信息必刷卷02（辽宁专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（辽宁专用） 考情速递 中考·新动向：考察对基础知识的灵活运用及迁移能力，题目更侧重生活中数学知识的应用，试卷总字数增加，注重阅读能力与推理能力，开放性与探究性问题显著增多。 中考·新考法：将传统的几何、代数、概率统计几大模块进行创新糅合考察，通过逆向思维、多条件组合等方式创新设问，将传统考点与情境命题和开放性命题结合。 中考·新情境：题目紧跟当下热点时事，结合科技、经济等领域的实际问题，考察从中抽象出相关数学模型的能力，注重跨学科融合，与古代知识文化相融合。 命题·大预测：2025年辽宁中考数学将更侧重于考察基础核心能力、实际应用能力、思维发散与整合能力、创新综合能力。备考要特别关注基础性训练，再强化实际问题应用（如第3题“埃”， 20题“遮阳篷前挡板”）与思维拓展训练（如第12题“变换”，第23题“极限分割线”），并要重点关注跨学科融合问题（如第6题“物理变化与化学变化”）与时事热点问题（如第18题“电影《哪吒之魔童闹海》”），培养多角度分析解决探究题与开放性试题的能力（如第22题）。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是一个积木示意图，这个几何体的俯视图为（    ） A． B． C． D． 2．每年10月的第二个星期四是世界视力日，爱护视力，从己做起．验光时，例如，将近视50度记录为“”，等等．现有5位同学的验光记录如下：．通常，近视超过200度时就要持续佩戴眼镜进行视力矫正．在这5位同学中，需要持续佩戴眼镜的同学有（　　） A．0位 B．1位 C．2位 D．3位 3．芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体，单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“”，已知m，即纳米的十分之一，若某芯片薄膜的厚度为“”，则将“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．某同学用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同，现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（    ）        A． B． C． D． 7．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．  D．   8．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，，连接平分，过点作于点，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，以为边作菱形，且，连接对角线，点是上一点，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．分式方程的解是 ． 12．平面直角坐标系中，将一个点先向上平移个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转角度．我们把这样的变换叫做点的变换．例如，点按变换后得到点．若点按变换后得到点，则点的坐标为 ． 13．如图，四边形是矩形，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交和于点；分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交边于点；作射线，交于点．交射线于点，连接．若，，则 ． 14．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．若点P在射线上，且，则点P的坐标是 ． 15．如图，矩形中，，，是边上一点，且，是边上一动点，作，交边于点，将沿着所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分）（1）计算：． （2）计算：． 17．（8分）产于河南禹州的冬桃肉质细腻，甘甜多汁，因其成熟期较晚，正好填补了冬季无鲜果的空白，深受市场青睐．果农小王采摘了320千克的冬桃进行线上和线下销售，其中线下以10元/千克的标价销售，线上以线下标价的七折销售，全部售完后，销售额为2600元． (1)求线下和线上销售的冬桃数量． (2)小王又采摘了450千克的冬桃进行线上和线下销售且售价不变，若线下销售冬桃的数量不超过线上销售冬桃数量的一半，且使售完这批冬桃后销售额最大，应如何对这批冬桃进行销售？ 18．（8分）寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数一共是多少？ 19．（8分）某商场销售一种商品，进价为每件40元．经市场调研发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系．当售价为50元时，日销售量为350件；售价为60元时，日销售量为300件． (1)求与之间的函数关系式； (2)设该商场销售此商品每日获得的利润为（元）． ①当该商品售价为多少元时，每日可获得最大利润，最大利润是多少元? ②商场要求该商品日销售量不少于250件，且售价不低于40元，当售价为多少元时，每日可获得大利润是多少元? 20．（8分）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 正定某景点游客服务中心，为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图3． 任务1 求出遮阳棚前端B到墙面的距离． 任务2 当为时，求线段的长度． （结果精确到0.01m，参考数据：，，，） 21．（8分）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． (1)求证：是的切线； (2)已知，求的值． 22．（12分）小华用一张正方形卡纸制作立体贺卡．他在边上选取一点E，将左上角的沿线向上折叠，使点D落在卡纸内部点F处．为了固定造型，他用铅笔过点F画一条与平行的辅助线，分别交，于M，N两点． 【问题探究】 （1）如图①，折叠后，卡纸上形成和．求证：； 【问题解决】 （2）小华用刻度尺测得时，发现辅助线的两段满足，求这张卡纸的边长； 【实际应用】 小华需要裁剪装饰部分，如图②，他先沿折叠得到折痕，再沿折痕剪开，交边于点P，再沿剪裁交辅助线于点Q，在多次裁剪后，他有以下两个猜想： ①当满足时，点P是边的中点； ②当时，． 请你选择其中一个猜想加以判断，并请说明理由． 23．（13分）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为_____． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点． ①当时，求点的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值：若不存在，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷02（辽宁专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D C D A D B B D 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案直接填写在横线上 11． 