专题3.1 条件概率，全概率与贝叶斯公式，马尔科夫链【17类题型】- 【重难点突破】2024-2025学年高二数学·人教A版2019选择性必修第三册·热点题型专练

【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 专题3-1 条件概率，全概率与贝叶斯公式，马尔科夫链 总览 题型·解读 模块一 条件概率 【题型1】利用定义求条件概率 【题型2】“条件概率”与“交事件的概率”区分 【题型3】古典概型中的条件概率 【题型4】分配问题与条件概率 【题型5】条件概率的性质及应用 【题型6】条件概率与互斥，对立，相互独立事件的判定与综合运用 模块二 全概率公式与贝叶斯公式 【题型7】用全概率公式求概率 【题型8】贝叶斯公式及其应用 【题型9】贝叶斯公式与全概率公式的区分与综合运用 【题型10】三门问题 模块三 全概率公式与递推数列（马尔科夫链） 【题型11】传球模型 【题型12】状态转移模型 【题型13】赌徒破产模型 【题型14】循环摸球模型 【题型15】随机前进模型 【题型16】稳态分布模型 【题型17】随机游走模型 【课后巩固】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 条件概率 【题型1】利用定义求条件概率 基础知识 条件概率定义：设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则. 典型例题 【例题1】我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件为“两位游客选择的景点相同”，则等于（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）小张､小王两人计划报兴趣班，他们分别从“篮球､书法､游泳､钢琴”这四个兴趣班中随机选择一个，记事件为“两人至少有一人选择篮球”，事件为“两人选择的兴趣班不同”，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是 . 【巩固练习2】小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是 . 【巩固练习3】（23-24高二下·广东惠州·期中）（多选）袋中有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个蓝球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件，“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】“条件概率”与“交事件的概率”区分 基础知识 设A，B为两个随机事件 条件概率：为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率. 交事件的概率：即同时发生的概率： 典型例题 【例题1】经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ） A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75 巩固练习 题型 【巩固练习1】小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高二下·广东云浮·期中）数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（    ） A． B． C． D． 【题型3】古典概型中的条件概率 基础知识 对于古典概型类，可以采用基本事件总数的方法来计算：即，其中N(AB)表示事件AB所包含的基本事件个数。N(A)表示事件A包含的基本事件个数. 典型例题 【例题1】（23-24高二下·浙江·期中）已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【例题2】从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】从3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.25 D．0.125 【巩固练习2】（23-24高二下·湖北十堰·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为________． 【题型4】分配问题与条件概率 基础知识 条件概率与分组分配问题结合，属于特殊的古典概型，并且一般会附加特殊条件限制 典型例题 【例题1】我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（       ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高二下·湖北武汉·期中）（多选）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（    ） A．四名同学的报名情况共有种 B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种 C．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】在学校春季运动会中，甲､乙､丙､丁4名同学被安排到跳远､跳高､迎面接力这三个比赛项目参加志愿服务，每个项目至少安排一个人，且每个人只能参与其中一个项目，则在甲不去跳远项目的条件下，乙被安排到跳远项目的概率是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为 ． 【巩固练习3】（2025·福建厦门·二模）（多选）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习4】A，B，C，D，E共5位教师志愿者被安排到甲､乙､丙､丁4所学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位教师志愿者，且每位教师志愿者只能到一所学校支教，在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名教师志愿者的概率为 . 【题型5】条件概率的性质及应用 基础知识 条件概率的性质：设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 典型例题 【例题1】设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·广东衡水金卷·模拟）（多选）已知随机事件，满足，，，则（    ） A．事件与事件相互独立 B． C． D． 【例题3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）对于随机事件，记为事件的对立事件，且，则 . 【例题4】（23-24高二下·广东佛山·期末）给定两个随机事件，且，，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·湖北武汉·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 【巩固练习2】（23-24高二下·重庆·期中）对于事件A，B，C，下列命题中正确的有（    ） A．若，则A与B互为对立事件 B．若，则 C．若，是B的对立事件，则 D．若，，则 【巩固练习3】（23-24高二下·广东东莞·期末）（多选）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（2025·安徽安庆·二模）设事件为两个随机事件，，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（23-24高二下·江苏南京·期末）（多选），分别为随机事件A，B的对立事件，下列命题正确的是（    ） A． B．若，，则 C．若，则A与B独立 D． 【巩固练习6】（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型6】条件概率与互斥，对立，相互独立事件的判定与综合运用 基础知识 事件发生的条件下，事件发生的概率： 同时发生的概率：， 至少一个发生的概率： 互斥，且 对立，且 相互独立 典型例题 【例题1】（23-24高二下·福建福州·期中）校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（    ） A．事件A与相互独立 B．事件A与为互斥事件 C． D． 【例题2】（23-24高二下·江苏南京·期末）现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则 ， . 【例题3】（23-24高二下·湖北武汉·期末）（多选）甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束）.已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用表示事件“甲最终获胜”，表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”，表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与互斥 D．与独立 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·广东茂名·期末）（多选）掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，，记事件“”，“为偶数”，“为奇数”，则（    ） A． B． C． D．与互斥 【巩固练习2】（多选）“新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（    ） A．B与C相互独立 B． C． D． 【巩固练习3】（2025·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 【巩固练习4】（23-24高二下·江苏南京·期中）（多选）甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利）．已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立．若用M表示事件“甲最终获胜”，N表示事件“比赛共进行了两局且有人获得了最终胜利”，Q为“甲赢下第三局时获得了最终胜利”．则下列说法正确的有（    ） A． B． C．N与Q互斥 D．N与Q独立 【巩固练习5】（多选）某班开展数学文化活动，其中有数学家生平介绍环节.现需要从包括2位外国数学家和4位中国数学家的6位人选中选择2位作为讲座主题人物.记事件“这2位讲座主题人物中至少有1位外国数学家”，事件“这2位讲座主题人物中至少有1位中国数学家”.则下说法正确的是（    ） A．事件不互斥 B．事件相互独立 C． D．设，则 模块二 全概率公式与贝叶斯公式 【题型7】用全概率公式求概率 基础知识 全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个重要公式，它们可以帮助我们在不完全信息的情况下，推断出一些事件发生的概率。这些事件可能与生活、学习、工作等方面有关，因此，了解这两个公式的含义和应用场景，对我们有很大的帮助。 全概率公式是用来求一个事件发生的总概率的，它的基本思想是：将一个复杂的事件分解为若干个互不相容且完备的子事件，然后分别求出每个子事件发生的概率，再乘以该子事件下复杂事件发生的条件概率，最后将所有结果相加，就得到了复杂事件发生的总概率。全概率公式的一般形式如下： 其中，A是要求的复杂事件，是互斥且完备的子事件，也就是说，中任意两个不会同时发生，而且它们中至少有一个一定会发生。是子事件发生的概率，是在子事件发生的条件下，复杂事件发生的条件概率。 举个例子： 假设你要去参加一场考试，你想知道你能否及格。这就是一个复杂事件，因为你能否及格可能取决于很多因素，比如你平时学习的情况、考试难度、考试时间等等。为了简化问题，假设只有两个因素影响你能否及格：你平时学习的情况和考试难度。 把你平时学习的情况分为三种：好、中、差；把考试难度分为两种：高、低。 那么，可以把你能否及格这个复杂事件分解为六个互不相容且完备的子事件：你平时学习好且考试难度高、你平时学习好且考试难度低、你平时学习中等且考试难度高、你平时学习中等且考试难度低、你平时学习差且考试难度高、你平时学习差且考试难度低。 我们用A表示你能够及格这个复杂事件，用Bi表示第i个子事件（i=1……6），那么根据全概率公式，我们可以得到： 如果知道了每个子事件发生的概率和每个条件概率（比如通过调查或者统计），那么就可以计算出你能够及格这个复杂事件发生的总概率了。 综上所述，全概率公式为我们提供了一个有效的工具，用于处理复杂事件的概率计算问题。这个公式在实际问题中具有广泛的应用，可以帮助我们计算复杂事件的概率，从而做出合理的决策。 典型例题 【例题1】甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.现随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率 【例题2】（23-24高二下·广东东莞·期末）袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出球的总数，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高二上·江西鹰潭·期末）若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·江苏扬州·期中）某校学生文艺部有男生4人，女生2人 (1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【巩固练习2】某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 . 【巩固练习3】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）有三个罐子，1号罐子中装有2个红球、1个黑球，2号罐子中装有3个红球、1个黑球，3号罐子中装有2个红球、2个黑球．现从中随机取一个罐子，再在该罐子中随机取出一个球，则取得的球是红球的概率为 . 【巩固练习4】（23-24高二下·江苏南通·期中）甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为；若浇水，盆栽枯萎的概率为．邻居浇水的概率为．则该人回来盆栽没有枯萎的概率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习6】（高二上·山东日照·期末）某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中． (1)如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率； (2)若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率． 【题型8】贝叶斯公式及其应用 基础知识 贝叶斯公式是用来求一个事件的条件概率的，它的基本思想是：利用已知的结果，反推出原因的可能性，它的一般形式如下： 其中，A是已知的结果，是可能的原因，是原因发生的概率，也叫做先验概率，是在原因发生的条件下，结果A发生的条件概率，是结果发生的总概率，也可以用全概率公式求出，是在结果已知的条件下，原因发生的条件概率，也叫做后验概率. 举个例子：假设你有一个朋友小明，他有时候会迟到。你想知道他迟到的原因。你知道他迟到可能有三种原因：睡过头、堵车、赖床. 你还知道他睡过头、堵车、赖床的概率分别是0.2、0.3、0.5（这些就是先验概率）. 你还知道他在睡过头、堵车、赖床的情况下，迟到的概率分别是0.8、0.6、0.4（这些就是条件概率）。 即，，， 还可以得到：，，（先验概率） 那么，如果你知道他今天迟到了（这就是已知的结果），你可以用贝叶斯公式来求出他迟到的原因是睡过头、堵车、赖床的概率分别是多少（这些就是后验概率）。 我们用A表示他迟到这个结果，用Bi表示第i个原因（i=1,2,3），那么根据贝叶斯公式，我们可以得到： 这样，我们就可以根据后验概率来判断他迟到的最可能的原因了。从上面的计算结果可以看出，他迟到的最可能的原因是堵车（后验概率最大），其次是赖床，最后是睡过头。 通过这个例子，可以看出贝叶斯公式的作用和意义：它可以帮助我们在在不完全信息的情况下，利用已有的数据或者经验，更新对某些事件发生的概率的估计。这种方法在很多领域都有广泛的应用，比如医学诊断、机器学习、自然语言处理等等。 典型例题 【例题1】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为 ；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为 . 【例题2】（23-24高二下·广东云浮·期中）长期熬夜可能影响免疫力.据某医疗机构调查，某社区大约有的人免疫力低下，而该社区大约有的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为 . 【例题3】（23-24高二下·广东广州·期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·广东广州·期末）长时间看手机有可能影响视力. 据调查，某校学生有 的人近视，而该校有 的学生每天看手机时间超过 ，这些人的近视率为 . 现从每天看手机时间不超过 的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为 . 【巩固练习2】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立        ② ③                ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【巩固练习3】（2025·河北石家庄·一模）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（23-24高二下·重庆·期中）甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． (1)求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； (2)在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 【巩固练习6】（23-24高二下·重庆·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得块月饼、黄球获得块月饼、绿球获得块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是 B．第二次抽到红球的概率是 C．如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为 D．小明获得块月饼的概率是 【题型9】贝叶斯公式与全概率公式的区分与综合运用 解题技巧 贝叶斯公式可以看作是全概率公式的逆向应用： 全概率公式： 贝叶斯公式： 我们来看看全概率公式和贝叶斯公式的区别。 从形式上看，全概率公式是求一个事件发生的总概率，而贝叶斯公式是求一个事件的条件概率。 从思想上看，全概率公式是将一个复杂的事件分解为若干个简单的子事件，然后利用子事件发生的概率和条件概率来求出复杂事件发生的概率。贝叶斯公式是利用已知的结果，反推出原因的可能性，然后利用原因发生的概率和条件概率来更新对原因发生的概率的估计. 