2.4.1 平面向量基本定理(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§4　平面向量基本定理及坐标表示 4．1　平面向量基本定理 学业标准 素养目标 1．理解平面向量基本定理，了解向量的基、正交基的含义．(难点) 2．会用平面向量基本定理解决相关问题．(重点) 1．通过学习平面向量基本定理及基、正交基、正交分解的含义．培养数学抽象等核心素养． 2．通过平面向量基本定理的应用，提升直观想象等核心素养. [对应学生用书P62] 导学　平面向量基本定理 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？ [提示]　能．依据是数乘向量和平行四边形法则． 如果e1，e2是两个共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ [提示]　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示． ◎结论形成 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1和e2是同一平面内两个__不共线__的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在__唯一__的一对实数λ1，λ2，使a＝　λ1e1＋λ2e2　. (2)基：我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组__基__，记为　{e1，e2}　. 2．正交分解 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为__正交基__．在正交基下向量的线性表示称为__正交分解__．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为__标准正交基__． [导学点睛]　平面向量基本定理的理解 (1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，e1，e2的选取不唯一，即一个平面可以有多组基． (2)平面内的任一向量a都可以沿基{e1，e2}进行分解． (3)基{e1，e2}确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基．(　　) (2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．(　　) (3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.(　　) (4)基向量可以是零向量．(　　) 解析　(1)×.根据基的概念可知，同一平面内两个不共线的向量都可以作为该平面内向量的基． (2)√.根据平面向量基本定理知，平面内任一向量都可以由向量e1，e2线性表示． (3)×.当e1与e2共线时，结论不一定成立． (4)×.基向量是不共线的，一定是非零向量． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基{e1，e2}表示为(　　) A．e1＋e2　　　　　　 B．－2e1＋e2 C．2e1－e2 D．2e1＋e2 解析　a＝－2e1＋e2. 答案　B 3．在△OAB中，若点C满足＝2，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＋＝(　　) A． B． C． D． 解析　由题意得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， ∴λ＝，μ＝，＋＝3＋＝，故选D． 答案　D 4．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy＝________. 解析　∵a∥b，∴a＝λb， 即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2， ∴x＝3λ，2＝λy，故xy＝3λ·＝6. 答案　6 [对应学生用书P63] 题型一　对平面向量基本定理的理解 (多选题)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 [解析]　根据平面向量基本定理，选项A正确；选项B不正确；若λ2＝μ2＝0时，λ的值可能不存在，故选项C不正确；选项D显然正确．故选BC． [答案]　BC 两个向量是否能构成基，主要看两个向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来． [触类旁通] 1．(多选题)(2024·肇庆期中)如图1所示的是八卦模型图，其平面图形(图2)为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是(　　) A．＝ B．－＝ C．＋＝ D．和能构成一组基 解析　对于A选项，＝－，A选项错误．对于B选项，－＝－＝，B选项正确．对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故∠DOB＝，且||＝||，故＋＝，所以选项C正确．对于D选项，由于和不共线，故和能构成一组基，所以D正确．故选BCD． 答案　BCD 题型二　平面向量基本定理的应用多维探究 角度1　用一组基表示向量一题多变 如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b.试用a，b表示，. [解析]　因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以＝＝a，＝＝＝b. ＝＋＋ ＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. [母题变式] 1．(变结论)本例中条件不变，取BC的中点G，用a，b表示. 解析　因为＝＋＋＝－b＋a＋b＝a－b， 所以＝＋＝＋ ＝b＋a－b＝a＋b. 2．(变结论)本例中条件不变，取EF的中点为H，用a，b表示. 解析　因为＝－＝－ ＝－－，＝b－a， 所以＝－b＋a－b＝a－b. 角度2　利用向量基本定理求参数 如图，有5个全等的小正方形，若＝x＋y，则x＋y的值是(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 [解析]　因为＝－，＝2，＝＋＝2－，所以＝－＝2－(2－)＝3－2，注意到与不共线，且＝x＋y，即x＋y＝3－2，所以x＝3，y＝－2，即x＋y＝1.故选A． [答案]　A [素养聚焦]　本题主要考查平面向量基本定理的应用，突出考查直观想象等核心素养． 用基表示向量的方法 将两个不共线的向量作为一组基表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基表示向量的唯一性求解． [触类旁通] 2.(1)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝(　　) A．－＋ B．＋ C．－ D．－ (2)(2024·长春第三中学校考)在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝＋λ，则λ等于(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析　(1)＝－，＝＋. ∵E为BC的中点，F为AE的中点， ∴＝，＝， ∴＝－＝－＝(＋)－＝＋－， 又∵＝，∴＝－.故选D． (2)因为D是AB边上的一点， 所以A，B，D三点共线， 所以＝k，则－＝k－k，因为＝＋λ， 所以－(λ＋k)＝0，因为A，B，C不共线， 所以解得λ＝，故选B． 答案　(1)D　(2)B 题型三　用向量基本定理解决几何问题 如图所示，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于点E，求证：点E为线段BD的三等分点． [证明]　设＝a，＝b， 则＝－＝b－a， ＝＋＝＋＝b＋a. 因为A，E，F与B，D，E分别共线， 所以存在实数λ，μ∈R， 使＝λ，＝μ. 所以＝a＋λb，＝μb－μa. 由＋＝， 得(1－μ)a＋μb＝a＋λb. 因为a，b不共线，所以1－μ＝且μ＝λ. 解得λ＝μ＝，所以＝，即点E为线段BD(靠近D)的一个三等分点． 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量作为基． (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题． (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解． (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解． [触类旁通] 3．在△ABC中． (1)若点D是BC边的中点，求证：＝(＋)． (2)若点M满足＋＋＝0，求证：点M是△ABC的重心． 证明　(1)因为点D是BC边中点，所以＝＝，于是＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋)． (2)设E是AB边的中点． 因为＋＋＝0， 所以＋＝－， 又＋＝2， 所以＝－2，于是M，C，E三点共线，即点M在中线CE上，且是靠近AB边中点的一个三等分点，所以点M是△ABC的重心． 知识落实 技法强化 1．平面向量基本定理及其应用． 2．正交分解及其应用. 1．化归与转化、数形结合． 2．区分平面向量的一组基与标准正交基. 学科网（北京）股份有限公司 $$