12． 13．/ 14．或 15．4或 三、解答题:本大题有8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（10分） 【答案】（1）3；（2） 【解析】（1）解： ．（5分） （2）解： ．（10分） 17．（8分） 【答案】(1)线下和线上销售冬桃的数量分别为120千克和200千克 (2)线上销售冬桃300千克，线下销售冬桃150千克时，可使售完这批冬桃后销售额最大 【解析】（1）解：设线下和线上销售冬桃的数量分别为千克和千克． 由题意，得 解得 答：线下和线上销售冬桃的数量分别为120千克和200千克．（4分） （2）解：设线上销售冬桃的数量为千克，则线下销售冬桃的数量为千克，销售额为元． 由题意，得，解得． 由题意，得 ， 随着的增大而减小． 当取最小值300时，取最大值． ． 答：线上销售冬桃300千克，线下销售冬桃150千克时，可使售完这批冬桃后销售额最大．（8分） 18．（8分） 【答案】(1)，，40； (2)上午观众时间段的观众对电影的评分较高，理由见解析； (3)此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 【解析】（1）解：∵上午的数据中，出现4次，出现次数最多， ∴； ， ， ∵， ∴下午的中位数在C组， ∴， ， ∴， 故答案为：，，40；（3分） （2）解：∵上午的平均数，中位数，众数均高于下午， ∴上午观众时间段的观众对电影的评分较高；（5分） （3）解：（人）， 答：此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人．（8分） 19．（8分） 【答案】(1) (2)①当该商品售价为80元时，每日可获得最大利润，最大利润是8000元；②当售价为70元时，每日可获得大利润是7500元 【解析】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由题意得：， 解得， 所以与之间的函数关系式为．（2分） （2）解：①由题意得： ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为8000， 答：当该商品售价为80元时，每日可获得最大利润，最大利润是8000元．（5分） ②∵商场要求该商品日销售量不少于250件，且售价不低于40元， ∴， 解得， 由（2）①已得：， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， 则当时，取得最大值，最大值为， 答：当售价为70元时，每日可获得大利润是7500元．（8分） 20．（8分） 【答案】任务1：遮阳棚前端B到墙面的距离为；任务2：的长度约为 【解析】解：任务1： 过点B作，垂足为G，延长交于点H， 由题意得：，，， 在中，，， ， 答：遮阳棚前端B到墙面的距离为；（4分） 任务2： 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长度约为．（8分） 21．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线．（4分） （2）解：∵为的直径， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴．（8分） 22．（12分） 【答案】[问题探究]（1）见解析；[问题解决] （2）[实际应用]猜想①、②正确，理由见解析 【解析】[问题探究]（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿折叠，得到，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴；（4分） [问题解决] （2）根据折叠可得，，， 由（1）得， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的边长为；（8分） [实际应用]猜想①正确，理由如下： 根据题意，，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即点是的中点； 猜想②正确，理由如下： 同①，，则，， ∵， ∴设，，，则，，，， 在中，，即：， 整理得：， ∵， ∴，则， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，即：．（12分） 23．（13分） 【答案】（1）和；（2）；（3）①或；②存在，或或 【解析】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴抛物线的极限分割线为， 当时，， 解得：， ∴抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为和； 故答案为：和；（2分） （2）把点代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，， 解得：或， ∴点的坐标为；（6分） （3）①设与对称轴交于点G，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点，， ∴， ∵垂直平分 ∴， ∴， 解得：， ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，， 当时， ∴点；（10分） ②存在， 如图，设交对称轴于点H， 由（2）得：，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的极限分割线为， ∵直线垂直平分， ∴直线， ∴点B直线的距离为， ∵直线与直线关于极限分割线对称， ∴直线， ∵， ∴点P到直线的距离为， ∴点P到直线的距离与点B到直线的距离相等， ∴， ∴或， 解得：或或．（13分） 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（辽宁专用） 考情速递 中考·新动向：考察对基础知识的灵活运用及迁移能力，题目更侧重生活中数学知识的应用，试卷总字数增加，注重阅读能力与推理能力，开放性与探究性问题显著增多。 中考·新考法：将传统的几何、代数、概率统计几大模块进行创新糅合考察，通过逆向思维、多条件组合等方式创新设问，将传统考点与情境命题和开放性命题结合。 中考·新情境：题目紧跟当下热点时事，结合科技、经济等领域的实际问题，考察从中抽象出相关数学模型的能力，注重跨学科融合，与古代知识文化相融合。 命题·大预测：2025年辽宁中考数学将更侧重于考察基础核心能力、实际应用能力、思维发散与整合能力、创新综合能力。备考要特别关注基础性训练，再强化实际问题应用（如第3题“埃”， 20题“遮阳篷前挡板”）与思维拓展训练（如第12题“变换”，第23题“极限分割线”），并要重点关注跨学科融合问题（如第6题“物理变化与化学变化”）与时事热点问题（如第18题“电影《哪吒之魔童闹海》”），培养多角度分析解决探究题与开放性试题的能力（如第22题）。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是一个积木示意图，这个几何体的俯视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图是解题关键． 找到从上面看到的图形即可，注意所有的看到的棱都在俯视图中． 【详解】 解：从下往下看，得到的图形是． 故选：C． 2．每年10月的第二个星期四是世界视力日，爱护视力，从己做起．验光时，例如，将近视50度记录为“”，等等．现有5位同学的验光记录如下：．通常，近视超过200度时就要持续佩戴眼镜进行视力矫正．在这5位同学中，需要持续佩戴眼镜的同学有（　　） A．0位 B．1位 C．2位 D．3位 【答案】C 【分析】本题主要考查正数和负数，有理数的大小比较，读懂题意是解题的关键． 根据近视50度记录为“”，，求出各位同学近视的度数与200度比较即可作答． 【详解】解：表示近视145度， 表示近视280度， 表示近视75度， 表示近视105度， 表示近视235度， ∵ 那么有2位同学需要持续配戴眼镜， 故选：C． 3．芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体，单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“”，已知m，即纳米的十分之一，若某芯片薄膜的厚度为“”，则将“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为， 其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为 整数．确定的 值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的 绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，是 正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数． 【详解】解：， 将用科学记数法表示为， 故选：D． 4．某同学用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，解题关键是熟练掌握正多边形的每个内角的求法和外角和．先根据正六边形的每个内角是，求出，再求出，从而求出图3中正多边形每个内角的度数，从而求出每个外角的度数，最后根据多边形外角和为，列出算式求出即可． 【详解】解：正六边形每个内角是， ， ， 图3中正多边形的每个内角为， ， 故选：C． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．根据运算法则，对各选项计算后即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确， 不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6．如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同，现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（    ）        A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：将4张卡片分别记为，，，， 则属于化学变化的有和． 画树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有：，，共2种， 这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为． 故选：A． 7．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 8．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 9．如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，，连接平分，过点作于点，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，先证明得出，，根据三角形中位线定理得出，分别在，中利用勾股定理求出，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，正方形的边长为4， ∴，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，以为边作菱形，且，连接对角线，点是上一点，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作出点P，D，过点作交轴于点，过点作轴，垂足为，首先得到，求出，，然后得到，，然后利用三角函数求出，设，则，勾股定理求出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图，作出点P，D，过点作交轴于点，过点作轴，垂足为， 四边形是菱形， ，， ∴， ，， ， 由旋转得，， ，即， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，可得， 解得， ，， ∴点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了坐标与图形综合，旋转的性质，菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握去分母化为整式方程是解题的关键． 先去分母，化为一元二次方程，再求解，注意检验是否有增根即可． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是增根，舍去，是原方程的根， ∴原方程的根为：， 故答案为：． 12．平面直角坐标系中，将一个点先向上平移个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转角度．我们把这样的变换叫做点的变换．例如，点按变换后得到点．若点按变换后得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，点绕原点按逆时针方向旋转得到点，得出，据此求解即可． 【详解】解：作轴于点， 根据题意，点向上平移2个单位长度后得到点，点绕原点按逆时针方向旋转角度得到点， ，， ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，四边形是矩形，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交和于点；分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交边于点；作射线，交于点．交射线于点，连接．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了尺规作图、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用矩形的性质得到，，，，由作图可知是的角平分线，推出，，通过证明得到，再结合得到，利用比例的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， 由作图可知，是的角平分线， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 14．