从应用上看，全概率公式和贝叶斯公式可以相互配合，一般来说，全概率公式可以用来求出贝叶斯公式中的分母（结果发生的总概率），而贝叶斯公式可以用来求出全概率公式中的分子（子事件发生的条件概率） 典型例题 【例题1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4. （1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是 （2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率为 . 【例题2】（23-24高二下·福建福州·期中）正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有、、的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【例题3】（23-24高二下·浙江温州·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求： (1)它是第1台机床生产的概率是多少? (2)它是次品的概率是多少． (3)若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大?用具体数据说明． 【例题4】（23-24高二下·福建福州·期中）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答， （i）求丙取出的第一道题是选择题的概率； （ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从箱中取出的是两道论述题的概率． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·江苏徐州·期中）设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球． (1)现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率； (2)先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取2个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 【巩固练习2】（23-24高二下·福建泉州·期中）ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%.已知输入的问题出现语法错误的概率为10%. (1)求ChatGPT的回答被采纳的概率； (2)若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份. (1)求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率； (2)若已知抽到的是男生和女生的报名表各1份，用概率公式判断该报名表取自哪一袋的可能性更大. 【题型10】三门问题 解题技巧 三门问题是一个经典的逻辑谜题，涉及概率论和决策理论。以下是几种有效的解题技巧： 1、条件概率法: 使用条件概率公式计算在主持人打开一扇空门后，换门与不换门的概率。 如果主持人故意打开一扇空门，换门的概率会增加，因为剩下的两扇门中，中奖的概率会重新分配。2、列举法: 通过列举所有可能的情况，计算换门与不换门的各种概率，从而得出最优解。 这种方法可以帮助理解在不同选择下各种情况的发生概率。 3、概率转移法: 分析主持人开门的动作如何影响剩余门的概率分布。 例如，如果主持人打开了一扇空门，原本不中奖的门现在变成了中奖，从而改变玩家的选择。 4、暴力解法: 通过暴力计算所有可能的门后情况，直接得出换门与不换门的中奖概率。 这种方法虽然计算量大，但能提供清晰的数学证明 5、类比法: 将三门问题与日常生活中的类似情况相比较，如抽奖或赌博，帮助理解主持人的行为如何影响玩家的选择 典型例题 【例题1】（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）在一个抽奖游戏中共有5扇关闭的门，其中2扇门后面有奖品，其余门后没有奖品，主持人知道奖品在哪些门后.参赛者先选择一扇门，但不立即打开.主持人打开剩下的门当中一扇无奖品的门，然后让参赛者决定是否换另一扇仍然关闭的门.参赛者选择不换门和换门获奖的概率分别为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·浙江·一模）（多选）现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变 【例题3】（23-24高二上·山东德州·期末）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则 ； . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·河北保定·期中）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为且外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，则 . 【巩固练习2】（湖北黄冈·二模）（多选）1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（    ） A．你获得豪车的概率为 B．主持人打开3号门的概率为 C．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为 D．在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大 【巩固练习3】（2025·广东佛山·二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ． 【巩固练习4】（23-24高二下·山西太原·期末）在一个抽奖游戏中，主持人在编号分别为的空箱（外观相同）中随机选择一个箱子放入奖品，并将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：1.抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个箱子中随机选择一个，在开箱之前，主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子（若此时两个箱子都是空的，则从中随机选取一个），并给抽奖人第二次选择箱子的机会，然后，主持人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.2.若奖品在打开的箱子里，则奖品由抽奖人获得；否则，抽奖人未获得奖品.3.游戏结束.已知抽奖人第一次选择了1号箱. (1)求主持人打开的空箱子是3号箱的概率； (2)若主持人打开的空箱子是3号箱，请问抽奖人是坚持选择1号箱，还是改选2号箱？请你给出建议，并说明理由. 模块三 全概率公式与递推数列（马尔科夫链） 典型例题 【题型11】传球模型 解题技巧 第一步：利用到全概率公式转化为这类数列的递推式 第二步：在转化为数列递推式后，使用“构造法”解出数列通项公式 构造法：若，可利用构造进行求解 课本原题：人教A版数学《选择性必修三》P91 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第１次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求次传球后球在甲手中的概率． 【解析】记第次传球后球在甲手中的概率为，则第次传球后球在甲手中的概率为， 开始时球在甲手中，则． 若第次传球后球在甲手中，则第次传球后球不在甲手中，即第次传球后球在乙或丙手中， 所以第次传球后球不在甲手中的概率为，又乙或丙在第次把球传到甲手上的概率为， 于是有，即，， 于是数列是首项为，公比为得等比数列， 所以，所以. 典型例题 【例题1】（高二下·广东广州·期末）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高二下·四川成都·期末）（多选）甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）（多选）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是 C．次传球后球在甲手上的概率是 D．2024次传球后球在甲手上的概率大于 【例题4】（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为 ，第n次传球后球在乙手中的概率为 ． 【巩固练习2】（23-24高二下·重庆万州·期中）（多选）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在丙手上的概率是 B．2次传球后球在乙手上的概率是 C．2次传球后球在甲手上的概率是 D．n次传球后球在甲手上的概率是 【巩固练习3】（23-24高二下·广东佛山·期末）（多选）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人.下列说法正确的是（    ） A．已知第2次传球后球在甲手中，则球是由乙传给甲的概率为 B．已知第2次传球后球在丙手中，则球是由丁传给丙的概率为 C．第次传球后球回到甲手中的不同传球方式共有种 D．第次传球后球在乙手中的概率为 【巩固练习4】（23-24高二下·贵州铜仁·期末）在2024年5月举行的第一届全国全民健身大赛（西南区）篮球项目贵州选拔赛暨2024年贵州省篮球公开赛中，铜仁市代表队凭借出色的技术和顽强拼搏的精神，从全省42支队伍中脱颖而出，闯进决赛．受此影响，铜仁市某校掀起了篮球运动的热潮，在一次篮球训练课上，甲、乙、丙三位同学进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人． (1)求2次传球后球在甲手中的概率； (2)设次传球后球在甲手中的概率为，求证数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)现在丁加入传球训练，且甲、乙、丙、丁四人分别站定于如图所示的四点（为正方形的四个顶点），且每次传球时，传球者将球传给相邻同学的概率为，传给对角线上同学的概率为（例如：甲传球给乙或丁的概率都是，传球给丙的概率是；若第一次仍由甲将球传出，则次传球后，试比较球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并说明理由． 【题型12】状态转移模型 概念解读 题型特点：给定初始状态和状态转移概率矩阵，计算后续某一步的状态概率。 常见形式：一步转移概率（如从状态 A 到状态 B 的概率）。 多步转移概率（通过矩阵乘法计算多步后的状态分布）。 示例：某天气模型中，今日晴天→明日晴天的概率为 0.6，晴天→雨天为 0.4。若今天是晴天，求两天后为雨天的概率。 典型例题 【例题1】（23-24高二下·浙江温州·期中）一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件“第次命中目标”，，则 ． 【例题2】（23-24高二下·浙江·期中）（多选）有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（    ） A． B． C．是等比数列 D．是递减数列 【例题3】（2025·广东佛山·一模）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． (1)证明：； (2)若，，求和． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2023·新高考Ⅰ卷T21）乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【巩固练习2】（2025·广东江门·一模）在某平台开展闯关赢奖品活动中，用户每次进入新的一关都有一次抽奖机会．已知用户在第一关抽到奖品的概率为．从第二关开始，若前一关没抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为；若前一关抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为．记用户第关抽到奖品的概率为，则的最大值为 ． 【巩固练习3】某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（23-24高三上·重庆·阶段练习）重庆南山风景秀丽，可以俯瞰渝中半岛，是徒步休闲的好去处. 上南山的步道很多，目前有标识的步道共有 18条. 某徒步爱好者俱乐部发起一项活动，若挑战者连续12天每天完成一次徒步上南山(每天多次上山按一次计算) 运动，即可获得活动大礼包. 已知挑战者甲从11月1号起连续12天都徒步上南山一次，每次只在凉水井步道和清水溪步道中选一条上山. 甲第一次选凉水井步道上山的概率为 而前一次选择了凉水井步道，后一次继续选择凉水井步道的概率为 前一次选择清水溪步道，后一次继续选择清水溪步道的概率为 ，如此往复. 设甲第n(n=1，2，…， 12)天走凉水井步道上山的概率为 . (1)求 和； (2)求甲在这12 天中选择走凉水井步道上山的概率小于选择清水溪步道上山概率的天数. 【题型13】赌徒破产模型 概念解读 赌徒有本金3元，每局赢1元的概率0.5，输1元的概率0.5，输光或赚到5元时停止。求输光的概率。 解答： 设 为当前有 i 元时输光的概率，递推方程为： 边界条件： 解得： 典型例题 【例题1】（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率 . 【例题2】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示． 当赌徒手中有n元时，最终欠债A元（可以记为该赌徒手中有元）概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义． 巩固练习 题型 【巩固练习1】随着互联网高速发展，传统的线下赌博也呈现出逐渐发展到线上的趋势，搭上互联网便车的新型赌博模式，其危害性和隐蔽性比起传统赌博模式有过之而无不及，其迷惑性更大，传播范围更广，线上赌博的特点往往是披着“公平游戏”的外衣，利用人性的贪婪最终赌徒输光了一切，如何认识“久赌无赢，赌徒输光”的现象？概率知识给你一双慧眼！有一种掷骰子走跳棋的线上“游戏”：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…第站……，规定玩家本金为元时，棋子的初始位置在第站，且掷骰子每局赢的概率为，输的概率也；玩家赢一局，棋子向前跳一站，输了则向后跳一站.若棋子在第0站则游戏结束：若棋子不在第0站而玩家要终止游戏，则棋子在第站，玩家可得到元.现有某玩家想要赢得含本金的元（且）时停止游戏，设此玩家手头拥有（，且）元时，输光的概率为. （1）求，； （2）证明：为等差数列； （3）求此玩家本金为100元时，想要赢得含本金的1000元的概率？并试用概率知识来解释“即使是公平的游戏，赌徒最终会输光本金”. 【巩固练习2】（浙江杭州·二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示． 当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义． 【题型14】循环摸球模型 概念解读 题型特点：求解长期稳定后各状态的概率分布。 典型例题 【例题1】（2024·江苏·一模）（多选）有n（，）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件（，2，3，…，n），则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高二下·江苏淮安·期中）有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球. (1)从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率； (2)从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件 ①求；②求 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）有n（，）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件（，2，3，…，n），则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高二下·广东广州·期末）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . (1)求 与 ； (2)设 ，求证：数列是等比数列； 【巩固练习3】（2025·湖北·模拟预测）一袋中装有3个红球，5个黑球，从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作. （1）第二次取出的球是黑球的概率为 ； （2）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次和第2025次取出的球都是黑球的概率为 . 【巩固练习4】(2024届·湖北荆荆恩高三联考)甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，恰有3个黑球的概率为. (1)求； (2)设，证明：； 【题型15】随机前进模型 概念解读 题型特点：求解长期稳定后各状态的概率分布。 典型例题 【例题1】（多选）某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格．从第0格起跳，记跳到第格的概率为，则（    ） A． B． C．数列为等差数列 D． 【例题2】（23-24高二下·山东青岛·期中）（多选）一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为．则（    ） A． B． C．是等比数列 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·湖南长沙·一模）（多选）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．小华一共前进3步的概率最大 【巩固练习2】（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．小华一共前进3步的概率最大 【题型16】稳态分布模型 概念解读 题型特点：求解长期稳定后各状态的概率分布。 典型例题 【例题1】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·河南郑州·三模）抛掷一枚不均匀的硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率为，记次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为，则数列的通项公式 ． 【巩固练习2】（2024·江苏·模拟预测）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，求某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为． 【巩固练习3】为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐. 已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复. （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率 （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为 （Ⅰ）证明：为等比数列；（Ⅱ）证明：当时，. 【题型17】随机游走模型 概念解读 对称游走：粒子从原点出发，每步左右移动概率均为0.5。求5步后首次回到原点的概率。 