数学（江苏扬州卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

( 11 ) 2025年中考第二次模拟考试（扬州卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 10 分，共 30 分） 9. _________________ 10 ． ___________________ 11. ________ __________ 12 ． __________________ 13. ___________________ 14. ___________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 17. __________________ _ 18. ___________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共 10 个小题，共 96 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 9 ． （8分） 20 ． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21． （8分） 22． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （10分） 24． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25.（10分） 26.（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 27.（12分） 28.（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（扬州卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．-2025的绝对值是（   ） A．2025 B．-2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：-2025的绝对值是， 故选：A． 2．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 3．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（   ）    A．     B．     C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上往下看到的图形是解题的关键．注意：可见部分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分用虚线表示．根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图），即可得到答案． 【详解】解：根据主视图可以发现，榫的顶端是一个上宽下窄的梯形， 从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形， 即榫的俯视图如下：    故选：D． 4．演讲比赛中15名评委给比赛选手成绩打分，若“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，一定不会发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差 【答案】C 【分析】本题考查的是平均数，众数，中位数，极差的含义，掌握以上基本概念是解本题的关键． 根据平均数，众数，极差，中位数的概念可得：比赛中“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，不会影响中间数排序的位置，从而可得中位数不会发生改变，而众数，平均数与极差都有可能变化，从而可得答案． 【详解】解：比赛中“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后， 可得总分发生变化，数据的个数也发生变化，所以平均数也可能发生变化， 众数也可能发生变化，极差也可能发生变化， 而最高分与最低分去掉后，不会影响中间数排序的位置，所以不会发生变化的是中位数， 故选：C． 5．《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：现有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车；若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设车有x辆，人有y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解∶根据题意，得， 故选∶B． 6．如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 【答案】A 【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌握三角形的相关性质成为解题的关键． 如图：延长相交于点E，由题意可得：，由邻补角的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，再最后根据三角形内角和定理求得即可． 【详解】解：如图：延长相交于点E， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 7．物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象和物理知识，正确从函数图象上获取所需信息成为解题的关键． 由图1可知液体1的压强大，然后根据在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大解答即可． 【详解】解：由图1结合物理知识可得：液体1的压强大， ∵在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大， ∴． 故选A． 8．已知抛物线且a，b都是常数，经点，且对于符合的任意实数，其对应的函数值始终满足．则抛物线顶点的纵坐标为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，能够理解题意，明确抛物线经过点和是解题的关键．抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线．根据题意可知，，．抛物线经过点和，不妨设该抛物线的函数表达式为，代入求得，进一步即可求得顶点的纵坐标． 【详解】解：在二次函数中，令，得， 该抛物线经过点和， 该抛物线的对称轴为直线． 点关于该对称轴对称的点的坐标是． 当时，如图， 则，， ，不符合题意，舍去； 当时， 对于符合的任意实数，，其对应的函数值，始终满足， ∴如图， 又， 抛物线交轴的负半轴， ，． 该抛物线经过点和． 不妨设该抛物线的函数表达式为． 代入，得， 解得， ， 当时，， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不等于零是解答本题的关键． 根据被开方数是非负数且分母不等于零，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 10．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握平方差公式进行分解因式是解题的关键． 利用平方差公式和已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：4． 11．年中央广播电视总台《年春节联欢晚会》的收视情况非常出色，多项数据创下新高．截至月日时，总台春晚全媒体累计触达人次，将用科学记数法表示为： ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 12．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了扇形的面积．根据扇形的面积公式直接进行计算． 【详解】解：设扇形的半径为， 则， 解得：（负值舍去）， 故答案为：3． 13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式求参数，理解一元二次方程两个相等的实数根的含义，掌握根的判别式的计算是关键． 根据，方程有两个相等的实数根即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：1 ． 14．如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，分别交、于点和点．若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再由作法得垂直平分，所以，所以，从而得到，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求的长． 