1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5．1　正弦函数的图象与性质再认识 学业标准 素养目标 1．了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点法”画出简单的正弦曲线．(难点) 2．掌握正弦函数的性质，并能解决相关问题．(重点) 1．通过正弦曲线的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过正弦函数图象与性质的应用，提升直观想象等核心素养. [对应学生用书P21] 导学1　正弦函数的图象与性质再认识 在前面我们学习了正弦函数y＝sin x的基本性质，知道正弦函数的周期为2π，为了研究方便，我们取长度为一个周期的区间x∈上的正弦曲线，进一步探究y＝sin x的性质． (1)讨论函数y＝sin x在区间上的单调性． [提示]　在区间上单调递增，在区间上单调递减． (2)当x∈R时，求函数y＝sin x取最小值时x的取值． [提示]　当ymin＝－1时，x＝2kπ－，k∈Z. (3)研究正弦函数的奇偶性． [提示]　∵sin(－x)＝－sin x，∴正弦函数是奇函数，其图象关于原点对称． (4)正弦函数图象有对称轴吗？有对称中心吗？ [提示]　对称轴为x＝kπ＋，k∈Z，对称中心为(kπ，0)(k∈Z)． ◎结论形成 正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象与性质 图象 定义域 　R　 最值 和值域 当　x＝＋2kπ，k∈Z　时，ymax＝1； 当　x＝＋2kπ，k∈Z　时，ymin＝－1. 值域是__[－1,1]__ 周期性 周期函数，T＝__2π__ 单调性 在区间　(k∈Z)　上是单调递增的； 在区间　(k∈Z)　上是单调递减的 奇偶性 __奇__函数，图象关于__原点__对称 对称轴 x＝　kπ＋，k∈Z　 对称中心 　(kπ，0)(k∈Z)　 导学2　五点(画图)法 画函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是什么？ [提示]　三个零点(0,0)，(π，0)，(2π，0)，一个最高点，一个最低点. ◎结论形成 画正弦函数图象时，在精确度要求不太高时，常常先描出这__五个__关键点，然后用光滑曲线将它们顺次__连接__起来，就得到正弦函数的简图．这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin x在区间上是单调递增的．(　　) (2)函数y＝sin x在第一象限是增函数．(　　) (3)用“五点法”做正弦函数的图象，五点坐标为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(　　) (4)f(x)＝sin(2kπ＋π＋x)(x∈R)是奇函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列图象中，y＝－sin x在[0,2π]上的图象是(　　) 解析　由y＝sin x在[0,2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项． 答案　D 3．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有________个． 解析　如图所示，可得交点有2个． 答案　2 4．在下列横线上填上“＞”或“＜”． (1)sin 250°________sin 260°； (2)sin________sin. 答案　(1)＞　(2)＞ [对应学生用书P22] 题型一　利用“五点法”作函数的图 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． [解析]　按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示． [素养聚焦]　在“五点法”作图的过程中，体现了直观想象等核心素养． 用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)在区间[0,2π]上的简图的步骤： (1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 Asin x＋b b A＋b b －A＋b b (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，b)，，(π，b)，，(2π，b)． (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来． [触类旁通] 1．画出函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的简图． 解析　(1)按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋sin x 1 2 1 0 1 (2)描点并将它们用光滑的曲线顺次连接起来，如图所示． 题型二　正弦函数单调性的应用 比较下列各组数的大小． (1)sin 和sin ； (2)sin 和sin ； (3)sin 194°和cos 160°. [解析]　(1)sin ＝sin ＝sin . 因为0＜＜＜， 且y＝sin x在区间上单调递增， 所以sin ＜sin ，即sin ＜sin . (2)因为－＜－＜－＜，y＝sin x在区间上单调递增， 所以sin ＞sin . (3)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70° . 因为0°＜14°＜70°＜90°，所以sin 14°＜sin 70°. 所以－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°. 利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小的方法 (1)同名函数，若两角在同一单调区间，直接利用单调性得出，若两角不在同一单调区间，则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间，再进行比较； (2)异名函数，先应用诱导公式转化为同名函数，然后再比较． [触类旁通] 2．比较下列各组数的大小． (1)cos 1，sin 1； (2)sin 164°与cos 110°. 解析　(1)因为cos 1＝sin，而0＜－1＜1＜且y＝sin x在上单调递增， 所以sin＜sin 1，即cos 1＜sin 1. (2)sin 164°＝sin(180°－16°)＝sin 16°， cos 110°＝cos(90°＋20°)＝－sin 20°＝sin (－20°)． 因为正弦函数在上单调递增， 所以sin(－20°)＜sin 16°， 即cos 110°＜sin 164°. 题型三　与正弦函数有关的函数的定义域、值域问题一题多变 　(1)在[0,2π]内，不等式sin x＜－的解集是(　　) A．(0，π)　　　　　　　 B． C． D． (2)作出函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,4π]的图象． [解析]　(1)画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下： 因为sin ＝， 所以sin＝－，sin＝－. 所以在[0,2π]内，满足sin x＝－的是x＝和x＝. 所以不等式sin x＜－的解集是. (2)f(x)＝ 则f(x)的图象如图所示． [答案]　(1)C　(2)略 [母题变式] 1．(变条件、变结论)本例(1)变为：函数y＝的定义域为________． 解析　由2sin x－1≥0，得sin x≥，画出y＝sin x的图象， 可知sin x≥的解集为. 故函数的定义域为(k∈Z)． 2．(变条件、变结论)本例(2)中的函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,4π]．方程f(x)＝a有4个实根，则实数a的取值范围是________． 解析　在同一坐标系内，作出函数y＝a和函数y＝f(x)的图象，如图所示，要使方程f(x)＝a有4个根，则函数y＝a和函数y＝f(x)的图象有四个交点，所以1＜a＜3，即实数a的取值范围为(1,3)． 答案　(1,3) 1．用三角函数图象解三角不等式的步骤 (1)作出相应的正弦函数在[0,2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集； (3)根据公式写出定义域内的解集． 2．判断方程解的个数的关注点 (1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解． (2)当在同一坐标系中作两个函数的图象时，要注意其相对位置，常借助于函数值的大小来确定． [触类旁通] 3．(1)(多选题)函数y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点可能有(　　) A．0个　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．3个 (2)不等式sin x＜－，x∈[0,2π]的解集为________． 解析　(1)由题意y＝1＋sin x，x∈的图象如图，可得当t＞2或t＜0时，交点个数为0；当t＝2或t＝0或t∈时，交点个数为1；当t∈或t∈(0,1)时，交点个数为2. (2)如图所示，不等式sin x＜－的解集为. 答案　(1)ABC　(2) 知识落实 技法强化 1．五点法作图． 2．对正弦函数的图象和性质进一步加深理解. 1．当两角在同一单调区间内时，才能利用单调性比较大小(同名函数)． 2．对于含sin x的二次型函数，注意|sin x|≤1. 学科网（北京）股份有限公司 $$