1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 学业标准 素养目标 1．理解并掌握正弦函数、余弦函数的基本性质．(重点) 2．能用正余弦函数的基本性质解决相关问题．(难点) 通过正(余)弦函数基本性质的学习，提升直观想象、逻辑推理等核心素养. [对应学生用书P14] 导学　单位圆与正(余)弦函数的基本性质 借助单位圆和正(余)弦函数的定义，如图，探究余弦函数u＝cos α的基本性质． (1)研究u＝cos α的值域． [提示]　由单位圆知－1≤u≤1，即值域为[－1,1]． (2)研究u＝cos α的周期性． [提示]　∵对任意的k∈Z，α＋2kπ与α终边相同，∴cos(α＋2kπ)＝cos α， ∴2kπ(k∈Z且k≠0)为余弦函数的周期． (3)研究u＝cos α的单调性． [提示]　根据余弦函数的定义，在单位圆中，当角α由－π增加到0时，cos α的值由－1增加到1；当α由0增加到π时，cos α的值由1减小到－1，因此u＝cos α在[－π，0]上递增，在[0，π]上递减，由余弦函数的周期性对任意k∈Z，余弦函数在[2kπ－π，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ＋π]上递减． ◎结论形成 1．正(余)弦函数的基本性质 性质 v＝sin α u＝cos α 定义域 　R　 　R　 最值 的值域 当α＝　2kπ－，k∈Z　时，vmin＝__－1__； 当α＝　2kπ＋，k∈Z　时，vmax＝__1__. 值域是__[－1,1]__ 当α＝　2kπ，k∈Z　时，umax＝__1__； 当α＝　(2k＋1)π，k∈Z　时，umin＝__－1__. 值域是__[－1,1]__ 周期性 周期函数，周期为__2π__ 周期函数，周期为__2π__ 单调性 在区间　 (k∈Z　)上单调递增； 在区间　 (k∈Z)　上单调递减 在区间　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　上单调递增； 在区间　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)　上单调递减 2．终边相同角的正(余)弦值 终边相同的角的正弦函数值__相等__，即对任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝__sin_α__，α∈R； 终边相同的角的余弦函数值__相等__，即对任意k∈Z，cos(α＋2kπ)＝__cos_α__，α∈R. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)μ＝sin α在区间上是增函数．(　　) (2)μ＝cos α在区间[0,2π]上的周期为2π.(　　) (3)μ＝sin x在区间(0,2π]上有3个不同零点．(　　) (4)μ＝cos α在区间(0，π)上的最大值为1，最小值为－1.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．sin 1 860°等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　sin 1 860°＝sin(60°＋5×360°) ＝sin 60°＝. 答案　C 3．函数y＝的定义域为________． 解析　由sin α≠0，即α≠kπ，k∈Z， 故定义域为{α|α≠kπ，k∈Z}． 答案　{α|α≠kπ，k∈Z} 4．函数y＝cos α在区间上的最大值为________，最小值为__________． 解析　如图． ymax＝1， ymin＝－. 答案　1　－ [对应学生用书P15] 题型一　正(余)弦函数周期性的应用 求值： (1)sin(－1 320°) cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°＋cos 495°； (2)cos＋sin. [解析]　(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)·cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)·sin(2×360°＋30°)＋cos(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋cos 135° ＝×＋×－＝1－. (2)原式＝cos＋sin ＝cos＋sin＝＋. 利用终边相同角的正(余)弦函数值相等求值的步骤 (1)定形：把已知的任意角写成2kπ＋α，α∈(0,2π)，k∈Z或k·360°＋α，k∈Z,0°＜α＜360°的形式． (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，直接求出该角的三角函数值． [触类旁通] 1．(1)sin＋cos＝________. (2)(2024·汕头高一统考期末)函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x)＝－f(x＋π)，当x∈时，f(x)＝2sin x，则f＋f＝________. 