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 【详解】解：连接，如图 ∵，， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴． 故答案为：6． 15．如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】10 【分析】解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示后计算即可． 【详解】解：∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为 ， ∵， ∴ ∴阴影部分的面积为10． 故答案为：10． 16．如图，将绕斜边的中点O旋转一定角度得到，已知，，则 ． 【答案】 【分析】连接，作，再说明点A，E，C，B，F共圆，进而得出，，然后根据等腰三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，即可得，再根据面积相等求出，结合题意说明四边形是矩形求出，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，连接，作，分别交于点M，H， ∵， ∴点A，E，C，B，F共圆， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 由题意，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质和判定，矩形的判定和性质，根据各点共圆得出圆周角相等是解题的关键． 17．如图，、在双曲线上，交轴于点，，轴于，若，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，连接，根据，，可知，根据轴于，可得，根据三角形的面积公式可得，又因为反比例函数的图象在第二象限，所以． 【详解】解：如下图所示，连接， ，， ， 轴于， 轴， ， 即，， 又点在双曲线上， ． 故答案为：．    18．如图，在边长为6的等边中，点P是内一点，过点P作，，，垂足分别为D，E，F，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，先判断出当时，取得最小值，求出，利用角平分线的性质得到，推出，设，则，证明，则，得到，求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∴当三点共线时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算． （2）化简： 【答案】（1）4（2） 【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，分式的混合运算： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ． 20．（8分）解不等式组并把解集在数轴上表示： 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每个不等式的解集进而求出不等式组的解集是解题的关键．先分别求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为： ， 在数轴上表示不等式组的解集为： ． 21．（8分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为分，分，分和分．现分别从七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图： 两组样本数据的平均数、中位数、众数及优秀率如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 优秀率 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； (3)若该校七年级共有学生人，请估计该校七年级成绩不低于分的学生人数． 【答案】(1)， (2)答案不唯一，见解析 (3)人 【分析】本题考查中位数、众数、平均数、优秀率以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法和意义是正确解答的关键． （1）根据平均数、众数的计算方法进行计算即可； （2）比较平均数、中位数、众数、优秀率得出答案； （3）求出七年级不低于分的人数所占的百分比即可解答． 【详解】（1）解：由扇形统计图可得（分， 由条形统计图知七年级分出现的次数最多， ． 故答案为：，； （2）解：七年级学生的安全知识竞赛成绩更好，理由如下： 因为两班平均数相同，而七年级的中位数和众数均高于八年级， 所以七年级学生的安全知识竞赛成绩更好； 或八年级学生的安全知识竞赛成绩更好，理由如下： 因为两班平均数相同，而八年级的优秀率高于七年级， 所以八年级学生的安全知识竞赛成绩更好； （3）解：（人， 答：估计该校七年级成绩不低于分的学生人数为人． 22．（8分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品．以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是___________． (2)小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传脊晚中的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一幅图片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式，用列表非或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中“C．背神竹编”的结果有种，根据概率公式计算即可； （2）列表得出所有等可能的结果以及两人恰好选中同一幅图的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中“C．背神竹编”的结果有种， 小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是； （2）解：列表如下， A B C D A B C D 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有种， 两人恰好选中同一幅图的概率为． 23．（10分）如图，在平行四边形中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、垂直平分线的性质、菱形的判定等知识，理解并掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）首先根据平行四边形的性质可得，进而可得，再结合垂直平分线的性质证明，可证明，结合全等三角形的性质即可获得答案； （2）首先证明四边形是平行四边形，再结合“邻边相等的平行四边形是菱形”，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）四边形是菱形；理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形． 24．（10分）随着科技与经济的发展，机器人自动化线的市场越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式；某化工厂要在规定时间内搬运4800千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人每小时完成的工作量是B型机器人的1.5倍，A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时．求两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ 【答案】A型机器人每小时搬运240千克化工原料，B型机器人每小时搬运160千克化工原料 【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料．根据A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时建立方程求解． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料． 根据题意，得： 解之得： 检验：当时，，且符合试题题意； 所以，原分式方程的解为， 所以，(千克)， 答：A型机器人每小时搬运240千克化工原料，B型机器人每小时搬运160千克化工原料． 25．