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．若点P在射线上，且，则点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，当P在C的左边时，则有，根据中点坐标公式求出点P的坐标即可；当P在C的右边时，如图，过作轴于H，则，证明，得到，根据，得到，则，，据此可得答案. 【详解】解： 如图，当P在C的左边时， ∵， ∴，    设， ∴，解得， ∴； 当P在C的右边时，如图，过作轴于H，则 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 此时的横坐标为1，则纵坐标， ∴， 综上：P的坐标为：或． 故答案为：或． 15．如图，矩形中，，，是边上一点，且，是边上一动点，作，交边于点，将沿着所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为 ． 【答案】4或 【分析】设，则，过作于，则．先利用，即可得出；再利用，即可得出；在中，利用勾股定理列方程求解即可得到的值，进而得出结论． 【详解】解：设，则，如图所示，过作于，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 中，， ∴， 解得或， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分）（1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题主要考查了实数混合运算和分式混合运算． （1）根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值进行计算即可． （2）先通分括号内，再运算除法，然后化简，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．（8分）产于河南禹州的冬桃肉质细腻，甘甜多汁，因其成熟期较晚，正好填补了冬季无鲜果的空白，深受市场青睐．果农小王采摘了320千克的冬桃进行线上和线下销售，其中线下以10元/千克的标价销售，线上以线下标价的七折销售，全部售完后，销售额为2600元． (1)求线下和线上销售的冬桃数量． (2)小王又采摘了450千克的冬桃进行线上和线下销售且售价不变，若线下销售冬桃的数量不超过线上销售冬桃数量的一半，且使售完这批冬桃后销售额最大，应如何对这批冬桃进行销售？ 【答案】(1)线下和线上销售冬桃的数量分别为120千克和200千克 (2)线上销售冬桃300千克，线下销售冬桃150千克时，可使售完这批冬桃后销售额最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确列出方程组和一次函数解析式是解答本题的关键． （1）设线下和线上销售冬桃的数量分别为千克和千克，找出等量关系列出方程组求解即可； （2）设线上销售冬桃的数量为千克，先求出，再销售额=线上销售额+线下销售额列出函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设线下和线上销售冬桃的数量分别为千克和千克． 由题意，得 解得 答：线下和线上销售冬桃的数量分别为120千克和200千克． （2）解：设线上销售冬桃的数量为千克，则线下销售冬桃的数量为千克，销售额为元． 由题意，得，解得． 由题意，得 ， 随着的增大而减小． 当取最小值300时，取最大值． ． 答：线上销售冬桃300千克，线下销售冬桃150千克时，可使售完这批冬桃后销售额最大． 18．（8分）寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评价评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 上午20名学生的评价评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名学生的评价评分在C组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀（）的观众人数一共是多少？ 【答案】(1)，，40； (2)上午观众时间段的观众对电影的评分较高，理由见解析； (3)此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体． （1）根据中位数，众数的定义，即可求出a和b的值，先求出下午a组的人数所占百分比，即可求出m的值； （2）根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论； （3）将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可． 【详解】（1）解：∵上午的数据中，出现4次，出现次数最多， ∴； ， ， ∵， ∴下午的中位数在C组， ∴， ， ∴， 故答案为：，，40； （2）解：∵上午的平均数，中位数，众数均高于下午， ∴上午观众时间段的观众对电影的评分较高； （3）解：（人）， 答：此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 19．（8分）某商场销售一种商品，进价为每件40元．经市场调研发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系．当售价为50元时，日销售量为350件；售价为60元时，日销售量为300件． (1)求与之间的函数关系式； (2)设该商场销售此商品每日获得的利润为（元）． ①当该商品售价为多少元时，每日可获得最大利润，最大利润是多少元? ②商场要求该商品日销售量不少于250件，且售价不低于40元，当售价为多少元时，每日可获得大利润是多少元? 【答案】(1) (2)①当该商品售价为80元时，每日可获得最大利润，最大利润是8000元；②当售价为70元时，每日可获得大利润是7500元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设与之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可得； （2）①根据每日的利润（售价进价）日销售量建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得； ②先根据题意建立一元一次不等式组，求出的取值范围，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由题意得：， 解得， 所以与之间的函数关系式为． （2）解：①由题意得： ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为8000， 答：当该商品售价为80元时，每日可获得最大利润，最大利润是8000元． ②∵商场要求该商品日销售量不少于250件，且售价不低于40元， ∴， 解得， 由（2）①已得：， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， 则当时，取得最大值，最大值为， 答：当售价为70元时，每日可获得大利润是7500元． 20．（8分）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 正定某景点游客服务中心，为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图3． 任务1 求出遮阳棚前端B到墙面的距离． 任务2 当为时，求线段的长度． （结果精确到0.01m，参考数据：，，，） 【答案】任务1：遮阳棚前端B到墙面的距离为；任务2：的长度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 任务1：过点B作，垂足为G，延长交于点H，根据题意可得：，，，然后在，利用锐角三角函数的定义求出的长即可； 任务2：在，利用锐角三角函数的定义的长，从而求出和的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：任务1： 过点B作，垂足为G，延长交于点H， 由题意得：，，， 在中，，， ， 答：遮阳棚前端B到墙面的距离为； 任务2： 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长度约为． 21．（8分）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． (1)求证：是的切线； (2)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定证明是的切线即可； （2）根据，求得，继而得到，，，根据计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：∵为的直径， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的证明，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正切函数的应用，正弦函数的应用，圆周角定理，角的平分线，熟练掌握三角函数的应用，切线的证明是解题的关键． 22．（12分）小华用一张正方形卡纸制作立体贺卡．他在边上选取一点E，将左上角的沿线向上折叠，使点D落在卡纸内部点F处．为了固定造型，他用铅笔过点F画一条与平行的辅助线，分别交，于M，N两点． 【问题探究】 （1）如图①，折叠后，卡纸上形成和．求证：； 【问题解决】 （2）小华用刻度尺测得时，发现辅助线的两段满足，求这张卡纸的边长； 【实际应用】 小华需要裁剪装饰部分，如图②，他先沿折叠得到折痕，再沿折痕剪开，交边于点P，再沿剪裁交辅助线于点Q，在多次裁剪后，他有以下两个猜想： ①当满足时，点P是边的中点； ②当时，． 请你选择其中一个猜想加以判断，并请说明理由． 【答案】[问题探究]（1）见解析；[问题解决] （2）[实际应用]猜想①、②正确，理由见解析 【分析】[问题探究]（1）根据正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质可证，，结合相似三角形的判定即可求证； [问题解决] （2）根据题意可证四边形是矩形，可得，由（1）中，，可得，则有，由此可求出，在中，运用勾股定理可得的值，由此得到的值，根据即可求解； [实际应用]①根据题意可证，可得，，则有，，，，即点是的中点； ②同①，，则，，设，，，则，，，，在中，，进而可得，求得，可得，，再证，求得，，即可求解． 【详解】[问题探究]（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿折叠，得到，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； [问题解决] （2）根据折叠可得，，， 由（1）得， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； [实际应用]猜想①正确，理由如下： 根据题意，，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即点是的中点； 猜想②正确，理由如下： 同①，，则，， ∵， ∴设，，，则，，，， 在中，，即：， 整理得：， ∵， ∴，则， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，即：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边，勾股定理求线段长等知识的综合运用，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键． 23．（13分）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为_____． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点． ①当时，求点的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）和；（2）；（3）①或；②存在，或或 【分析】（1）根据定义，确定c值，再建立方程组求解即可． （2）把点代入解析式，确定，根据定义建立方程求解即可． （3）①根据等腰直角三角形的性质，得到等线段，再利用字母表示等线段建立绝对值等式计算即可．②设与对称轴交于点G，用含m的式子表示出点P的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含m的式子分别表示出点B到直线的距离和点P到直线的距离，根据点P到直线的距离与点B到直线的距离相等，得出关于的绝对值方程，解方程即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴抛物线的极限分割线为， 当时，， 解得：， ∴抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为和； 故答案为：和； （2）把点代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，， 解得：或， ∴点的坐标为； （3）①设与对称轴交于点G，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点，， ∴， ∵垂直平分 ∴， ∴， 解得：， ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，， 当时， ∴点； ②存在， 如图，设交对称轴于点H， 由（2）得：，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的极限分割线为， ∵直线垂直平分， ∴直线， ∴点B直线的距离为， ∵直线与直线关于极限分割线对称， ∴直线， ∵， ∴点P到直线的距离为， ∴点P到直线的距离与点B到直线的距离相等， ∴， ∴或， 解得：或或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图像与性质及绝对值方程是解题的关键． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$