解析　(1)原式＝sin＋cos ＝sin＋cos＝sin＋cos ＝＋＝. (2)由题意f(x＋2π)＝f(x＋π＋π)＝－f(x＋π)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，周期是2π，又f(x)是偶函数， 所以f＋f＝f＋f ＝f＋f＝2sin＋2sin ＝＋. 故答案为＋. 答案　(1)　(2)＋ 题型二　正(余)弦函数的单调性多维探究 角度1　求正(余)弦函数的单调区间 求下列函数的单调区间． (1)v＝sin α，α∈[－π，π]； (2)u＝cos α，α∈[0,4π]． [解析]　(1)正弦函数的单调递增区间为(k∈Z)， 当k＝0时，得⊂[－π，π]． 正弦函数的单调递减区间为 (k∈Z)， 当k＝0时，得， 又α∈[－π，π]，即； 当k＝－1时，得， 又α∈[－π，π]，即. 综上，v＝sin α的单调递增区间为，单调递减区间为，. (2)余弦函数的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)， 当k＝1时，得[π，2π]； 当k＝2时，得[3π，4π]． 余弦函数的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z， 当k＝0时，得[0，π]； 当k＝1时，得[2π，3π]． 综上，u＝cos α的单调递增区间为[π，2π]，[3π，4π]，单调递减区间为[0，π]，[2π，3π]． 角度2　比较正(余)弦函数值的大小 比较下列各组数的大小． (1)sin 220°与sin 230°； (2)cos与cos. [解析]　(1)因为函数y＝sin x在[90°，270°]上单调递减，且90°＜220°＜230°＜270°， 所以sin 220°＞sin 230°. (2)cos＝cos＝cos， cos＝cos＝cos. 因为函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0＜＜＜π，所以cos＞cos，故cos＞cos. [素养聚焦]　在正(余)弦函数单调性的应用过程中，体现了逻辑推理、直观想象等核心素养． (1)求正(余)弦函数的单调区间可借助单位圆，也可利用基本性质(单调性)． (2)比较正(余)弦函数值的大小，必须强调“两同”，即同名、角处同一单调区间． [触类旁通] 2．(1)函数y＝－cos α在区间上(　　) A．单调递增　　　　 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 (2)比较sin与sin的大小． 解析　(1)因为y＝cos α在区间上先增后减，所以y＝－cos α在区间上先减后增． (2)∵－＜－＜－＜， ∴sin＜sin. 答案　(1)C　(2)略 题型三　正(余)弦函数的最值、值域问题一题多变 (1)求函数y＝2cos α，α∈的最小值及取最小值时自变量α的值； (2)求函数y＝sin2α－sin α＋1，α∈的值域． [解析]　(1)y＝cos α在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴＜cos α≤1或－≤cos α≤1， 即－≤cos α≤1， 故－1≤2cos α≤2， 即ymin＝－1，此时α＝. (2)y＝sin2 α－sin α＋1＝2＋， 又α∈，所以sin α∈. 设t＝sin α，则有y＝2＋在上递增，所以y∈， 即值域为. [母题变式] (变条件、变结论)本例(1)变为：已知函数y＝2asin α＋b(a≠0)的定义域为，值域为[－5,1]，则a＝________，b＝________. 解析　∵－≤α≤，∴－≤sin α≤1. 若a＞0，则 解得 若a＜0，则 解得 答案　12－6　－23＋12或－12＋6　19－12 求含正(余)弦函数的最值的常用方法 (1)可化为y＝Asin α＋B(A≠0)的形式，利用正弦函数的性质求最值，必要时对A讨论； (2)转化成关于正弦函数的二次函数的形式，即y＝Asin2 α＋Bsin α＋C，换元t＝sin α，注意t的范围，利用配方法求解． [触类旁通] 3．(1)若α是△ABC中的最小内角，则y＝sin α的值域为(　　) A．[－1,1] B．(0,1] C． D． (2)函数y＝cos2 α－1，α∈的最大值为________． 解析　(1)在△ABC中，可知A＋B＋C＝π， 因为α是△ABC中的最小内角，所以3α≤π，可得0＜α≤， 又由函数y＝sin α在区间上单调递增， 且sin 0＝0，sin ＝，所以sin α∈，即函数y＝sin α的值域为. (2)y＝cos α在上是减函数， ∴≤cos α≤，∴－≤y≤－. 故函数的最大值为－. 答案　(1)C　(2)－ 知识落实 技法强化 正(余)弦函数的基础性质及简单应用. 1．转化法、分类讨论法、换元法． 2．公式中kπ(k∈Z)与k·360°实质不同．|sin α|≤1，|cos α|≤1，注意α的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$