的最小值为 . 方法，，故曲线可看作由曲线 向右平 移，再向上平移得到，，，直线与曲线 和曲线 的切点分别为，，切点处导数值相等，故 可看作由 向右平移，再向上平移得到，故，， 的斜率 .设函数，，当时， ； 当时，，故在上单调递减，在上单调递增， 的最小 值为，故斜率的最小值为.故答案为 . 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知圆，直线 . （1）若与仅有一个交点，求 ； 解:由题意可得直线与圆 相切，（1分） 所以圆心到直线的距离 ，（4分） 解得 .（5分） 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 25 （2）设为坐标原点，点满足，且点在直线上，求 的取值范围. 解:设，因为，即 ，（7分） 即 ，（8分） 即点在以 为圆心，2为半径的圆上，（9分） 又点在直线上，即直线与圆 有公共点，（10分） 所以，解得 ， 即的取值范围为 .（13分） 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 26 16.（本小题满分15分） 已知数列的前项积为，为公差不为0的等差数列，且，,, 成 等比数列. （1）求 的通项公式； 解:由题意易得 ，（1分） 因为为等差数列，设其公差为，由于,, 成等比数列， 故 ，（3分） 解得或， 不满足题意，舍去,（5分） 故，又因为，所以 ，（7分） 经检验时同样满足，故 .（8分） 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 27 （2）设，记的前项和为，证明: . 解:由（1）知 ，（9分） 因为，所以 ，（12分） 故 ，证毕.（15分） 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 28 17.（本小题满分15分） 已知曲线与曲线交于 ， 两点. （1）求 ； 解:联立方程 ，（2分） 可得 ，（3分） 即或，解得 ，（5分） 将代入曲线，可得 .（6分） 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 29 （2）求 的最小值. 解:设函数 ， 则 .（9分） 当时，；当时， .（11分） 所以在上单调递减，在上单调递增. ，（14分） 故的最小值为 .（15分） 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 30 18.（本小题满分17分） 直椭圆柱体是指上下底面为椭圆，侧面与底面垂直的 柱体.如图，已知某直椭圆柱体的底面椭圆离心率为 ，高 为椭圆短轴长的一半，上底面椭圆的长轴为 ，下底面 椭圆的长轴为，点为上一点，过点 作直线交椭圆 于,两点，设线段与线段的长度之比为 . 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 31 （1）当点为底面椭圆的焦点时，求 的值； 解:设底面椭圆方程为:，其中，因为 ，所以 ，（2分） 当点为底面椭圆左焦点时，此时 ，（4分） 当点为底面椭圆右焦点时，此时 .（6分） 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 32 （2）当，时，求平面与平面 夹角的余弦值. 解:因为，以为原点（为中点），以 所 在直线为轴，过点作平行于的直线为 轴，平行 于的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， （8分） 易知，，,, ， ， ，（9分） 所以，， ，（10分） 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 33 设平面的法向量为，平面的一个法向量为 ，（11分） 则，即 ，解得 ，令，可得平面 的一个法向量为 ，（13分） 同理可得 ，（14分） 所以 ，（16分） 故平面与平面夹角的余弦值为 .（17分） 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.（本小题满分17分） 已知双曲线的左顶点为，且过点. 的右 支上有三点，，，满足， . （1）求 的方程； 解:由题设知 ，（1分） .解得 ，（2分） 故的方程为 .（3分） 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 35 （2）求 的面积； 解:设，，，其中，， ，1，2.（4分） 因为，所以直线的斜率为，方程为 ，（5分） 与联立得.同理可知，直线的方程为 ， （6分） 与联立得，故直线的方程为 ， （7分） 点到直线的距离 .（8分） 而，故 .（10分） 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 36 （3）求四边形 面积的最小值. 解:设为坐标原点，为弦中点，则由（2）知，故 为线段 中点.（11分） 由几何关系知 ， ，（12分） 所以 .因此四边形的面积 ，（13分） 下面求的最小值.直线的方程为 ， 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 37 故到直线的距离 .（14分） 而是定值，所以取最小值当且仅当取到最小值.记 ， 与联立得.这是关于 的二次方程，故判别式 ，（15分） 解得，当时，等号成立.所以当时，四边形 面 积取得最小值 .（17分） 2024—2025学年度高二年级3月联考 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 39 $$2024一2025学年度高二年级3月联考 二、迹择题：本题共3小题，每小题6分，共州分，在每小题给出的选项中，有多项特合题 目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得D分， 数学试题 9,在某次物理试验课常上，某同学利用位移限踪仪记录了一玩其车在静止状态下释救，其 本试卷共4页，19题。