数学（江苏宿迁卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

( 11 ) 2025年中考第二次模拟考试（宿迁卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 10 分，共 30 分） 9. _________________ 10 ． ___________________ 11. ________ __________ 12 ． __________________ 13. ___________________ 14. ___________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 17. __________________ _ 18. ___________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共 10 个小题，共 96 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 9 ． （8分） 20 ． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21． （8分） 22． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （10分） 24． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25.（10分） 26.（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 27.（12分） 28.（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第二次模拟考试（宿迁卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 10 分，共 30 分） 9. _________________ 10．___________________ 11. __________________ 12．__________________ 13.___________________ 14. ___________________ 15.___________________ 16. ___________________ 17.___________________ 18. ___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 10 个小题，共 96 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8 分） 20．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8 分） 22．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 24．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（10 分） 26.（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（12 分） 28.（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试（宿迁卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（   ） A． B． C．2025 D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”及其主视图与俯视图，则它的左视图为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线和直线分别经过三角板的一个锐角顶点和直角顶点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．学校要求学生每天坚持体育锻炼．吴亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于吴亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（   ） A．平均数为73分钟 B．众数为88分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为25平方分钟 6．甲和乙两人玩“打弹珠”游戏，甲对乙说：“把你一半的弹珠给我，我就有35颗弹珠．”乙说：“把你弹珠的给我，我就有40颗弹珠．”若设乙有颗弹珠，甲有颗弹珠，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 8．在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 10．分解因式： ． 11．2025年政府工作报告指出2024年全国经济运行总体平稳、稳中有进，国内生产总值达到134.9万亿元、增长，将数据万用科学记数法表示为 ． 12．若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 m． 13．如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点F，交于点E，分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为 ． 14．如图，在中，直径与弦的交点为E，．若，则 ． 15．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 16．如图，鲁洛克斯三角形（鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”，它分别以正的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形）中，线段，则鲁洛克斯三角形的面积为 ． 17．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ． 18．如图，在五边形中，，，，，，点和点分别为边上的动点，，连接，当面积取得最小值时，的长为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：． 20．（8分）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 21． （8分）为积极响应并切实落实“双减”政策，我校精心策划并组织了丰富多彩的社团活动，旨在充实和活跃学生的课余生活，促进学生全面发展．为精准把握全校学生参与学校五个特色社团的意向，学校采用随机抽样的方式，选取了40名学生展开问卷调查．此次调查规定，每位学生仅能从五个社团中挑选一个．目前，问卷调查结果已初步整理，但统计图表尚不完善，请你进一步补充与完善． 社团名称 A（架子鼓） B（乒乓球） C（手工制作） D（播音主持） E（舞蹈） 人数/人 4 m 16 n 4 请你根据以上信息结合统计图解答下列问题： (1)填空：______；______；______；请补全条形统计图． (2)在抽样调查中，参加5个社团的人数的众数为______；扇形统计图中扇形B的圆心角是______度； (3)若全校有1800名学生，估计全校约有多少名学生愿意参加乒乓球或手工制作社团？ 22． （8分）某超市为“庆元旦”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“国是家、孝为先、善作魂”（除图案外都相同）分别对应价值为25元、20元、15元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______； (2)如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于40元的概率． 23． （10分）如图，点E在的对角线的延长线上，，于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形是面积． 24． （10分）某体育用品商店购进一批大连英博足球队球衣，每件的进价为80元，出于营销考虑，要求每件球衣的售价不低于80元且不高于150元，在销售过程中发现，球衣每周的销售量y（件）与每件球衣的售价（元）之间满足的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式及的取值范围； (2)球衣的销售单价定为多少元时，每周销售球衣所获利润最大？最大利润是多少元？ 25． （10分）大连森林动物园坐落于大连市南部海滨白云山风景区内，如图是大连森林动物园内的海达索道，大连能看到海的索道．如图是从莲花山观景台到南门一段索道的示意图，点为莲花山观景台，点是海达索道在南门的停靠点．从山脚处看处的仰角为，从处看处的俯角为，点与点之间的距离，点到山脚的距离． (1)求点到山脚的距离； (2)求的长（结果精确到）．（参考数据：） 26． （10分）如图，中，为中点，是的外接圆． (1)求和的长； (2)利用尺规作图，过点作线段垂线，交于点，保留作图痕迹； (3)求的半径． 27． （12分）若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”． 【概念理解】 （1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________． 【性质探究】 （2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”． 【拓展应用】 （3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长． 28． （12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为拋物线上一点，且横坐标为1，连接，． (1)求拋物线的解析式； (2)如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，点为轴上一个动点．过点作交于点，连接交于点．当最大时，求的最大值． (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为平移后抛物线上一点，，连接，．点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的（点，，的对应点分别为点，，）．若中恰有两个点落在平移后的抛物线上（点不与点重合），求点的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（宿迁卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（   ） A． B． C．2025 D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”及其主视图与俯视图，则它的左视图为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线和直线分别经过三角板的一个锐角顶点和直角顶点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．学校要求学生每天坚持体育锻炼．吴亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于吴亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（   ） A．平均数为73分钟 B．众数为88分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为25平方分钟 6．甲和乙两人玩“打弹珠”游戏，甲对乙说：“把你一半的弹珠给我，我就有35颗弹珠．”乙说：“把你弹珠的给我，我就有40颗弹珠．”若设乙有颗弹珠，甲有颗弹珠，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 8．在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 10．分解因式： ． 11．2025年政府工作报告指出2024年全国经济运行总体平稳、稳中有进，国内生产总值达到134.9万亿元、增长，将数据万用科学记数法表示为 ． 12．若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 m． 13．如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点F，交于点E，分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为 ． 14．如图，在中，直径与弦的交点为E，．若，则 ． 15．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 16．如图，鲁洛克斯三角形（鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”，它分别以正的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形）中，线段，则鲁洛克斯三角形的面积为 ． 17．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ． 18．如图，在五边形中，，，，，，点和点分别为边上的动点，，连接，当面积取得最小值时，的长为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：． 20．（8分）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 21． （8分）为积极响应并切实落实“双减”政策，我校精心策划并组织了丰富多彩的社团活动，旨在充实和活跃学生的课余生活，促进学生全面发展．为精准把握全校学生参与学校五个特色社团的意向，学校采用随机抽样的方式，选取了40名学生展开问卷调查．此次调查规定，每位学生仅能从五个社团中挑选一个．目前，问卷调查结果已初步整理，但统计图表尚不完善，请你进一步补充与完善． 社团名称 A（架子鼓） B（乒乓球） C（手工制作） D（播音主持） E（舞蹈） 人数/人 4 m 16 n 4 请你根据以上信息结合统计图解答下列问题： (1)填空：______；______；______；请补全条形统计图． (2)在抽样调查中，参加5个社团的人数的众数为______；扇形统计图中扇形B的圆心角是______度； (3)若全校有1800名学生，估计全校约有多少名学生愿意参加乒乓球或手工制作社团？ 22． （8分）某超市为“庆元旦”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“国是家、孝为先、善作魂”（除图案外都相同）分别对应价值为25元、20元、15元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______； (2)如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于40元的概率． 23． （10分）如图，点E在的对角线的延长线上，，于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形是面积． 24． （10分）某体育用品商店购进一批大连英博足球队球衣，每件的进价为80元，出于营销考虑，要求每件球衣的售价不低于80元且不高于150元，在销售过程中发现，球衣每周的销售量y（件）与每件球衣的售价（元）之间满足的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式及的取值范围； (2)球衣的销售单价定为多少元时，每周销售球衣所获利润最大？最大利润是多少元？ 25． （10分）大连森林动物园坐落于大连市南部海滨白云山风景区内，如图是大连森林动物园内的海达索道，大连能看到海的索道．