典型例题 【例题1】（多选）随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活．为了测试某品牌扫地机器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一个顶点等可能的移动到另外两个顶点之一，记机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序．若开始时，机器人从点出发，记机器人执行次程序后，仍回到点的概率为，则下列结论正确的是（    ） A． B．时，有 C． D． 【例题2】（24-25高二上·山东·期中）质点每次都在四边形的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在点，则经过次移动到达点的概率为 ，经过次移动到达点的概率为 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在多面体的顶点处有一质点S，质点S每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点S的初始位置在点A处，记质点S移动n次后仍在平面ABCD上的概率为，则 ； ．    【巩固练习2】（23-24高二下·福建泉州·期中）随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活．为了测试某品牌扫地机器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一个顶点等可能的移动到另外两个顶点之一，记机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序．若开始时，机器人从点出发，记机器人执行次程序后，仍回到点的概率为，则 ．    【巩固练习3】（2025·福建福州·模拟预测）在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第1次运动，机器人可以运动到，，或）．若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成功”，则运动2025次后机器人“成功”的概率为 ． 【课后巩固】 1. 已知，则 ． 2. （23-24高二下·湖北武汉·期中）对于随机事件，记为事件的对立事件，且，则 . 3. 10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张，则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为 ． 4. 盒中有个质地，形状完全相同的小球，其中个红球，个绿球，个黄球；现从盒中随机取球，每次取个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为 . 5. 有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（       ） A． B． C． D． 6. （2024·江西鹰潭·二模）质数又称素数，我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7……，在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 7. （2024·广东广州·一模）甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 8. （23-24高二下·福建福州·期中）2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示的E处，陈同学家在如图所示的F处，人民广场在如图所示的 G 处.下列说法正确的是（   ） A．张同学到陈同学家的最短路径条数为6条 B．在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F处和陈同学汇合并一同前往的概率为 C．张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选的最短路径有22条 D．张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A：张同学经过陈同学家；事件B：从F到人民广场两人的路径没有重叠部分 （路口除外），则. 9. （多选）已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若B和C是两个互斥事件，则 D．当时， 10. 某人从A地到B地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从A地到B地迟到的概率是（    ） A．0.16 B．0.31 C．0.4 D．0.32 11. （23-24高二下·广东广州·期末）（多选）校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”，表示事件“志愿者乙派往铅球区域”，表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（    ） A．A与相互独立 B．与互斥 C． D． 12. （23-24高二下·江苏南通·阶段练习）某高三班主任老师结合学生三年的表现，调查发现班级勤懒生人数之比为，结合以前的学生高考后的表现，勤生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.001，而懒生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.491.展望今年高考，他清楚地知道，自己班上一定有学生会在高考后流下悔恨的泪水。若真如该老师所料，有一位学生流下了悔恨的泪水，则这个学生恰好是一名懒生的概率为 13. （23-24高二下·广东深圳·期中）（多选）在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（    ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为 14. （高二下·浙江·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一个人，若次传球后球在甲手中的概率为，则 . 15. （23-24高二下·河北保定·期中）（多选）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲､乙､丙手中的概率依次为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 16. （23-24高二下·吉林延边·阶段练习）“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓，已知该粒子的初始位置在2号仓. 则粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率=    17. （23-24高二下·江苏常州·期中）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. (1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； (2)求第一次取出的是白球的概率； (3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 18. （23-24高二下·江苏无锡·期中）一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个球，其中3个黑球，2个白球，不放回的依次取出2个球，求： (1)求第次抽到黑球且第次也抽到黑球的概率； (2)已知第次抽到黑球，则第次抽到黑球的概率； (3)判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”是否互相独立． 19. （23-24高二下·浙江嘉兴·期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)如果依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，每次取1个，已知第二个是次品的条件下，求第一个是正品的概率； (3)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 专题3-1 条件概率与全概率公式，贝叶斯公式，马尔科夫链 总览 题型·解读 模块一 条件概率 【题型1】利用定义求条件概率 【题型2】“条件概率”与“交事件的概率”区分 【题型3】古典概型中的条件概率 【题型4】分配问题与条件概率 【题型5】条件概率的性质及应用 【题型6】条件概率与互斥，对立，相互独立事件的判定与综合运用 模块二 全概率公式与贝叶斯公式 【题型7】用全概率公式求概率 【题型8】贝叶斯公式及其应用 【题型9】贝叶斯公式与全概率公式的区分与综合运用 【题型10】三门问题 模块三 全概率公式与递推数列（马尔科夫链） 【题型11】传球模型 【题型12】状态转移模型 【题型13】赌徒破产模型 【题型14】循环摸球模型 【题型15】随机前进模型 【题型16】稳态分布模型 【题型17】随机游走模型 【课后巩固】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 条件概率 【题型1】利用定义求条件概率 基础知识 条件概率定义：设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则. 典型例题 【例题1】我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件为“两位游客选择的景点相同”，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率公式即可求得的值. 【详解】由题意，知， 所以． 【例题2】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）小张､小王两人计划报兴趣班，他们分别从“篮球､书法､游泳､钢琴”这四个兴趣班中随机选择一个，记事件为“两人至少有一人选择篮球”，事件为“两人选择的兴趣班不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率公式可得解. 【详解】解：由题意可知：两人都没选择篮球，即， 所以， 而事件：有一人选择篮球，另一人选别的兴趣班，则， 所以 巩固练习 题型 【巩固练习1】小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是 . 【答案】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】记事件A为“取出的2本中有1本是数学”，事件为“另1本是物理或化学”， 则， 所以. 【巩固练习2】小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是 . 【答案】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】记事件A为“取出的2本中有1本是数学”，事件为“另1本是物理或化学”， 则， 所以. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东惠州·期中）（多选）袋中有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个蓝球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件，“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意直接得出A；由分步计数原理得出B；条件概率公式得出C和D. 【详解】解：对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，， 所以，故D正确． 【题型2】“条件概率”与“交事件的概率”区分 基础知识 设A，B为两个随机事件 条件概率：为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率. 交事件的概率：即同时发生的概率： 典型例题 【例题1】经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ） A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75 【答案】C 【解析】设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B， 则由题意得，， 所以她两次均击中9环的概率为．故选：C． 巩固练习 题型 【巩固练习1】小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】条件概率与交事件概率的区分 【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件， “小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件， 则由题意可得， 则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为 . 【巩固练习2】（23-24高二下·广东云浮·期中）数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互质的定义，确定事件，再在这些互质数内，根据二次剩余的定义，计算出的二次非剩余数，结合条件概率的计算公式，即得. 【详解】在到中与互质的有1,5,7,11,13,17,19，即； 由二次剩余的定义，假设是的二次非剩余，则整数的整数不存在， 当时，，当时，， 当时，不存在， 即， 由事件中有种情况，事件有种情况， 所以. 【题型3】古典概型中的条件概率 基础知识 对于古典概型类，可以采用基本事件总数的方法来计算：即，其中N(AB)表示事件AB所包含的基本事件个数。N(A)表示事件A包含的基本事件个数. 典型例题 【例题1】（23-24高二下·浙江·期中）已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式求相应的概率. 【详解】用表示女孩，表示男孩， 则样本空间． 分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩都是女孩”为事件和事件， 则，， 所以． 【例题2】从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率的定义和古典概型计算. 【详解】第一次取到的是偶数有：，共有种方法，在第一次是偶数的条件下， 第二次取到的是3的倍数共有11种方法， 【例题3】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案. 【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个， 孪生素数有和，和，和，和，共组. 所以，， 所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】从3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.25 D．0.125 【答案】A 【分析】利用古典概率公式及条件概率公式即可求出结果. 【详解】因为，， 【巩固练习2】（23-24高二下·湖北十堰·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式结合条件概率求相应的概率即可. 【详解】用表示女孩，表示男孩， 则样本空间． 分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩恰好有两个女孩”为事件A和事件B， 则，， . 【巩固练习3】花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为________． 【答案】 【分析】使用条件概率进行计算即可. 【详解】设事件“两束花是同一种花”，事件“两束花都是郁金香”， 则积事件“两束花都是郁金香”， 事件中样本点的个数为， 积事件中样本点的个数为， ∴已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为 . 【题型4】分配问题与条件概率 基础知识 条件概率与分组分配问题结合，属于特殊的古典概型，并且一般会附加特殊条件限制 典型例题 【例题1】我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（       ） A． B． C． D． 【答案】A 求出，，然后由条件概率公式计算． 【详解】由题意，，， ∴．故选：A． 【例题2】（23-24高二下·湖北武汉·期中）（多选）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（    ） A．四名同学的报名情况共有种 B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种 C．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是 D． 【答案】BCD 【分析】根据分步乘法计数原理即可判断A，将四名志愿者分为2，1，1三组，由分步乘法计数原理即可判断B，分两种情况，有3人报名了1个项目，另外1人报名了1个和每2个人报名了1个项目，分别计算出项目数，相加即可判断C，先计算出和，利用条件概率求解公式即可判断D. 【详解】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，A错误； 对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种， 由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B正确； 对于C，四名同学最终只报了两个项目，若有3人报名了1个项目，另外1人报名了1个项目，此时有种情况， 若每2个人报名了1个项目，此时有种情况，共有种情况， “四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确； 对于D，事件A：先从4名同学选出2人，组成一组，再进行全排列，故， 事件：甲同学1人报名‘关怀老人’项目，剩余3人分为2组，和剩余的2个项目进行全排列，故， 所以，D正确． 巩固练习 题型 【巩固练习1】在学校春季运动会中，甲､乙､丙､丁4名同学被安排到跳远､跳高､迎面接力这三个比赛项目参加志愿服务，每个项目至少安排一个人，且每个人只能参与其中一个项目，则在甲不去跳远项目的条件下，乙被安排到跳远项目的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理解题意，分别用组合公式求出甲不去跳远和乙被安排到跳远为事件的样本空间，从而可求出在甲不去跳远项目的条件下，乙被安排到跳远项目的概率. 【详解】甲不去跳远为事件， 乙被安排到跳远为事件， 所以 【巩固练习2】中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为 ． 【答案】 【详解】根据题意，设事件为“甲被安排在天和核心舱”，事件为“乙被安排在天和核心舱”， 将甲、乙、丙、丁安排到3个航天舱，需要先将4人分为3组，再安排到3个航天舱，有种安排方法， 甲被安排在天和核心舱，有种安排方法，则， 若甲、乙均被安排在天和核心舱，有种安排方法，则， 故甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率． 