2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

3．2　向量的数乘与向量共线的关系 学业标准 素养目标 1．掌握共线向量基本定理，并能解决有关平行、点共线等问题．(重点) 2．理解直线的方向向量的概念，并能进行简单应用．(难点) 1．通过共线向量基本定理的应用，提升数学运算等核心素养． 2．通过直线的方向向量的简单应用，培养直观想象等核心素养. [对应学生用书P59] 导学　共线向量基本定理、直线的方向向量 若a是非零向量，则λa与a有什么关系？如果b∥a(a≠0)，那么b＝λa是否成立？ [提示]　λa与a是共线向量；如果b∥a(a≠0)，一定存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 能否用向量来刻画直线呢？ [提示]　能．需知一个点和一个非零向量a. ◎结论形成 1．共线(平行)向量基本定理 给定一个__非零__向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是　存在唯一一个实数λ，使a＝λb　. [拓展]　(1)定理中b是非零向量，否则λ的值可能不唯一或不存在． (2)b是非零向量，a可以是0，这时0＝λb，所以有λ＝0.如果a不是0，那么λ是不为零的实数．即λ＝±. 2．直线的方向向量 如图，通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.(　　) (2)若a∥b，则存在不全为零的实数λ1和λ2，使λ1a＋λ2b＝0.(　　) (3)若a与b不共线，则不存在实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.(　　) (4)若a与b不共线，则λ1a＋λ2b＝0是λ1＝λ2＝0的充要条件．(　　) 提示　当a＝b＝0时，对于任意实数λ，均有a＝λb成立，故(1)错误；当a是非零向量时，存在唯一的实数λ，使b＝λa，即λa－b＝0，所以存在不全为零的实数λ1＝λ和λ2＝－1，使λ1a＋λ2b＝0；当a＝0时，对于非零任意实数λ1，λ2＝0，满足λ1a＋λ2b＝0，所以存在不全为零的实数λ1和λ2，故(2)正确．若a与b不共线，则a，b都是非零向量，存在λ1＝λ2＝0，使λ1a＋λ2b＝0，且λ1a＋λ2b＝0是λ1＝λ2＝0的充分必要条件，故(3)错误，(4)正确． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．B，C，D　　　 B．A，B，C C．A，B，D D．A，C，D 解析　因为＝＋＝2a＋4b＝2， 所以，共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线．故选C． 答案　C 3．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　) A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上 C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上 解析　由＝λ＋得－＝λ，＝λ.则，为共线向量，又，有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上． 答案　B 4．点R在线段PQ上，且＝，设＝λ(λ∈R)，则λ＝________. 解析　由＝，可知5＝3(－)， 故＝－，即λ＝－. 答案　－ [对应学生用书P60] 题型一　向量平行及三点共线问题一题多变 (1)已知两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2. 求证：A，B，D三点共线． (2)设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1＋ke2(k∈R)，设＝e1＋3e2，＝2e1－e2，是否存在k值，使与方向相同？ (1)[证明]　因为＝＋＋＝(2e1＋3e2)＋(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2) ＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)， 又＝2e1＋3e2，所以＝6. 所以与共线． 又因为AB，AD有公共点A， 所以A，B，D三点共线． (2)[解析]　＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， 假设存在k，使与方向相同． 即存在λ(λ＞0)使＝λ. 所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)， 所以所以k＝－8＜0. 故存在k值，使与方向相同，此时＝2. [母题变式] (变条件、变结论)本例(1)变为：已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，判断A，B，D三点是否共线，并求的值． 解析　∵＝e1＋3e2， ＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2. 又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴＝2，∴∥. ∵AB与BD有公共点B， ∴A，B，D三点共线，＝2. [素养聚焦]　本题主要考查共线向量基本定理的应用，突出考查数学运算等核心素养． (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行． (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共交点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法． [触类旁通] 1．设点O是直线AB外一点．求证：P，A，B三点共线的充要条件是∃x，y∈R，使＝x＋y且x＋y＝1. 证明　先证必要性． 若P，A，B三点共线， 则∃t∈R，使＝t， 即－＝t－t， 故＝(1－t)＋t， 令x＝1－t，y＝t，则x＋y＝1，故得证． 再证充分性． 若＝x＋y且x＋y＝1. 则＝x＋(1－x)， 即－＝x(－)， 从而＝x，且有公共点B． 故P，B，A三点共线． 题型二　用共线向量基本定理证明几何问题 如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，用向量法证明：EF∥AB，EF＝(AB＋DC)． [证明]　延长EF到点M，使FM＝EF，连接CM，BM，EC，EB得▱ECMB， 由平行四边形法则得 ＝＝(＋)． 因为AB∥DC， 所以，共线且同向，根据向量共线定理知，存在正实数λ，使＝λ. 由三角形法则得＝＋，＝＋， 且＋＝0. 所以＝(＋) ＝(＋＋＋) ＝(＋)＝， 所以∥. 因为，，没有公共点， 所以EF∥DC∥AB， 又||＝＝(||＋||)， 所以EF＝(AB＋DC)，所以结论得证． 首先结合图形与所求证的问题，将几何条件向向量条件转化，再充分利用向量的线性运算与共线向量基本定理求证． [触类旁通] 2．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f. (1)用e，f表示； (2)证明：四边形ABCD为梯形． (1)解析　由题意，有＝＋＋ ＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f) ＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f. (2)证明　由(1)知＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，即＝2. 根据数乘向量的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形． [缜密思维提能区]　易错辨析 因忽视零向量与任一向量平行而致误 已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则(　　) A．λ＝0　　　　　　 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 [错解]　因为a∥b， 所以e1＋λe2＝2ke1，k∈R， 所以(2k－1)e1＝λe2. 所以e1∥e2.故选C． [正解]　因为a∥b，b≠0， 所以存在实数k，使得a＝kb， 即(2k－1)e1＝λe2. 因为e1≠0，所以若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0； 若2k－1≠0，则e1＝e2，此时e1∥e2， 又0与任何一个向量平行， 所以有e1∥e2或λ＝0，故选D． [答案]　D [纠错心得] 零向量的方向是任意的，规定零向量与任一向量平行． 知识落实 技法强化 1．共线向量基本定理及应用． 2．直线的方向向量. 1．共线定理a＝λb中：b≠0. 2.＝x＋y，x＋y＝1⇔P，A，B共线，其中三个向量起点必须相同. 学科网（北京）股份有限公司 $$