（10分）如图，为的直径，为的弦，平分，交于点，，交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先连接，结合角平分线的定义以及等边对等角，得出，再根据，即可作答． （2）先作，垂足为，运用证明，再运用勾股定理算出，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图1所示： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点在上， 直线是的切线； （2）解：作，垂足为，如图2所示： ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 26．（10分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画出中边上的中线． (2)在图②中，在边上找到一点，连接，使． (3)在图③中，在边上找到一点，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取的中点，连接即可． （2）取格点，，使，，，连接交于点，则点即为所求． （3）取格点，使，，取与网格线的交点，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：如图②，取格点，，使，，，连接交于点，连接， 则， ， ， 则点即为所求． （3）解：如图③，取格点，使，，取与网格线的交点， 则， 即， 连接交于点， ， 则点即为所求． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 27．（12分）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、都是“基准偶和点”． (1)下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是_____________；（填序号） ① ② ③ ④ (2)在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，求反比例函数的解析式； (3)已知抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式； (4)抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令，是否存在一个常数，使得当时，有最小值恰好等于，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①④ (2) (3) (4)或 【分析】（1）利用“基准偶和点”的概念作答即可； （2）依题意得方程组只有一组解，继而推出有两个相等的实数根，利用根的判别式即可得出答案； （3）由题意得，得，由抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，列立方程组求解即可； （4）抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，可得，进而可得，再根据二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：依据“基准偶和点”定义知：， ①联立得：， 解得：， ∴直线只有一个“基准偶和点”； ②联立得：， ∴， ∵， ∴方程无实数根， ∴此方程组无解； ③联立得：， 此方程组无解； ④联立得：， 解得：； ∴函数图象上只有一个“基准偶和点”的是①④， 故答案为：①④； （2）依据“基准偶和点”定义知：， 联立得：， ∴，即， ∵在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （3）依据“基准偶和点”定义知：， 联立得：， 解得：， ∵抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”， ∴，即， ∴， ∴， 联立得：， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为； （4）依据“基准偶和点”定义知：， 联立得：， ∴，即， ∵抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”， ∴，即， ∴， ①当时，即时，在时取得最小值， ∴， 解得：或（舍去）； ②当，在时取得最小值， ∴，即； ③当时，在时取得最小值， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，点的坐标和二次函数的最值，新定义“基准偶和点”的理解和运用，能够根据题干当中的定义灵活运用二次函数的相关知识是解题的关键． 28．（12分）如图，四边形，，， E、F分别为、上的动点． (1)如图1，已知：，；则DE的长为 （用a表示） (2)如图2，已知：，；求：当取得最小值时的值（用b表示） (3)如图3，已知：G为上一点，，，、分别为和的角平分线，N为线段上的动点，，垂足为M，，，求：当取最小值时，求的值（用c，d表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据四边形内角和为可求出，进而求出，然后根据含角的直角三角形的性质求解即可； （2）延长至点H，使，连接，，证明，得出，则，故当、、三点共线时，取最小值为，然后证明，得出，即可求解； （3）根据三角形内角和定理、角平分线的定义可求出，，，作H关于的对称点，连接，，，延长、，相交于P，过作于，证明是等边三角形，得出，，进而求出，证明是等边三角形，可求出，根据，可知当、N、M三点共线，且，即M和重合时，最小，然后求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长至点H，使，连接，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，取最小值为， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵、分别为和的角平分线， ∴，， 作H关于的对称点，连接，，，延长、，相交于P，过作于， 则，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当、N、M三点共线，且，即M和重合时，最小， ∵，， ∴， ∴， 即当取最小值时，的值为． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，四边形的内角和为，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称性等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第二次模拟考试（扬州卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 10 分，共 30 分） 9. _________________ 10．___________________ 11. __________________ 12．__________________ 13.___________________ 14. ___________________ 15.___________________ 16. ___________________ 17.___________________ 18. ___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 10 个小题，共 96 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8 分） 20．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8 分） 22．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 24．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（10 分） 26.（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（12 分） 28.（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考第二次模拟考试（扬州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．-2025的绝对值是（   ） A．2025 B．-2025 C． D． 2．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（   ）    A．     B．     C．   D．   4．演讲比赛中15名评委给比赛选手成绩打分，若“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，一定不会发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差 5．