1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 学业标准 素养目标 1．理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义．会求给定角的正余弦值．(重点、难点) 2．借助正(余)弦函数的定义，掌握正(余)弦函数在各象限的符号规律．(重点) 1．通过任意角的正(余)弦函数定义的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过正(余)弦函数定义的应用，提升数学运算等核心素养. [对应学生用书P11] 导学　单位圆与任意角的正(余)弦函数的定义 如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(u，v)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ [提示]　当α是锐角时，sin α＝v，cos α＝u.这一结论能推广到角α是任意角的情形． ◎结论形成 1．任意角的正(余)弦函数的定义(单位圆法) 如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)． 把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，记作v＝__sin_α__； 把点P的横坐标u叫作角α的余弦值，记作u＝__cos_α__. 如果角α的大小用弧度表示，那么，正弦v＝sin α、余弦u＝cos α分别是以__角α的大小__为自变量，以单位圆上的点的__纵坐标、横坐标__为函数值的函数，其定义域为__全体实数__，其值域为__[－1,1]__．这样定义的正弦函数和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了． 2．正(余)弦函数的定义(坐标法) 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝　　，cos α＝　　，其中r＝. 3．单位圆与正(余)弦函数值的符号 根据正(余)弦函数的定义，设角α的终边与单位圆的交点是P(u，v)． (1)当点P在第一、二象限或y轴正半轴时，sin α＞0；当点P在x轴上时，sin α＝0；当点P在第三、四象限或y轴负半轴时，sin α＜0. (2)当点P在第一、四象限或x轴的正半轴时，cos α＞0；当点P在y轴上时，cos α＝0；当点P在第二、三象限或x轴的负半轴时，cos α＜0. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin α＝sin β，则α＝β.(　　) (2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．(　　) (3)角α的终边与单位圆的交点坐标为(cos α，sin α)．(　　) (4)不存在角α，使得sin α＜0且cos α＜0.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α等于(　　) A．－　　 B．　　 C．－　　 D．－ 解析　由题意得P(1，－)，它与原点的距离r＝＝2，∴sin α＝－. 答案　C 3．锐角α的终边交单位圆于点P，则sin α＝________. 解析　＋m2＝1，又m＞0， ∴m＝，∴sin α＝. 答案　 4．已知角α＝2，则点P(sin α，cos α)在第________象限． 解析　∵＜2＜π，∴2是第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0，故点P在第四象限． 答案　四 [对应学生用书P12] 题型一　单位圆法求三角函数 (1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β＝(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C． D． (2)若角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α＋cos α的值为________． [解析]　(1)由任意角正(余)弦函数的定义，得sin α＝，cos β＝－， ∴sin αcos β＝×＝－.故选B． (2)∵x2＋＝1，∴x＝±. 当x＝时，sin α＋cos α＝＋＝； 当x＝－时，sin α＋cos α＝－＝. [答案]　(1)B　(2) 用单位圆法求三角函数的定义时的注意点 (1)找点：确定角α的终边与单位圆的交点P(x，y)． (2)下结论：根据三角函数的定义得sin α＝y； cos α＝x；tan α＝(x≠0)． [触类旁通] 1．(2024·抚州金溪一中校考)已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a，b)，若＝，则cos α的值为(　　) A． B．－ C．± D． 解析　设角α的终边与单位圆的交点的坐标为P(a，b)，若 ＝，则－a＝b，|OP|＝＝b，所以cos α＝＝＝－.故选B． 答案　B 题型二　坐标法求三角函数值多维探究 角度1　已知角α终边上一点坐标求三角函数值 已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. [解析]　由题意，知r＝|OP|＝， 由三角函数定义，得cos θ＝＝. 又cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，得P(1,3)， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3. 当x＝－1时，得P(－1,3)， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3. (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值 在角α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝，cos α＝.当已知角α的终边上一点求角α的三角函数值时，用该方法更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 角度2　已知角α的终边所在直线求三角函数值 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． [解析]　设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|. (1)当k＞0时，r＝k，α是第四象限角， sin α＝＝＝－， ＝＝＝， 所以10sin α＋＝10×＋3 ＝－3＋3＝0. (2)当k＜0时，r＝－k，α是第二象限角， sin α＝＝＝， ＝＝＝－， 所以10sin α＋＝10×＋3×(－) ＝3－3＝0. 综上所述，10sin α＋＝0. 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝. [触类旁通] 2．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________. 解析　∵y＝3x，sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，且m<0，n<0，n＝3m. ∴|OP|＝＝|m|＝－m＝. ∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2. 答案　2 题型三　正(余)弦函数值的符号一题多变 (1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)判断下列各式的符号． ①sin 145°cos (－210°)；②sin 3·cos 4. [解析]　(1)∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D． (2)①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos (－210°)＜0. ②∵＜3＜π，π＜4＜π， ∴sin 3＞0，cos 4＜0， ∴sin 3·cos 4＜0. [答案]　(1)D　(2)略 [母题变式] (变条件、变结论)本例(1)变为：如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　由题意，知∴ ∴θ终边在第三象限． 答案　C [素养聚焦]　利用三角函数的定义判断三角函数值的符号，关键是判断角所在的象限，体现了逻辑推理的核心素养． 判断三角函数值的符号的常用方法 (1)定象限：根据题目给出的条件，确定角所在的象限． (2)定符号：根据角所在象限，结合题目的具体特点，最终确定符号． [触类旁通] 3．(1)(2024·南阳中学校考)sin 1·sin 2·sin 3·sin 4的符号为(　　) A．正　　 B．0　　 C．负　　 D．无法确定 (2)(多选题)若sin θ cos θ>0，则θ可能在(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　(1)由1弧度为第一象限角，2弧度为第二象限角，3弧度为第二象限角，4弧度为第三象限角，则sin 1>0，sin 2>0，sin 3>0，sin 4<0，所以sin 1·sin 2·sin 3·sin 4<0.故选C． (2)因为sin θ·cos θ>0， 所以sin θ>0且cos θ>0或sin θ<0且cos θ<0， 所以θ在第一或第三象限． 答案　(1)C　(2)AC 知识落实 技法强化 1．正(余)弦函数的定义及其求值问题． 2．正(余)弦函数值的符号. 1．区分象限角与终边在坐标轴上的角． 2．正(余)弦函数的定义适合任意角. 学科网（北京）股份有限公司 $$