1.6.3 探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

6．3　探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 学业标准 素养目标 1．了解A对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响． 2．掌握探究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的基本方法．(难点) 3．会用函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质解决有关问题．(重点) 1．在图象间的变换过程中，提升直观想象等核心素养． 2．通过y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用，提升数学运算等核心素养. [对应学生用书P32] 导学1　探究A的取值对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 在同一平面直角坐标系中，用“五点法”作出函数y＝4sin x与y＝sin x的图象，从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析，y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sin(ωx＋φ)的图象之间有什么关系？ [提示]　y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以由y＝sin(ωx＋φ)的图象所有点的纵坐标伸缩(横坐标不变)得到． ◎结论形成 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的图象是将y＝sin(ωx＋φ)的图象上的每个点的__纵__坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的__A__倍(__横坐标__不变)得到的．A决定了函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为__振幅__． y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)y＝mf(x)＝mAsin(ωx＋φ)． 导学2　探究函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 探究函数y＝sin的周期、单调递增区间和对称轴． [提示]　周期T＝2π. 由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为，k∈Z.由x＋＝kπ＋，得x＝kπ＋，k∈Z，即为函数图象的对称轴． ◎结论形成 1．探究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)性质的一般步骤 第1步，确定周期T＝　　； 第2步，在y＝sin x五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)的基础上确定该函数的__五个__关键点； 第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个__周期__上的图象，再利用其__周期性__把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象； 第4步，借助图象讨论性质． 说明：这也是讨论周期函数的一般方法和步骤． 2．函数y＝Asin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)的性质 定义域 　R　 值域 __[－A，A]__ 周期性 　T＝　 奇偶性 φ＝　kπ，k∈Z　时是奇函数；φ＝　＋kπ，k∈Z　时是偶函数 单调性 单调递增区间可由　2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z　得到，单调递减区间可由　2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z　得到 对称性 对称轴方程为x＝　＋－，k∈Z　. 对称中心为　(k∈Z)　 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2sin x的图象可由y＝sin x的图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的得到．(　　) (2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A≠0，x∈R的最大值为A．(　　) (3)函数y＝3sin(2x－5)的初相为5.(　　) (4)函数f(x)＝sin图象的一条对称轴为x＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　) A．y＝sin |2x|　　　　　 B．y＝|sin x| C．y＝sin D．y＝cos 解析　y＝cos ＝－sin 2x符合题意．故选D． 答案　D 3．下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　　) A．y＝sin　　　 B．y＝sin C．y＝cos D．y＝cos 解析　由图知T＝4×＝π， ∴ω＝＝2. 又x＝时，y＝1， 经验证，可得D项解析式符合题目要求． 答案　D 4．函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程是______． 解析　令x－＝＋kπ，k∈Z， 解得x＝＋kπ，k∈Z， 即f(x)的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z. 答案　x＝＋kπ，k∈Z [对应学生用书P33] 题型一　由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式一题多解 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式． [解析]　方法一(逐一定参法) 由图象知振幅A＝3， 又T＝－＝π，∴ω＝＝2. 由点可知，－×2＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z. 又|φ|<，得φ＝， ∴y＝3sin. 方法二(待定系数法) 由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)， 有解得 ∴y＝3sin. 方法三(图象变换法) 由T＝π，点，A＝3可知， 图象是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的， ∴y＝3sin，即y＝3sin. 根据函数的部分图象求解析式的方法 (1)直接从图象确定A和T，则可确定函数解析式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取特殊点，结合φ的范围求出φ. (2)将若干特殊点代入函数解析式，通过解方程组求相关待定系数A，ω，φ. (3)运用逆向思维的方法，先确定函数的解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数． [触类旁通] 1．