第1章 教考衔接1 函数y＝Asin(ωx＋φ)中ω的求解策略(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[对应学生用书P36] 一、真题展示 1．(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 2．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为______． 二、真题溯源 (教材P75复习题一C组第1题)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，试画图找出f(x)的最小正周期． 三、类法探究 三角函数是高中数学的重要组成部分，而ω是三角函数内容中的主要要素，求ω的值主要通过三角函数的性质来求解．数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式．运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用、相辅相成． 类型一　三角函数的单调性与ω的关系 已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递减，则实数ω的取值范围是(　　) A． B． C．[1,2) D． [解析]　依题意，≥π－＝， 即T≥π，又T＝，所以 解得0＜ω≤2，又x∈， 所以ωx＋∈， 所以＜ω＋≤， 要使函数在上单调递减，所以 解得≤ω≤，故选B． [答案]　B 若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解． 类型二　三角函数的对称性与ω的关系 记函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为T，且y＝f(x)的图象关于x＝对称，当ω取最小值时，f＝________. [解析]　由y＝f(x)的图象关于x＝对称，则ω×＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝6k－2，k∈Z，又ω>0，∴当k＝1时，ω取得最小值4， 此时f(x)＝cos，T＝＝， ∴f＝f＝cos ＝cos＝－. 故答案为－. [答案]　－ 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围． 类型三　三角函数的周期T与ω的关系 为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　) A．98π B．π C．π D．100π [解析]　由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.故选B． [答案]　B 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系． 类型四　三角函数的最值与ω的关系 已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________． [解析]　由题意显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω.因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥. 若ω＜0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥. [答案]　 若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或范围． [跟踪训练] 1．已知直线x＝为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的一条对称轴，f(x)的图象与直线y＝的交点中，相邻两点间的最小距离为，那么函数f(x)＝(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin 解析　由sin(ωx＋φ)＝，得ωx1＋φ＝＋2kπ(k∈Z)或ωx2＋φ＝＋2nπ(n∈Z)，所以相邻两点间的距离为ω|x2－x1|＝或ω|x2－x1|＝，所以相邻两点中距离较小时应满足ω|x2－x1|＝，又由|x2－x1|min＝，所以ω＝2，故f(x)＝sin(2x＋φ)，因为直线x＝为f(x)图象的一条对称轴，所以2×＋φ＝＋mπ(m∈Z)，解得φ＝＋mπ(m∈Z)，因为|φ|＜，所以φ＝，故f(x)＝sin.故选D． 答案　D 2．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　) A．最小值2 B．最大值2 C．最小值1 D．最大值1 解析　∵函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，∴对称中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥，又T＝，∴≤，∴ω≥2， ∴ω有最小值2，故选A． 答案　A 学科网（北京）股份有限公司 $$