第四章 因式分解（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第四章 因式分解思维导图 【类型覆盖】 类型一、已知代数式的值，因式分解求值 【解惑】如果，那么的值为（   ） A．16 B．64 C．32 D．8 【融会贯通】 1．已知，，则代数式的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 2．若，则的值为 ． 3．如果，那么 ． 类型二、整除问题 【解惑】任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除 【融会贯通】 1．当n为自然数时，一定能（   ） A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除 2．一个四位数，其中均为两位数，的十位数字相同且，则的最小值是 ；将放在的左边形成一个新的四位数，我们称为的“合构数”，若的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除，且能被17整除，则满足条件的的最小值是 ． 3．“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 类型三、智慧数问题 【解惑】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【融会贯通】 1．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 2．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ． 3．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”． 例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，， 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到： 设两个数分别为，，其中，且为整数． 则． (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有都 是智慧数，并请直接写出11，15的智慧分解； (2)继续探究，他们发现，，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：，且为整数）均为智慧数请证明他们的猜想； (3)根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解． 类型四、规律问题 【解惑】观察下列树枝分叉的规律图，若第个图树枝数用表示，则（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，下列图形都是由黑色和白色的棋子按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有2颗黑色棋子，第②个图形中有8颗黑色棋子，第③个图形中有将17颗黑色棋子……按此规体，则第⑦个图中黑色棋子的颗数是（    ） A．83 B．104 C．70 D．99 2．观察下列多项式的因式分解过程： ； ； ； ……； 按此规律，把多项式因式分解的结果是 ． 3．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故有即可将形如的多项式因式分解成（p，q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：______． 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是______． 【拓展应用】 （3）分解因式：． 类型五、新定义问题 【解惑】对于实数a，b，定义一种运算： ①． ②当时，则． 上述结论正确的是（    ） A．①②都正确 B．①错误②正确 C．①正确②错误 D．①②都错误 【融会贯通】 1．任何一个正整数都可写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为正整数的最佳分解，并定义一个新运算，例如：，则，那么以下结论： ①； ②； ③若是一个完全平方数（即，是正整数），则； ④若是一个完全立方数（即，是正整数），则． 正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．新定义：对于任意实数x，都有，若，，则将因式分解的结果为 ． 3．数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题． (1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________； (2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”． 类型六、最值问题 【解惑】已知为实数，整式的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【融会贯通】 1．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（   ） A． B． C． D．4 2．将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ，，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为 ． 3．阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)用配方法因式分解：； (3)求的最小值． 类型七、多项式长除法 【解惑】阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 若时，则有， 将代入，得 ， 解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题． (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若可化为整式，求化简后的整式； (3)若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围． 【融会贯通】 1．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 2．阅读以下内容解答下列问题． 七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题： （1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是 ． （2）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），【注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）】，于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”． ①求式子中m、n的值； ②用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4． 3．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 类型八、十字相乘法 【解惑】下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【融会贯通】 1．阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①； ②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 2．【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： （1）； （2）； （3）． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 3．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如；． 请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型九、分组分解法 【解惑】（1）分解因式：； （2）若为实数且满足，求s的最小值． 【融会贯通】 1．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】（1）请用分组分解法将分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式． 2．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知，求式子的值． 3．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． (1)分解因式； (2)若，，分别为三边的长． ①若满足若，请判断的形状，并说明理由． ②若满足，求的范围． 类型十、因式分解的图形应用 【解惑】【问题发现】小星发现把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式． 例如，由图①，可得到等式：． 【类比探究】（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，通过上面的启发，你能发现什么结论？请用等式表示出来； 【结论应用】（2）①已知，求的值； ②因式分解：_______． 【拓展延伸】（3）类似的，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一个等式．如图③所示的是一个棱长为x的正方体挖去一个底面边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中两个图形的变化关系，写出一个等式． 【融会贯通】 1．综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 2．综合与探究 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则 ． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． （4）如图3，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，五块是长为a，宽为b的全等小矩形，且．观察图形，分解因式 ． 3．数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远，例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示． (1)由图2，你能得到的数学等式为：______； (2)观察图3，解决以下问题：若，，求的值． (3)小灵同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽． 【一览众山小】 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如果是的一个因式，则的值是（   ） A． B． C．0 D．1 3．三个超市出售同一种商品，其标价相同，年底各超市分别对该商品进行降价销售： 甲超市第一次降价，第二次降价； 乙超市第一、二次降价均为； 丙超市一次性降价． 其中a，b为不相等的正数，则降价后该商品卖的最贵的超市为（   ） A．甲超市 B．乙超市 C．丙超市 D．一样多 4．因式分解： ． 5．已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ． 6．一个各位数字都不为0的四位正整数p，若千位与个位相同百位与十位相同，则这个数为“美轮美奂数”，将千位与十位对调，百位与个位对调，得到一个新“美轮美奂数”，规定：，则F(7337)= ．若已知数为“美轮美免数”，且十位与个位互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的的最大值为 ． 7．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 8．若一个整数能表示成（，是非零整数）的形式，则称这个数为“完美平方数”．例如，5是“完美平方数”，因为，再如（，是非零整数且），所以也是“完美平方数”． (1)请你写一个小于30的“完美平方数”：______ (2)请判断32，33是否是“完美平方数”，并说明理由； (3)已知（是整数，是常数），要使为“完美平方数”，请求出符合条件的一个值． 9．【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解（1）； （2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． （1）已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； （2）如图，长方形，已知，其中，且，求长方形的边的长度．（，用含的式子表示） 10．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 因式分解思维导图 【类型覆盖】 类型一、已知代数式的值，因式分解求值 【解惑】如果，那么的值为（   ） A．16 B．64 C．32 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子因式分解为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选B． 【融会贯通】 1．已知，，则代数式的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，先把所求代数式提取公因式，再把和的值代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 2．若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了整式的混合运算、提公因式法因式分解、代数式的求值．把原式变形为，再整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：6 3．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式求值，先把变形为，再把变形为，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 类型二、整除问题 【解惑】任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除 【答案】D 【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，根据题意，得，分类解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数， 根据题意，得 ， 当时，，都能成立； 当时，则，则， 故， 故， 故一定能被8整除， 故选：D． 【融会贯通】 1．当n为自然数时，一定能（   ） A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除 【答案】D 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“”是解题的关键．先把分解因式可得结果为：，从而可得答案． 【详解】解： 为自然数 所以一定能被8整除， 故选D 2．一个四位数，其中均为两位数，的十位数字相同且，则的最小值是 ；将放在的左边形成一个新的四位数，我们称为的“合构数”，若的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除，且能被17整除，则满足条件的的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，整除，根据当最大数不超过时，，当时，，根据能被17整除，可知，中必有一个是的整数倍，即为，68，，然后根据“的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除”逐一检验即可解题． 【详解】解：设较大的两位数是，则较小的两位数是， 则， ∵A是四位数， 当时，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴ 的最小值是， ∵能被17整除， ∴，中必有一个是的整数倍，即为，68，； 当时，，数，这时不能被整除，不符合题意； 当时，，数，这时不能被整除，不符合题意； 当时，，数，这时能被整除，不符合题意； 当时，，数，这时能被整除，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，数，这时能被整除，不符合题意； 故满足条件的的最小值是， 故答案为：1023，． 3．“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，因式分解的应用，整式的除法； （1）根据当时，，得多项式必有一个因式，设，然后比较同类项的系数，进而可得出答案； （2）根据多项式既能被整除，又能被整除，得当或时，，将代入整理得①，将代入整理得②，再由①②解出，的值即可． 【详解】（1）解： 当时，， 多项式必有一个因式， 设， ， 比较同类项的系数得：，， 由，解得：， 由，解得：， ； （2）解：多项式既能被整除，又能被整除， 多项式必有因式和， 当或时，， 当时，， 整理得：①， 当时，， 整理得：②， ①②，得：， ， 将代入②，得：． ，． 类型三、智慧数问题 【解惑】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记是解题的关键．设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案． 【详解】解：设k是正整数， ∵， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意； ∵， ∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意， B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案． 【详解】解：设k是正整数， ∵（k＋1）2−k2＝（k＋1＋k）（k＋1−k）＝2k＋1， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，B，D选项都是智慧数，不符合题意； ∵（k＋1）2−（k−1）2＝（k＋1＋k−1）（k＋1−k＋1）＝4k， ∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以A选项是智慧数，不符合题意， C选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记a2−b2＝（a＋b）（a−b）是解题的关键． 2．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第9个智慧优数是， 故答案为：． 3．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”． 例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，， 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到： 设两个数分别为，，其中，且为整数． 则． (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有都 是智慧数，并请直接写出11，15的智慧分解； (2)继续探究，他们发现，，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：，且为整数）均为智慧数请证明他们的猜想； (3)根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解． 【答案】(1)奇数，11的智慧分解：5、6，15的智慧分解：7、8 (2)见解析 (3)第2023个智慧数是2700，2700＝6762﹣6742＝（676+674）（676﹣674） 【分析】（1）由小明的探究可得，，且为整数）是除1外，所有的奇数．根据探究可求得11、15的智慧分解； （2）借助小明的探究思路，可证猜想； （3）根据探究，前四个正整数只有3是智慧数，后面的正整数每连续四个中就有三个是智慧数，由此可得第2023个智慧数． 【详解】（1）解：，且为整数）， 智慧数是除1外所有的奇数， ， ， 故答案为：奇数，11的智慧分解：5、6，15的智慧分解：7、8； （2）证明：设，且为整数， ，， ， 除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 且为整数）均为智慧数； （3）解：据探究得，智慧数是奇数时，且为整数，智慧数是4的倍数时，且为整数， 正整数中前四个正整数只有3为智慧数，此后每连续四个数中有三个智慧数， ， ， 第2023个智慧数是2700， 能被4整除， ． 【点睛】本题考查了对因式分解的推理，掌握对因式分解的反推是本题的关键． 类型四、规律问题 【解惑】观察下列树枝分叉的规律图，若第个图树枝数用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律，代入规律求解即可． 【详解】解：由图可得到： 则：， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【融会贯通】 1．如图，下列图形都是由黑色和白色的棋子按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有2颗黑色棋子，第②个图形中有8颗黑色棋子，第③个图形中有将17颗黑色棋子……按此规体，则第⑦个图中黑色棋子的颗数是（    ） A．83 B．104 C．70 D．99 【答案】A 【分析】设第n个图形中有an颗黑色棋子（n为正整数），根据各图形中黑色棋子数的变化可找出变化规律“ann（n+1）﹣1（n为正整数）”，再代入n＝7即可求出结论． 【详解】解：设第n个图形中有an颗黑色棋子（n为正整数）， ∵a1＝2×1＝2，a2＝3×3﹣1＝8，a3＝4×5﹣1﹣2＝17，a4＝5×7﹣1﹣2﹣3＝29，…， ∴an＝（n+1）（2n﹣1）﹣1﹣2﹣…﹣（n﹣1）＝（n+1）（2n﹣1）n（n+1）﹣1（n为正整数）， ∴a77×（7+1）﹣1＝83． 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中黑色棋子数的变化，找出变化规律“ann（n+1）﹣1（n为正整数）”是解题的关键． 2．观察下列多项式的因式分解过程： ； ； ； ……； 按此规律，把多项式因式分解的结果是 ． 【答案】/ 【分析】根据所给的因式分解的方式，对所求的式子进行运算即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查提公因式法分解因式，根据所给的因式分解的方式，总结出规律是解题关键． 3．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故有即可将形如的多项式因式分解成（p，q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：______． 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是______． 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）（2）8或或4（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出m的值即可； （3）按照已知条件中的方法，把分解成，然后把多项式进行分解因式即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴整数的值可能为：或或或， ∴整数m的值可能是8或或4， 故答案为：8或或4； （3） ． 类型五、新定义问题 【解惑】对于实数a，b，定义一种运算： ①． ②当时，则． 上述结论正确的是（    ） A．①②都正确 B．①错误②正确 C．①正确②错误 D．①②都错误 【答案】C 【分析】本题考查实数的运算．根据定义的新运算列式并判断即可． 【详解】解：，， 则， 那么①正确； 时， 即， 整理得：， ， 则， 那么②错误； 故选：C． 【融会贯通】 1．任何一个正整数都可写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为正整数的最佳分解，并定义一个新运算，例如：，则，那么以下结论： ①； ②； ③若是一个完全平方数（即，是正整数），则； ④若是一个完全立方数（即，是正整数），则． 正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据新定义：正整数的最佳分解逐一判断即可. 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故② 错误； 若是一个完全平方数（即，是正整数），且，则，故③正确； 若是一个完全立方数（即，是正整数），且，则，故④正确． 综上，正确的有3个； 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解的应用，读懂新运算，正确理解正整数的最佳分解是解题的关键． 2．新定义：对于任意实数x，都有，若，，则将因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件中的新定义，列出关于，的方程，解方程求出，，再次利用新定义把所求式子写成整式形式，然后分解因式即可．本题主要考查了代数式求值，加减消元法，因式分解，解题关键是根据已知条件中的新定义，求出，的值． 【详解】解：，，， ，， ， ②①得：， 把代入①得：， ， ， 故答案为：． 3．数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题． (1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________； (2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”． 【答案】(1)和， (2)的值为6或，多项式的“对称值”为或 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”； （2）根据题意，求出值，再仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”． 【详解】（1）解：， 当或时，， 多项式的“零值”为和， “对称值”为， 故答案为：和，； （2）解：多项式（实数为常数）的两个“零值”相等， 多项式是完全平方式， 即， 当时，多项式可化为， ，“零值”为和，“对称值”为； 当时，多项式可化为， ，“零值”为和，“对称值”为， 综上所述，的值为6或，多项式的“对称值”为或． 类型六、最值问题 【解惑】已知为实数，整式的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用和偶次方的非负性，正确运用该完全平方公式是解答本题的关键．先分组，然后运用配方法得到，最后利用偶次方的非负性得到最小值． 【详解】解：， ∵，， ∴的最小值是， 故选C． 【融会贯通】 1．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握非负数的性质是解题的关键．先把代数式进行配方，再根据非负数的性质求解． 【详解】解：, 因为, 所以, 当时，, 因此的最小值是， 故选：B. 2．将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ，，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出，，进而根据，可得，然后得出，根据配方法，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，的最大值为， 故答案为：3． 3．阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)用配方法因式分解：； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为． 类型七、多项式长除法 【解惑】阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 若时，则有， 将代入，得 ， 解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题． (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若可化为整式，求化简后的整式； (3)若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目所介绍的方法得到，再将代入，即可求解； （2）根据题意可知是多项式的一个因式，根据题目所介绍的方法得到，将代入，即可求得，将代入原式即可求解； （3）根据题目所介绍的方法得到，分别将，代入，联立得到二元一次方程组，求解得到，，得到直线的解析式为，根据函数图象经过的象限进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 若时，则有， 将代入得， 解得． （2）解：∵可化为整式， ∴是多项式的一个因式． 设， 若时，则有，得． ∴， ∴原式． （3）解：∵和是多项式的两个因式， 设， ∴若时，则有，得：． 若时，则有，得：． 解得，． ∴直线的解析式为：． ①当，即时，直线不经过第二象限，得 ∴，解得：． ②当，即时，，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 【融会贯通】 1．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【答案】(1)±2 (2)a=0，b=-3； (3) 【分析】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 2．阅读以下内容解答下列问题． 七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题： （1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是 ． （2）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），【注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）】，于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”． ①求式子中m、n的值； ②用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4． 【答案】（1）降次；（2）①m＝﹣3，n＝﹣5；②（x+1）（x+2）2． 【分析】（1）根据材料回答即可； （2）①分别令x=0和x=1即可得到关于m和n的方程，即可求出m和n的值； ②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得出多项式含有因式（x+1），再利用①中方法解出a和b，即可代入原式进行分解. 【详解】解：（1）根据因式分解的定义可知：因式分解的作用也可以看做是降次， 故答案为：降次； （2）①在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中， 令x＝0，可得：，解得：n=-5， 令x=1，可得：， 解得：m=﹣3， 故答案为：m＝﹣3，n＝﹣5； ②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得x3+5x2+8x+4=0， 则多项式x3+5x2+8x+4可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式， 同①方法可得：a＝4，b＝4， 所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4）， ＝（x+1）（x+2）2． 【点睛】本题考查了因式分解，二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂材料中的意思，利用所学知识进行解答. 3．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）通过面积关系求长方形的边长． 【详解】（1）解：用竖式计算如下， 的商是，余式是． ∴答案为：，． （2）多项式能被整除，则 ∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0． ∴a=-6，b=2． ∴ab=（-6）2=36． （3）长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x． 长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12． ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴4x+2a+12=8x． ∴a=2x-6． ∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8） =3x2+16x-64． ∴长方形C的面积为：3x2+16x-140． ∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14． ∴长方形C的另一边长为：3x-14． 【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． 类型八、十字相乘法 【解惑】下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数a的所有可能的值是， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为， 则； （2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 【融会贯通】 1．阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①； ②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 对于（1），根据材料一可知，即可分解； 对于（2）①，令，再结合材料一分解，可得答案；②令，展开并整理，结合材料一分解，整体代入可得答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：①令， ， ， ， ， ． ， 原式； ②令， ， ， ， ， ． ， 原式．. 2．【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： （1）； （2）； （3）． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）根据结合题意分解因式即可； （2）把分解成两个整数的乘积形式，再根据题意可得的结果等于分解成的两个整数的和，据此建立方程求解即可； （3）把看做一个整体，再仿照题意因式分解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）； （3） ． 3．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如；． 请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （2）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （3）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （4）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； 弄清阅读材料中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）； （3）； （4）． 类型九、分组分解法 【解惑】（1）分解因式：； （2）若为实数且满足，求s的最小值． 【答案】（1）；（2）s的最小值为 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）分组分解法进行因式分解即可； （2）根据，得到，整体代入中，利用完全平方公式法进行因式分解，利用非负性求出最小值即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵， ∴， ∴ ． 故s的最小值为． 【融会贯通】 1．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】（1）请用分组分解法将分解因式． 【挑战】（2）请用分组分解法将分解因式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式； （1）把原式化为，再进一步分解因式即可； （2）把原式化为，再进一步分解因式即可； 【详解】解：（1） ； （2） ； 2．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题． （1）分组后，可先利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）分组后，再次提公因式后代入数值计算即可． 【详解】（1）解： （2） 当时， 原式 3．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． (1)分解因式； (2)若，，分别为三边的长． ①若满足若，请判断的形状，并说明理由． ②若满足，求的范围． 【答案】(1) (2)①为等腰三角形，理由见详解；② 【分析】本题主要了利用分组分解法分解因式，等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，理解并掌握分组分解法分解因式是解题关键． （1）将原式分组整理为，再运用完全平方公式可得，然后进一步分解因式即可； （2）①按照分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为，结合三角形三边关系可知，进而可得，即可证明结论；②按照移项、分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为，根据非负数的性质解得的值，然后结合三角形三边关系，即可获得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：①为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，，分别为三边的长， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形； ②∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∵，，分别为三边的长， ∴，即， ∴， 即c的范围为． 类型十、因式分解的图形应用 【解惑】【问题发现】小星发现把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式． 例如，由图①，可得到等式：． 【类比探究】（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，通过上面的启发，你能发现什么结论？请用等式表示出来； 【结论应用】（2）①已知，求的值； ②因式分解：_______． 【拓展延伸】（3）类似的，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一个等式．如图③所示的是一个棱长为x的正方体挖去一个底面边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中两个图形的变化关系，写出一个等式． 【答案】（1）；（2）①144；②；（3） 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法并灵活运用是解题的关键． （1）用两种方法表示图②的面积即可得到恒等式； （2）①整体代入求值即可； ②根据（1）中的结论因式分解即可； （3）用两种不同的方法表示图3的体积，即可得到恒等式． 【详解】解：（1）由图2得：正方形的面积；正方形的面积， ∴； （2）①因为， 所以； ②， 故答案为：； （3）因为原几何体的体积，新几何体的体积， 所以． 【融会贯通】 1．综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）14； （4）5或7 【分析】（1）根据大正方的面积有整体看和分开看两种求法，即可得到结果； （2）大正方的面积有整体看和分开两种求法，即可得到答案； （3）由（2）的结论，把已知条件代入即可； （4）根据题意可知，拼成图形的面积为，要把这个式子变成因式分解的形式，就是变成把因式看成图形的长和宽，根据因式分解的方法分解因式即可； 【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是， ， 故答案为：； （2）边长为的正方形的面积为：， 分9部分来看，正方形的面积为， 两部分面积相等， ， 故答案为：； （3）由（2）知， ，， ． 的值为14； （4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：， 从因式分解的角度看，可分解为或， 或， 的值为5或7． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，因式分解中十字相乘法和完全平方公式在集合图形中的相关计算，解决此题的关键是要合理运用饮食分解的方法． 2．综合与探究 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则 ． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． （4）如图3，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，五块是长为a，宽为b的全等小矩形，且．观察图形，分解因式 ． 【答案】（1）3.5；（2）12；（3）16；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解． （2）将看成，进而根据，即可求解； （3）设，，根据可得，而，进而根据完全平方公式变形即可求解． （4）结合图形由长方形的面积为，即可得出结果． 【详解】解：（1） 又 ， ； （2）∵，则 故答案为：； （3）∵两块直角三角板全等， ，， 点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上， ，． 设，． ， 又， ， ， ， ， 答：一块直角三角板的面积为16． （4）根据图形长方形的面积为：， 则分解因式． 3．数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远，例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示． (1)由图2，你能得到的数学等式为：______； (2)观察图3，解决以下问题：若，，求的值． (3)小灵同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽． 【答案】(1) (2)3 (3)长方形的长为，宽为 【分析】（1）根据大长方形的面积等于各部分的面积之和求解即可； （2）先得出，再将，代入计算即可； （3）由题意得，再分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得． 故答案为：； （2）解：从总体看，大正方形的边长为，面积为， 从部分看，图形的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：由题意可知：， ∴大长方形的长为，宽为． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 【一览众山小】 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，熟练掌握公式法和提公因式法进行因式分解是解题的关键．利用提公因式法、公式法以及整式的乘法逐个分解得结论． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、， 故不符合题意； 故选：C． 2．如果是的一个因式，则的值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，根据题意可知是方程的一个根，然后代入解题即可． 【详解】解：∵是的一个因式， ∴当时，， 解得：， 故选：B． 3．三个超市出售同一种商品，其标价相同，年底各超市分别对该商品进行降价销售： 甲超市第一次降价，第二次降价； 乙超市第一、二次降价均为； 丙超市一次性降价． 其中a，b为不相等的正数，则降价后该商品卖的最贵的超市为（   ） A．甲超市 B．乙超市 C．丙超市 D．一样多 【答案】B 【分析】本题考查的是列代数式，利用完全平方公式分解因式，设商品原价为1，可得甲超市的价格为，乙超市的价格为，丙超市的价格为，设，，再进一步计算与比较大小即可． 【详解】解：设商品原价为1， 甲超市的价格为， 乙超市的价格为， 丙超市的价格为， 设，， ∴， ， ， ∵，则， ∴， ∵ ， ∴到乙超市购买最贵． 故选：B． 4．因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用因式分解的方法成为解题的关键． 先提取公因式x，然后再运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了多项式的值、因式分解的应用，熟练掌握利用提取公因式法和平方差公式分解因式是解题关键．先根据多项式的值可得，，再将两个等式相减可得，利用因式分解可得，然后根据即可得． 【详解】解：∵当时，多项式的值为，当时，该多项式的值为， ∴①，②， 由①②得：，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：2023． 6．一个各位数字都不为0的四位正整数p，若千位与个位相同百位与十位相同，则这个数为“美轮美奂数”，将千位与十位对调，百位与个位对调，得到一个新“美轮美奂数”，规定：，则F(7337)= ．若已知数为“美轮美免数”，且十位与个位互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 108 8448 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据代入代数式计算即可；设，则，由题意得，由是一个完全平方数，结合a,，b的取值范围，可得，从而得到P的最大值． 【详解】解：当时，． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是一个完全平方数， ∴是一个完全平方数， ∵， ∴， ∴，即 当时，a有最大值8， 此时P的最大值为8448． 故答案为：108，8448． 7．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键． （1）先提公因式，然后根据平方差公式可进行因式分解即可； （2）先提公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 8．若一个整数能表示成（，是非零整数）的形式，则称这个数为“完美平方数”．例如，5是“完美平方数”，因为，再如（，是非零整数且），所以也是“完美平方数”． (1)请你写一个小于30的“完美平方数”：______ (2)请判断32，33是否是“完美平方数”，并说明理由； (3)已知（是整数，是常数），要使为“完美平方数”，请求出符合条件的一个值． 【答案】(1)10（答案不唯一） (2)32是为“完美平方数”，33不是为“完美平方数”，理由见解析 (3)符合条件的一个值为5（答案不唯一） 【分析】本题考查了新定义的运算以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据新定义，判断，并写出一个小于20的“完美平方数数”即可求解； （2）根据新定义，分别判断32，33； （3）先运用完全平方公式将进行化简，再根据“完美平方数”的定义得出即可； 【详解】（1）解：， 是“完美平方数”； 故答案为：10（答案不唯一）； （2）解：依题意，32是为“完美平方数”，33不是为“完美平方数”，理由如下： ， 32是为“完美平方数”， 33找不到满足的，的值， 故33不是为“完美平方数”； （3）解：是整数，且为“完美平方数”， ， 由题意可得为一个数的平方， 符合条件的一个值为5． 9．【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解（1）； （2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． （1）已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； （2）如图，长方形，已知，其中，且，求长方形的边的长度．（，用含的式子表示） 【答案】学以致用：（1）；（2）；拓展延伸：（1）48或；（2） 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的性质，勾股定理． [学以致用] （1）根据提公因式法因式分解，即可求解； （2）先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解； [拓展延伸] （1）根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数的性质求得的值，进而根据等腰三角形的性质以及勾股定理计算即可求解； （2）同（1）的方法因式分解，进而得出，即可求解． 【详解】解：[学以致用] （1） ． （2） [拓展延伸] （1） 等腰的三边为或 ， ， 等腰的面积为48或． （2） 且 ． 10．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 【答案】(1)或 (2) (3)，， 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用； (1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； (2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； (3）根据题意，由“-系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：或； （2）根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， 多项式的另一个零点是； （3）， 的两个零点分别是或， 根据“系多项式”的定义，有， ∴ 把代入， 得 ， ， 故答案为：，，． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$