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________. 解析　由图可知，f(x)的最小正周期T＝＝π， 所以ω＝＝2，因为f＝0， 所以由五点作图法可得2×＋φ＝， 解得φ＝－， 所以f(x)＝2cos， 所以f＝2cos＝－2cos＝－. 答案　－ 题型二　三角函数图象的对称性 (1)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　) A．x＝－(k∈Z)　 B．x＝＋(k∈Z) C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z) (2)(2022·新高考全国Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若π<T<π，且y＝f(x)的函数图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 [解析]　(1)将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin ＝2sin，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.故选B． (2)ω＝∈(2,3)，y＝f(x)的函数图象关于点中心对称，则有b＝2，且f＝2，所以sin＋2＝2， 则ω＋＝kπ，k∈Z；解得ω＝， 由ω∈(2,3)得k＝4，ω＝， 故f＝sin＋2＝－1＋2＝1. [答案]　(1)B　(2)A 三角函数对称轴、对称中心的求法 对称轴 对称中心 y＝Asin(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标 [触类旁通] 2．将函数y＝2sin图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．函数g(x)的图象的一条对称轴是x＝ B．函数g(x)的图象的一个对称中心是 C．函数g(x)的图象的一条对称轴是x＝ D．函数g(x)的图象的一个对称中心是 解析　将函数y＝2sin图象上所有点的横坐标缩短为原来的，可得y＝2sin的图象，然后纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)＝2sin＝2cos 2x的图象， 令x＝，求得g(x)＝0，可得是g(x)的图象一个对称中心，故排除A； 令x＝，求得g(x)＝－2，可得x＝是g(x)的图象的一条对称轴，故排除B；C正确；令x＝，求得g(x)＝，可得不是g(x)的图象的对称中心，故排除D． 答案　C 题型三　三角函数性质的综合应用一题多变 　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的周期为π，且图象上一个最低点为M. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈时，求f(x)的最值． [解析]　(1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M，得A＝2. 由周期T＝π，得ω＝＝＝2. 由点M在图象上， 得2sin＝－2， 即sin＝－1， 所以＋φ＝2kπ－，k∈Z， 故φ＝2kπ－，k∈Z. 又φ∈，所以k＝1，φ＝. 所以函数的解析式为f(x)＝2sin. (2)因为x∈，所以2x＋∈， 所以当2x＋＝，即x＝0时，函数f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值. [母题变式] (变结论)若本例的条件不变，求函数f(x)的单调递增区间． 解析　由例3的解析可知f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)． [素养聚焦]　在讨论三角函数性质时，需要综合应用数学运算、直观想象等核心素养来分析解决问题． 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用 (1)应用范围：函数的单调性、最值、奇偶性、零点、图象的对称性等方面都有体现和考查． (2)解决方法：有关函数y＝Asin (ωx＋φ)的性质的问题，充分利用正弦曲线的基本性质，要特别注意运用整体代换思想． [触类旁通] 3．(1)(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 (2)(多选题)将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)，则下列说法正确的是(　　) A．g(x)的周期为π B．g(x)的一条对称轴为x＝ C．g(x)是奇函数 D．g(x)在区间上单调递增 解析　(1)对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误．故选BC． (2)将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度得到函数 g(x)＝sin＝sin. A．g(x)的最小正周期为＝π，所以该选项正确； B．令2x＋＝kπ＋，∴x＝＋，k∈Z，函数图象的对称轴不可能是x＝，所以该选项错误； C．由于g(－x)≠－g(x)，所以函数不是奇函数，所以该选项错误； D．令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， ∴kπ－≤x≤kπ＋， 当k＝0时，－≤x≤，所以g(x)在区间上单调递增，所以该选项正确．故选AD． 答案　(1)BC　(2)AD [缜密思维提能区]　易错辨析 函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性 忽略ω的正负致错 求函数y＝2sin 的单调区间． [错解]　当－＋2kπ≤－x≤＋2kπ时，y单调递增，当＋2kπ≤－x≤＋2kπ时，y单调递减，所以y的单调递增区间为，单调递减区间为. [正解]　y＝2sin 化为y＝－2sin .令u＝x－，因为y＝sin u(u∈R)的单调递增区间、单调递减区间分别为 (k∈Z)，(k∈Z)，所以函数y＝－2sin 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定： 2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z， 2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z， 2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. 故函数y＝2sin 的单调递增区间、单调递减区间分别为(k∈Z)，(k∈Z)． [纠错心得] 在研究正弦函数型的函数的性质时，要注意将已知函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，并确保ω为正． 知识落实 技法强化 1．由图象求y＝Asin(ωx＋φ)． 2．y＝Asin(ωx＋φ)的性质的综合应用. 1．整体代换、数形结合． 2．由图象求解析式，关键是找到“第一点”. 学科网（北京）股份有限公司 $$