全卷裤分150分。考试用时120分钟。 运动的位移方程满足S()一F+2(1.6),用 生意事项： A,该玩具车位移的最大值为110 1.答题筒，先将自己的姓名，准考证号筑写在答题卡上，并将雅考证号条形码格贴在 B,该玩具车在[门，4内的平均速度为12.5 答题卡上的指定位置， C,该玩具车在t一5时的除时连度为30 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用B铅笔把答题卡上对应愿日的答案标号徐 D该玩其车的道度e和时间t的关系式是()一6：(1≤6) 黑。写在试题卷，草籍纸和答题卡上的非容题K域均无效。 10.记S为着项为2的数列[a.的m项和，已知4.一4“+1一1，划 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内，写在试圈卷，草 A,2a:=1 B.a.-3 鹤纸和答题卡上的非答题区域均无效： C.a:m十1-0 D.2S:-2028 4.考试结束后，睛将本试题卷和答慧卡一并上交 11.平行六面体ABCD一A:B:CD,的各棱长为1，且M,N,P,Q分别为AD,C,A:B, 一，选择霜：本题共8小愿，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 CD中点.若MN,MP,PQ两两垂直，划 是符合厦目要求的. A.∠BAD=O B.∠BA4,=150 1.曲线y=在点0。一)处的切线斜率为 C∠DA4,-60 四面体MNPQ的休积为号 三，填空题：本题共8小题，每小题5分，共15分 A.2 B.1 DI 12.雨数(r)=3一co%r在[0.1上的最大值为 已加首项为1的数列仙满处。。平2则山 13.已知正项等比数列4，满足“4一4一]5,4一：一6，用4一 14.曲线y=e(a>I)与曲线y=+4公切线斜系的最小值为 A 号 c青 n 四、解答题：本题共5小题，共7？分，解答位写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 15,(本小想满分13分) 3.已知函数fr)-e一f(1)x,期f(1》 已知阔C:(x一3+y2一9.直线：y一r-2. A.0 B.1 c号 n片 (1)若！与C仅有一个交点，求k: (2)设O为坐标源点，点P雨足PO=2PC,且点P在直线！上，求的取值范周 4,已知抛物线C:42+my-D恰好经过周4：r-1)+(y-2)一1的圆心，则C的准线 方程为 A-日 五一一言 七-司 n-言 五若图数曰-+兰在[2，十e上单调遥增，则u的最大值为 A,4 13,8 C,12 D.16 6已知-0是函数f(x)一2一4+(4+4u-2的极小值点，期f(4+1) A.2 B.0 C,1 D.-1成-2 7.记S。为等数列14,1的前#项和，且a4-4一山-一0,5-1一22，则一 A.I2 五，8 C.6 1D.3 8,棱长为I的正方体ABCD-AB,CD,中.A,D一2A,M,DN一NC.P为平面ACB 上的一动点（包含边界），则△MPN周长的最小值为附：平面的截距式方程为：+若 十三一1，其中4，b,分别为平面在3，箱上的发范》 A四+3 B42 C.、/1+1 D②+回 数竿试题第1页[共4页 数学试题第？气[共4页！ 16.(本小盟满分15分) 18,【本小题清分17分) 已知数列{4》的前n壤积为T,(T,}为公差不为0的等差数列，且：=2，工，T,T 直料属柱体是指上下底面为椭图，侧面与底面垂直的柱体，知，已知某直椭圆柱体 成等比数列. (1)求{a.}的通噢公式： 的底面转假离心率为三，高为精圆短轴长的一半，上接圈椭圆的长轴为A,下底面椭图 (2)设么一a+1一4，.记6}的前n项和为S,…证明：S,<1, 的长轴为A用，点E为AB上一点，过点E作直线处椭圆于C,D两点，设线段AE与线段 E的长度之比为烘， (们)当点E为底面稀圆的焦点时，求m的值： (2)当AB1CD,m一2时，求平面A,C用与平面A,DB夹角的余弦值。 19.(本小题满分17分) 17.《本小题满分15分) 已知曲线当=xn《a.r)一ar+1(a>0)与由线y=ln(r)+1一u交于A(1,m), 已知双角线C话一兰-1>0，>0)的左顶点为A(-2,0,且过点B(-4,31.C的 B(+)两点 右支上有三点P,M,N,演足BM∥AP,AN∥BP, (1)求M (1)求C的方程： (2)求x的显小值， (2)求△PMN的面积： (3》求四边形ABMN面积的最小值 数学试慧第3页引共十页1 数学试慧第4页引共4黄1■ 2024一2025学年度高二年级3月联考 南在备勤日的若轻区度肉作著，制山图鱼题形速框限定《适的苦蜜无效 请在者日的著斯区值内作苦，道出属仙题移伍短定区庭的著整夫效 数学答题卡 15(13升 16.15分) 校 睫级： 姓名 填 准考证号 ◆ ■ 客言81信王图主 ■■ 贴条形码风 面面面面五E团重面 米线明区 佛班转江 Tm可于mT 整口4 过释想每赠3分共分 4画DD ■"i. g围拉 7A重由D 4无重CD 香由年拉 每共分) ■ #里也D 10年D 幸运棒易：每想分升共1分 请勿在此区城作答 请在各租日的署面区速内作着，是出黑色地整边粒限定区适的馨发无蒙 端在备日的酱理区域内作苦，出黑色题形迪粗微定区藏的鲨案无姬 请在各面日的著息区植内作著，细出黑色胞形值框服定区建的普案无效 植举第1面（丸6属） 数季愿促（满6瓦） 数学氧气共和直) 请在备醒日的苦题区道内作若。蓝也煤色延多山相侧史区值的苦南无监 遗在备日的蕃盖区庭内作茶，鞋出黑色老边植限室区值的著囊无数 清在者日的苦鞋区健肉作苦，出起教理形边框限定这达的苦蜜无效 17.(1i分) 18.(17分) 10417分 请在各整日的苦区通内作著，超出属色矩彩边框烟定区罐的著南无效 请在备理日的苦区通内作善，。植出深色矩形边松用定区域的著煮无效 清在格题日的著区域内作著，慧出黑色楚形边级定区域的馨索无炫 数绿第4新共行质) 数华第面（夫6厦） 量举愿6衡（满6瓦）