《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：现有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车；若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设车有x辆，人有y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 7．物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线且a，b都是常数，经点，且对于符合的任意实数，其对应的函数值始终满足．则抛物线顶点的纵坐标为（） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．在函数中，自变量的取值范围是 ． 10．若，则 ． 11．年中央广播电视总台《年春节联欢晚会》的收视情况非常出色，多项数据创下新高．截至月日时，总台春晚全媒体累计触达人次，将用科学记数法表示为： ． 12．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为 ． 13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 14．如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，分别交、于点和点．若，则的长为 ． 15．如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，则图2中的阴影部分面积为 ． 16．如图，将绕斜边的中点O旋转一定角度得到，已知，，则 ． 17．如图，、在双曲线上，交轴于点，，轴于，若，则 ．    18．如图，在边长为6的等边中，点P是内一点，过点P作，，，垂足分别为D，E，F，连接，若，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算； （2）化简：． 20．（8分）解不等式组并把解集在数轴上表示：． 21．（8分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为分，分，分和分．现分别从七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图： 两组样本数据的平均数、中位数、众数及优秀率如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 优秀率 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； (3)若该校七年级共有学生人，请估计该校七年级成绩不低于分的学生人数． 22．（8分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品．以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是___________． (2)小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传脊晚中的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一幅图片的概率． 23．（10分）如图，在平行四边形中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 24．（10分）随着科技与经济的发展，机器人自动化线的市场越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式；某化工厂要在规定时间内搬运4800千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人每小时完成的工作量是B型机器人的1.5倍，A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时．求两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ 25．（10分）如图，为的直径，为的弦，平分，交于点，，交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，的半径为，求的长． 26．（10分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画出中边上的中线． (2)在图②中，在边上找到一点，连接，使． (3)在图③中，在边上找到一点，连接，使． 27．（12分）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、都是“基准偶和点”． (1)下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是_____________；（填序号） ① ② ③ ④ (2)在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，求反比例函数的解析式； (3)已知抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式； (4)抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令，是否存在一个常数，使得当时，有最小值恰好等于，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 28．（12分）如图，四边形，，， E、F分别为、上的动点． (1)如图1，已知：，；则DE的长为 ．（用a表示） (2)如图2，已知：，；求：当取得最小值时的值（用b表示） (3)如图3，已知：G为上一点，，，、分别为和的角平分线，N为线段上的动点，，垂足为M，，，求：当取最小值时，求的值．（用c，d表示） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（扬州卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 A A D C B A A A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9． 10．4 11． 12．3 13．1 14．6 15．10 16． 17． 18． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ． 20．（8分） 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为： ， 在数轴上表示不等式组的解集为： ． 21．（8分） 【详解】（1）解：由扇形统计图可得（分， 由条形统计图知七年级分出现的次数最多， ． 故答案为：，； （2）解：七年级学生的安全知识竞赛成绩更好，理由如下： 因为两班平均数相同，而七年级的中位数和众数均高于八年级， 所以七年级学生的安全知识竞赛成绩更好； 或八年级学生的安全知识竞赛成绩更好，理由如下： 因为两班平均数相同，而八年级的优秀率高于七年级， 所以八年级学生的安全知识竞赛成绩更好； （3）解：（人， 答：估计该校七年级成绩不低于分的学生人数为人． 22．（8分） 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中“C．背神竹编”的结果有种， 小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是； （2）解：列表如下， A B C D A B C D 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有种， 两人恰好选中同一幅图的概率为． 23．（10分） 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）四边形是菱形；理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形． 24．（10分） 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料． 根据题意，得： 解之得： 检验：当时，，且符合试题题意； 所以，原分式方程的解为， 所以，(千克)， 答：A型机器人每小时搬运240千克化工原料，B型机器人每小时搬运160千克化工原料． 25．（10分） 【详解】（1）解：连接，如图1所示： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点在上， 直线是的切线； （2）解：作，垂足为，如图2所示： ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 26．（10分） 【详解】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：如图②，取格点，，使，，，连接交于点，连接， 则， ， ， 则点即为所求． （3）解：如图③，取格点，使，，取与网格线的交点， 则， 即， 连接交于点， ， 则点即为所求． 27．