2.4.2 平面向量及运算的坐标表示(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4．2　平面向量及运算的坐标表示 学业标准 素养目标 1．理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量运算的坐标表示．(重点) 2．掌握向量平行的坐标表示，并能解决有关平行、点共线等问题．(难点) 1．通过平面向量的坐标运算，提升数学运算等核心素养． 2．通过向量平行的坐标表示的应用，提升数学运算等核心素养. [对应学生用书P65] 导学1　平面向量的坐标表示 如图，已知i，j分别是x，y轴上的单位向量，|a|＝r，∠AOx＝θ， (1)试用i，j表示a； (2)点A在坐标系中的坐标是什么？ [提示]　(1)a＝rcos θ·i＋rsin θ·j. (2)(rcos θ，rsin θ)． ◎结论形成 向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为__标准正交__基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.即a＝xi＋yj.我们把__(x，y)__称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为　a＝(x，y)　. [导学点睛]　对符号(x，y)的认识 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，又表示向量的方向． 导学2　平面向量运算的坐标表示 在基{i，j}下，a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j(x1，x2，y1，y2∈R)． (1)计算a＋b，a－b,2a； (2)若{i，j}是标准正交基，则a＋b，a－b,2a的坐标是什么？ [提示]　(1)a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j,2a＝2x1i＋2y1j. (2)(x1＋x2，y1＋y2)，(x1－x2，y1－y2)，(2x1,2y1)． ◎结论形成 平面向量运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表： 名称 文字描述 符号表示 加法 与 减法 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__和与差__ a±b＝__(x1±x2，y1±y2)__ 数乘 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 λa＝__(λx1，λy1)__ 重要 结论 (1)一个向量的坐标等于其__终点__的坐标减去__起点__的坐标． (2)中点坐标公式 (1)若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则＝__(x2－x1，y2－y1)__． (2)线段AB的中点M(x，y)的坐标：x＝　　，y＝ 导学3　平面向量平行的坐标表示 若a，b都是非零向量，且a∥b，则a与b有何关系？ [提示]　a＝λb(λ∈R)． 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，a∥b，它们的坐标应满足什么条件？ [提示]　(λ∈R)． ◎结论形成 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a∥b(b≠0)⇔__x1y2－x2y1＝0__. [拓展]　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)当b≠0时，a＝λb(λ∈R)，这是几何运算，体现了a与b的长度及方向之间的关系． (2)x1y2－x2y1＝0，这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需引入参数“λ”，从而减少未知数的个数． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　) (4)点的坐标与向量的坐标相同．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(2024·河北丰南二中高一月考)若A(－2,3)，B(3,2)，C三点共线，则实数m的值为(　　) A．2　　　　　　　　 B．－2 C． D．－ 解析　因为A(－2,3)，B(3,2)，C三点共线，所以向量＝(5，－1)与＝共线，所以5(m－3)－(－1)×＝0，解得m＝. 答案　C 3．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 解析　设C(x，y)，因为＝(－4，－3)，所以(x，y－1)＝(－4，－3)，可得x＝－4，y－1＝－3，解得x＝－4，y＝－2，可得C(－4，－2)．所以＝(3－(－4)，2－(－2))＝(7,4)． 答案　B 4．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a与b共线且方向相同． 解析　∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a∥b，则x2－4＝0，即x2＝4，∴x＝±2，当x＝－2时，a和b方向相反．当x＝2时，a与b方向相同． 答案　2 [对应学生用书P66] 题型一　向量的坐标运算一题多变 (1)已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　) A．　　　　　 B． C． D．(8,1) (2)已知点A(2，－4)，点B(－1,3)，点C(3,4)，若＝2＋3，求点M的坐标； (3)已知点A(1，－2)，点B(2,1)，点C(3,2)和点D(－2,3)，求，－2的坐标． [解析]　(1)＝(－) ＝[(－5，－1)－(3，－2)] ＝(－8,1)＝， 所以＝. (2)由A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)， 得＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， ＝(－1－3,3－4)＝(－4，－1)， 所以＝2＋3＝2(－1，－8)＋3(－4，－1) ＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19)． 设点M的坐标为(x，y)， 则＝(x－3，y－4)． 由向量相等坐标相同可得 解得 所以点M的坐标为(－11，－15)． (3)由题意得＝(2,4)，＝(1,3)， ＝(－5，1)． ∴－2＝(11,1)． [答案]　(1)A　(2)略　(3)略 [母题变式] (变结论)本例(3)中条件不变，试以，为一组基表示＋＋. 