1.7 正切函数(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§7　正切函数 学业标准 素养目标 1．理解正切函数的定义；熟记正切函数的诱导公式．(难点) 2．掌握正切函数的图象和性质并能解决相关问题．(重点) 1．通过正切函数的定义，诱导公式的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过正切函数性质与图象的应用，提升直观想象、逻辑推理等核心素养. [对应学生用书P38] 导学1　正切函数的定义、诱导公式 我们学习了正、余弦函数，那么正切函数如何定义呢？ [提示]　任意实数x，比值唯一确定(cos x≠0)，根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数． 我们学习了正、余弦函数的诱导公式，利用正切函数的定义如何推导正切函数的诱导公式？ [提示]　如tan(－x)＝＝－tan x．再如tan(kπ＋x)＝＝tan x．其中x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z.其他类似推出． ◎结论形成 1．正切函数的定义 根据函数的定义，比值　　是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝__tan_x__，其中定义域为　　. 2．正切函数的诱导公式 tan(x＋kπ)＝tan x(k∈Z) tan(－x)＝－tan x tan(π－x)＝－tan x tan＝－ tan＝ 其中的x是使等式两边都有意义的任意实数． 利用诱导公式，可以把任意实数x的正切函数值问题转化为上的正切函数值问题．当x表示角的大小时，可将任意角的正切函数值问题转化为锐角的正切函数值问题． 导学2　正切函数的图象与性质 诱导公式tan(kπ＋α)＝tan α，k∈Z说明了正切函数的什么性质？ [提示]　正切函数是最小正周期为π的周期函数． 诱导公式tan(－α)＝－tan α，说明了正切函数的什么性质？ [提示]　正切函数是奇函数． 类比画正弦函数图象的方法，可以画出正切函数的图象(如图)． 根据图象，试讨论正切函数的主要性质． [提示]　值域为(－∞，＋∞)；周期为π；取一个周期，正切函数在区间上是单调递增的，故正切函数的单调递增区间为(k∈Z)． ◎结论形成 1．正切曲线 正切函数的图象称为正切曲线． 2．正切函数的性质 函数 y＝tan x 定义域 　　 值域 　R　 周期性 kπ，k∈Z，k≠0，最小正周期是π 奇偶性 __奇函数__ 单调性 在每一个区间　(k∈Z)　上单调递增 对称中心 正切曲线是中心对称图形，其对称中心为　(k∈Z)　 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在定义域上单调递增．(　　) (2)正切曲线的对称中心是(k∈Z)．(　　) (3)函数y＝tan(π－x)是奇函数．(　　) (4)正切曲线相邻两个与x轴的交点间的距离恰好为该函数的周期．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．函数y＝2tan 的最小正周期是(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．π 解析　T＝＝. 答案　B 3．函数f(x)＝tan 的单调递增区间是(　　) A．(k∈Z) B．(kπ，kπ＋π)(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析　由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z， 得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，故f(x)的单调递增区间是(k∈Z)． 答案　C 4．比较大小：tan ________tan . 解析　因为tan ＞0，tan ＜0，所以tan ＞tan . 答案　＞ [对应学生用书P39] 题型一　正切函数的定义域、值域问题 (1)函数y＝的定义域为________________________． (2)函数y＝tan ，x∈的值域是________． [解析]　(1)要使函数y＝有意义，需满足 所以函数的定义域为. (2)∵－＜x＜，∴－＜2x－＜， 即tan ＜1， 故函数的值域为(－∞，1)． [答案]　(1) (2)(－∞，1) [素养聚焦]　在求解正切函数的定义域和值域的过程中，体现了数学抽象、数学运算等核心素养． (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z. (2)求值域要用换元的思想，把tan x看作可取任意实数的自变量，但要注意x的范围，然后再确定tan x的范围． [触类旁通] 1．(1)函数y＝lg的定义域为________． (2)函数y＝tan，x∈∪的值域为____________． 解析　(1)因为－tan x＞0，所以tan x＜. 又因为tan x＝时，x＝＋kπ，k∈Z. 根据正切函数图象， 得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z. (2)∵x∈∪， ∴＋∈∪. 令t＝＋，则y＝tan t，t∈∪的图象如图所示． 由图知所求函数的值域为∪[，＋∞)． 答案　(1) (2)∪[，＋∞) 题型二　正切函数的单调性一题多变 (1)求函数y＝tan的周期和单调区间； (2)比较tan与tan的大小． [解析]　(1)函数的周期T＝＝2π， 由kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，得 2kπ－＜x＜2kπ＋π，k∈Z， 所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)． (2)由于tan＝tan ＝tan＝－tan， tan＝－tan＝－tan， 又0＜＜＜， 而y＝tan x在上单调递增， 所以tan＜tan，－tan＞－tan， 即tan＞tan. [母题变式] (变条件)若本例(1)中“y＝tan”改为“y＝tan”，如何求单调区间？ 解析　y＝tan＝－tan， 所以y＝tan的单调递减区间为(k∈Z)． 1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω＞0，由于 y＝tan x在每一个单调区间上都是递增的，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围． (2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，解得x的范围． 2．运用正切函数的单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． [触类旁通] 2．已知函数f(x)＝3tan. (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f(π)与f的大小． 解析　(1)因为f(x)＝3tan＝－3tan， 所以T＝＝＝4π. 由kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z， 得4kπ－＜x＜4kπ＋，k∈Z. 所以f(x)＝－3tan在(k∈Z)上单调递减． 故原函数的最小正周期为4π， 单调递减区间为(k∈Z)． (2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan， f＝3tan＝3tan＝－3tan， 因为0＜＜＜，且tan＜tan. 所以－3tan＞－3tan， 故f(π)＞f. 题型三　正切函数图象、性质的综合应用 　(1)函数y＝sin x与y＝tan x的图象在区间[0,2π]上交点的个数为________个． (2)已知f(x)＝tan. ①求f(x)的最小正周期； ②若f(x＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜的φ值． [解析]　(1)因为当x∈时，tan x>x＞sin x， 所以当x∈时，y＝sin x与y＝tan x没有公共点，因此函数y＝sin x与y＝tan x在区间[0,2π]内的图象如图所示， 观察图象可知，函数y＝tan x与y＝sin x在区间[0,2π]上有3个交点． (2)①∵y＝tan x的最小正周期是π. ∴y＝tan的最小正周期是. ②∵f(x＋φ)＝tan是奇函数， ∴图象关于原点中心对称， ∴＋2φ＝，k∈Z，∴φ＝－，k∈Z. 令＜，k∈Z， 解得－＜k＜，k∈Z. ∴k＝－1,0,1,2. 从而得φ＝－，－，，. [答案]　(1)3　(2)略 正切函数型综合题解题方法 对于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω，φ为非零常数)的函数性质和图象的研究，应以正切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω＜0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解． [触类旁通] 3．已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)在区间[－π，π]上作出函数f(x)的图象，并指出单调区间． 解析　(1)由cos x≠0，得x≠kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域是. (2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称． 因为f(－x)＝＝＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． (3)f(x)＝ 所以f(x)在区间[－π，π]上的图象如图所示． 从图可知，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，. 知识落实 技法强化 1．正切函数图象的画法． 2．正切函数的性质. 最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $$