6.6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积&6.6.2 柱、锥、台的体积(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§6　简单几何体的再认识 6．1　柱、锥、台的侧面展开与面积 6．2　柱、锥、台的体积 学业标准 素养目标 1．熟记柱、锥、台的表面积和体积的计算公式． 2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，会求几何体的表面积与体积．(重点、难点) 1．通过圆柱、圆锥、圆台和直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图的学习，培养直观想象等核心素养． 2．通过求简单几何体的表面积和体积，提升数学运算等核心素养. [对应学生用书P176] 导学1　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开与面积 如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？ [提示]　圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线)．设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)，其中r为圆柱底面半径，l为母线长． 如何根据圆锥的展开图，求圆锥的表面积？ [提示]　圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形的面积为×2πrl＝πrl， ∴S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长． ◎结论形成 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图与面积 几何体 侧面展开图 底面积、侧面积、表面积 圆柱 底面积：S底＝__πr2__； 侧面积：S侧＝__2πrl__； 表面积：S＝__2πr2＋2πrl__ 圆锥 底面积：S底＝__πr2__； 侧面积：S侧＝__πrl__； 表面积：S＝__πr2＋πrl__ 圆台 上底面面积：S上底＝__πr__； 下底面面积：S下底＝__πr__； 侧面积：S侧＝__π(r1＋r2)l__； 表面积：S＝__πr＋πr＋π(r1＋r2)l__ 导学2　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开与面积 类比圆柱、圆锥、圆台，那么直棱柱、正棱锥、正棱台的展开图是怎样的？如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积？ [提示]　如下图所示，首先需求出各个展开图中的每部分平面图形的面积，然后求和即可． ◎结论形成 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积 直棱柱 S直棱柱侧＝__ch__，其中c为棱柱底周长，h为棱柱的高 正棱锥 S正棱锥侧＝　ch′　，其中c为棱锥的底面周长，h′为棱锥的斜高 正棱台 S正棱台侧＝　(c1＋c2)h′　，其中c1，c2分别为棱台的上下底面周长、h′为棱台的斜高 导学3　柱、锥、台的体积 长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示？根据这些体积公式，推测柱体的体积计算公式． [提示]　V长方体＝abc，V正方体＝a3，V圆柱＝πr2h，根据这些体积公式可知：设柱体的底面面积为S，高为h，则柱体的体积公式为V柱体＝Sh. 圆锥的体积公式如何表示？根据圆锥的体积公式，推测锥体的体积计算公式． [提示]　V圆锥＝πr2h.V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)． ◎结论形成 柱、锥、台的体积公式 (1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝__Sh__. (2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝　Sh　. (3)台体：台体的上、下底面面积分别为S上，S下，高为h，则V＝　(S上＋S下＋)h　. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积．(　　) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．(　　) (3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．(　　) (4)任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱锥．(　　) 解析　(1)因为圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积，是它们的侧面积，而表面积等于它们的侧面积与底面面积的和，所以该命题错误． (2)棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形． (3)由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同．但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的． (4)沿着三棱柱的三个面对角线，其中有两对共点，将三棱柱割开，则这三个三棱锥的体积相等，所以该命题正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于(　　) A．72　　　　　　　　　 B．42π C．67π D．72π 解析　S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π. 答案　C 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与该侧面的底边所成的角为45°，则此三棱柱的体积为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析　如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，面对角线AB1＝2，∠B1AB＝45°，于是B1B＝2sin 45°＝，AB＝B1B＝.