如图是从莲花山观景台到南门一段索道的示意图，点为莲花山观景台，点是海达索道在南门的停靠点．从山脚处看处的仰角为，从处看处的俯角为，点与点之间的距离，点到山脚的距离． (1)求点到山脚的距离； (2)求的长（结果精确到）．（参考数据：） 26． （10分）如图，中，为中点，是的外接圆． (1)求和的长； (2)利用尺规作图，过点作线段垂线，交于点，保留作图痕迹； (3)求的半径． 27． （12分）若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”． 【概念理解】 （1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________． 【性质探究】 （2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”． 【拓展应用】 （3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长． 28． （12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为拋物线上一点，且横坐标为1，连接，． (1)求拋物线的解析式； (2)如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，点为轴上一个动点．过点作交于点，连接交于点．当最大时，求的最大值． (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为平移后抛物线上一点，，连接，．点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的（点，，的对应点分别为点，，）．若中恰有两个点落在平移后的抛物线上（点不与点重合），求点的坐标． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（宿迁卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键． 只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C ． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的相关运算，根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方运算法则逐项判定即可． 【详解】解：A、，故本选项的计算错误； B、，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D 3．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”及其主视图与俯视图，则它的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握从几何体左侧看到的图形是左视图成为解题的关键． 根据左视图的定义以及三视图中看不见的线条用虚线表示即可解答． 【详解】解：其左视图是一个矩形，且中间有两条虚线，即 故选：D． 4．如图，直线，直线和直线分别经过三角板的一个锐角顶点和直角顶点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，三角板的意义，结合角的和差解答即可． 本题考查了平行线的性质，三角板的意义，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图，∵直线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．学校要求学生每天坚持体育锻炼．吴亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于吴亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（   ） A．平均数为73分钟 B．众数为88分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为25平方分钟 【答案】A 【分析】此题考查了平均数、众数、中位数、方差．分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断． 【详解】解：平均数为（分钟）， 7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟， 在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟， 方差为： ， 观察四个选项，选项A正确，符合题意，选项B、C、D错误，不符合同意． 故选：A． 6．甲和乙两人玩“打弹珠”游戏，甲对乙说：“把你一半的弹珠给我，我就有35颗弹珠．”乙说：“把你弹珠的给我，我就有40颗弹珠．”若设乙有颗弹珠，甲有颗弹珠，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组（根据实际问题列二元一次方程组），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程组是解题的关键． 根据题意即可直接得出答案． 【详解】解：由题意，可列方程组为： ， 故选：． 7．小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（　　） A．函数图象的对称中心是 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数有最小值，且最小值为4 D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象及性质，将函数变形为，因此该函数图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，根据由函数的图象逐项判断即可． 【详解】解：∵函数可变形为， ∴函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到， ∵函数的图象的对称中心为原点， ∴函数的图象的对称中心为，故A选项错误； ∵由图可知，函数在时，不存在连续的增减性， ∴函数的图象在时，不存在连续的增减性，故B选项错误； ∵由图象可知，函数图象在时，有最低点，即存在最小值， ∵， 即当时，由最小值，为2， ∴函数在时，有最小值，为， ∴函数在时，由最小值，为，故C选项正确； ∵由函数与函数，可得， 即， 解得，， ∴二次函数的图象与函数的图象有2个不同的公共点，故D选项错误． 故选：C 8．在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、一次函数的图象，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．先利用一元二次方程根的判别式可得一元二次方程有两个不相等的实数根，从而可得函数的图象与轴有2个交点，即，再分两种情况：①当，且中有一个数等于0时，②当，且均不等于0时，利用一次函数的图象、一元二次方程根的判别式可得的值，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根， ∴函数的图象与轴有2个交点，即． ①当，且中有一个数等于0时，则，， ∴函数的解析式为，其图象与轴有1个交点，即， ∴此时； ②当，且均不等于0时，则， 一元二次方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根， ∴函数的图象与轴有2个交点，即， ∴此时； 综上，或， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数要大于等于零求出x取值范围即可． 【详解】解∶根据题意，得， 解得， 故答案为∶． 10．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 11．