信息必刷卷03（辽宁专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（辽宁专用） 考情速递 中考·新动向：考察对基础知识的灵活运用及迁移能力，题目更侧重生活中数学知识的应用，试卷总字数增加，注重阅读能力与推理能力，开放性与探究性问题显著增多。 中考·新考法：将传统的几何、代数、概率统计几大模块进行创新糅合考察，通过逆向思维、多条件组合等方式创新设问，将传统考点与情境命题和开放性命题结合。 中考·新情境：题目紧跟当下热点时事，结合科技、经济等领域的实际问题，考察从中抽象出相关数学模型的能力，注重跨学科融合，与古代知识文化相融合。 命题·大预测：2025年辽宁中考数学将更侧重于考察基础核心能力、实际应用能力、思维发散与整合能力、创新综合能力。备考要特别关注基础性训练，再强化实际问题应用（如第6题“高铁座位”，14题“东方之门”，20题“户外遮阳篷”）与思维拓展训练（如第3题“进制转换”，第23题“和合对称抛物线”），并要重点关注跨学科融合问题与时事热点问题（如第2题“”，第7题“世运会”），培养多角度分析解决探究题与开放性试题的能力（如第22题）。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查左视图，左视图是从几何体左面观察到的视图．准确分析判断是解题的关键． 【详解】 解：领奖台从左面看，为， 故选：C． 2．深度求索是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术、挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，的芯片在每秒可以处理数据的同时，执行580万亿次浮点运算，数据580万亿可用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：580万亿； 故选C． 3．在人工智能的众多算法和数据处理中，经常涉及不同进制数之间的转换操作．二进制数可用十进制表示为，同样地，三进制数可用十进制表示为．现有二进制数，三进制数，那么a，b的大小关系是（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，新定义运算，解题的关键是找出题目给出的运算顺序，按照有理数混合运算的顺序进行计算即可，本题是一个基础题．括号里的数字从左开始，按照题目给的计算法则计算，以此类推，进行计算即可． 【详解】解：用十进制表示为， 用十进制表示为， ， 故选：B． 4．如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，根据矩形的性质可得对角线相等，进而根据已知可得垂直平分，根据等边对等角得出，进而可得，根据即可求解． 【详解】解：∵矩形的对角线相交于点， ∴，， 又∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， 故选：C． 5．下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，幂的运算，积的乘方，平方差公式，掌握运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方，平方差公式逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 6．李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用列表法求事件的概率．根据列表的情况可知，李佳购买车票的位置共有种等可能的情况出现，其中两张票都靠近窗户的情况只有种，从而可得“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 【详解】解：列表如下， 从表中可以看出共有种等可能的情况出现， 其中两张票都靠近窗户的情况只有种， “李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 故选：C ． 7．2025年第十二届世界运动会（简称成都世运会）将在四川成都举行．在此之前进行了成都世运会会徽的征集活动，以下是部分参选作品，其除文字以外的图案部分既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 8．古书中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，那么符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设甲有羊只，乙有羊只，根据题意列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设甲有羊只，乙有羊只， 由题意可得：， 故选：D． 9．如图，已知平行四边形的顶点，，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；③作射线，交边于点G，则点G的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、勾股定理、平行四边形的性质、等角对等边等知识点，掌握角平分线的作法是解题的关键． 如图：依据勾股定理即可得到中，，依据，即可得到，进而得出即可确定点G的坐标． 【详解】解：如图：    ∵平行四边形的顶点，， ∴ ∴， ∴中，， 由作图可知：平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．在菱形中， 点E，F分别是， 的中点， 连接， ．若 ，， 则的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】延长，交于点M，证明，，可得，过E点作于N点，结合可得，，，再进一步可得答案. 【详解】解：延长，交于点M， 在菱形中，点E，F分别是，的中点， ，，，， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ，， 过E点作于N点， ，， ，， ， ， 在中 ， 即， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 根据分式方程的计算步骤求解即可； 【详解】解： 去分母得：， 移项： 合并同类项： 解得： 当时，， 故答案为： 12．如图，三角形的顶点，，，是边的中点，过点C作交轴于点D，将沿轴向右平移，当点C的对应点恰好落在边上时，此时点D对应点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了坐标与图形变化-平移，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，正确求得的长． 根据勾股定理可得，，由是的中点可得，，由题意可得：，可得，即可求得，即可求解． 【详解】解：∵、、 ∴，， ∴ ∵是的中点 ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴， ∴，即 解得 ∵，， 将沿x轴向右平移，当点C的对应点恰好落在边上时，可知是将沿x轴向右平移了个单位长度 此时点对应的坐标为，即 故答案为：． 13．如图，点A在双曲线上，连接，B是的中点，作轴，垂足为点D，其反向延长线交双曲线于点C，连接．若的面积是3，则k的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，三角形中线等分面积． 连接，过点A作轴于点J，由中线等分面积得到，而，那么，再由，根据面积比等于相似比平方即可求解． 【详解】解：连接，过点A作轴于点J， ∵B是的中点，的面积是3， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 14．如图1，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图2，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部的宽度为米，高度为米，，长米，则离地面的垂直高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用抛物线形的图形建立直角坐标系，并求解解析式是解题的关键．以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，可得，，，设抛物线的解析式为，将代入求出解析式，再利用，长米，将代入求出即可． 【详解】解：如图，以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， ∵的宽度为米，高度为米， ∴，，， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得：， 所以抛物线的解析式为， ∵，长米， ∴将代入， 得：， 即离地面的垂直高度为米， 故答案为：． 15．如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定及性质，分类讨论的思想是解题的关键．根据点为三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明，求出的长，过点作于点，则，设，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：当时，， ∵将矩形纸片折叠，折痕为， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， 设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4或． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分）（1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、有理数的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、有理数的乘方可以解答本题； （2）先根据异分母分式的减法法则计算，再将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，最后进行约分化简． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）原式 ． 17．（8分）“垃圾可变宝，分类更环保”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从新世纪百货购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为“可回收垃圾桶”和“其他垃圾桶”．已知每个B品牌垃圾桶比每个A品牌垃圾桶贵，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量比用3200元购买B品牌垃圾桶多36个． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若我校购进的B品牌垃圾桶的数量比A品牌垃圾桶的数量的还多10个，且总费用不超过4465元，那么我校最多可购买多少个A品牌垃圾桶？ 【答案】(1)购买一个A品牌垃圾桶需40元，购买一个B品牌垃圾桶需50元 (2)最多可购买61个A品牌垃圾桶 【分析】本题考查分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用： （1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需元，根据等量关系列分式方程，解方程即可； （2）设购买m个A品牌垃圾桶，则购买B品牌垃圾桶，根据不等关系列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 即购买一个A品牌垃圾桶需40元，购买一个B品牌垃圾桶需50元． （2）解：设购买m个A品牌垃圾桶， 根据题意，得， 解得， 即最多可购买61个A品牌垃圾桶． 18．（8分）学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛活动，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用x表示，共分为四组：，，，下面给出了部分信息． 七年级10名学生的竞赛成绩：80、96、99、99、90、99、89、82、86、 八年级10名学生的竞赛成绩：94、90、94部分数据被墨水污染 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空： ， ，并补全条形统计图． (2)若规定竞赛成绩在90分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有800人和860人．估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． (3)分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好？请说明理由写一条即可 【答案】(1)99，94 ，图见解析 (2)1082人； (3)八年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好，理由见解析 【分析】本题考查了频率分布直方图，中位数，众数，方差，用样本估计总体，掌握计算方法是解题关键． （1）找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数，找出八年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，根据各个组的频数之和为10，可求出的八年级B组的人数，补全统计图即可； （2）根据样本中七、八年级成绩的优秀率，估计总体的优秀率，进而计算七、八年级的优秀的人数即可； （3）从中位数、众数的角度得出八年级的成绩较好． 【详解】（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次， 故众数为99，即， 八年级B组的人数为， 八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是94，90，94， 中位数是， 即， 补全统计图如下： 故答案为：99，94 （2）由题意可得，人， 答：估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数有1082人； （3）八年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好， 理由：虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好． 19．（8分）政府助农主播利用“互联网＋”帮助农户销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定售价不能高于元．市场调查发现，该加工品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是元？若能，求出销售单价为多少元；若不能，请说明理由． (3)求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销售量每件的利润） 【答案】(1)； (2)该助农主播销售这种农业加工品销售单价为元时，每天获得的利润为元； (3)当每件售价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式． 