所以V＝S△ABC·B1B＝××sin 60°×＝. 答案　A 4．(2024·淄博高一下期末)在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝2，则该棱台的体积为________． 解析　如图所示，正四棱台ABCD­A1B1C1D1的对角面ACC1A1是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形ACC1A1中，AC＝4，A1C1＝2，AA1＝2，则该梯形的高h＝＝，所以该棱台的体积＝h(S′＋＋S)＝×(42＋4×2＋22)×＝. 答案　 [对应学生用书P177] 题型一　柱、锥、台的表面积 (1)(2024·无锡高一期末)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干个“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． (2)(2024·贵阳高一期末)如图1所示，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体，如图2所示，已知圆柱的底面直径AB＝16 m，母线长AD＝4 m，圆锥的高PQ＝6 m，则该蒙古包的表面积约为(　　) A．336π m2　　　　　　　 B．272π m2 C．208π m2 D．144π m2 [解析]　(1)设底面正六边形的边长为a，六棱柱的高为3b，六棱锥的高为b，画出过正六棱锥顶点和正六棱柱两条相对侧棱的截面图，如图．正六棱柱的侧面积S2＝6×a×3b＝18ab.由正六边形的特征，知AB＝2a，OA＝OB＝a，则正六棱锥的侧棱长为，所以正六棱锥的侧面积S1＝6××a＝3a.因为正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，即BC＝AB，所以3b＝2a，所以b＝a，所以＝＝. (2)由题意得圆柱的侧面积S1＝2π××AD＝2π××16×4＝64π(m2)，∵DC＝AB＝16 m，∴QC＝DC＝×16＝8(m)， 在Rt△PQC中 ，PC＝＝＝10(m)，∴圆锥的侧面积S2＝π×QC×PC＝π×8×10＝80π(m2)，∴该蒙古包的表面积S＝S1＋S2＝64π＋80π＝144π(m2)． [答案]　(1)B　(2)D 求空间几何体表面积的类型及方法 (1)求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； (2)求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积． [触类旁通] 1．(1)(多选题)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．如图为四角攒尖，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为 m，则(　　) A．正四棱锥的底面边长为6 m B．正四棱锥的底面边长为3 m C．正四棱锥的侧面积为24 m2 D．正四棱锥的侧面积为12 m2 (2)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　) A．1∶2 B．1∶ C．1∶ D．∶2 解析　(1)如图，在正四棱锥S­ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB，设底面边长为2a.因为∠SHO＝30°，所以OH＝AH＝a，OS＝a，SH＝a.在Rt△SAH中，a2＋2＝21，解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6 m，侧面积为S＝×6×2×4＝24( m2)． (2)设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，所以其母线长l＝r.所以S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶. 答案　(1)AC　(2)C 题型二　柱、锥、台的体积一题多变 (1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　) A．1．0×109 m3 B．1．2×109 m3 C．1．4×109 m3 D．1．6×109 m3 (2)(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙，若＝2，则＝(　　) A． B．2 C． D． (3)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2＞V1． ①求V1，V2以及V1∶V2； ②求点A到平面A1BD的距离d. [解析]　(1)由题意S1＝140 km2，S2＝180 km2，h＝(157.5－148.5)m＝9 m，代入棱台体积公式V＝(S1＋S2＋)h，可得V≈1．4×109 m3.故选C． (2)设甲、乙两个圆锥的母线长为l，圆锥甲的底面半径为r甲，高为h甲，圆锥乙的底面半径为r乙，高为h乙，甲侧面展开图的圆心角为α，则乙侧面展开图的圆心角为2π－α，＝＝2，所以α＝，r甲＝l，r乙＝l，h甲＝l，h乙＝l，＝＝，故选C． (3)①截面将正方体化为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1­ABD， 其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积S＝×AB×AD＝a2.底面ABD上的高为h＝AA1＝a. 所以其体积V1＝Sh＝×a2×a＝a3. 正方体的体积V＝a3， 所以V2＝V－V1＝a3－a3＝a3. 所以V1∶V2＝1∶5. ②三棱锥A1­ABD与三棱锥A­A1BD是同一个几何体．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝a， 取BD的中点H，连接A1H，则A1H⊥BD，BH＝HD＝BD＝a， 所以A1H＝＝＝a.其面积＝BD·A1H＝×a×a＝a2. 