2025年政府工作报告指出2024年全国经济运行总体平稳、稳中有进，国内生产总值达到134.9万亿元、增长，将数据万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．将134.9万写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：万． 故答案为：． 12．若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 m． 【答案】0.1 【分析】本题考查了圆锥的侧面展图与圆的关系，解题的关键是明确圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的圆的周长．先计算半圆的弧长，再根据圆锥底面周长等于此弧长求出圆锥底面的半径． 【详解】解：半圆的半径为， 半圆的弧长为， 圆锥底面的周长为， 设圆锥底面半径为，则， 解得，， 故答案为． 13．如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点F，交于点E，分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、作图—作角平分线，由勾股定理可得，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 如图，作于， ， 由作图可得：平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，直径与弦的交点为E，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形外角的性质．正确运用所学的性质是解题的关键．连接，由可得，则，根据条件可求出的度数，由圆周角定理可得的度数． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故答案为：40． 15．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质 是解题关键． 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得 ②； 联立可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， ∴此时的解析式为 将代入可得 解得 ， 故答案为：． 16．如图，鲁洛克斯三角形（鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”，它分别以正的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形）中，线段，则鲁洛克斯三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 首先根据等边三角形的性质得出，，再利用扇形公式求出、、，过顶点作于点，根据三线合一和勾股定理，求出．最后利用即可求出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， 如图，过顶点作于点． ∴， ， ∴， 勒洛三角形的面积为 故答案为：． 17．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 18．如图，在五边形中，，，，，，点和点分别为边上的动点，，连接，当面积取得最小值时，的长为 ． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点P，延长至点Q，连接，使得，先证明四边形是矩形，再证明，设，则，，利用，求出，根据，求出当取最小值，即取最小值时，的面积取得最小值，求出，再求出，再求出，利用相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点P，延长至点Q，连接，使得， ∵，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴点是的中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当取最小值，的面积取得最小值， ∴取最小值时，的面积取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，面积的最小值为， 此时，，即， 解得：， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理，争嘴作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数的混合运算、负整数次幂、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先运用乘方、特殊角的三角函数值、负整数次幂化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 20．（8分）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 先根据整式乘法运算法则计算，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 因为， 所以， 所以原式． 21． （8分）为积极响应并切实落实“双减”政策，我校精心策划并组织了丰富多彩的社团活动，旨在充实和活跃学生的课余生活，促进学生全面发展．为精准把握全校学生参与学校五个特色社团的意向，学校采用随机抽样的方式，选取了40名学生展开问卷调查．此次调查规定，每位学生仅能从五个社团中挑选一个．目前，问卷调查结果已初步整理，但统计图表尚不完善，请你进一步补充与完善． 社团名称 A（架子鼓） B（乒乓球） C（手工制作） D（播音主持） E（舞蹈） 人数/人 4 m 16 n 4 请你根据以上信息结合统计图解答下列问题： (1)填空：______；______；______；请补全条形统计图． (2)在抽样调查中，参加5个社团的人数的众数为______；扇形统计图中扇形B的圆心角是______度； (3)若全校有1800名学生，估计全校约有多少名学生愿意参加乒乓球或手工制作社团？ 【答案】(1)12，4，10 (2)4， (3)估计全校约有名学生愿意参加乒乓球或手工制作社团 【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图和用样本估计总体，学会从统计图中获取信息是解题的关键， （1）总抽查人数，，，然后补全条形图即可得解； （2）由众数的定义即可得解，由扇形统计图计算即可得解； （3）全校愿意参加乒乓球或手工制作社团的学生有：，计算即可． 【详解】（1）解：由题可知，（人），(人)，， 补全的条形统计图如下： 故答案为：12，4，10； （2）解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数据， ∴在这组数据中，出现的次数最多， ∴参加5个社团的人数的众数是， 由扇形统计图知，的圆心角是：， 故答案为：4，； （3）解：(人)， 答：估计全校约有名学生愿意参加乒乓球或手工制作社团． 22． （8分）某超市为“庆元旦”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“国是家、孝为先、善作魂”（除图案外都相同）分别对应价值为25元、20元、15元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______； (2)如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于40元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明两次所获奖品总值不低于40元的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种， 小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为． 