2.6.1 第1课时 余弦定理(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§6　平面向量的应用 6．1　余弦定理与正弦定理 第1课时　余弦定理 学业标准 素养目标 1．掌握余弦定理及证明余弦定理的向量方法．(难点) 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(重点) 1．通过向量法推导余弦定理，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过运用余弦定理解三角形，提升数学运算等核心素养. [对应学生用书P77] 导学　余弦定理 在△ABC中，如果已知边a，b和角C(如图)，那么从向量的角度考虑，边c的长度可视为什么？向量如何用已知边所对应的向量表示？如何求出||？边c的长度用边a，b和角C如何表示？ [提示]　边c的长度可视为||；＝－，则||2＝||2＋||2－2·，即c2＝a2＋b2－2abcos C． ◎结论形成 余弦定理及其变形 文字 表述 三角形任何一边的平方等于__其他两边的平方和__减去这两边与它们__夹角余弦的积__的两倍 公式 表达 a2＝__b2＋c2－2bccos_A__， b2＝__a2＋c2－2accos_B__， c2＝__a2＋b2－2abcos_C__ 变形 cos A＝　　， cos B＝　　， cos C＝　　 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　) (2)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　) (3)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) (4)在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．在△ABC中，a＝5，b＝7，c＝8，则角B＝(　　) A．90°　　　　　　　 B．120° C．60° D．30° 解析　由余弦定理，得 cos B＝＝＝， 又∵0°<B<180°， ∴B＝60°. 答案　C 3．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab，则C＝(　　) A．30° B．45° C．150° D．135° 解析　在△ABC中，由于已知a2＋b2＝c2＋ab，则由余弦定理可得cos C＝＝＝，所以C＝45°，故选B． 答案　B 4．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，则A＝______. 解析　由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4， 所以c＝－. 由余弦定理，得cos A＝＝， 又A为△ABC的内角，所以A＝. 答案　 [对应学生用书P78] 题型一　已知两边及一角解三角形 (1)在△ABC中． ①已知a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A； ②已知b＝3，c＝3，B＝30°，求边a. (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c. [解析]　(1)①由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×(＋)×2×cos 45°＝8，所以b＝2. 由cos A＝， 得cos A＝＝. 因为0°<A<180°，所以A＝60°. ②由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2×3a×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3. (2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以49＝64－2bc，即bc＝15， 由解得或 [素养聚焦]　在运用余弦定理解三角形的过程中，突出培养数学运算等核心素养． 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． [触类旁通] 1．(多选题)在△ABC中，若b＝1，c＝，B＝30°，则a的值可以为(　　) A．1 B． C．2 D．2 解析　b＝1，c＝，B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得1＝a2＋3－2a××，即a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2. 答案　AC 题型二　已知三角形的三边求角一题多变 (1)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． (2)在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝，则最大角的度数为________． [解析]　(1)由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A， 所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)， 所以sin A＝cos A，由正切函数的定义得tan A＝1，又0＜A＜π，所以A＝.故选C． (2)∵c＞a，c＞b，∴角C最大． 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即37＝9＋16－24cos C， ∴cos C＝－，∵0°＜C＜180°，∴C＝120°. ∴△ABC的最大内角为120°. [答案]　(1)C　(2)120° [母题变式] 1．(变条件、变结论)若本例(1)变为：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝(　　) A．90° B．60° C．120° D．150° 解析　由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，可得a2－c2＝b2＋bc，即a2＝c2＋b2＋bc. 根据余弦定理得cos A＝＝＝－，因为A为△ABC的内角，所以A＝120°.故选C． 答案　C 2．(变结论)若本例(2)条件不变，则最小角的余弦值为________． 解析　∵a＜b，a＜c，∴角A最小， 由cos A＝＝. 答案　 已知三边求解三角形的策略 (1)已知三边求角的基本思路是利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角． (2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解． [触类旁通] 2．(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形中的最大角的大小为(　　) A．150° B．120° C．92° D．135° (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2－bc，则角A的大小为(　　) A． B． C． D． 解析　(1)∵a∶b∶c＝3∶5∶7，设a＝3x，b＝5x，c＝7x，x>0，∴c最大，即C最大， ∴cos C＝＝＝－，又0°<C<180°，∴C＝120°.故选B． (2)因为b2＋c2＝a2－bc，所以cos A＝＝－＝－.因为0＜A＜π，所以A＝. 答案　(1)B　(2)A 题型三　余弦定理的应用 (1)(2024·陕西渭南高二期末)在△ABC中，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且a＝2bcos C，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 (2)在△ABC中，求证：a2＋b2＋c2＝2(bccos A＋cacos B＋abcos C)． (1)[解析]　由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得(b＋c)2－a2＝3bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.又a＝2bcos C，所以a＝2b·，化简得b＝c，所以△ABC为等边三角形． [答案]　B (2)[证明]　右边＝2bc·＋2ac·＋2ab·＝b2＋c2－a2＋a2＋c2－b2＋a2＋b2－c2＝a2＋b2＋c2＝左边．故等式成立． (1)判断三角形的形状要从“统一”入手，化边为角或化角为边． (2)利用余弦定理证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有左⇒右、右⇒左或左⇒中⇐右三种． [触类旁通] 3．(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＜bcos C，则△ABC为(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.试探究bcos A＋acos B与c的大小关系，并证明你的结论． 解析　(1)因为a＜bcos C＝b·，所以2a2＜a2＋b2－c2，所以a2＋c2＜b2，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形． (2)利用特殊三角形可发现bcos A＋acos B与c相等．证明如下： bcos A＋acos B＝b×＋a× ＝＋＝c.故得证． (注：此结论称三角形的射影定理) 答案　(1)A　(2)略 [缜密思维提能区]　易错辨析 忽视分类讨论及三角形中的隐含条件致误 在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2.求边c的取值范围． [错解]　因为△ABC是钝角三角形，所以角C是钝角，所以cos C<0，即<0，解得c>. [正解]　因为a＝1，b＝2，所以1<c<3. 若角B是钝角，则cos B<0，即<0， 解得1<c<； 若角C是钝角，则cos C<0，即<0， 解得<c<3. 综上，边c的取值范围是(1，)∪(，3)． [纠错心得] 在三角形中，当解决边和角的范围问题时，首先，要考虑到三角形中的隐含条件，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；其次，要注意对问题分类讨论，当三角形是钝角三角形时，其最大内角必为钝角． 知识落实 技法强化 1．余弦定理及证明． 2．余弦定理的应用. 1．若已知三边成比例，可以设而不求． 2．容易忽略三角形中的隐含条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$