所以a3＝×a2×d， 解得d＝a， 即点A到平面A1BD的距离d为a. [答案]　(1)C　(2)C　(3)略 [母题变式] (变条件)若本例(3)中的正方体改为长方体，则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化？试证明你的结论． 解析　不会．证明如下，不妨设在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c.截面将长方体分为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1­ABD，底面△ABD是两直角边分别为a，b的直角三角形，其面积S＝×AB×AD＝ab.底面ABD上的高h＝AA1＝c，所以其体积V1＝Sh＝×ab×c＝abc.长方体的体积V＝abc，所以V2＝V－V1＝abc－abc＝abc. 所以V1∶V2＝1∶5，故比值没有发生变化． 求几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接代入公式求解． (2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 提醒：求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，尤其当几何体为圆柱、圆锥时，准确求出几何体的高和底面积． [触类旁通] 2．(1)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm. (2)如图所示，已知在多面体ABC­DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________． 解析　(1)设圆锥的底面圆的半径为r，母线为l，则底面圆面积为πr2，周长为2πr， 则 解得 (2)方法一(分割法)　因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH­ABC和一个斜三棱柱BEF­CHG.由题意，知V三棱柱DEH­ABC＝S△DEH×AD＝×2＝2，V三棱柱BEF­CHG＝S△BEF×DE＝×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABC­DEFG＝2＋2＝4. 方法二(补形法)　因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半．又正方体的体积V＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABC­DEFG＝×8＝4. 答案　(1)2　(2)4 题型三　复杂组合体的表面积、体积一题多变 如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积． [解析]　设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S. 则R＝OC＝2，AC＝4， AO＝＝2 如图所示， 易知△AEB∽△AOC， 所以＝，即＝， 所以r＝1， S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π. 所以S＝S底＋S侧＝2π＋2π ＝(2＋2)π. [母题变式] 1．(变结论)题设中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比． 解析　由例题解析可知：圆柱的底面半径为r＝1，高h＝，所以圆柱的体积V1＝πr2h＝π×12×＝π. 圆锥的体积V2＝π×22×2＝π. 所以圆柱与圆锥的体积比为3∶8. 2．(变结论)题设中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积． 解析　由例题解析可知：圆台的上底面半径r＝1，下底面半径R＝2，高h＝，母线l＝2，所以圆台的表面积S＝π(r2＋R2＋r·l＋Rl)＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π. 圆台的体积V＝π(r2＋rR＋R2)h＝π(12＋2＋22)×＝π. [素养聚焦]　在求组合体的表面积与体积的过程中，体现了数学运算、直观想象等核心素养． 求复杂组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的．组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(差)． [触类旁通] 3．(1)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器(容器壁的厚度忽略不计)的体积的最小值为________． (2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________． 解析　(1)本题可转化为求长、宽、高分别为4,2,8的长方体的外接球的体积．由题意，该球形容器的半径最小为＝，则该球形容器的体积的最小值为()3＝28π. (2)如图，过BC作与EF垂直的截面BCG，作平面ADM∥平面BCG，取BC的中点O，连接GO，FO，由题意可得FO＝，FG＝，所以GO＝＝， 所以S△BCG＝×1×＝，V1＝VBCG­ADM＝S△BCG·AB＝，V2＝2VF­BCG＝2×S△BCG·GF＝2×××＝，所以V＝V1＋V2＝. 答案　(1)28π　(2) [缜密思维提能区]　易错辨析 考虑问题不全致误 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为________． [解析]　设圆柱的底面半径为r，母线长为l. ①当2πr＝2，l＝4时，r＝，h＝l＝4，所以V圆柱＝πr2h＝. ②当2πr＝4，l＝2时，r＝，h＝l＝2， 所以V圆柱＝πr2h＝. 综上所述，这个圆柱的体积为或. [答案]　或 [纠错心得] 错解的原因是把宽当成母线，沿着矩形的长卷成圆柱，没有考虑到也可以沿着矩形的宽卷成圆柱．因此，解决此类问题一定要考虑全面． 知识落实 技法强化 1．柱、锥、台的侧面展开及面积． 2．柱、锥、台及组合体的表面积和体积. 1．转化法(求表面积)、割补法(求体积)． 2．对于旋转体，充分利用轴截面是解题的关键所在. 学科网（北京）股份有限公司 $$