【巩固练习3】（2025·福建厦门·二模）（多选）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用排列组合计算符合要求的基本事件的个数和基本事件的总数，根据古典概型概率公式可得选项A错误，C正确；利用条件概率公式可得选项B正确；根据和事件的概率公式可得选项D正确. 【详解】A.由题意得，，A错误. B.由题意得，， ∴，B正确. C.对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生， ∴， ∴，C正确. D.，D正确. 【巩固练习4】A，B，C，D，E共5位教师志愿者被安排到甲､乙､丙､丁4所学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位教师志愿者，且每位教师志愿者只能到一所学校支教，在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名教师志愿者的概率为 . 【答案】 【分析】求出A教师志愿者被安排到甲学校的排法，然后再求出在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的排法，根据条件概率进行计算，从而可求解． 【详解】A教师志愿者被安排到甲学校， 若甲学校只有一个人，则有种安排方法， 若甲学校有2个人，则有种安排方法， A教师志愿者被安排到甲学校共有60种安排方法， 在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的安排方法有24种， 所以在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的概率是 【题型5】条件概率的性质及应用 基础知识 条件概率的性质：设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 典型例题 【例题1】设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设有，根据条件概率公式有，结合，即可得答案. 【详解】由，则，故， 而，则，又， 所以. 【例题2】（2025·广东衡水金卷·模拟）（多选）已知随机事件，满足，，，则（    ） A．事件与事件相互独立 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合相互独立事件的定义、概率的基本性质逐项判断. 【详解】对于A，由，得，即，事件与事件相互独立，A正确； 对于B，由选项A知，事件相互独立，则，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 【例题3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）对于随机事件，记为事件的对立事件，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由条件概率公式可得，再由，再结合条件概率的公式即可得到结果. 【详解】由题意可得，，且，则， 又因为，则， 且，所以. 【例题4】（23-24高二下·广东佛山·期末）给定两个随机事件，且，，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式和对立事件的概率公式化简即可推理得到. 【详解】因,则由可得，, 去分母得：，即：， 即是的充分条件； 由可得，， 即，因，， 若，则,必有； 当时，可得，即得， 故是的必要条件. 即的充要条件是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·湖北武汉·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 【答案】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为，故， 因为互斥，所以， 所以 ， 解得，所以. 【巩固练习2】（23-24高二下·重庆·期中）对于事件A，B，C，下列命题中正确的有（    ） A．若，则A与B互为对立事件 B．若，则 C．若，是B的对立事件，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】利用对立事件的定义判断A；由条件概率公式判断B；由对立事件、互斥事件定义判断C；由概率乘法公式判断D. 【详解】对于A：如有红黄蓝三张牌，事件为“甲所取一张牌是红牌或黄牌”，则，事件为“乙抽取一张牌是黄牌”，则，，但事件和事件不是对立事件，故A错误； 对于B：若，则，所以，故B正确； 对于C：若，是B的对立事件，则A与是互斥事件， 所以，故C正确； 对于D，若， 则，故D正确. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东东莞·期末）（多选）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】,求出，利用可判断A，由可判断B，由条件概率公式可判断D. 【详解】由，因为，则， 所以，因为，所以，故A正确； 则，所以，故B错误； 由于，所以C正确； 由于，则，所以，故D正确； 故选：ACD 【巩固练习4】（2025·安徽安庆·二模）设事件为两个随机事件，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用条件概率公式得出，然后利用公式化简得出结论. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以，即， 即，于是. 【巩固练习5】（23-24高二下·江苏南京·期末）（多选），分别为随机事件A，B的对立事件，下列命题正确的是（    ） A． B．若，，则 C．若，则A与B独立 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，由对立事件得到A正确；B选项，；C选项，由条件概率得到，C正确；D选项，利用乘法公式得到D正确. 【详解】A选项，由对立事件性质可知，A正确； B选项，若，，则，B错误； C选项，若，则， 故，A与B独立，C正确； D选项，，D正确. 【巩固练习6】（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 【题型6】条件概率与互斥，对立，相互独立事件的判定与综合运用 基础知识 事件发生的条件下，事件发生的概率： 同时发生的概率：， 至少一个发生的概率： 互斥，且 对立，且 相互独立 典型例题 【例题1】（23-24高二下·福建福州·期中）校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（    ） A．事件A与相互独立 B．事件A与为互斥事件 C． D． 【答案】D 【分析】利用相互独立事件，互斥事件的定义，条件概率的公式一一判定选项即可. 【详解】由题意易知分组情况为：2,1,1，即所有安排方案有种， 铅球区域可能安排2人或1人，所以， 同理，， 而，， 由相互独立事件的充要条件可知，事件A与不相互独立， 故A错误； 显然，事件A与能同时发生，不为互斥事件，故B错误； 由条件概率公式知，故C错误； ，故D正确. 【例题2】（23-24高二下·江苏南京·期末）现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则 ， . 【答案】 / 【分析】利用条件概率与独立事件的概率公式即可得解. 【详解】第一空：， 第二空：从甲盒中取出的是一个红球和一个白球， 乙盒中还剩下两个红球或者两个白球. 则 【例题3】（23-24高二下·湖北武汉·期末）（多选）甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束）.已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用表示事件“甲最终获胜”，表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”，表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与互斥 D．与独立 【答案】ABC 【分析】对于AB：用条件概率计算；对于C：利用互斥的概念来判断；对于D：利用相互独立的条件来判断. 【详解】对于A：， 则，A正确； 对于B：， 则，B正确； 对于C：N与Q不可能同时发生，故N与Q互斥，C正确； 对于D：，，， 故，故D错误. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·广东茂名·期末）（多选）掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，，记事件“”，“为偶数”，“为奇数”，则（    ） A． B． C． D．与互斥 【答案】AC 【分析】列出所有满足题意的情况，根据古典概型公式即可判断A；求出事件，，的情况，再利用条件概率公式即可判断BC；再根据互斥事件的判定方法即可判断D. 【详解】掷一枚质地均匀的骰子两次的可能结果共有36种. 对A，事件“”的可能结果有6种， 即，选项A正确； 对B，事件“为偶数”的可能结果有种， 事件“为偶数且”的可能结果有5种， ，选项B错误； 对C，事件“为奇数”的可能结果有18种， 事件“为奇数且”的可能结果有2种.，选项C正确； 对D，样本点为时，说明与不互斥，选项D不正确. 故选：AC. 【巩固练习2】（多选）“新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（    ） A．B与C相互独立 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由相互独立事件成立的条件，算出，由可判断A；由条件概率的计算公式可得，，即可判断B、C；由和事件的计算公式可得，即可判断D. 【详解】因为， 所以，所以B与C不相互独立，故A错误； 因为， 所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以D正确． 【巩固练习3】（2025·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】AC选项，求出各个事件的概率，得到，，A错误，C正确；BD选项，由条件概率公式进行求解. 【详解】AC选项，由题意得，， ，， ，， 故，C正确； 由于，故， 故与B不互相独立，A错误； B选项，由条件概率得，B错误； D选项，，D错误 【巩固练习4】（23-24高二下·江苏南京·期中）（多选）甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利）．已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立．若用M表示事件“甲最终获胜”，N表示事件“比赛共进行了两局且有人获得了最终胜利”，Q为“甲赢下第三局时获得了最终胜利”．则下列说法正确的有（    ） A． B． C．N与Q互斥 D．N与Q独立 【答案】ABC 【分析】对于AB：用条件概率计算；对于C：利用互斥的概念来判断；对于D：利用相互独立的条件来判断. 【详解】对于A：， 则，A正确； 对于B：， 则，B正确； 对于C：N与Q不可能同时发生，故N与Q互斥，C正确； 对于D：，，， 故，故D错误. 【巩固练习5】（多选）某班开展数学文化活动，其中有数学家生平介绍环节.现需要从包括2位外国数学家和4位中国数学家的6位人选中选择2位作为讲座主题人物.记事件“这2位讲座主题人物中至少有1位外国数学家”，事件“这2位讲座主题人物中至少有1位中国数学家”.则下说法正确的是（    ） A．事件不互斥 B．事件相互独立 C． D．设，则 【答案】AD 【分析】 根据题意，分别计算出以及，由互斥事件的定义即可判断A，由相互独立事件即可判断B，由条件概率的公式即可判断CD 【详解】由题意可得总情况数为， 其中事件包括1位外国数学家和1位中国数学家，以及2位外国数学家，两种情况， 所以， 事件包括1位外国数学家和1位中国数学家，以及2位中国数学家，两种情况， 所以， 所以事件不互斥，故A正确； 且，且，所以事件不相互独立， 故B错误； 又，，故C错误； 因为，则， 且，， 所以，故D正确； 故选：AD 模块二 全概率公式与贝叶斯公式 【题型7】用全概率公式求概率 基础知识 全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个重要公式，它们可以帮助我们在不完全信息的情况下，推断出一些事件发生的概率。这些事件可能与生活、学习、工作等方面有关，因此，了解这两个公式的含义和应用场景，对我们有很大的帮助。 全概率公式是用来求一个事件发生的总概率的，它的基本思想是：将一个复杂的事件分解为若干个互不相容且完备的子事件，然后分别求出每个子事件发生的概率，再乘以该子事件下复杂事件发生的条件概率，最后将所有结果相加，就得到了复杂事件发生的总概率。全概率公式的一般形式如下： 其中，A是要求的复杂事件，是互斥且完备的子事件，也就是说，中任意两个不会同时发生，而且它们中至少有一个一定会发生。是子事件发生的概率，是在子事件发生的条件下，复杂事件发生的条件概率。 举个例子： 假设你要去参加一场考试，你想知道你能否及格。这就是一个复杂事件，因为你能否及格可能取决于很多因素，比如你平时学习的情况、考试难度、考试时间等等。为了简化问题，假设只有两个因素影响你能否及格：你平时学习的情况和考试难度。 把你平时学习的情况分为三种：好、中、差；把考试难度分为两种：高、低。 那么，可以把你能否及格这个复杂事件分解为六个互不相容且完备的子事件：你平时学习好且考试难度高、你平时学习好且考试难度低、你平时学习中等且考试难度高、你平时学习中等且考试难度低、你平时学习差且考试难度高、你平时学习差且考试难度低。 我们用A表示你能够及格这个复杂事件，用Bi表示第i个子事件（i=1……6），那么根据全概率公式，我们可以得到： 如果知道了每个子事件发生的概率和每个条件概率（比如通过调查或者统计），那么就可以计算出你能够及格这个复杂事件发生的总概率了。 综上所述，全概率公式为我们提供了一个有效的工具，用于处理复杂事件的概率计算问题。这个公式在实际问题中具有广泛的应用，可以帮助我们计算复杂事件的概率，从而做出合理的决策。 典型例题 【例题1】甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.现随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率 【答案】 【详解】记取到甲盒子为事件，取到乙盒子为事件，取到丙盒子为事件，取到黑球为事件B： 由全概率公式得， 故摸出的球是黑球的概率是. 【例题2】（23-24高二下·广东东莞·期末）袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出球的总数，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先明确所代表的意义以及所包含的可能情况，再根据全概率公式即可计算所求概率. 【详解】根据题意第一、二、三、四次取出的球的颜色符合的情况有以下六种：白白黑白、白黑白白、黑白白白、黑黑白黑、黑白黑黑、白黑黑黑， 这六种情况的发生是相互互斥的，所以由全概率公式得： . 【例题3】（23-24高二上·江西鹰潭·期末）若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由全概率公式即可得解. 【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，， 从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为， 则 ， 解得，则的最大值为6． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·江苏扬州·期中）某校学生文艺部有男生4人，女生2人 (1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【答案】(1)480 (2)， 【分析】（1）利用插空法求解； （2）①利用古典概型的概率公式求解；②利用条件概率公式求解. 【详解】（1）先将4名男生全排列，形成5个空，再从5个空中选出2个位置排列2名女生， 所以2名女生互不相邻得排法有种. （2）①设事件表示“男生甲被选中”，则. ②设事件表示“被选中的两人中必须一男一女”，事件表示“女生乙被选中”， 则，， 所以. 所以在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为. 【巩固练习2】某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 . 【答案】 【分析】求出第一次取到0个、1个、2个新球的概率，再结合条件概率及全概率公式列式计算即得. 【详解】用表示第一次取到个新球的事件，用表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件， 则，且两两互斥，， ， 因此， 所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为. 【巩固练习3】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）有三个罐子，1号罐子中装有2个红球、1个黑球，2号罐子中装有3个红球、1个黑球，3号罐子中装有2个红球、2个黑球．现从中随机取一个罐子，再在该罐子中随机取出一个球，则取得的球是红球的概率为 . 【答案】 【分析】记球取自i号罐，取得红球，则，且，，两两互斥，由条件概率公式计算出，，的概率可得结论. 【详解】解：记球取自i号罐， 取得红球， 即，且，，两两互斥， ，，， 所以 【巩固练习4】（23-24高二下·江苏南通·期中）甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件概率公式及全概率公式计算可得. 【详解】因为，，，故A正确； 若发生，则乙箱中有个红球和个黑球，所以， 若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球， 所以，故B错误； 若发生，则乙箱中有个红球和个黑球，所以，故C正确； 所以 ，故D正确. 【巩固练习5】某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为；若浇水，盆栽枯萎的概率为．邻居浇水的概率为．则该人回来盆栽没有枯萎的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，利用全概率公式可求得的值，再利用对立事件的概率公式可求得的值. 【详解】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”， 由题意可得，，，， 由全概率公式可得, 由对立事件的概率公式可得 【巩固练习6】（高二上·山东日照·期末）某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中． (1)如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率； (2)若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，再根据条件概率和全概率公式求解即可； （2）设事件为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，再根据､､彼此互斥，结合条件概率和全概率公式即可得解. 【详解】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，， ，，， 由全概率公式得：第次抽到填空题的概率为： ； （2）设事件为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”， 则､､彼此互斥，且， ， ，， ， ， ， ． 