1.4.3 诱导公式与对称&1.4.4 诱导公式与旋转(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4．3　诱导公式与对称 4．4　诱导公式与旋转 学业标准 素养目标 1．了解正(余)弦函数诱导公式的意义和作用． 2．理解诱导公式的推导过程．(难点) 3．灵活运用诱导公式进行化简、求值和证明．(重点) 1．通过诱导公式的推导，培养数学抽象、逻辑推理等核心素养． 2．通过诱导公式的应用，提升数学运算等核心素养. [对应学生用书P17] 导学1　诱导公式与对称 如图，在平面直角坐标系中，设角α，－α，π＋α，π－α的终边与单位圆分别相交于点P，P1′，P2′，P3′，观察并思考． (1)P与P1′关于x轴有怎样的位置关系？ (2)P与P2′关于原点有怎样的位置关系？ (3)P与P3′关于y轴有怎样的位置关系？ [提示]　(1)关于x轴对称． (2)关于原点对称． (3)关于y轴对称． 根据任意角正(余)弦函数的定义，并结合问题1的结论思考下面问题： (1)sin(－α)与sin α的值有何关系？cos(－α)与cos α的呢？ (2)sin(π＋α)与sin α的值有何关系？cos(π＋α)与cos α的呢？ (3)sin(π－α)与sin α的值有何关系？cos(π－α)与cos α的呢？ [提示]　借助单位圆，依据三角函数的定义和对称关系得sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 导学2　诱导公式与旋转 设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转得到点P′，即α＋的终边与单位圆交于点P′. (1)怎样用点P的坐标表示点P′的坐标？ (2)sin与cos α的值有何关系？ cos与sin α的呢？ [提示]　(1)由平面几何的知识知P′的坐标为(－v，u)． (2)依据三角函数的定义得sin＝cos α. cos＝－sin α. 利用问题1中(2)的结论和－α与α的正(余)弦关系，探究α－与α三角函数值的关系． [提示]　sin＝－sin ＝－sin＝－cos(－α)＝－cos α， 同理得cos＝sin α. ◎结论形成 1．正(余)弦函数的诱导公式 对任意角α，下列关系式均成立(其中k∈Z)． sin(α＋2kπ)＝sin α sin(－α)＝－sin α sin(α＋π)＝sin(π＋α)＝－sin α sin(α－π)＝－sin α sin(π－α)＝sin α sin＝sin＝cos α sin＝cos α cos(α＋2kπ)＝cos α cos(－α)＝cos α cos(α＋π)＝cos(π＋α)＝－cos α cos(α－π)＝－cos α cos(π－α)＝－cos α cos＝cos＝－sin α cos＝sin α 2．诱导公式的语言概括 除了关于－α的诱导公式sin(－α)＝－sin α和cos(－α)＝cos α，对于其他诱导公式中的角，都可以看作α＋，其中n＝1,2,3,4k(k∈Z)． 当n取奇数1或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号通常是把α看成锐角时原三角函数的符号． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中的角α一定是锐角．(　　) (2)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　) (3)sin＝cos α.(　　) (4)若α为第二象限角，则sin＝cos α.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．sin 585°的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－. 答案　A 3．如果sin α＝，那么sin－cos＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　sin－cos＝－sin α－sin α＝－2sin α＝－. 答案　B 4．已知P(2,3)是角α终边上一点，则sin(π＋α)＝________. 解析　x＝2，y＝3，r＝＝，则sin α＝＝.∴sin(π＋α)＝－sin α＝－. 答案　－ [对应学生用书P18] 题型一　利用诱导公式求值一题多变 (1)求sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)的值； (2)已知cos ＝，求sin 的值． [解析]　(1)由题意，知 原式＝－sin (3×360°＋120°)·cos (3×360°＋210°)－cos (2×360°＋300°)·sin (2×360°＋330°) ＝－sin (180°－60°)·cos (180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30° ＝×＋×＝1. (2)∵α＋＝＋， ∴sin ＝sin ＝cos ＝. [母题变式] (变结论)若本例(2)的条件不变，求cos的值． 解析　cos＝cos ＝cos＝cos ＝－cos＝－. [素养聚焦]　通过诱导公式的化简求值，把数学运算体现在解题过程中． 解决三角函数求值问题的策略 (1)首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系，发现它们的互补、互余关系． (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化． 提醒：常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有＋θ与－θ，＋θ与－θ等． [触类旁通] 1．(1)计算：cos ＋cos ＋cos ＋cos 的值为________． (2)若sin＝，则sin＝______，cos＝________. 解析　(1)原式＝ ＋ ＝＋ ＝＋＝0. (2)若sin＝，则sin＝sin＝sin＝； cos＝cos＝－sin＝－. 答案　(1)0　(2)　－ 题型二　利用诱导公式化简、证明 求证：＋＝. [证明]　 左边＝＋ ＝＋＝ ＝＝右边． ∴原式成立． 三角恒等式证明的策略 利用诱导公式证明等式问题，关键在于灵活应用公式，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左、右两边都等于同一个式子． (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，消除差异． [触类旁通] 2．化简：. 解析　原式＝＝＝－cos α. 题型三　诱导公式的综合应用 设角α的终边与单位圆交于点P且cos α＝－，α为第二象限角，求 的值． [解析]　由题意，知m2＋2＝1， 解得m2＝， 因为α为第二象限角，故m＜0， 所以m＝－， 所以sin α＝，cos α＝－. 原式＝ ＝＝－. 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是正弦、余弦互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． [触类旁通] 3．已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若sin＝，求f(α) . 解析　(1)f(α)＝＝－cos α . (2)由sin＝， 得sin＝， ∴cos α＝， ∴f(α)＝－cos α＝－. [缜密思维提能区]　规范答 分类讨论思想在三角函数化简中的应用 (13分)化简：sin ＋cos ，k∈Z. [审题指导]　角π－α＝kπ－，用诱导公式化简需对整数k的奇偶性进行讨论． [规范解答]　原式＝sin ＋cos .(3分) (1)当k为奇数时①， 设k＝2n＋1，n∈Z，则原式＝sin＋cos ＝sin ＋cos ＝sin ＋cos ＝sin －cos ＝sin －sin ③＝0.(8分) (2)当k为偶数时②， 设k＝2n，n∈Z，则 原式＝sin ＋cos ＝－sin ＋cos ＝－sin ＋sin ④＝0.(12分) 综上可知，原式＝0.(13分) 知识落实 技法强化 1．利用对称和旋转推导诱导公式的方法． 2．诱导公式的简单应用. 1．转化法、数形结合． 2．诱导公式中α∈R及公式的特点. 学科网（北京）股份有限公司 $$