故答案为：． （2）解：将这三张卡片分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中小明两次所获奖品总值不低于40元的结果有：，，，，，，共6种， 小明两次所获奖品总值不低于40元的概率为． 23． （10分）如图，点E在的对角线的延长线上，，于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形是面积． 【答案】(1)见解析 (2)128 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出，再证和全等，得出，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形是菱形； （2）分别求出、的长，即可得出对角线、的长，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， ， ，即， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 24． （10分）某体育用品商店购进一批大连英博足球队球衣，每件的进价为80元，出于营销考虑，要求每件球衣的售价不低于80元且不高于150元，在销售过程中发现，球衣每周的销售量y（件）与每件球衣的售价（元）之间满足的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式及的取值范围； (2)球衣的销售单价定为多少元时，每周销售球衣所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为140元时，每周销售球衣所获利润最大，最大利润为3600元 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用． （1）利用待定系数法解答即可； （2）将y与x之间的函数关系式代入，根据二次函数的图象及x的取值范围计算即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为：， 代入，得， 解得， 即关于的函数关系式为； （2）解：设每周销售球衣所获利润为元，根据题意得， ， ， ∴有最大值， ， ∴当时，取最大值， 答：当销售单价为140元时，每周销售球衣所获利润最大，最大利润为3600元． 25． （10分）大连森林动物园坐落于大连市南部海滨白云山风景区内，如图是大连森林动物园内的海达索道，大连能看到海的索道．如图是从莲花山观景台到南门一段索道的示意图，点为莲花山观景台，点是海达索道在南门的停靠点．从山脚处看处的仰角为，从处看处的俯角为，点与点之间的距离，点到山脚的距离． (1)求点到山脚的距离； (2)求的长（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1)点到山脚的距离约为 (2)的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过作于，则，在中，由即可解答； （2）过作于，证明四边形是矩形，所以，求得，由得，在中，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于，则， 在中，， ， 答：点到山脚的距离约为； （2）解：如图，过作于，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 答：的长约为． 26． （10分）如图，中，为中点，是的外接圆． (1)求和的长； (2)利用尺规作图，过点作线段垂线，交于点，保留作图痕迹； (3)求的半径． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)的半径为 【分析】本题主要考查圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）证明即可得出答案； （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线傻即可； （3）连接并延长交于点F，连接，在中，求出，设，则，，运用勾股定理求出，，解直角三角形求出即可得解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴, ∵，为中点， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （2）解：如图，即为所作： （3）解：连接并延长交于点F，连接， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； 设，则，， 在中，， ∴ 解得，，（舍去）， ∴，， ∵和都是所对的圆周角， ∴ ∵为的直径， ∴， ∴， ∴ ∴的半径为 27． （12分）若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”． 【概念理解】 （1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________． 【性质探究】 （2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”． 【拓展应用】 （3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）或 （2）见解析 （3）或 【分析】（1）分两种情况讨论：情况一：点与点在同侧；情况二：点与点在异侧；计算即可解答； （2）证明得，，再结合均为等腰三角形，其中，即可得证； （3）分两种情况讨论：当点在线段上时，如解图所示，连接；当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接；综上即可解答． 【详解】． 解：（1）情况一：点与点在同侧， 点、 关于互为“唯美点”，且， ， 又点在线段的垂直平分线上， ，， ，， 则； 情况二：点与点在异侧， 点、 关于互为“唯美点”，且， ， 又点在线段的垂直平分线上， ，， ，， 由于、在异侧， ； 综上所述，或， 故答案为：或； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ， 又均为等腰三角形，其中， 点与点关于互为“唯美点”； （3）当点在线段上时，如解图所示，连接， 点与点关于互为“唯美点”， ， ， 又， ， 设， ，， ， ， 在中，， 即， 解得， ； 当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接， 同理，可得， 设，则， ， 在中，， 即， 解得， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 28． （12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为拋物线上一点，且横坐标为1，连接，． (1)求拋物线的解析式； (2)如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，点为轴上一个动点．过点作交于点，连接交于点．当最大时，求的最大值． (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为平移后抛物线上一点，，连接，．点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的（点，，的对应点分别为点，，）．