【题型8】贝叶斯公式及其应用 基础知识 贝叶斯公式是用来求一个事件的条件概率的，它的基本思想是：利用已知的结果，反推出原因的可能性，它的一般形式如下： 其中，A是已知的结果，是可能的原因，是原因发生的概率，也叫做先验概率，是在原因发生的条件下，结果A发生的条件概率，是结果发生的总概率，也可以用全概率公式求出，是在结果已知的条件下，原因发生的条件概率，也叫做后验概率. 举个例子：假设你有一个朋友小明，他有时候会迟到。你想知道他迟到的原因。你知道他迟到可能有三种原因：睡过头、堵车、赖床. 你还知道他睡过头、堵车、赖床的概率分别是0.2、0.3、0.5（这些就是先验概率）. 你还知道他在睡过头、堵车、赖床的情况下，迟到的概率分别是0.8、0.6、0.4（这些就是条件概率）。 即，，， 还可以得到：，，（先验概率） 那么，如果你知道他今天迟到了（这就是已知的结果），你可以用贝叶斯公式来求出他迟到的原因是睡过头、堵车、赖床的概率分别是多少（这些就是后验概率）。 我们用A表示他迟到这个结果，用Bi表示第i个原因（i=1,2,3），那么根据贝叶斯公式，我们可以得到： 这样，我们就可以根据后验概率来判断他迟到的最可能的原因了。从上面的计算结果可以看出，他迟到的最可能的原因是堵车（后验概率最大），其次是赖床，最后是睡过头。 通过这个例子，可以看出贝叶斯公式的作用和意义：它可以帮助我们在在不完全信息的情况下，利用已有的数据或者经验，更新对某些事件发生的概率的估计。这种方法在很多领域都有广泛的应用，比如医学诊断、机器学习、自然语言处理等等。 典型例题 【例题1】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾､坐公交车､骑共享单车三种，某天早上他选择自驾､坐公交车､骑共享单车的概率分别为，而他自驾､坐公交车､骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为 ；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为 . 【答案】 【分析】设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件 “表示迟到”，利用全概率公式可得小明这一天迟到的概率；利用贝叶斯公式即可得到若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率；或者在迟到的前提下计算概率即可． 【详解】由题意设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”， 事件表示“骑共享单车”，事件表示“迟到”， 则. 由全概率公式可得小明这一天迟到的概率： . 解法一：小明迟到了，由贝叶斯公式得 他自驾去上班的概率是. 解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率. 故答案为：；. 【例题2】（23-24高二下·广东云浮·期中）长期熬夜可能影响免疫力.据某医疗机构调查，某社区大约有的人免疫力低下，而该社区大约有的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为 . 【答案】 【分析】设事件表示“免疫力低下”，事件表示“长期熬夜”，根据概率乘法公式求出，即可求出，再由条件概率公式求出. 【详解】设事件表示“免疫力低下”，事件表示“长期熬夜”， 则，，， 所以，， 所以， 所以． 【例题3】（23-24高二下·广东广州·期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设事件后根据题干得到，，，，由全概率公式求得，由乘法公式得到，由条件概率公式得到. 【详解】设事件为“抽到的学生来自高三（1）班”，事件为“抽到的学生来自高三（2）班”，事件为“抽到的学生参加数学兴趣社团”， 则，，，， 由全概率公式得， 由乘法公式得， 由条件概率公式得 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·广东广州·期末）长时间看手机有可能影响视力. 据调查，某校学生有 的人近视，而该校有 的学生每天看手机时间超过 ，这些人的近视率为 . 现从每天看手机时间不超过 的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为 . 【答案】0.4 【分析】由全概率公式求解即可. 【详解】记事件“抽到每天看手机时间超过的学生”，事件“抽到每天看手机时间不超过的学生”，事件“抽到近视的学生”， 由题意得，，，，， 因为， 所以，解得， 所以从每天看手机时间不超过的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为. 【巩固练习2】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（    ） ①事件与相互独立        ② ③                ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据独立事件的概念判断①，计算条件概率判断②，根据全概率公式求解判断②④，即可回答. 【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且，， 而，①错误； ，，所以，②正确； ，③正确； ，④错误，综上：结论正确的个数为2. 【巩固练习3】（2025·河北石家庄·一模）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全概率公式求出接收到的信号为0的概率，再利用条件概率公式计算即可求解. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，， ， ． 【巩固练习4】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式即可得解. 【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， ， ，则. 【巩固练习5】（23-24高二下·重庆·期中）甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． (1)求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； (2)在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用来表示甲、乙、丙三人的“通关”事件并求对应的概率，然后利用对立事件的性质和独立事件的乘法公式即可求解. （2）利用独立事件的乘法公式分别计算三人小组获得“团体奖”的概率和甲乙丙同时通关的概率，进而利用条件概率的计算公式即可求解. 【详解】（1）记事件“甲通关”、 “乙通关”、 “丙通关”， 则，. 甲、乙两人至少有1人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”， 所以,甲、乙两人至少有1人“通关”的概率等于. 故甲、乙两人至少有1人“通关”的概率为. （2）由题意得. 事件“三人小组获得团体奖”， 则 . 甲乙丙同时通关的概率. 所以. 故该三人小组获得“团体奖”的条件下，甲乙丙同时通关的概率为. 【巩固练习6】（23-24高二下·重庆·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得块月饼、黄球获得块月饼、绿球获得块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是 B．第二次抽到红球的概率是 C．如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为 D．小明获得块月饼的概率是 【答案】ACD 【分析】记红球为球，黄球为球，绿球为球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，，选项A，根据条件，利用条件概率公式，即可求出结果；选项B，先求出，，，，再利用全概率公式即可求出结果；选项C，利用条件概率公式及选项B中结果，即可求出结果；选项D，分三种情况讨论，分别求出对应概率，即可求出结果. 【详解】记红球为球，黄球为球，绿球为球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 对于选项A，在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是，所以选项A正确； 对于选项B，因为，又，，， 由全概率公式知，所以选项B错误， 对于选项C，如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， 所以选项C正确， 对于选项D，若小明获得块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得块月饼的概率是，故选项D正确 【题型9】贝叶斯公式与全概率公式的区分与综合运用 解题技巧 贝叶斯公式可以看作是全概率公式的逆向应用： 全概率公式： 贝叶斯公式： 我们来看看全概率公式和贝叶斯公式的区别。 从形式上看，全概率公式是求一个事件发生的总概率，而贝叶斯公式是求一个事件的条件概率。 从思想上看，全概率公式是将一个复杂的事件分解为若干个简单的子事件，然后利用子事件发生的概率和条件概率来求出复杂事件发生的概率。贝叶斯公式是利用已知的结果，反推出原因的可能性，然后利用原因发生的概率和条件概率来更新对原因发生的概率的估计. 从应用上看，全概率公式和贝叶斯公式可以相互配合，一般来说，全概率公式可以用来求出贝叶斯公式中的分母（结果发生的总概率），而贝叶斯公式可以用来求出全概率公式中的分子（子事件发生的条件概率） 典型例题 【例题1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4. （1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是 （2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率为 . 【答案】 0.7/ 0.8/ 【分析】（1）由全概率公式可得答案； （2）由可得答案. 【详解】设表示枪已校正，表示射击中靶， ， （1）； （2）. 【例题2】（23-24高二下·福建福州·期中）正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有、、的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】设事件分别表示“此人高一，高二，高三的学生”，事件D表示“此人感冒”，利用条件概率公式求出，根据题中条件可得出关于的不等式，解出之间的大小关系，分别对选项进行比较即可. 【详解】设事件分别表示此人高一，高二，高三的学生，事件D表示此人感冒， 则, ， 则， 因为来自高二年级概率最大，所以, 即, 即， 即，即 【例题3】（23-24高二下·浙江温州·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求： (1)它是第1台机床生产的概率是多少? (2)它是次品的概率是多少． (3)若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大?用具体数据说明． 【答案】(1) (2)0.048 (3)3，说明见解析 【分析】（1）根据第1，2，3台车床加工的零件数之比即可求得答案； （2）根据全概率公式，即可求得答案； （3）根据贝叶斯公式分别计算出在这个零件是次品的条件下由每个车间生产的概率，比较大小，即可判断出结论. 【详解】（1）由题意第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件， 它是第1台机床生产的概率； （2）设事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”， ， ， 现任取一个零件，它是次品的概率 （3）， ， ， 而，所以它是第3台机床生产的可能性最大． 【例题4】（23-24高二下·福建福州·期中）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答， （i）求丙取出的第一道题是选择题的概率； （ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从箱中取出的是两道论述题的概率． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）设出事件,利用全概率公式求解即可； （2）设出事件，，，并求出对应的概率，利用全概率公式求出，然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2， 则，，，. 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率. （2）设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”， 事件为“乙从A信封中取出2个选择题”， 事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”， 事件为“乙从A信封中取出2个论述题”， 则，，两两互斥且， 则，，， ，，， （i）所以丙取出的第一道题是选择题的概率为， （ii）已知丙取出的第一道题是选择题，乙从箱中取出的是两道论述题的概率为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·江苏徐州·期中）设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球． (1)现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率； (2)先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取2个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用互斥事件的定义，结合全概率公式进行求解即可； （2）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可. 【详解】（1）记事件：从甲袋中取出2个红球，：从甲袋中取出2个白球，：从甲袋中取出1个白球和1个红球，B：从乙袋中取出2个红球． 显然，，，两两互斥，且正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间． 由全概率公式，得 ． 答：从乙袋中取出的是2个红球的概率为． （2）设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“第一次取出的球是红球”为事件B，“第二次取出的球是白球”为事件C，则， ，， 故， 所以 答：第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为． 【巩固练习2】（23-24高二下·福建泉州·期中）ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%.已知输入的问题出现语法错误的概率为10%. (1)求ChatGPT的回答被采纳的概率； (2)若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率. 【答案】(1)；（2） 【分析】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件，记“输入的问题有语法错误”为事件，记“ChatGPT的回答被采纳”为事件，根据题意求出，，，，然后利用全概率公式可求得结果；（2）根据条件概率公式求解. 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件，记“输入的问题有语法错误”为事件，记“ChatGPT的回答被采纳”为事件， 则，，，， 所以 ; （2）若ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为 . 【巩固练习3】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份. (1)求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率； (2)若已知抽到的是男生和女生的报名表各1份，用概率公式判断该报名表取自哪一袋的可能性更大. 【答案】(1) (2)该报名表取自第一袋的可能性更大 【分析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”，根据题意求出，，，然后利用全概率公式可求出结果; （2）根据条件概率公式分别求出报名表取自第一袋的概率和报名表取自第二袋的概率，比较两个概率的大小可得答案. 【详解】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份， 恰好抽到男生和女生的报名表各1份”，则，，. 由全概率公式得 . （2）报名表取自第一袋的概率. 报名表取自第二袋的概率. 因为， 所以该报名表取自第一袋的可能性更大. 【题型10】三门问题 解题技巧 三门问题是一个经典的逻辑谜题，涉及概率论和决策理论。以下是几种有效的解题技巧： 1、条件概率法: 使用条件概率公式计算在主持人打开一扇空门后，换门与不换门的概率。 如果主持人故意打开一扇空门，换门的概率会增加，因为剩下的两扇门中，中奖的概率会重新分配。2、列举法: 通过列举所有可能的情况，计算换门与不换门的各种概率，从而得出最优解。 这种方法可以帮助理解在不同选择下各种情况的发生概率。 3、概率转移法: 分析主持人开门的动作如何影响剩余门的概率分布。 例如，如果主持人打开了一扇空门，原本不中奖的门现在变成了中奖，从而改变玩家的选择。 4、暴力解法: 通过暴力计算所有可能的门后情况，直接得出换门与不换门的中奖概率。 这种方法虽然计算量大，但能提供清晰的数学证明 5、类比法: 将三门问题与日常生活中的类似情况相比较，如抽奖或赌博，帮助理解主持人的行为如何影响玩家的选择 典型例题 【例题1】（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）在一个抽奖游戏中共有5扇关闭的门，其中2扇门后面有奖品，其余门后没有奖品，主持人知道奖品在哪些门后.参赛者先选择一扇门，但不立即打开.主持人打开剩下的门当中一扇无奖品的门，然后让参赛者决定是否换另一扇仍然关闭的门.参赛者选择不换门和换门获奖的概率分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率、全概率公式进行分析、计算，从而确定正确答案. 【详解】不换门：则与一开始随机选择一扇门的中奖概率一样，为； 假设换门： 若一开始选择的门有奖，则换门后的中奖概率为； 若一开始选择的门无奖，则换门后的中奖概率为． 所以换门的中奖概率为． 【例题2】（2024·浙江·一模）（多选）现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和全概率公式及逐项判断即可. 【详解】对于A，甲选择1号箱，奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，即，A错误； 对于B，，，，， 则， 因此，B正确； 对于CD，若继续选择1号箱，获得奖品的概率为，主持人打开了无奖品的箱子， 若换号，选择剩下的那个箱子，获得奖品的概率为，甲换号后中奖概率增大，C正确，D错误. 【例题3】（23-24高二上·山东德州·期末）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则 ； . 【答案】 / 【分析】分析出：若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，可求得的值；求得，对奖品所在的箱子进行分类讨论，求出的值，再利用全概率公式可求得的值. 