1.8 三角函数的简单应用(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§8　三角函数的简单应用 学业标准 素养目标 1．体会三角函数是描述周期变化现象的重要数学模型．(难点) 2．会用三角函数模型解决研究简单的实际问题．(重点) 1．通过研究周期现象的实际问题，培养数学建模等核心素养． 2．通过三角函数模型的实际应用，提升数据分析、数学运算等核心素养. [对应学生用书P41] 题型一　三角函数模型在生活中的应用 下面是一份某市提供的月平均气温统计表，其中x(单位：月)表示时间，t(单位：℃)表示平均气温： x(月份) t(气温) 1 17.3 2 17.9 3 17.3 4 15.8 5 13.7 6 11.6 7 10.06 8 9.5 9 10.06 10 11.6 11 13.7 12 15.8 (1)根据这个统计表提供的数据，为该市的月平均气温建立一个函数模型； (2)当平均气温不低于13.7 ℃时，该市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定该市的最佳旅游时间． [解析]　(1)以月份x为横轴，气温t为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线． 由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数， 依散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t＝Acos (ωx＋φ)＋k来描述． 由最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃， 则A＝＝4.2， k＝＝13.7. 显然＝12，故ω＝. 又当x＝2时t取最大值，取ωx＋φ＝0， 得φ＝－ωx＝－×2＝－. 所以t＝4.2cos ＋13.7为该市的常年气温模型函数式． (2)如图所示，作直线t＝13.7与函数图象交于两点，(5,13.7)，(11,13.7)． 这说明在每年的十一月初至第二年的四月末平均气温不低于13.7 ℃，是该市的最佳旅游时间． 生活中三角函数模型应用的基本步骤 (1)已知函数模型，利用题目中提供的数据和有关性质解决问题，其关键是求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决． (2)未知函数模型，把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模． [触类旁通] 1．(1)(2024·重庆铜梁中学校考)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图所示是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是(　　) A．R＝6，ω＝，φ＝－ B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6 C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减 D．当t＝20时，|PA|＝6 (2)已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40·sin＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续________分钟． 解析　(1)对于选项A，由题意，R＝＝6，T＝60＝，∴ω＝， 将点A(3，－3)代入，可得－3＝6sin φ， ∵|φ|<，∴φ＝－.故选项A正确； 对于选项B，f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，∴点P到x轴的距离的最大值为6，故选项B正确； 对于选项C，当t∈[10,25]时，t－∈，函数y＝f(t)不是单调递减，故选项C不正确； 对于选项D，当t＝20时，t－＝，P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，故选项D正确．故选C． (2)依题意，即40sin＋50≥70， 即cos t≤－，从而在一个周期内持续的时间为≤t≤，所以4≤t≤8，即持续时间为4分钟． 答案　(1)C　(2)4 题型二　三角函数模型在物理中的应用一题多变 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin. (1)作出函数的图象； (2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ [解析]　(1)利用“五点法”可作出其图象． (2)因为当t＝0时，s＝6sin＝3， 所以此时离开平衡位置3 cm. [母题变式] 1．(变条件)本例中，当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ 解析　离开平衡位置6 cm. 2．(变结论)本例中，求单摆来回摆动一次需多长时间？ 解析　因为T＝＝1， 所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s. 物理中三角函数模型的应用 (1)三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题，解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法． (2)将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求出函数模型y＝Asin(ωx＋φ)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题． [触类旁通] 2．(1)音叉由钢质或铝合金材料所制成，由两个振动臂(叉臂)和一个叉柄组成(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，可确定ω的值为(　　) A．200　　　　　　　 B．400 C．200π D．400π (2)已知电流I＝Asin (ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示． ①根据图中数据求I＝Asin (ωt＋φ)的解析式； ②如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解析　(1)由题可得ω>0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π.故选D． (2)①由图象可知A＝300， T＝2＝＝. ∴ω＝＝＝150π.∴y＝300sin (150πt＋φ)． ∵函数图象过， ∴0＝300sin ， ∴sin ＝0. 令－＋φ＝kπ，∴φ＝kπ＋，k∈Z， 又|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝. ∴y＝300sin . ②由题意T≤，即≤， ∴ω≥300π，∴ω的最小正整数值是943. 答案　(1)D　(2)略 知识落实 技法强化 1．三角函数在生活中的建模问题． 2．三角函数在物理学中的应用. 1．数学建模、数形结合． 2．选择三角函数模型时，最后结果要回归实际问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$