设与的函数关系式为，从图象上可以看出，当时，，当时，，把两组对应的值代入，利用待定系数法求出、的值即可得到一次函数的解析式； 根据利润销量单件利润，可得方程，解方程可得，即当销售价定为元时，利润可以达到元； 该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润与销售价的函数关系式为：，这是一个二次函数，并且函数图象开口向下，所以当时，利润最大，但是物价部门规定售价不能高于元，所以当时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 【详解】（1）解：从图象上可以看出，当时，， 当时，， 设与的函数关系式为， 可得：， 解得：， 与的函数关系式是； （2）解：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能达到元， 理由如下： 解方程：， 整理得：， ， 方程有解，， 解得：，(不符合题意，舍去)， 该助农主播销售这种农业加工品销售单价为元时，每天获得的利润为元； （3）解：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润与销售价的函数关系式为： ， 整理得：， 当时，函数有最大值， 物价部门规定售价不能高于元， 当时，每天的销售利润最大， 最大利润为(元)， 答：当每件售价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 20．（8分）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架稳定篷面．支架的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点共线），即米，支架与墙面的夹角．    素材2 宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 角的正切值 4 3 2.5 2 素材3 宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E．    任务1 确定安装点 请求出支架的固定点M与A点的距离的长． 任务2 确定影子长 请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度． 【答案】任务1：米；任务2：这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度为米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用． 任务1：过作于， 解三角形即可求出，，进而可得， 任务2：过作于，过作于，得四边形为矩形，再解三角形求出米，米，进而求出米，米，根据13点时，太阳高度角，由即可完成任务2． 【详解】解：任务1：如图，过作于， ， ∴， 又∵，， ∴（米）， （米）， （米）， ∴（米）； 任务2：如图，过作于，过作于，过作于， ， 则， 四边形为矩形， ，， ∵米，， ∴（米）， （米）， （米）， ∵由题意可知：米， ∴（米） ∴（米），（米）， ∵13点时，太阳高度角， ∴， ∴（米）， ∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度（米）． 21．（8分）如图，是的直径，是的切线，点为直线上一点，连接交于点，连接并延长交线段于点． (1)求证：； (2)若的直径为6，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据切线的性质可得，再利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后再利用等腰三角形的性质以及对顶角相等，即可解答； （2）求得，然后证明，利用相似三角形的性质可得的长，从而可得解答． 【详解】（1）证明：是的切线，点为切点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 可得（负值舍去）． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，正确利用相似三角形的性质是解题的关键． 22．（12分）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，． 独立思考：（1）试猜想与的数量关系：________； 实践探究：（2）嘉嘉将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为，连接并延长交于点G，请判断与的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）在的边上有一个动点M，点M沿方向从A点开始运动，到D点停止．随着点M的运动，琪琪沿折叠，折叠后点A的对应点为，当与平行四边形的边垂直时，问题：若此的面积为5，边长，，请直接写出与重叠部分的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】（1）作交于，则，得到， 由F为的中点可得，得到，再根据垂直平分线的性质得到； （2）连接，先由折叠证明，得到，则是平行四边形，得到，根据，推出； （3）根据和两种情况分别画出图形，根据的面积为5，作高得到平行四边形的高，即可得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）作交于，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，连接， 由折叠可得，， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）∵，边长，， ∴，，，， 当时，如图，交于，交于，过作于，过作于，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与重叠部分的面积； 当时，如图，交于，则， ∵的面积为5， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与重叠部分的面积； 综上所述，与重叠部分的面积为或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． 23．（13分）在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，请你帮他解答． 【特例感知】（1）当时，如图，抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，．如下表： … … … …    ①补全表格； ②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象． 【初步探讨】（2）①当时，若抛物线的顶点为点，点对应的“和合点”为点，则由点、四点所围成的四边形的面积为______； ②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式． 【进阶探究】（3）若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 【答案】（1）①；②见详解；（2）①；②抛物线；（3）为或． 【分析】（1）①用和合对称二次函数图像与轴交点相同即可求解； ②用圆滑的曲线，按描点画图的要求作图即可； （2）①当时，抛物线，可求其与轴交点和顶点坐标，设抛物线，两个二次项系数之和为，对称轴相同，联立方程组，求解，确定抛物线，求其顶点坐标，则； ②设抛物线，求两个函数与轴的交点，利用横坐标相等，可得，从而确定抛物线，求其顶点坐标，利用其横、纵坐标互为相反数，求解，即可确定抛物线； （3）由题可设抛物线，将两个抛物线化成顶点式，表示其顶点坐标，当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有个交点，列式可得 或，验证时，不满足条件． 【详解】解：（1）①∵和合对称二次函数图像与轴交点相同， ∴坐标与坐标相同，同为； ②描点画图即可，如下图    （2）①当时，抛物线， 与轴交点为， ， ∴顶点坐标为， 设抛物线， 则， 解得， ∴抛物线， 当时，， ∴坐标为， ∴； ②抛物线， 与轴交点为点为， 则设抛物线， 与轴交点为点为， ∴， 抛物线， ∴， ∴顶点为， ∵其横、纵坐标互为相反数， ， ∴抛物线； （3）抛物线， ∴其顶点为， 则抛物线， ∴其顶点为， 当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有个交点， ∴， 解得， 当时，两个抛物线与只有一个交点，不满足条件， ∴为或． 【点睛】本题是新定义的“和合对称二次函数”，主要考查二次函数的图象和性质、描点作图、四边形面积、多次用到待定系数法求函数，读题理解“和合对称二次函数”等概念是解题关键． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷03 数 学（辽宁专用） 考情速递 中考·新动向：考察对基础知识的灵活运用及迁移能力，题目更侧重生活中数学知识的应用，试卷总字数增加，注重阅读能力与推理能力，开放性与探究性问题显著增多。 中考·新考法：将传统的几何、代数、概率统计几大模块进行创新糅合考察，通过逆向思维、多条件组合等方式创新设问，将传统考点与情境命题和开放性命题结合。 中考·新情境：题目紧跟当下热点时事，结合科技、经济等领域的实际问题，考察从中抽象出相关数学模型的能力，注重跨学科融合，与古代知识文化相融合。 命题·大预测：2025年辽宁中考数学将更侧重于考察基础核心能力、实际应用能力、思维发散与整合能力、创新综合能力。备考要特别关注基础性训练，再强化实际问题应用（如第6题“高铁座位”，14题“东方之门”，20题“户外遮阳篷”）与思维拓展训练（如第3题“进制转换”，第23题“和合对称抛物线”），并要重点关注跨学科融合问题与时事热点问题（如第2题“”，第7题“世运会”），培养多角度分析解决探究题与开放性试题的能力（如第22题）。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（   ） A． B． C． D． 2．深度求索是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术、挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，的芯片在每秒可以处理数据的同时，执行580万亿次浮点运算，数据580万亿可用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．在人工智能的众多算法和数据处理中，经常涉及不同进制数之间的转换操作．二进制数可用十进制表示为，同样地，三进制数可用十进制表示为．现有二进制数，三进制数，那么a，b的大小关系是（  ） A． B． C． D．不能确定 4．如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（　　） A． B． C． D． 7．2025年第十二届世界运动会（简称成都世运会）将在四川成都举行．在此之前进行了成都世运会会徽的征集活动，以下是部分参选作品，其除文字以外的图案部分既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B．C．D． 8．古书中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，那么符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知平行四边形的顶点，，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；③作射线，交边于点G，则点G的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．在菱形中， 点E，F分别是， 的中点， 连接， ．若 ，， 则的长为（    ） A． B． C． D．6 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．方程的解为 ． 12．如图，三角形的顶点，，，是边的中点，过点C作交轴于点D，将沿轴向右平移，当点C的对应点恰好落在边上时，此时点D对应点的坐标为 ． 13．如图，点A在双曲线上，连接，B是的中点，作轴，垂足为点D，其反向延长线交双曲线于点C，连接．若的面积是3，则k的值是 ． 14．如图1，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图2，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部的宽度为米，高度为米，，长米，则离地面的垂直高度为 米． 15．如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分）（1）计算：． （2）计算：． 17．（8分）“垃圾可变宝，分类更环保”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从新世纪百货购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为“可回收垃圾桶”和“其他垃圾桶”．已知每个B品牌垃圾桶比每个A品牌垃圾桶贵，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量比用3200元购买B品牌垃圾桶多36个． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若我校购进的B品牌垃圾桶的数量比A品牌垃圾桶的数量的还多10个，且总费用不超过4465元，那么我校最多可购买多少个A品牌垃圾桶？ 18．（8分）学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛活动，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用x表示，共分为四组：，，，下面给出了部分信息． 七年级10名学生的竞赛成绩：80、96、99、99、90、99、89、82、86、 八年级10名学生的竞赛成绩：94、90、94部分数据被墨水污染 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空： ， ，并补全条形统计图． (2)若规定竞赛成绩在90分及以上为优秀，该校七、八年级参加此次活动的学生分别有800人和860人．估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． (3)分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好？请说明理由写一条即可 19．（8分）政府助农主播利用“互联网＋”帮助农户销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定售价不能高于元．市场调查发现，该加工品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是元？若能，求出销售单价为多少元；若不能，请说明理由． (3)求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销售量每件的利润） 20．（8分）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架稳定篷面．支架的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点共线），即米，支架与墙面的夹角．    素材2 宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 角的正切值 4 3 2.5 2 素材3 宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E．    任务1 确定安装点 请求出支架的固定点M与A点的距离的长． 任务2 确定影子长 请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度． 21．（8分）如图，是的直径，是的切线，点为直线上一点，连接交于点，连接并延长交线段于点． (1)求证：； (2)若的直径为6，，，求的长度． 22．（12分）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，． 独立思考：（1）试猜想与的数量关系：________； 实践探究：（2）嘉嘉将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为，连接并延长交于点G，请判断与的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）在的边上有一个动点M，点M沿方向从A点开始运动，到D点停止．随着点M的运动，琪琪沿折叠，折叠后点A的对应点为，当与平行四边形的边垂直时，问题：若此的面积为5，边长，，请直接写出与重叠部分的面积． 23．（13分）在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，请你帮他解答． 【特例感知】（1）当时，如图，抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，．如下表： … … … …    ①补全表格； ②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象． 【初步探讨】（2）①当时，若抛物线的顶点为点，点对应的“和合点”为点，则由点、四点所围成的四边形的面积为______； ②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式． 【进阶探究】（3）若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷03（辽宁专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B C B C D D A A 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案直接填写在横线上 11． 12．/ 13．8 14． 15．4或 三、解答题:本大题有8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（10分） 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）， ， ， ；（5分） （2）原式 ．（10分） 17．（8分） 【答案】(1)购买一个A品牌垃圾桶需40元，购买一个B品牌垃圾桶需50元 (2)最多可购买61个A品牌垃圾桶 【解析】（1）解：设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 即购买一个A品牌垃圾桶需40元，购买一个B品牌垃圾桶需50元．（4分） （2）解：设购买m个A品牌垃圾桶， 根据题意，得， 解得， 即最多可购买61个A品牌垃圾桶．（8分） 18．（8分） 【答案】(1)99，94 ，图见解析 (2)1082人； (3)八年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好，理由见解析 【解析】（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次， 故众数为99，即， 八年级B组的人数为， 八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是94，90，94， 中位数是， 即， 补全统计图如下： 故答案为：99，94 （4分） （2）由题意可得，人， 答：估计在本次活动中七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数有1082人；（6分） （3）八年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好， 理由：虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的学生对“生活中的数学”知识掌握得更好．（8分） 19．（8分） 【答案】(1)； (2)该助农主播销售这种农业加工品销售单价为元时，每天获得的利润为元； (3)当每件售价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 【解析】（1）解：从图象上可以看出，当时，， 当时，， 设与的函数关系式为， 可得：， 解得：， 与的函数关系式是；（2分） （2）解：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能达到元， 理由如下： 解方程：， 整理得：， ， 方程有解，， 解得：，(不符合题意，舍去)， 该助农主播销售这种农业加工品销售单价为元时，每天获得的利润为元；（5分） （3）解：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润与销售价的函数关系式为： ， 整理得：， 当时，函数有最大值， 物价部门规定售价不能高于元， 当时，每天的销售利润最大， 最大利润为(元)， 答：当每件售价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元．（8分） 20．（8分） 【答案】任务1：米；任务2：这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度为米 【解析】解：任务1：如图，过作于， ， ∴， 又∵，， ∴（米）， （米）， （米）， ∴（米）；（4分） 任务2：如图，过作于，过作于，过作于， ， 则， 四边形为矩形， ，， ∵米，， ∴（米）， （米）， （米）， ∵由题意可知：米， ∴（米） ∴（米），（米）， ∵13点时，太阳高度角， ∴， ∴（米）， ∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度（米）．（8分） 21．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)6 【解析】（1）证明：是的切线，点为切点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ；（4分） （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 可得（负值舍去）．（8分） 22．（12分） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【解析】解：（1）作交于，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：；（2分） （2），理由如下： 如图，连接， 由折叠可得，， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是平行四边形， ∴， ∴， ∴；（8分） （3）∵，边长，， ∴，，，， 当时，如图，交于，交于，过作于，过作于，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与重叠部分的面积； 当时，如图，交于，则， ∵的面积为5， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与重叠部分的面积； 综上所述，与重叠部分的面积为或．（12分） 23．（13分） 【答案】（1）①；②见详解；（2）①；②抛物线；（3）为或． 【解析】解：（1）①∵和合对称二次函数图像与轴交点相同， ∴坐标与坐标相同，同为；（1分） ②描点画图即可，如下图   （3分） （2）①当时，抛物线， 与轴交点为， ， ∴顶点坐标为， 设抛物线， 则， 解得， ∴抛物线， 当时，， ∴坐标为， ∴；（5分） ②抛物线， 与轴交点为点为， 则设抛物线， 与轴交点为点为， ∴， 抛物线， ∴， ∴顶点为， ∵其横、纵坐标互为相反数， ， ∴抛物线；（9分） （3）抛物线， ∴其顶点为， 则抛物线， ∴其顶点为， 当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有个交点， ∴， 解得， 当时，两个抛物线与只有一个交点，不满足条件， ∴为或．（13分） 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$