【详解】若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，故； 奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此、、、的概率均为， 奖品在号箱里，主持人可打开、、号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故， 由全概率公式可得：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·河北保定·期中）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为且外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，则 . 【答案】 【分析】分奖品在、和号箱里三种情况，根据全概率公式计算即可. 【详解】奖品在1号箱里，主持人可打开2，3号箱， 故；奖品在2号箱里， 主持人打开3号箱的概率为1，故； 奖品在3号箱里，主持人只能打开2号箱， 故，由全概率公式可得：，. 【巩固练习2】（湖北黄冈·二模）（多选）1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（    ） A．你获得豪车的概率为 B．主持人打开3号门的概率为 C．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为 D．在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大 【答案】ABD 【分析】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门，然后用全概率公式和贝叶斯公式对选项进行分析即可 【详解】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门. 对于A，如题意所述，游戏参与者初次选择了1号门，因为在做选择的时候不知道豪车在哪个门里，故不影响豪车在三个门中的概率分配，所以事件发生的概率仍然为，即正确； 对于B，在选择了1号门的前提下，主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况： 豪车在1号门里，主持人打开2，3号门，故， 豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，故， 豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故， 由全概率公式，即正确； 对于C，由贝叶斯公式，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率为， 故选2号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即错误，正确. 故选：ABD 【巩固练习3】（2025·广东佛山·二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ． 【答案】 【分析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，根据条件求出，，，，利用全概率公式，即可求解；再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又 【巩固练习4】（23-24高二下·山西太原·期末）在一个抽奖游戏中，主持人在编号分别为的空箱（外观相同）中随机选择一个箱子放入奖品，并将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：1.抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个箱子中随机选择一个，在开箱之前，主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子（若此时两个箱子都是空的，则从中随机选取一个），并给抽奖人第二次选择箱子的机会，然后，主持人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.2.若奖品在打开的箱子里，则奖品由抽奖人获得；否则，抽奖人未获得奖品.3.游戏结束.已知抽奖人第一次选择了1号箱. (1)求主持人打开的空箱子是3号箱的概率； (2)若主持人打开的空箱子是3号箱，请问抽奖人是坚持选择1号箱，还是改选2号箱？请你给出建议，并说明理由. 【答案】(1) (2)建议抽奖人改选2号箱,理由见解析 【分析】（1）设 “奖品在第号箱子里” ，2，， “主持人打开3号箱”，由全概率公式有，然后结合题意即可求解； （2）利用条件概率求出，即可得解． 【详解】（1）设 “奖品在第号箱子里” ，2，， “主持人打开3号箱”， 由全概率公式，得 ； （2）因为， ， 所以， 即建议抽奖人改选2号箱． 模块三 全概率公式与递推数列（马尔科夫链） 典型例题 【题型11】传球模型 解题技巧 第一步：利用到全概率公式转化为这类数列的递推式 第二步：在转化为数列递推式后，使用“构造法”解出数列通项公式 构造法：若，可利用构造进行求解 课本原题：人教A版数学《选择性必修三》P91 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第１次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求次传球后球在甲手中的概率． 【解析】记第次传球后球在甲手中的概率为，则第次传球后球在甲手中的概率为， 开始时球在甲手中，则． 若第次传球后球在甲手中，则第次传球后球不在甲手中，即第次传球后球在乙或丙手中， 所以第次传球后球不在甲手中的概率为，又乙或丙在第次把球传到甲手上的概率为， 于是有，即，， 于是数列是首项为，公比为得等比数列， 所以，所以. 典型例题 【例题1】（高二下·广东广州·期末）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求出的表达式，即可求得的值. 【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，， 设“次传球后球在甲手中”，则， 则． 即， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，所以，， 所以次传球后球在甲手中的概率为． 【例题2】（23-24高二下·四川成都·期末）（多选）甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而可求出.进而逐项验证可得结论. 【详解】设表示经过第次传球后，球在甲手中， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 则， 所以，， ， 所以，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以， ，故C错误； . 【例题3】（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）（多选）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是 C．次传球后球在甲手上的概率是 D．2024次传球后球在甲手上的概率大于 【答案】AD 【分析】列举出经过2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算，可以判断A、B;记为“次传球后球在甲手上”, ,利用相互独立事件概率和条件概率探求与的关系，再用等比数列求解即可，判断C、D. 【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果， 它们等可能，2次传球后球在甲手上的事件有甲乙甲和甲丙甲，2个结果，所以概率是，故A正确； 第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果， 它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误； 记事件为“次传球后球在甲手上”，则有，令，则， 于是，即， 所以，而第1次传球后，球不可能在甲手中， 所以，从而，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，故错误； 由知，令，代入得，故D正确. 【例题4】（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则 【答案】 【分析】依题意利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可． 【详解】由题意可知，由全概率公式可得，， 所以， 又因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． 故答案为： ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为 ，第n次传球后球在乙手中的概率为 ． 【答案】 【分析】利用样本空间法，通过列举的方法计算概率；首先设第次传球后在乙手中的概率为，以及第次传球道甲或丙手中的概率为，求解关于数列的递推关系式，通过构造法求数列的通项公式. 【详解】每次传球都有2种可能，传球3次有种传球过程， 其中第3次传给乙，包含甲丙甲乙，甲乙丙乙，甲乙丙乙，3种传球过程，所以第3次传球后球在乙手中的概率为； 设第次传球后在乙手中的概率为，则第次传球道甲或丙手中的概率为， 故， 所以， 所以数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，即. 故答案为：； 【巩固练习2】（23-24高二下·重庆万州·期中）（多选）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在丙手上的概率是 B．2次传球后球在乙手上的概率是 C．2次传球后球在甲手上的概率是 D．n次传球后球在甲手上的概率是 【答案】BCD 【分析】列举出经2次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D. 【详解】对于A，第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为： 甲乙甲，甲乙丙，甲乙丁，甲丙甲，甲丙乙，甲丙丁，甲丁甲，甲丁乙，甲丁丙，共9个结果，它们等可能， 2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，甲丁丙，2个结果，所以概率是，故A错误； 对于B，2次传球后球在乙手中的事件有：甲丙乙，甲丁乙，2个结果， 所以概率是，故B正确； 对于C，2次传球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，甲丁甲，3个结果， 所以概率是，故C正确； 对于D，记n次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，， ，则， 于是得，即， 而，则数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，，即， 所以n次传球后球在甲手中的概率是，故D正确； 故选：BCD. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东佛山·期末）（多选）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人.下列说法正确的是（    ） A．已知第2次传球后球在甲手中，则球是由乙传给甲的概率为 B．已知第2次传球后球在丙手中，则球是由丁传给丙的概率为 C．第次传球后球回到甲手中的不同传球方式共有种 D．第次传球后球在乙手中的概率为 【答案】ACD 【分析】AB选项，列表，列举法求出相应的概率；C选项，设第次传球后球回到甲手中的不同传球方式有种，则，结合（1）中表格可得，变形后得到为公比为的等比数列，首项为，得到通项公式；D选项，设第次传球后球在乙，手中的概率，则，其中，变形得到为公比为的等比数列，首项为，得到通项公式. 【详解】选项AB，可通过列表得到，表格如下： 第一次传球后 乙 丙 丁 第二次传球后 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙 A选项，由题意得，第2次传球后球在甲手中的情况有3种， 其中乙传给甲的情况占其中1种，故概率为，A正确； B选项，由题意得，第2次传球后球在丙手中的情况有2种， 其中是丁传给丙的情况占其中1种，故概率为，B错误； C选项，设第次传球后球回到甲手中的不同传球方式有种， 则，结合（1）中表格可得， 故，设， 即，故，解得， 故， 故为公比为的等比数列，首项为， 故，故， 第次传球后球回到甲手中的不同传球方式共有，C正确； D选项，设第次传球后球在乙，手中的概率， 则，其中， 设， 故，所以，解得， 故， 故为公比为的等比数列，首项为， 故，故，D正确. 【巩固练习4】（23-24高二下·贵州铜仁·期末）在2024年5月举行的第一届全国全民健身大赛（西南区）篮球项目贵州选拔赛暨2024年贵州省篮球公开赛中，铜仁市代表队凭借出色的技术和顽强拼搏的精神，从全省42支队伍中脱颖而出，闯进决赛．受此影响，铜仁市某校掀起了篮球运动的热潮，在一次篮球训练课上，甲、乙、丙三位同学进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人． (1)求2次传球后球在甲手中的概率； (2)设次传球后球在甲手中的概率为，求证数列为等比数列，并求数列的通项公式； (3)现在丁加入传球训练，且甲、乙、丙、丁四人分别站定于如图所示的四点（为正方形的四个顶点），且每次传球时，传球者将球传给相邻同学的概率为，传给对角线上同学的概率为（例如：甲传球给乙或丁的概率都是，传球给丙的概率是；若第一次仍由甲将球传出，则次传球后，试比较球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3)答案见解析. 【分析】（1）分析出两次传球后球在甲手中的事件含有的基本事件，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得. （2）由第n次传球后球在甲手中的事件发生，必有第次传球后球不在甲手中的，得即可推理得证. （3）设设第n次传球后球在甲乙丙丁手中的概率分别为，由题意推理计算得它们的通项，再比较大小即得. 【详解】（1）依题意，传球2次后球在甲手中包括两个基本事件，即：甲乙甲和甲丙甲， 所以传球2次后球在甲手中的概率为. （2）设第n次传球后球在甲手中的概率为， 则当时，第次传球后球在甲手中的概率为，第次传球后球不在甲手中的概率为， 显然，若要第n次传球后球在甲手中，则第次传球后球必定不能在甲手中， 无论此时球在乙或丙的手中，传给甲的概率都是，则有，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列，，即. （3）设第n次传球后球在甲手中的概率，球在乙手中的概率， 球在丙手中的概率,则球在丁手中的概率， 则有， ，， ，， 于是，且，又， 则是以为首项，为公比的等比数列，， 又于是， 而，且有， 于是，又，则， 若为奇数，则，此时， 若为偶数，则，此时. 【题型12】状态转移模型 概念解读 题型特点：给定初始状态和状态转移概率矩阵，计算后续某一步的状态概率。 常见形式：一步转移概率（如从状态 A 到状态 B 的概率）。 多步转移概率（通过矩阵乘法计算多步后的状态分布）。 示例：某天气模型中，今日晴天→明日晴天的概率为 0.6，晴天→雨天为 0.4。若今天是晴天，求两天后为雨天的概率。 典型例题 【例题1】（23-24高二下·浙江温州·期中）一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件“第次命中目标”，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件概率公式及对立事件概率公式，全概率公式求解即可. 【详解】由题意，， 所以. 又， 所以， 所以. 【例题2】（23-24高二下·浙江·期中）（多选）有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（    ） A． B． C．是等比数列 D．是递减数列 【答案】AD 【分析】根据题意，由全概率公式分析可得，由此分析A，进而对该式变形可得，由数列与概率的关系分析B、C、D，综合可得答案. 【详解】根据题意，有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5， 则每次旋转中，指针指向数字为偶数的概率为，指向数字为奇数的概率为， 则，又由， 则，故A正确； 对于，变形可得，，则， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 故，变形可得， 对于B，，，则，故B错误； 对于C，， 此时，而， 所以数列不是等比数列，故C错误； 对于D，， 由于，故是递减数列，故D正确. 故选：AD. 【例题3】（2025·广东佛山·一模）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． (1)证明：； (2)若，，求和． 【答案】(1)证明见解析 (2), 【分析】（1）根据条件概率的意义可证明； （2）利用（1）中的结果可求，结合全概率公式可得，利用构造法可求. 【详解】（1）若第次为甲发球的条件下第次还是甲发球， 则第次甲没有发出ACE球，故此时， 若第次不是甲发球的条件下第次是甲发球， （1）乙发ACE球，则第次是甲发球； （2）乙没有发出ACE球，则有的概率第次是甲发球； 故， 故. （2） ，, 故，所以即， 所以， 故 而，故为等比数列， 故即. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2023·新高考Ⅰ卷T21）乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【解析】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． 【巩固练习2】（2025·广东江门·一模）在某平台开展闯关赢奖品活动中，用户每次进入新的一关都有一次抽奖机会．已知用户在第一关抽到奖品的概率为．从第二关开始，若前一关没抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为；若前一关抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为．记用户第关抽到奖品的概率为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式，再利用构造法求出通项公式，按的奇偶分类求解得最大值. 【详解】依题意，，记用户第关抽到奖品为事件，当时，， ，，， 于是，则， 而，因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 当为奇数时，，则； 当为偶数时，，数列是递减数列，， 所以的最大值为. 【巩固练习3】某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出甲同学回答第题时答错的概率，构造得到数列是等比数列，从而利用等比数列通项得到数列递减，由函数单调性即可得到答案. 【详解】因为回答第题时有答对、答错两种情况，则回答第题时答错的概率， 所以， 由题意知，则， 所以是首项为、公比为的等比数列， 所以，即. 显然数列递减，所以当时，， 所以的最小值为. 【巩固练习4】（23-24高三上·重庆·阶段练习）重庆南山风景秀丽，可以俯瞰渝中半岛，是徒步休闲的好去处. 上南山的步道很多，目前有标识的步道共有 18条. 某徒步爱好者俱乐部发起一项活动，若挑战者连续12天每天完成一次徒步上南山(每天多次上山按一次计算) 运动，即可获得活动大礼包. 