若中恰有两个点落在平移后的抛物线上（点不与点重合），求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于，则，求出，得出，设，则，，证明，，由相似三角形的性质结合二次函数的性质得出 当时，有最大值，此时，由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，最后由勾股定理计算即可得解； （3）求出直线的解析式为，设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，求出平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线，从而可得，设点的坐标为，由旋转的性质可得点为、、的中点，从而可得，，，再分三种情况：当点、在平移后的抛物线上时；当点、在平移后的抛物线上时；当点、在平移后的抛物线上时，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点为拋物线上一点，且横坐标为1， ∴当时，，即， 设的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于， 则， 在中，当时，，即， ∴， 设，则，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时，即， 由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，由勾股定理可得 （3）解：， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移， ∴设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵平移后的拋物线经过点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线， ∵为平移后抛物线上一点， ∴，即， 设点的坐标为， ∵点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的， ∴点为、、的中点， ∴，，， ∵中恰有两个点落在平移后的抛物线上， ∴当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时； 当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时，与点重合，故不符合题意，舍去； 当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—相似三角形的判定与性质、旋转的性质、求一次函数解析式、二次函数图象的平移等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（宿迁卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D A A A C C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9． 10． 11． 12．0.1 13． 14． 15． 16． 17．/ 18． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 【详解】解： ． 20．（8分） 【详解】解：原式 ． 因为， 所以， 所以原式． 21． （8分） 【详解】（1）解：由题可知，（人），(人)，， 补全的条形统计图如下： 故答案为：12，4，10； （2）解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数据， ∴在这组数据中，出现的次数最多， ∴参加5个社团的人数的众数是， 由扇形统计图知，的圆心角是：， 故答案为：4，； （3）解：(人)， 答：估计全校约有名学生愿意参加乒乓球或手工制作社团． 22． （8分） 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种， 小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为． 故答案为：． （2）解：将这三张卡片分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中小明两次所获奖品总值不低于40元的结果有：，，，，，，共6种， 小明两次所获奖品总值不低于40元的概率为． 23． （10分） 【详解】（1）证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， ， ，即， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 24． （10分） 【详解】（1）解：设与的函数关系式为：， 代入，得， 解得， 即关于的函数关系式为； （2）解：设每周销售球衣所获利润为元，根据题意得， ， ， ∴有最大值， ， ∴当时，取最大值， 答：当销售单价为140元时，每周销售球衣所获利润最大，最大利润为3600元． 25． （10分） 【详解】（1）解：如图，过作于，则， 在中，， ， 答：点到山脚的距离约为； （2）解：如图，过作于，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 答：的长约为． 26． （10分） 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴, ∵，为中点， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （2）解：如图，即为所作： （3）解：连接并延长交于点F，连接， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； 设，则，， 在中，， ∴ 解得，，（舍去）， ∴，， ∵和都是所对的圆周角， ∴ ∵为的直径， ∴， ∴， ∴ ∴的半径为 27． （12分） 【详解】解：（1）情况一：点与点在同侧， 点、 关于互为“唯美点”，且， ， 又点在线段的垂直平分线上， ，， ，， 则； 情况二：点与点在异侧， 点、 关于互为“唯美点”，且， ， 又点在线段的垂直平分线上， ，， ，， 由于、在异侧， ； 综上所述，或， 故答案为：或； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ， 又均为等腰三角形，其中， 点与点关于互为“唯美点”； （3）当点在线段上时，如解图所示，连接， 点与点关于互为“唯美点”， ， ， 又， ， 设， ，， ， ， 在中，， 即， 解得， ； 当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接， 同理，可得， 设，则， ， 在中，， 即， 解得， ， 综上所述，的长为或． 28． （12分） 【详解】（1）解：将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点为拋物线上一点，且横坐标为1， ∴当时，，即， 设的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于， 则， 在中，当时，，即， ∴， 设，则，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时，即， 由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，由勾股定理可得 （3）解：， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移， ∴设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵平移后的拋物线经过点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线， ∵为平移后抛物线上一点， ∴，即， 设点的坐标为， ∵点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的， ∴点为、、的中点， ∴，，， ∵中恰有两个点落在平移后的抛物线上， ∴当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时； 当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时，与点重合，故不符合题意，舍去； 当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为或． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$