解析　＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)， ＝(－4,2)，＝(－5,1)， ∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1) ＝(－12,8)． 根据平面向量基本定理，知一定存在实数m，n，使得＋＋＝m·＋n·， ∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)， 即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)， 可得解得 ∴＋＋＝32－22. [素养聚焦]　本题主要考查向量的坐标运算，突出考查数学运算等核心素养． 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． [触类旁通] 1．(1)(多选题)已知a＝(1,2)，b＝(3,0)，c＝(5,4)，下列计算正确的是(　　) A．c＝2a＋b B．c＝a＋2b C．a＝c－b D．b＝c－a (2)若平面上有三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则－的坐标是________． 解析　(1)方法一　2a＋b＝(2,4)＋(3,0)＝(5,4)＝c，故A正确；a＋2b＝(1,2)＋(6,0)＝(7,2)≠c，故B错误；c－b＝(c－b)＝[(5,4)－(3,0)]＝(1,2)＝a，故C正确；c－a＝(c－a)＝[(5,4)－(1,2)]＝(2,1)≠b，故D错误．故选AC． 方法二　设c＝xa＋yb，则解得故c＝2a＋b，故A正确，B错误；将c＝2a＋b变形可得a＝c－b，b＝c－2a，故C正确，D错误．故选AC． (2)∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)， ∴＝(－10,14)，＝(－8,4)， 则＝(－5,7)，＝(－2,1)， 则－＝(－3,6)． 答案　(1)AC　(2)(－3,6) 题型二　根据向量平行的坐标表示求参数一题多解 (1)已知向量a＝(2，m＋1)，b＝(m＋3,4)，且(a＋b)∥(a－b)，则m＝(　　) A．1 B．5 C．1或－5 D．－5 (2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [解析]　(1)向量a＝(2，m＋1)，b＝(m＋3,4)，且(a＋b)∥(a－b)，所以a＋b＝(m＋5，m＋5)，a－b＝(－m－1，m－3)， 所以(m＋5)(m－3)－(－m－1)(m＋5)＝0， 即(m＋5)(m－1)＝0， 解得m＝1或m＝－5. (2)方法一　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以解得k＝λ＝－. 当k＝－时，ka＋b与a－3b平行， 这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， 因为λ＝－＜0，所以ka＋b与a－3b反向． 方法二　由题意知ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)， 因为ka＋b与a－3b平行， 所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0， 解得k＝－. 这时ka＋b＝＝－(a－3b)． 所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向． [答案]　(1)C　(2)略 根据向量共线求参数值的方法 根据向量共线的条件求参数值的问题，一般有两种处理思路：一是利用向量共线定理a＝λb列方程组求解，二是利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． [触类旁通] 2．(1)(多选题)与向量a＝(，1)共线的单位向量有(　　) A． B． C． D． (2)已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥. (1)解析　方法一　设所求向量为e＝(m，n)，则由已知可得 解得或 所以e＝或e＝. 方法二　与向量a共线的单位向量e＝±， 因为a＝(，1)，所以|a|＝2，所以e＝或e＝. 答案　AD (2)证明　设E，F的坐标分别分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)， ＝(4，－1)，因为＝， 所以(x1＋1，y1)＝(2,2)． 所以点E的坐标为. 同理点F的坐标为， ＝. 又×(－1)－4×＝0，所以∥. 题型三　向量坐标运算的综合应用 　已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t(t∈R)． (1)t为何值时，P在x轴上？t为何值时，P在y轴上？ (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． [解析]　(1)由题意得＝(1,2)，＝(3,3)，则＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)． 若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－； 若P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－. (2)不能．理由如下： 由题意知＝(1,2)， ＝－＝(3－3t,3－3t)． 若四边形OABP为平行四边形，则＝， ∵无解， ∴四边形OABP不能成为平行四边形． (1)待定系数法是最基本的数学方法之一．先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用． (2)坐标形式下向量相等的条件：相同的向量的对应坐标相等，对应坐标相等的向量是相同的向量．由此可建立相等关系求某些参数的值． [触类旁通] 3．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是梯形． 证明　＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)， ＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)． ∵3×(－2)－3×(－2)＝0， ∴与共线． ＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)， ＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)， ∵(－1)×1－2×(－2)≠0， ∴与不共线， ∴四边形ABCD是梯形． 知识落实 技法强化 1．平面向量的坐标表示及线性运算． 2．共线向量的应用. 1．标准正交基下的坐标，＝(x，y)⇔A(x，y)． 2．a∥b⇔x1y2－x2y1＝0而不是＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$