已知挑战者甲从11月1号起连续12天都徒步上南山一次，每次只在凉水井步道和清水溪步道中选一条上山. 甲第一次选凉水井步道上山的概率为 而前一次选择了凉水井步道，后一次继续选择凉水井步道的概率为 前一次选择清水溪步道，后一次继续选择清水溪步道的概率为 ，如此往复. 设甲第n(n=1，2，…， 12)天走凉水井步道上山的概率为 . (1)求 和； (2)求甲在这12 天中选择走凉水井步道上山的概率小于选择清水溪步道上山概率的天数. 【答案】(1)，； (2)11天. 【分析】（1）利用互斥事件和相互独立事件的概率公式列式计算，结合构造法求数列通项求解. （2）利用（1）的结论，解不等式即可. 【详解】（1）甲第二天走凉水井步道上山的概率为，依题意，； 由题意得， 整理得，而， 因此数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以. （2）由题意知，选择走凉水井步道上山的概率小于走清水溪步道上山概率只需， 即，有，即， 当为偶数，恒成立； 当为奇数时，即当时，有即可，而当时，，显然不成立； 当时，，即当时成立，又数列单调递减，因此当时成立， 因此有11天符合要求， 所以甲在这12 天中选择走凉水井步道上山的概率小于选择清水溪步道上山概率的天数是11天. 【题型13】赌徒破产模型 概念解读 赌徒有本金3元，每局赢1元的概率0.5，输1元的概率0.5，输光或赚到5元时停止。求输光的概率。 解答： 设 为当前有 i 元时输光的概率，递推方程为： 边界条件： 解得： 典型例题 【例题1】（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率 . 【答案】/ 【分析】设当赌徒手中有元时，最终输光的概率为，分别计算和，由全概率公式可得，可证明为等差数列，从而求出通项公式，得出结果. 【详解】设当赌徒手中有元时，最终输光的概率为， 当时，赌徒已经输光了，所以， 当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率为， 记：赌徒有元最后输光的事件，：赌徒有元下一次赢的事件， 所以， 即，所以， 所以为等差数列，设， 由于，所以， 所以， 故 【例题2】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示． 当赌徒手中有n元时，最终欠债A元（可以记为该赌徒手中有元）概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义． 【答案】(1)，； (2)证明见解析，； (3)当时，，当时，；论述见解析． 【分析】（1）按照游戏约定，易得，； （2）由全概率公式得出数列的递推公式，根据等差数列的定义易得为等差数列，运用累加法和，的值即可求得公差； （3）根据（2）求得的概率通项式，代入和，整理即得，逐一代入值，即可求出的值，分析即得结论. 【详解】（1）当时，赌徒已经欠债元，因此． 当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率； （2）记赌徒有n元最后输光的事件，赌徒有n元上一场赢的事件， ，即， 所以， 所以是一个等差数列， 设，则， 累加得，故，得； （3），由（2）， 代入可得，即， 当时，，当时，， 当B增大时，也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家， 即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光并负债． 巩固练习 题型 【巩固练习1】随着互联网高速发展，传统的线下赌博也呈现出逐渐发展到线上的趋势，搭上互联网便车的新型赌博模式，其危害性和隐蔽性比起传统赌博模式有过之而无不及，其迷惑性更大，传播范围更广，线上赌博的特点往往是披着“公平游戏”的外衣，利用人性的贪婪最终赌徒输光了一切，如何认识“久赌无赢，赌徒输光”的现象？概率知识给你一双慧眼！有一种掷骰子走跳棋的线上“游戏”：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…第站……，规定玩家本金为元时，棋子的初始位置在第站，且掷骰子每局赢的概率为，输的概率也；玩家赢一局，棋子向前跳一站，输了则向后跳一站.若棋子在第0站则游戏结束：若棋子不在第0站而玩家要终止游戏，则棋子在第站，玩家可得到元.现有某玩家想要赢得含本金的元（且）时停止游戏，设此玩家手头拥有（，且）元时，输光的概率为. （1）求，； （2）证明：为等差数列； （3）求此玩家本金为100元时，想要赢得含本金的1000元的概率？并试用概率知识来解释“即使是公平的游戏，赌徒最终会输光本金”. 【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）答案见解析. 【解析】（1）由必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，直接求解即可； （2）设有本金元，由于掷骰子每局赢的概率为，输的概率也，所以一局游戏结束后，可能会剩元和元，所以，进而得，从而可证得为等差数列； （3）由（2）可得，可求得玩家本金为100元时，想参与该游戏获得1000元的概率为，而当，，由此可知即使是公平的游戏，赌徒最终会输光本金 【详解】解：（1）玩家手头有0元表示输光了，这是必然事件，所以， 玩家通过游戏获得元停止游戏，输光是不可能事件，所以 （2）玩家下一局手头获得元，可由上一局手头元得到，或者手头元得到 ， 所以数列（）首项为，公差为的等差数列 (3)玩家手头拥有元时，输光的概率为 所以玩家本金为100元时，想参与该游戏获得1000元的输光的概率， 故玩家本金为100元时，想参与该游戏获得1000元的概率为 当赌徒无限贪婪时，即，， 所以即使是公平的游戏，赌徒最终会全部输光本金 【巩固练习2】（浙江杭州·二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示． 当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义． 【答案】(1)， (2)证明见解析； (3)时，，当时，，统计含义见解析 【分析】（1）明确和的含义，即可得答案； （2）由全概率公式可得，整理为，即可证明结论； （3）由（2）结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义. 【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此. 当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率. （2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元且下一场赢的事件, , 即， 所以， 所以是一个等差数列， 设，则， 累加得，故，得， （3），由得,即, 当时，， 当时，， 当时，，因此可知久赌无赢家， 即便是一个这样看似公平的游戏， 只要赌徒一直玩下去就会的概率输光． 【题型14】循环摸球模型 概念解读 题型特点：求解长期稳定后各状态的概率分布。 典型例题 【例题1】（2024·江苏·一模）（多选）有n（，）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件（，2，3，…，n），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，由概率的公式即可判断AC，由条件概率的公式即可判断B，由与的关系，即可得到，从而判断D 【详解】对A，，所以A错误； 对B，，故，所以B正确； 对C，，所以C正确； 对D，由题意：，所以， ，，所以， 所以， 则，所以D错误． 【例题2】（23-24高二下·江苏淮安·期中）有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球. (1)从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率； (2)从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件 ①求；②求 【答案】(1) (2)①，，；② 【分析】（1）直接根据分步计数原理和古典概率公式计算即可； （2）是条件概率公式的乘法形式，则是根据代入条件概率公式计算，需要根据容斥原理计算，因为不互斥，计算则属于马尔科夫链的概率模型，其本质为全概率公式，通过全概率公式计算和即可计算. 【详解】（1）； （2）①， ， ， ； ②， . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）有n（，）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件（，2，3，…，n），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，由概率的公式即可判断AC，由条件概率的公式即可判断B，由与的关系，即可得到，从而判断D 【详解】对A，，所以A错误； 对B，，故，所以B正确； 对C，，所以C正确； 对D，由题意：，所以， ，，所以， 所以， 则，所以D错误． 【巩固练习2】（23-24高二下·广东广州·期末）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . (1)求 与 ； (2)设 ，求证：数列是等比数列； 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【分析】（1）结合独立事件乘法公式求，利用全概率公式求； （2）利用全概率公式求得、与、的关系，从而得到与的关系，证明数列是等比数列； 【详解】（1）为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则， 为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则. （2）是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个、0个3种情况，所以 是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个2种情况，所以， 所以， 从而数列是以为首项，以为公比的等比数列. 【巩固练习3】（2025·湖北·模拟预测）一袋中装有3个红球，5个黑球，从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作. （1）第二次取出的球是黑球的概率为 ； （2）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次和第2025次取出的球都是黑球的概率为 . 【答案】 【分析】（1）利用全概率公式即可解决； （2）计算、等探寻规律即可发现其概率均为. 【详解】记表示第i次取到黑球，则 （1）， 则第二次取出的球是黑球的概率为. （2） ……… 事实上，可以证明：①； ②；③. 【巩固练习4】(2024届·湖北荆荆恩高三联考)甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，恰有3个黑球的概率为. (1)求； (2)设，证明：； 【答案】(1)， (2)证明见解析，(3)2 【分析】（1）交换后甲盒有黑球，说明两个盒子相互交换个白球或者交换个黑球，若交换后甲盒有黑球，说明甲给乙白球，乙给甲黑球； （2）根据全概率公式进行求解； （3）根据（2）的结论和期望公式进行求解即可. 【详解】（1）由题可知： ， （2）次操作后，甲盒有一个黑球的概率，由全概率公式知： ， 即 【题型15】随机前进模型 概念解读 题型特点：求解长期稳定后各状态的概率分布。 典型例题 【例题1】（多选）某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格．从第0格起跳，记跳到第格的概率为，则（    ） A． B． C．数列为等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】 由题意求出两枚骰子的点数均为奇数的概率为，计算出，从而得到，所以 ，求解即可. 【详解】两枚骰子的点数均为奇数的概率，故玩家每次往前跳两格的概率为， 往前跳一格的概率为，则，A正确，B不正确． 由题可知，， 则， 故数列为常数列，也是等差数列，C正确． 又，得， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，则，D正确． 故选：ACD. 【例题2】（23-24高二下·山东青岛·期中）（多选）一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为．则（    ） A． B． C．是等比数列 D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合等比数列通项公式，等比数列求和公式及累加法求得，即可判断各选项． 【详解】由题可知，质点运动到的概率， 则，故A错误； 运动到分两种情况，由点向右运动1个单位，由点向右运动2个单位， 所以，故B正确； 上式变形为：， 所以是以为公比的等比数列，首项为， 所以， 所以 ， 所以是首先为，公比为的等比数列，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·湖南长沙·一模）（多选）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．小华一共前进3步的概率最大 【答案】BC 【分析】根据题意直接求概率判断选项A，然后根据题意求出递推公式即可判断选项B，根据递推公式判断数列是首项为，公比为的等比数列，求通项公式判断选项C，分类讨论求解概率通项的最大值判断D. 【详解】根据题意，小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以，， 故选项A错误； 当时，其前进几步是由两部分组成：先前进步，再前进1步，其概率为， 或者先前进步，再前进2步，其概率为，所以， 故选项B正确； 因为，所以， 而，所以，即， 故选项C正确； 因为当时，，所以， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，所以. 当n为奇数时，为偶数，则，此时数列单调递增，所以； 当n为偶数时，为奇数，则，此时数列单调递减， 所以； 综上，当时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故选项D错误. 【巩固练习2】（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．小华一共前进3步的概率最大 【答案】BC 【分析】根据题意直接求概率判断选项A，然后根据题意求出递推公式即可判断选项B，根据递推公式判断数列是首项为，公比为的等比数列，求通项公式判断选项C，分类讨论求解概率通项的最大值判断D. 【详解】根据题意，小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以，， 故选项A错误； 当时，其前进几步是由两部分组成：先前进步，再前进1步，其概率为， 或者先前进步，再前进2步，其概率为，所以， 故选项B正确； 因为，所以， 而，所以，即， 故选项C正确； 因为当时，，所以， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，所以. 当n为奇数时，为偶数，则，此时数列单调递增，所以； 当n为偶数时，为奇数，则，此时数列单调递减， 所以； 综上，当时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故选项D错误. 故选：BC 【题型16】稳态分布模型 概念解读 题型特点：求解长期稳定后各状态的概率分布。 典型例题 【例题1】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【答案】C 【分析】根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为， 则楼上食堂用午餐的学生数大约为，原本在楼上食堂且留下的学生：占比，即，从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的，即， 所以，解得. 所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·河南郑州·三模）抛掷一枚不均匀的硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率为，记次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为，则数列的通项公式 ． 【答案】． 【分析】先由题意得到递推公式，再构造等比数列求出通项即可. 【详解】根据题意有：抛掷n次偶数次正面向上的情况由抛掷次偶数次正面向上的情况下第n次反面向上，或抛掷次奇数次正面向上的情况下第n次正面向上组成， 可得递推关系为， 构造数列， 所以，即数列是以为首项，以为公比的等比数列， 又抛一次硬币，偶数次正面向上为0次，此时，所以 所以 【巩固练习2】（2024·江苏·模拟预测）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，求某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为． 【答案】 【分析】根据题意先求与的关系，然后利用构适法可得通项. 【详解】依题意，，即， 则有，当时，可得， 数列是首项为公比为的等比数列，则，时，， 【巩固练习3】为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐. 已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复. （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率 （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为 （Ⅰ）证明：为等比数列；（Ⅱ）证明：当时，. 【解析】（1）设“第1天选择米饭套餐”，“第2天选择米饭套餐”，则“第1天不选择米饭套餐”，于是，，，，， 由全概率公式； （2）（Ⅰ）设“第天选择米饭套餐”，则，， ，， ， 所以，是以为首项，为公比的等比数列。 （Ⅱ）， 当为大于1的奇数时，； 当为正偶数时，； 综上所述，当时，. 【题型17】随机游走模型 概念解读 对称游走：粒子从原点出发，每步左右移动概率均为0.5。求5步后首次回到原点的概率。 典型例题 【例题1】（多选）随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活．为了测试某品牌扫地机器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一个顶点等可能的移动到另外两个顶点之一，记机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序．若开始时，机器人从点出发，记机器人执行次程序后，仍回到点的概率为，则下列结论正确的是（    ） A． B．时，有 C． D． 【答案】BCD 【分析】 根据题意，易得，故A错误；对于B，首先要理解是指执行第次程序后仍回到点的概率，在考虑时，必须是在执行第次程序后没有回到点的情况，即机器人在第次程序应在点或点，其概率为，而下一次有的概率回到点，故有大于等于2时，有，即得B项；对于数列递推式，采用凑项法构造等比数列即可求得通项，得C项，验证数列第7项即得D项. 【详解】 对于A选项，机器人第一次执行程序后，来到或点，故，第二次执行程序后，有的概率回到点，故故A项错误； 对于选项，为执行第次程序后仍回到点的概率，要想执行次程序后仍回到点，则执行第次程序后应在或点， 且下一次有的概率回到点，故当大于等于2时，有，即，故B项正确； 由选项知，即，设，对比系数，可得， 于是，又，所以是首项为，公比为的等比数列， 故，故项正确； 对于C选项，由项可得，故C项正确． 