1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

5．2　余弦函数的图象与性质再认识 学业标准 素养目标 1．了解余弦曲线的画法，理解正弦曲线与余弦曲线的关系．(难点) 2．掌握余弦函数的性质，并能应用余弦函数的性质与图象解决相关问题．(难点) 1．通过学习余弦曲线，培养直观想象等核心素养． 2．通过余弦函数图象与性质的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [对应学生用书P24] 导学　余弦函数的图象与性质再认识 函数y＝cos x与y＝sin x图象间有什么关系？ [提示]　∵cos x＝sin ， ∴把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可得到y＝cos x的图象． 类比正弦函数性质再认识的研究方式，利用余弦函数y＝cos x的图象(如图)，进一步探究其主要性质． (1)讨论函数y＝cos x在区间[－π，π]上的单调性． [提示]　在区间[－π，0]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减． (2)当x∈R时，求函数y＝cos x取最大值时对应x的值． [提示]　x＝2kπ，k∈Z. (3)研究函数y＝cos x的奇偶性． [提示]　∵cos(－x)＝cos x，∴余弦函数是偶函数，其图象关于y轴对称． (4)余弦函数的图象有对称轴吗？有对称中心吗？ [提示]　对称轴为x＝kπ，k∈Z，对称中心为(k∈Z)． ◎结论形成 余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象与性质 图象 定义域 　R　 最值 和值域 当　x＝2kπ，k∈Z　时，ymax＝1； 当　x＝(2k＋1)π，k∈Z　时，ymin＝－1. 值域是__[－1,1]__ 周期性 最小正周期为__2π__ 单调性 在区间　[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　上单调递增； 在区间　[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)　上单调递减 奇偶性 __偶__函数，图象关于__y轴__对称 对称轴 x＝　kπ，k∈Z　 对称中心 　(k∈Z)　 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝Acos x＋2的最大值为A＋2.(　　) (2)y＝cos x在第二象限是增函数．(　　) (3)y＝sin的图象关于原点对称．(　　) (4)函数y＝cos的一条对称轴为x＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数y＝sin是(　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 解析　因为y＝sin＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数． 答案　D 3．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 4．不等式sin＜0，x∈[0,2π]的解集为______________． 解析　 y＝sin＝cos x，作出在x∈[0,2π]的简图．满足cos x＜0的x的范围是，即不等式的解集为 . 答案　 [对应学生用书P25] 题型一　利用“五点法”作简图 用“五点法”作出函数y＝cos在一个周期内的图象． [解析]　按五个关键点列表： x x－ 0 π 2π y＝cos 1 0 －1 0 1 描点、连线得函数y＝cos在一个周期内的图象，如图所示． 画y＝Acos(ωx＋φ)的图象时，将ωx＋φ看成整体，要把握好五个关键点，即令ωx＋φ＝0，，π，，2π，计算出x的值，即为五个点的横坐标，相应的函数值即为五个点的纵坐标． [触类旁通] 1．画出函数y＝3＋2cos x，x∈[0,2π]的简图． 解析　列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 3＋2cos x 5 3 1 3 5 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，得函数y＝3＋2cos x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)． 题型二　求三角函数的定义域 求下列函数的定义域． (1)y＝＋； (2)y＝＋lg(2sin x＋)． [解析]　(1)由题意，x应满足的条件为 即 由数轴(如图)得原函数的定义域为 ∪∪. (2)由题意，x应满足的条件为即 由单位圆求交集如图所示． 于是原函数的定义域为. 含三角函数的函数的定义域的求法 先画出函数图象，找出一个周期内符合条件的并用不等式表示出来，再利用周期性表示出符合条件的所有角． [触类旁通] 2．函数y＝＋log的定义域为________________． 解析　根据题意，需满足条件 解①得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，③ 解②得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，④ 将③④求交集，得2kπ＋≤x＜2kπ＋，k∈Z， 所以其定义域为(k∈Z)． 答案　(k∈Z) 题型三　正、余弦函数性质的综合应用多维探究 角度1　三角函数奇偶性、周期性的应用 　已知函数f(x)是以为周期的偶函数，且当x∈时，f(x)＝cos x，求f的值． [解析]　因为f(x)的周期为，且为偶函数， 所以f＝f＝f ＝f＝f＝cos＝. 解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把x＋nT，n∈Z的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而解决求值问题． 角度2　正、余弦函数单调性的应用 　比较cos ，sin ，－cos ，cos，cos的大小． [解析]　sin ＝cos， －cos ＝cos， cos＝cos＝cos ， cos＝cos＝cos . ∵0＜＜π－＜－＜＜＜π， 且y＝cos x在区间[0，π]上单调递减， ∴cos ＞cos＞cos＞cos ＞cos ，即cos＞－cos ＞sin ＞cos ＞cos. [素养聚焦]　利用正、余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，在这个过程中体现了数学运算、逻辑推理等核心素养． 判断正、余弦函数值的大小的一般思路是先判断三角函数值的正负．若三角函数值同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较．正弦值比较，角可化到，余弦值比较，角可化到[0，π]． [触类旁通] 3．(1)(2024·首师大附属学校校考)已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间I上都是减函数，那么区间I可以是(　　) A．　　　　　 B． C． D． (2)(多选题)已知函数f(x)＝cos，则(　　) A．2π 为f(x)的一个周期 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称 C．f(x)在上单调递减 D．函数f 的一个零点为 解析　(1)y＝sin x在和上递增，在上递减，y＝cos x在(0，π)上递减，在(π，2π)上递增，因此在上都递减，故选B． (2)函数f(x)的最小正周期T＝2π，故A正确； 当x＝ 时，f＝cos＝cos＝0，由余弦函数图象的对称性知，B错误； 函数f(x)＝cos 在 上单调递减，在 上单调递增，故C错误； f＝cos，f＝cos＝cos＝0，故D正确，故选AD． 答案　(1)B　(2)AD 知识落实 技法强化 1．五点法作图． 2．对余弦函数的性质进一步加深理解. 1．数形结合、分类讨论． 2．比较大小：注意化“同名”“同单调区间”. 学科网（北京）股份有限公司 $$