（12分） 【详解】（1）解：依据“基准偶和点”定义知：， ①联立得：， 解得：， ∴直线只有一个“基准偶和点”； ②联立得：， ∴， ∵， ∴方程无实数根， ∴此方程组无解； ③联立得：， 此方程组无解； ④联立得：， 解得：； ∴函数图象上只有一个“基准偶和点”的是①④， 故答案为：①④； （2）依据“基准偶和点”定义知：， 联立得：， ∴，即， ∵在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （3）依据“基准偶和点”定义知：， 联立得：， 解得：， ∵抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”， ∴，即， ∴， ∴， 联立得：， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为； （4）依据“基准偶和点”定义知：， 联立得：， ∴，即， ∵抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”， ∴，即， ∴， ①当时，即时，在时取得最小值， ∴， 解得：或（舍去）； ②当，在时取得最小值， ∴，即； ③当时，在时取得最小值， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 28．（12分） 【详解】（1）解：∵四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长至点H，使，连接，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，取最小值为， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵、分别为和的角平分线， ∴，， 作H关于的对称点，连接，，，延长、，相交于P，过作于， 则，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当、N、M三点共线，且，即M和重合时，最小， ∵，， ∴， ∴， 即当取最小值时，的值为． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试（扬州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．-2025的绝对值是（   ） A．2025 B．-2025 C． D． 2．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（   ）    A．     B．     C．   D．   4．演讲比赛中15名评委给比赛选手成绩打分，若“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，一定不会发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差 5．《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：现有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车；若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设车有x辆，人有y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 7．物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线且a，b都是常数，经点，且对于符合的任意实数，其对应的函数值始终满足．则抛物线顶点的纵坐标为（） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．在函数中，自变量的取值范围是 ． 10．若，则 ． 11．年中央广播电视总台《年春节联欢晚会》的收视情况非常出色，多项数据创下新高．截至月日时，总台春晚全媒体累计触达人次，将用科学记数法表示为： ． 12．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为 ． 13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 14．如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，分别交、于点和点．若，则的长为 ． 15．如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，则图2中的阴影部分面积为 ． 16．如图，将绕斜边的中点O旋转一定角度得到，已知，，则 ． 17．如图，、在双曲线上，交轴于点，，轴于，若，则 ．    18．如图，在边长为6的等边中，点P是内一点，过点P作，，，垂足分别为D，E，F，连接，若，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算； （2）化简：． 20．（8分）解不等式组并把解集在数轴上表示：． 21．（8分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为分，分，分和分．现分别从七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图： 两组样本数据的平均数、中位数、众数及优秀率如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 优秀率 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； (3)若该校七年级共有学生人，请估计该校七年级成绩不低于分的学生人数． 22．（8分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品．以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是___________． (2)小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传脊晚中的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一幅图片的概率． 23．（10分）如图，在平行四边形中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 24．（10分）随着科技与经济的发展，机器人自动化线的市场越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主要方式；某化工厂要在规定时间内搬运4800千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机器人每小时完成的工作量是B型机器人的1.5倍，A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时．求两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ 25．（10分）如图，为的直径，为的弦，平分，交于点，，交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，的半径为，求的长． 26．（10分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画出中边上的中线． (2)在图②中，在边上找到一点，连接，使． (3)在图③中，在边上找到一点，连接，使． 27．（12分）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、都是“基准偶和点”． (1)下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是_____________；（填序号） ① ② ③ ④ (2)在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，求反比例函数的解析式； (3)已知抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式； (4)抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令，是否存在一个常数，使得当时，有最小值恰好等于，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 28．（12分）如图，四边形，，， E、F分别为、上的动点． (1)如图1，已知：，；则DE的长为 ．（用a表示） (2)如图2，已知：，；求：当取得最小值时的值（用b表示） (3)如图3，已知：G为上一点，，，、分别为和的角平分线，N为线段上的动点，，垂足为M，，，求：当取最小值时，求的值．（用c，d表示） 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$