故选：BCD． 【例题2】（24-25高二上·山东·期中）质点每次都在四边形的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在点，则经过次移动到达点的概率为 ，经过次移动到达点的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别设出点移动到的概率，由第步和第之间的关系，得出递推关系式，即可得出数列的通项公式. 【详解】设移动次后，点移动到的概率分别为，，，， 则，，，，， ，所以， ，又，所以.所以. 所以，所以 又，所以是以为首项，以为公比的等比数列， 故. 又，所以. 于是移动次后到达点的概率是 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在多面体的顶点处有一质点S，质点S每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点S的初始位置在点A处，记质点S移动n次后仍在平面ABCD上的概率为，则 ； ．    【答案】 【分析】先求出，再由题意归纳出的递推式子，进而构造数列，进而求和. 【详解】质点S点A处时，移动一次可以到四个位置的其中一个， 其中两个位置在平面ABCD上，因此, 因为当质点在时，移动一次一定在平面ABCD上， 所以当质点移动第二次时，质点仍在平面ABCD上的概率， 因此， 即， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，公比的等比数列， 所以. 【巩固练习2】（23-24高二下·福建泉州·期中）随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活．为了测试某品牌扫地机器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一个顶点等可能的移动到另外两个顶点之一，记机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序．若开始时，机器人从点出发，记机器人执行次程序后，仍回到点的概率为，则 ．    【答案】 【分析】根据题意分析可得递推公式，再构造数列求解即可. 【详解】为执行第次程序后仍回到点的概率， 要想执行次程序后仍回到点， 则执行第次程序后不在点，而是在或点，且下一次有的概率回到点， 故当大于等于2时，有， 设，对比系数，可得，于是， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 故，即． 【巩固练习3】（2025·福建福州·模拟预测）在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第1次运动，机器人可以运动到，，或）．若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成功”，则运动2025次后机器人“成功”的概率为 ． 【答案】 【分析】设2025次后机器人在处的概率为，在①处的概率为，在②处的概率为，在③处的概率为，则由题意可得，，，，进而求得结论. 【详解】如图，斜方格具有对称性，因而若机器人运动过程不走出斜方格阵，只需考虑机器人位于斜方格阵中的①、②、③处位置即可，设2025次后机器人在处的概率为，在①处的概率为，在②处的概率为，在③处的概率为． 则，，，． 将，，代入到中，得， 又由题意得，，则， 所以，则，，， 所以概率． 【课后巩固】 1. 已知，则 ． 【答案】 【分析】应用概率乘法公式将算两次，建立方程求解即可. 【详解】由概率乘法公式可知，， 已知，代入上式则，解得. 2. （23-24高二下·湖北武汉·期中）对于随机事件，记为事件的对立事件，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由条件概率公式可得，再由，再结合条件概率的公式即可得到结果. 【详解】由题意可得，，且，则， 又因为，则， 且，所以. 3. 10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张，则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为 ． 【答案】 【分析】设事件A表示“第一次抽到中奖券”，事件B表示“第二次抽到中奖券”，则，，利用条件概率计算公式即可得解． 【详解】设事件A表示“第一次抽到中奖券”，事件B表示“第二次抽到中奖券”， ∴，， ∴在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率：. 4. 盒中有个质地，形状完全相同的小球，其中个红球，个绿球，个黄球；现从盒中随机取球，每次取个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为 . 【答案】 【分析】分别计算“第一次取到红球”的概率和“第一次取到绿球，第二次取到红球”的概率后相加即可. 【详解】没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球” 记事件表示第一次取到红球，表示第二次取到红球，表示第一次取到绿球， 则，， ∴没有取到黄球的概率为. 5. 有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用事件A表示“甲被安排到了冰壶”，以A为样本空间，利用古典概率公式求解作答. 【详解】用事件A表示“甲被安排到了冰壶”，B表示“乙被安排到了冰壶”， 在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶就是在事件A发生的条件下，事件B发生， 相当于以A为样本空间，考查事件B发生，在新的样本空间中事件B发生就是积事件AB，包含的样本点数， 事件A发生的样本点数， 所以在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为. 6. （2024·江西鹰潭·二模）质数又称素数，我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7……，在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列出所有的素数，再根据古典概型及条件概率相关知识可解. 【详解】在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数有对组合， 在不超过20的正整数中有共个数， 所以， 所以任取两个素数共有个对组合， 其中是“孪生素数”有，，，共对， 所以这两个数不是孪生素数的共有对， 所以，所以. 7. （2024·广东广州·一模）甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得. 【详解】依题意可得，，，， 所以，故A正确、B正确、C错误； ，故D正确. 8. （23-24高二下·福建福州·期中）2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示的E处，陈同学家在如图所示的F处，人民广场在如图所示的 G 处.下列说法正确的是（   ） A．张同学到陈同学家的最短路径条数为6条 B．在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F处和陈同学汇合并一同前往的概率为 C．张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选的最短路径有22条 D．张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A：张同学经过陈同学家；事件B：从F到人民广场两人的路径没有重叠部分 （路口除外），则. 【答案】AB 【分析】对于A：4格中2格向上，2格向右的问题；对于B：先求出张同学去人民广场选择的最短路径中总的基本事件，再求出和陈同学回合后的基本事件数，利用古典概型解答；对于C：间接法，先求出不欣赏灯光秀的情况数，再用总数一减即可；对于D：求出和，再利用条件概率公式求解. 【详解】对于A：最短路径为共走4格，其中向上走2格，向右走2格，条数为，A正确； 对于B：在张同学去人民广场选择的最短路径中， 总的基本事件：共走7格，其中向上走3格，向右走4格，即有种走法， 到F处和陈同学汇合并一同前往，首先到处，有种走法，再到人民广场，共走3格，其中向上走1格，向右走2格，即有种走法，则到F处和陈同学汇合并一同前往的基本事件有种， 则概率为，B正确； 对于C：在张同学去人民广场选择的最短路径共种走法，若途中不经过花海欣赏灯光秀， ①先从走到有种走法，再从走到有2种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法， ②先从走到有种走法，再从走到有种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法， ③先从走到，再走到有种走法， 综合得途中不经过花海欣赏灯光秀总共有种走法， 则欣赏灯光秀有种走法，C错误； 对于D：，D错误. 9. （多选）已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若B和C是两个互斥事件，则 D．当时， 【答案】ACD 【分析】根据条件概率的公式和性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以．A正确． ，B错误． 若B和C是两个互斥事件，则，C正确． 因为，所以． ，D正确． 10. 某人从A地到B地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从A地到B地迟到的概率是（    ） A．0.16 B．0.31 C．0.4 D．0.32 【答案】B 【分析】根据全概率公式结合已知条件求解即可. 【详解】设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”， 则，，，，，，， 由全概率公式得： . 11. （23-24高二下·广东广州·期末）（多选）校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”，表示事件“志愿者乙派往铅球区域”，表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则（    ） A．A与相互独立 B．与互斥 C． D． 【答案】BCD 【分析】AC选项，先计算出每个区域至少派1名志愿者的方案数，进而得到，，同理可得，求出，根据，得到A错误，C正确；根据互斥事件的定义得到B正确；D选项，求出，，利用条件概率求出答案. 【详解】AC选项，每个区域至少派1名志愿者，方案为，故有种选择， 志愿者甲单独派往铅球区域，有种选择， 志愿者甲和另一人同时派往铅球区域，先从乙，丙和丁选1人，再将剩余2人进行全排列，有种选择， 综上，，故，同理可得， 事件，甲和乙均派往铅球区域，丙和丁和剩余两个区域进行全排列， 故情况数为，故，C正确， 由于，A与不独立，A错误； B选项，志愿者乙要么派往铅球区域，要么派往跳远区域，不可能同时派往两个区域，故与互斥，B正确； D选项，事件：甲派往铅球区域，乙派往跳远区域，剩余丙丁安排如下： 若丙和丁选择1人派往铅球区域，另外一人则在跳高区域，则有种选择， 若丙和丁选择1人派往跳远区域，另外一人则在跳高区域，则有种选择， 若丙和丁均在跳高区域，则有种选择， 综上，，， 故，D正确. 故选：BCD 12. （23-24高二下·江苏南通·阶段练习）某高三班主任老师结合学生三年的表现，调查发现班级勤懒生人数之比为，结合以前的学生高考后的表现，勤生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.001，而懒生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.491.展望今年高考，他清楚地知道，自己班上一定有学生会在高考后流下悔恨的泪水。若真如该老师所料，有一位学生流下了悔恨的泪水，则这个学生恰好是一名懒生的概率为 【答案】/ 【分析】记事件“抽取学生是勤生”， 事件“抽取学生是懒生”， 事件“抽取学生流下了悔恨的泪水”，利用条件概率的公式可得和，进而可得，则由可得答案. 【详解】记事件“抽取学生是勤生”， 事件“抽取学生是懒生”， 事件“抽取学生流下了悔恨的泪水”， 则依题意有，， ， 同理，，， 故， . 13. （23-24高二下·广东深圳·期中）（多选）在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（    ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为 【答案】ABD 【分析】由已知结合条件概率公式及全概率公式检验各选项即可判断. 【详解】用，分别表示抽到学生是男生、女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼， 由题意得，，，， 则， 由全概率公式得，故A、B正确； ，，故C错误，D正确； 14. （高二下·浙江·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一个人，若次传球后球在甲手中的概率为，则 . 【答案】 【分析】记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”，设次传球后球在甲手中的概率为，得到，化简整理得，即，结合等比数列的通项公式，即可求解，进而可求解. 【详解】记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为， 则有， 所以 ， 即， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 所以 15. （23-24高二下·河北保定·期中）（多选）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲､乙､丙手中的概率依次为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于ABC，由古典概率计算公式即可判断；对于D，由全概率公式即可判断. 【详解】第一次传球后到乙或丙手里，故，第二次传球，乙或丙有的概率回到甲手里，故，故A正确； 第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为： 甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能， 3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误； 第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙共4个结果，它们等可能， 2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1个结果，所以概率是，故C正确； ，即，故D正确. 故选：ACD. 16. （23-24高二下·吉林延边·阶段练习）“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓，已知该粒子的初始位置在2号仓. 则粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率=    【答案】 【分析】记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为，粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为，所以，进一步可得，然后利用构造法可得为等比数列，即可得解. 【详解】记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为， 粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为， 则， 消去，得， 即，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， ； 故答案为： 17. （23-24高二下·江苏常州·期中）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. (1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； (2)求第一次取出的是白球的概率； (3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 (1)合理设出事件，利用条件公式进行求解； (2) 利用全概率公式进行求解； (3) 利用全概率公式，条件概率公式进行求解； 【详解】（1）记“随机取到甲袋”为事件，“随机取到乙袋”为事件，“第一次取出的是白球”为事件，“第二次取出的是白球”为事件. . 所以取到甲袋且从中取出的两球均为白球的概率为. （2） 所以第一次取到白球的概率为. （3） 所以. 所以第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率为. 18. （23-24高二下·江苏无锡·期中）一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个球，其中3个黑球，2个白球，不放回的依次取出2个球，求： (1)求第次抽到黑球且第次也抽到黑球的概率； (2)已知第次抽到黑球，则第次抽到黑球的概率； (3)判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”是否互相独立． 【答案】(1) (2) (3)不相互独立 【分析】（1）先记事件为“第一次取到黑球”，事件为“第二次取到黑球”，则事件为“两次都取到黑球”，由古典概型的概率，即可求出结果； （2）由条件概率公式即可求得； （3）计算出，得到，则可判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”不互相独立. 【详解】（1）设“第1次抽到黑球”，“第2次抽到黑球”， 第1次抽到黑球且第2次也抽到黑球的概率为 . （2）依题意知，又， 则在第1次抽到黑球的条件下第2次抽到黑球的概率为 . （3）第1次抽到黑球的概率， 第2次抽到黑球的概率. 所以， 由（1）知， 所以， 则事件“第1次抽到黑球”与“第2次抽到黑球”不相互独立. 19. （23-24高二下·浙江嘉兴·期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)如果依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，每次取1个，已知第二个是次品的条件下，求第一个是正品的概率； (3)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出这个产品是正品的概率． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得； （2）令事件“第次从乙箱中取到次品”，，利用全概率公式及条件概率的概率公式计算可得； （3）记事件=“从乙箱取一个正品”，从甲箱中取出两个正品、一个正品一个次品、两个次品的事件分别记为，再利用全概率计算可得. 【详解】（1）记“这个产品都是次品”为事件，则. （2）令事件“第次从乙箱中取到次品”，则“第次从乙箱中取到正品”，， 则，，，， 因此， 所以. （3）令事件=“从乙箱取一个正品”， 事件=“从甲箱中取出两个正品”，事件=“从甲箱中取出一个正品一个次品”， 事件=“从甲箱中取出两个次品”，互斥，且， ，， 则 ，所以从乙箱中取出的这个产品是正品的概率是. 2 / 99 学科网（北京）股份有限公司 $$