精品解析：山东省济南市长清区2024-2025学年九年级2月开学测试数学试题

九年级阶段检测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．则图乙模型的左视图是（ ） A.     B.     C.     D.     【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图；根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为1列，进而得出答案即可． 【详解】解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为1列， 故选：A． 2. 在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数，将所求角放到直角三角形中是关键．将放入直角三角形，然后利用网格及勾股定理确定三边长，即可得答案． 【详解】解：是的一个锐角， ， ∵， ， 故选：B． 3. 如图，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和三角形定理，根据三角形内角和定理求出，再由相似三角形的性质可得 ，即可得出结论． 【详解】解：在中，且 ∴ 又， ∴ 即的度数是， 故选：B． 4. 有4个外观完全相同的密封且不透明试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液．小星从这4个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液分别用表示，列表如下： （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） 由表可知共有12种可能的结果，其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种， 则抽到的2个都是酸性溶液的概率为． 故选D． 5. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则此菱形周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，多边形的周长等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质得到，（），（），，根据勾股定理得到（），根据多边形的周长即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， （）， （）， ， 在中，根据勾股定理，可得： （）， 菱形的周长 （）， 故选：． 6. 如图，在的内接四边形中，E为直径延长线上的一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形，三角形外角的性质，先根据圆内接四边形的性质得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，然后解不等式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 即， 解得：， 故选：D． 8. 关于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与y轴交点为 D. 当时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线的性质解答即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为， ∴当时y随x的增大而减小，当时y随x的增大而增大， 当时，，即图象与y轴交点为， 综上，选项A、B、C正确，不符合题意；选项D错误，符合题意． 故选D． 9. 函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意， 故选：C． 10. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点若满足时， 时， ，则称点是点限变点．例如∶点 的限变点是，点的限变点是，若点 在二次函数 的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的增减性，最值计算，熟练掌握性质是解题的关键．根据题意，得，根据抛物线的增减性，分类解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 故抛物线开口向下，且在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大，右侧，y随x的增大而减小， 当时，在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大， 故时,n取最大值，且， 故时,n取最小值，且， 故，根据新定义，得； 当时，对称轴直线在其范围内， 故n的最大值为6； 故时,n取最小值，且， 故，根据新定义，， 故； 综上所述， 故选：D． 二．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 若为锐角，且，则________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值进行计算即可解答． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，现有测试距离为的一张视力表，表上一个的高为，要制作测试距离为的视力表，其对应位置的的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得，，，，可证明，然后根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知的半径为3，点C在圆周上，，则阴影扇形的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，圆周角定理，解题的关键是记住扇形面积公式．先由圆周角定理求出，再利用扇形面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴扇形AOB的面积 故答案为：． 14. 如图，交双曲线于点，且，若矩形的面积是8，且轴，则的值是_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． 延长，交轴于，通过证得三角形相似求得的面积，根据反比例函数系数k的几何意义，即可求得k的值． 【详解】解：延长、交轴于， 四边形是矩形，且轴， ， 轴，轴， ， ， ， 矩形的面积是8，， 的面积为4，， ， ， 双曲线经过点， ， ， ， 故答案为：18． 15. 如图，将矩形纸折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．当，，且时，的长为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换—折叠问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据勾股定理列方程求解是解题的关键. 由矩形的性质得出.由折叠的性质得出, 证出, 则可得出结论，证明, 由相似三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出答案. 【详解】∵在矩形 ∴. ∵将矩形纸片折叠， ∴, ∴, ∴， ∵四边形折叠至四边形, ∴， ∴， ∴, ， ∴, ∵, ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程直接开平方法即可求解． （2）利用一元二次方程公式法即可求解． 【小问1详解】 解： ∴，． 【小问2详解】 解： ∴，． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、公式法是解题的关键． 18. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE于F，求证：AF=CD． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题利用矩形的对边平行，得出∠ADE=∠DEC，利用已知条件，证明△ADF≌△DEC． 即可证明AF=CD． 【详解】证明：∵矩形ABCD， ∴ADBC，∠C=90°． ∴∠ADE=∠DEC． ∵AF⊥DE于F， ∴∠AFD=∠C=90°． ∵DE=DA， ∴△ADF≌△DEC（AAS）． ∴AF=CD． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 19. 如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图（1）是上课期间椅子摆放样式，已知座面宽，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．图（2）是水平摆放时的形状，脚垫长，，． （结果保留1位小数，参考数据：，，，） （1）求背垫的长； （2）如图（2），求午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离． 【答案】（1）的长为 （2）午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）过点G作垂直的延长线于点M，先求出，再根据得到的长即可； （2）过点H作，过点A作，，分别垂直于，垂足分别为M，N，O，过作于，则四边形和都是矩形，由（1）可知，先求出，再分别在和中求出，再根据矩形的性质求即可． 【小问1详解】 解：过点G作垂直的延长线于点M， ∵， ∴， ∵点G到地面的垂直距离为，则，， ∴， 在中，，， ∴， 答：的长为； 【小问2详解】 解：过点H作，过点A作，，分别垂直于，垂足分别为M，N，O，过作于，则四边形和都是矩形， ∴，, 由（1）可知， ∵，， ∴，， 在中， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 答：午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为． 20. 如图，是的直径，是的弦，C是延长线上一点，过点B作交于E，交于F，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、解直角三角形． （1）连接，等边腰三角形的性质和三角形外角性质可得，于是，得到，进而，以此即可得到证明； （2）由，得到，代入，即可解得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， 解得． 21. 一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“活”“力”“浙”“江”，除汉字不同之外，卡片没有任何区别． （1）若从中任取一张卡片，求卡片上标有的汉字恰好是“活”的概率． （2）若从中任取一张卡片，不放回，再从中任取一张卡片，请用画树状图或列表法，求取出的两张卡片上的汉字恰能组成“浙江”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上标有的汉字恰好是“活”的结果有1种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及取出的两张卡片上的汉字恰能组成“浙江”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上标有的汉字恰好是“活”的结果有1种， 卡片上标有的汉字恰好是“活”的概率为 【小问2详解】 列表如下： 活 力 浙 江 活 活，力 活，浙 活，江 力 力，活 力，浙 力，江 浙 浙，活 浙，力 浙，江 江 江，活 江，力 江，浙 共有12种等可能的结果，其中取出的两张卡片上的汉字恰能组成“浙江”的结果有：浙，江，江，浙，共2种， 取出的两张卡片上的汉字恰能组成“浙江”的概率为 ． 22. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价x（元）和日销售量y（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价x/元 61 60 59 58 57 日销售量y/个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 ； 设日销售利润为，则该益智玩具的日销售利润与销售单价x之间的函数关系式为 ； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）；；（2）该益智玩具的销售单价应定为50元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用． （1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，利用待定系数法求解即可，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式；根据“每日利润（销售单价进价）日销售量”即可求解； （2）根据“每日利润”，解得，，进而可得销售单价，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， ， 故答案为：；； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 23. 如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时的取值范围； （3）设一次函数与轴交于点，点是轴上不同于点的另一点，且．求出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数的综合，掌握待定系数法，图象交点求不等式的解集，一次函数与几何图形面积的计算方法是关键． （1）将代入反比例函数可得，得到反比例函数解析式，再把代入得到点的坐标，分别把点代入一次函数，运用待定系数法即可求解一次函数解析式； （2）根据一次函数与反比例函数交点，结合图象即可得到不等式的解集； （3）根据直线与坐标轴的交点得到，结合三角形面积得到，分类讨论：当点P在点C上方时，；当点P在点C下方时，，根据两点之间距离即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得，， ∴， 将代入得，， ∴， ∴， 将和代入得， ， 解得，， ∴， ∴反比例函数和一次函数的解析式分别为和； 【小问2详解】 解：∵反比例函数和一次函数交于点，点， ∴结合图象可得，当或时，， ∴的取值范围：或； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当点P点C上方时，， 则； 当点P在点C下方时，， 则； ∴或． 24. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，轴上存在一点，使经过，两点，求点的坐标； （3）如图，连接，点（不与三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）代入到抛物线中，得到，即可求出抛物线的解析式； （2）由于经过、两点， 则，设，根据勾股定理得到，利用列出方程求出的值即可得出答案； （3）由题意得，需要分类点在轴上方或下方两种情况讨论，结合图形利用构造出等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质与判定求出点的坐标即可解答． 【小问1详解】 解：代入，到抛物线中， 得， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）得：抛物线解析式为， 当时，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵经过、两点， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴点坐标为． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ①当点在轴上方抛物线上时，作于点，作轴于点，于点，如图所示， 由（2）得：，， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， ， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点横坐标为， ∴点坐标为 ， ∵点在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，点坐标为，与点重合，不符合题意，舍去； 当时，点坐标为，不在轴上方的抛物线上，舍去； 故点不存在； ②当点在轴下方时，作，轴，于点，如图所示， ，， ， ， ， 同理①中的方法可得：， ∴，， 设，， 则，解得：， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点坐标为； ∴综上所述，点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、圆的基本性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用，掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．探究小组的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，通过构造相似三角形来证明． 问题初探】 （1）①如图2，请直接写出和的数量关系：________； ②请参照探究小组提供的思路，利用图2证明：． 结论运用】 （2）如图3，在中，，，．求的长度． 【拓展提升】 （3）如图4，在平行四边形中，E、F分别是、上的点，、的交点为P，若平分，求证：． 【答案】（1）①；②见解析；（2）5；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识． （1）①根据平行线的性质得出，进而得出，从而； ②可证得，从而，进一步得出结论； （2）作平分，可证得，从而，从而得出的值，的值，由②知，，进而得出结果； （3）延长，交的延长线于点G，根据②得出，可证得，，从而，，进而得出，从而得出． 掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，能添加恰当的辅助线，构建相似三角形是解题的关键． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴； （2）解：如图1， 作平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由②知，， ∴， ∴； （3）证明：如图2， 延长，交的延长线于点G， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段检测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．则图乙模型的左视图是（ ） A     B.     C.     D.     2. 在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 有4个外观完全相同的密封且不透明试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液．小星从这4个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则此菱形周长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在的内接四边形中，E为直径延长线上的一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 关于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与y轴交点为 D. 当时，y的值随x值的增大而减小 9. 函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点若满足时， 时， ，则称点是点的限变点．例如∶点 的限变点是，点的限变点是，若点 在二次函数 的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 若为锐角，且，则________． 12. 如图，现有测试距离为的一张视力表，表上一个的高为，要制作测试距离为的视力表，其对应位置的的高为______． 13. 如图，已知的半径为3，点C在圆周上，，则阴影扇形的面积为____． 14. 如图，交双曲线于点，且，若矩形的面积是8，且轴，则的值是_____． 15. 如图，将矩形纸折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．当，，且时，的长为__________． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在矩形ABCD中，点EBC上一点，且DE=DA，AF⊥DE于F，求证：AF=CD． 19. 如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图（1）是上课期间椅子摆放样式，已知座面宽，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．图（2）是水平摆放时的形状，脚垫长，，． （结果保留1位小数，参考数据：，，，） （1）求背垫的长； （2）如图（2），求午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离． 20. 如图，是的直径，是的弦，C是延长线上一点，过点B作交于E，交于F，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 21. 一个不透明口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“活”“力”“浙”“江”，除汉字不同之外，卡片没有任何区别． （1）若从中任取一张卡片，求卡片上标有汉字恰好是“活”的概率． （2）若从中任取一张卡片，不放回，再从中任取一张卡片，请用画树状图或列表法，求取出的两张卡片上的汉字恰能组成“浙江”的概率． 22. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价x（元）和日销售量y（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价x/元 61 60 59 58 57 日销售量y/个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为 ； 设日销售利润为，则该益智玩具的日销售利润与销售单价x之间的函数关系式为 ； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 23. 如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时的取值范围； （3）设一次函数与轴交于点，点是轴上不同于点的另一点，且．求出点的坐标． 24. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，轴上存在一点，使经过，两点，求点的坐标； （3）如图，连接，点（不与三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 25. 问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．探究小组的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，通过构造相似三角形来证明． 【问题初探】 （1）①如图2，请直接写出和的数量关系：________； ②请参照探究小组提供的思路，利用图2证明：． 【结论运用】 （2）如图3，在中，，，．求的长度． 【拓展提升】 （3）如图4，在平行四边形中，E、F分别是、上的点，、的交点为P，若平分，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $