数学（广西卷，2025年新题型）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

2025年中考第二次模拟考试（广西卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C C C D B B A B B B D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15． 16．/ 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【详解】解：（1）原式（2分） ．（4分） ， ，（1分） ，（2分） 或，（3分） ，．（4分） 18．（10分） 【详解】（1）解：设购买A种奖品x个，则购买B种奖品个， （1分） 依题意，得， （3分） 解得：． （4分） 答：购买A种奖品10个．（5分） （2）解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个， 依题意，得，（7分） 解得． （8分） ∵m为整数， ∴m最小为6，（9分） 即至少购买A种奖品6个．（10分） 19．（10分） 【详解】（1）解：∵A，B两组人数共有人， ∴七年级抽取学生的竞赛成绩中位数为86与88的平均数， 由条形统计图可得：，（1分) 由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为， ∴，(2分） ，（3分） （2）解：七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，（4分）理由： 由表格可知，七八年级的平均数相同，七年级学生对当前信息技术的了解的优秀率高于八年级学生对当前信息技术的了解的优秀率；（7分） （3）解：由题意可得， （人），（9分0 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有人．(10分） 20．（10分） 【详解】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为；（3分） 任务二：不能实现，理由如下： 由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为， 则设直线解析式为：， 则 解得：， ∴直线解析式为，（4分） 当时，， 所以不能实现；（5分） 任务三：设弹起后抛物线的表达式为：， 对于，(6分) 当时， 解得：或，（7分） ∴， 将代入得：， 解得：， ∴弹起后抛物线的表达式为：， ∵， ∴弹起时最大高度为， ∴弹起高度范围为，（8分） 当时，， 解得：， ∵时，，， ∴击球点与发球机水平距离的取值范围为．（10分） 21．（10分） 【详解】（1）解：设与交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又∵， ， 在和中， ， ， ∴，即，（1分） （2）设与交于点，如图所示： 四边形是矩形， ，，， ∴， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ，（4分） （3）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： ， ， 四边形为矩形， ，， 又∵， ， ， ， ， ， ；（7分） （4）∵将沿翻折，点落在点处得， ∴， ∴垂直平分， 过点作于点，连接交于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，即，设，则， ， ， 或（线段长的负值舍去）， ，， ， ， ， ， ．（10分） 22．（12分） 【详解】（1）证明：在中，令， ，（1分） 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 即抛物线L一定与x轴有两个交点 设的根分别为， ，（3分） 该一元二次方程有两个异号的实数根， ∴抛物线L与x轴的两个交点分居在原点的两侧；（4分） （2）解：①抛物线L经过点， ∴抛物线L的对称轴为直线， ， 的函数表达式为．（6分） 当时，． ∴抛物线L的顶点坐标为， 当时，， 解得（负数舍去）， 抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标．（8分） ②与y轴交于点， 则点D关于直线的对称点为， 抛物线L的开口向上， ∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是， 最低点总是，两个点的竖直距离总为， 当时，函数的最大值与最小值的差总为．（12分） 23.【详解】解：（1）∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴；（3分） （2）①∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；（6分） ②所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为，（7分）理由如下： 如图，延长交于，交于， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，，，即， ∴， ∴，（10分） ∴，， ∵， ∴．（12分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试（广西卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．其中最低海拔最小的大洲是（  ） 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 2．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列事件是必然事件的是（  ） A．明天我市有雨 B．打开电视机，它正在播广告 C．你的年龄比你亲生父亲年龄小 D．中秋节的晚上，我们都能看见圆月 4．下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．《孙子算经》中记载了一个数学问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行，问：共有多少人，多少辆车？为解决此问题，设共有人，那么可列方程（    ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点G，交的延长线于点H，若，，的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 10．如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子那么，第8个图中的棋子数是（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 11．如图，四边形中，对角线，且，点E、F、G、H分别为边的中点，则四边形的面积是（　　） A．24 B．12 C．10 D．6 12．已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 2． 填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．分解因式： ． 14．谱号是现代乐谱中不可或缺的元素之一、如图，将高音谱号放入等距离的五条平行线构成的五线谱中，点分别是高音谱号与五线谱中三条直线的交点，且在同一条直线上．若，则的长为 ．    15．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，点与点关于原点对称，连接、、，则的面积为 ． 16．如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为 ． 三．解答题（本大题共7个小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）计算：； （2）解一元二次方程：． 18．某学校计划为刚结束的演讲比赛购买A，B两种奖品共20个．已知A种奖品的单价是20元，B种奖品的单价是15元 (1)如果学校共花费350元，求购买A种奖品多少个？ (2)如果学校购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，求至少购买A种奖品多少个？ 19．近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 八年级 88 89 35% (1)填空：______；______，______； (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 20．根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 21．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为________； （2）如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为_____； 【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，且，求的值． 22．如图，抛物线（b为常数）． (1)求证：抛物线L一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分居在原点的两侧； (2)当抛物线L经过点时， ①求抛物线L的顶点坐标，并直接写出抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； ②若时，函数的最大值与最小值的差总为，求n的取值范围． 23．综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（广西卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．其中最低海拔最小的大洲是（  ） 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 【答案】A 【分析】此题主要考查了负数的大小比较，掌握负数比较大小，绝对值大的反而小是解题关键．比较各负数的绝对值，绝对值最大的，海拔就最低，故可得出答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴海拔最低的是亚洲． 故选：A． 2．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】 故选：C． 3．下列事件是必然事件的是（  ） A．明天我市有雨 B．打开电视机，它正在播广告 C．你的年龄比你亲生父亲年龄小 D．中秋节的晚上，我们都能看见圆月 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件，即可解答，理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、明天我市有雨为随机事件，故不符合题意； B、打开电视机，它正在播广告为随机事件，故不符合题意； C、你的年龄比你亲生父亲年龄小为必然事件，符合题意； D、中秋节的晚上，我们都能看见圆月为随机事件，故不符合题意； 故选：C． 4．下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查左视图，左视图是从几何体左面观察到的视图．准确分析判断是解题的关键． 【详解】 解：领奖台从左面看，为， 故选：C． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了单项式乘单项式，根据单项式乘单项式的运算法则逐一计算可得．正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意． 故选：D． 6．如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．先通过旋转得到，，，再通过等边对等角以及三角形外角的性质得到，代入已知的数据即可求解． 【详解】解：由绕顶点旋转得到可知： ，，， ， ， ， 故． 故选：B． 7．《孙子算经》中记载了一个数学问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行，问：共有多少人，多少辆车？为解决此问题，设共有人，那么可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设共有人，由每3人共乘一车，则余两辆空车可知车辆数为辆，由每2人共乘一车，则余9人步行可知车辆数为辆，据此列出方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 8．如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组 ，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，数形结合是解题的关键．把代入求出，根据数形结合，即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴， ∴关于、的方程组的解是 故选：A． 9．如图，中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点G，交的延长线于点H，若，，的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，由角平分线的定义结合平行四边形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 10．如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子那么，第8个图中的棋子数是（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是观察图形，总结出变化的一般规律．根据图形，得出前面几个图形中棋子的个数，再总结出第n个图形的棋子个数为，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第一个：， 第二个：， 第三个：， 第四个：， …… 第n个：， ∴第8个图中的棋子数是， 故选：B． 11．如图，四边形中，对角线，且，点E、F、G、H分别为边的中点，则四边形的面积是（　　） A．24 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，先由三角形中位线定理得到，同理可得，，进而证明四边形是平行四边形，再证明，得到四边形是矩形，最后利用矩形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵点E、F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为， 故选：B． 12．已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是掌握二次函数的增减性．根据二次函数的性质得出抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小求解即可． 【详解】解：∵，对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小； ∵A，分别位于抛物线对称轴的两侧，且， 当时， ∴； 综上：． 故选：D． 第Ⅱ卷 2． 填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了运用平方差公式分解因式，注意运算的准确性即可. 【详解】解：， 故答案为： 14．谱号是现代乐谱中不可或缺的元素之一、如图，将高音谱号放入等距离的五条平行线构成的五线谱中，点分别是高音谱号与五线谱中三条直线的交点，且在同一条直线上．若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握平行线等分线段定理“如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等”是解题的关键． 直接运用平行线等分线段定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为：． 15．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，点与点关于原点对称，连接、、，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据反比例函数值的几何意义及关于原点对称的点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， 点在反比例函数图象上， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 点与点关于原点对称， ． 故答案为：6． 16．如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，圆周角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造动点的轨迹来解决问题． 连接，根据中点的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得推得，则，根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上运动，取的中点，当，，三点共线时，的值最小，由此可解答． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， 点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图： 当，，三点共线时，的值最小， 四边形是菱形，，， ，， ∴， ∵，， ∴ ， 的最小值为． 故答案为：． 三．解答题（本大题共7个小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）计算：． （2）解一元二次方程：． 【答案】（1）5 （2）， 【分析】（1）本题考查的是有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减运算即可．（2）题考查了解一元二次方程-因式分解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）原式 ． ， ， ， 或， ，． 18．某学校计划为刚结束的演讲比赛购买A，B两种奖品共20个．已知A种奖品的单价是20元，B种奖品的单价是15元 (1)如果学校共花费350元，求购买A种奖品多少个？ (2)如果学校购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，求至少购买A种奖品多少个？ 【答案】(1)购买A种奖品各10个 (2)至少购买A种奖品6个 【分析】此题考查的是元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用．掌握实际问题中的总价、单价和数量的关系列方程和不等式，是解决此题的关键． （1）设购买A种奖品x个，则购买B种奖品个，根据“A种奖品的单价是20元，B种奖品的单价是15元，共花费350元，”，即可得出关于x的元一次方程，解之即可得出结论； （2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，求出m的最小值即可． 【详解】（1）解：设购买A种奖品x个，则购买B种奖品个， 依题意，得， 解得：． 答：购买A种奖品10个． （2）解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个， 依题意，得， 解得． ∵m为整数， ∴m最小为6， 即至少购买A种奖品6个． 19．近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 八年级 88 89 35% (1)填空：______；______，______； (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 【答案】(1)87，89，40 (2)七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由见解析 (3)估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有人． 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值； （2）根据表格中的数据，可以解答本题； （3）根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【详解】（1）解：∵A，B两组人数共有人， ∴七年级抽取学生的竞赛成绩中位数为86与88的平均数， 由条形统计图可得：， 由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为， ∴， ， 故答案为：87，89，； （2）解：七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由： 由表格可知，七八年级的平均数相同，七年级学生对当前信息技术的了解的优秀率高于八年级学生对当前信息技术的了解的优秀率； （3）解：由题意可得， （人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有人． 20．根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 【答案】任务一：；任务二：不能实现，理由见解析；任务三： 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，正确理解题意， 建立函数模型是解题的关键． 任务一：利用待定系数法即可求解； 任务二：由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为，可求直线解析式为，当时，，故不能实现； 任务三：求出弹起后抛物线的表达式为：，而弹起时最大高度为，则弹起高度范围为时，当时，，解得：，即可确定取值范围． 【详解】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为； 任务二：不能实现，理由如下： 由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为， 则设直线解析式为：， 则 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 所以不能实现； 任务三：设弹起后抛物线的表达式为：， 对于， 当时， 解得：或， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴弹起后抛物线的表达式为：， ∵， ∴弹起时最大高度为， ∴弹起高度范围为， 当时，， 解得：， ∵时，，， ∴击球点与发球机水平距离的取值范围为． 21．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为________； （2）如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为_____； 【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，且，求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）见解析；（4）． 【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、解直角三角形等知识，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用． （1）证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质计算即可； （3）过点作交的延长线于点，证明，列出比例式，证明结论； （4）过点作于点，连接交于点，与相交于点，根据正切的定义得到，根据勾股定理分别求出、，根据三角形的面积公式求出，计算即可． 【详解】（1）解：设与交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又∵， ， 在和中， ， ， ∴，即， （2）设与交于点，如图所示： 四边形是矩形， ，，， ∴， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， （3）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： ， ， 四边形为矩形， ，， 又∵， ， ， ， ， ， ； （4）∵将沿翻折，点落在点处得， ∴， ∴垂直平分， 过点作于点，连接交于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，即，设，则， ， ， 或（线段长的负值舍去）， ，， ， ， ， ， ． 22．如图，抛物线（b为常数）． (1)求证：抛物线L一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分居在原点的两侧； (2)当抛物线L经过点时， ①求抛物线L的顶点坐标，并直接写出抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； ②若时，函数的最大值与最小值的差总为，求n的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的跟的判别式和根与系数的关系，熟知上述性质是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，即可解答； （2）①利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； ②利用二次函数的性质，进行解答即可． 【详解】（1）证明：在中，令， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 即抛物线L一定与x轴有两个交点 设的根分别为， ， 该一元二次方程有两个异号的实数根， ∴抛物线L与x轴的两个交点分居在原点的两侧； （2）解：①抛物线L经过点， ∴抛物线L的对称轴为直线， ， 的函数表达式为． 当时，． ∴抛物线L的顶点坐标为， 当时，， 解得（负数舍去）， 抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标． ②与y轴交于点， 则点D关于直线的对称点为， 抛物线L的开口向上， ∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是， 最低点总是，两个点的竖直距离总为， 当时，函数的最大值与最小值的差总为． 23．综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为； 【分析】（1）证明，，可得； （2）①由是的切线，可得，可得，再进一步可得答案； ②如图，延长交于，交于，证明，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为，理由如下： 如图，延长交于，交于， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，，，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第二次模拟考试（广西卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 4 分，共 12 分） 13._________________ 14．___________________ 15.__________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共 7 个小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8 分） 18. （10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （10 分） (1) ______； ______， ______； 20.（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（12 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. (12 分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ = 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. (12 分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 11 ) 2025年中考第二次模拟考试（广西卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 4 分，共 12 分） 13.__ _______________ 14 ． ___________________ 15.__________________ 16 ． __________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共 7 个小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （8分） 18 . （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （10分） (1) ______； ______， ______； 20.（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21.（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( (12分) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ )= ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( (12分) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（广西卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．其中最低海拔最小的大洲是（  ） 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 2．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列事件是必然事件的是（  ） A．明天我市有雨 B．打开电视机，它正在播广告 C．你的年龄比你亲生父亲年龄小 D．中秋节的晚上，我们都能看见圆月 4．下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．《孙子算经》中记载了一个数学问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行，问：共有多少人，多少辆车？为解决此问题，设共有人，那么可列方程（    ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点G，交的延长线于点H，若，，的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 10．如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子那么，第8个图中的棋子数是（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 11．如图，四边形中，对角线，且，点E、F、G、H分别为边的中点，则四边形的面积是（　　） A．24 B．12 C．10 D．6 12．已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 2． 填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．分解因式： ． 14．谱号是现代乐谱中不可或缺的元素之一、如图，将高音谱号放入等距离的五条平行线构成的五线谱中，点分别是高音谱号与五线谱中三条直线的交点，且在同一条直线上．若，则的长为 ．    15．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，点与点关于原点对称，连接、、，则的面积为 ． 16．如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为 ． 三．解答题（本大题共7个小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）计算：； （2）解一元二次方程：． 18．某学校计划为刚结束的演讲比赛购买A，B两种奖品共20个．已知A种奖品的单价是20元，B种奖品的单价是15元 (1)如果学校共花费350元，求购买A种奖品多少个？ (2)如果学校购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，求至少购买A种奖品多少个？ 19．近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 八年级 88 89 35% (1)填空：______；______，______； (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 20．根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 21．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为________； （2）如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为_____； 【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，且，求的值． 22．如图，抛物线（b为常数）． (1)求证：抛物线L一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分居在原点的两侧； (2)当抛物线L经过点时， ①求抛物线L的顶点坐标，并直接写出抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； ②若时，函数的最大值与最小值的差总为，求n的取值范围． 23．综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$