1.3 弧度制(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§3　弧度制 学业标准 素养目标 1．理解1弧度角的定义，了解弧度制的概念．(难点) 2．能进行角度与弧度之间的互化．熟悉特殊角的弧度数．(重点) 3．掌握弧度制下弧长与面积公式，能应用公式解决问题．(重点) 1．通过弧度制概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过弧度制与角度制的互化，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [对应学生用书P7] 导学1　弧度概念 在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ [提示]　将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角． 如图，三圆为同心圆，，，的长都等于相应圆的半径，它们所对应的圆心角与半径有没有关系？ [提示]　没有关系． ◎结论形成 1．弧度制的定义 在单位圆中，把__长度等于1__的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号__rad__表示，读作弧度(通常__“弧度”__或__“rad”__省略不写)．在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的__弧度数__．这种以__弧度__作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系 一般地，弧度数与实数一一对应．正角的弧度数是一个__正数__，负角的弧度数是一个__负数__，零角的弧度数是__0__. 导学2　弧度与角度的换算 在单位圆中，圆周角用角度制度量是多少度？用弧度制度量是多少弧度？你能进行角的角度数与弧度数的换算吗？ [提示]　360°；2π；即360°＝2π⇔180°＝π， 1°＝ rad,1 rad＝. ◎结论形成 弧度与角度的换算 导学3　扇形的弧长和面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式？你能推导吗？ [提示]　弧长公式：由公式α＝及0＜α＜2π可得l＝αr；扇形面积公式：S＝lr.推导如下： 设扇形的圆心角为α rad(α＞0)， 则扇形的面积为S＝·πr2＝αr2. 又因为l＝αr，所以S＝lr. ◎结论形成 设扇形的半径为r，弧度为l，α为其圆心角，则 度量单位类别 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝__αr__ 扇形的面积 S＝ S＝　lr　＝　αr2　 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．(　　) (2)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关．(　　) (3)160°化为弧度制是π rad.(　　) (4)1弧度的角大于60°的角．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为(　　) A．π cm　　　　　　 B．π cm C．π cm D．π cm 解析　根据弧长公式，得l＝×8＝(cm)． 答案　A 3．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(　　) A．π B．－π C．π D．－π 解析　时钟的分针在1点整到3点20分这段时间里顺时针旋转，转动了2圈，所以转过的弧度为－2×2π＝－π. 答案　B 4．(1)18°＝________rad；(2)π＝________. 答案　(1)　(2)54° [对应学生用书P8] 题型一　弧度与角度的换 (1)角化为角度是________． (2)角105°的弧度数是________． (3)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小． [解析]　(1)＝×°＝252°. (2)105°＝105× rad＝ rad. (3)方法一(化为弧度) α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝. 显然＜＜1＜，故α＜β＜γ＜θ＝φ. 方法二(化为角度) β＝＝×°＝18°， γ＝1≈57.30°， φ＝×°＝105°. 显然，15°＜18°＜57.30°＜105°， 故α＜β＜γ＜θ＝φ. [答案]　(1)252°　(2) rad　(3)略 角度制与弧度制互化的关键与方法 (1)关键：抓住互化公式π rad＝180°. (2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×°＝度数． (3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． [触类旁通] 1．把下列角度化成弧度或弧度化成角度． (1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°. 答案　(1)15 330°　(2)－105°　(3) (4)－ 题型二　利用弧度制表示角一题多变 把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出它们是第几象限角． (1)－1 500°；(2)；(3)－4. [解析]　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300° ＝－5×360°＋300°， ∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角． (2)∵＝2π＋， ∴与终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角． [母题变式] 1．(变条件、变结论)本例变为：在区间[－5π，0]上，与2 025°终边相同的角为_____________________． 解析　∵2 025°＝2 025×＝＝5×2π＋，与2 025°终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ，k∈Z，又－5π≤γ≤0， ∴当k＝－3时，γ＝－； 当k＝－2时，γ＝－； 当k＝－1时，γ＝－. 答案　－，－，－ 2．(变条件、变结论)本例变为：如图所示，用弧度表示顶点在原点，始边在x轴的非负半轴，终边落在阴影部分(不包括边界)内的角的集合． 解析　(1)以OA为终边的角为＋2kπ，k∈Z，以OB为终边的角为－＋2kπ，k∈Z，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为. (2)终边落在阴影部分(不包括边界)内的角的集合为. 1．弧度制下与角α终边相同的角的表示 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α，k∈Z时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用，单位要统一． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形； (2)写出区域边界作为终边时角的表示； (3)用不等式表示区域范围内的角． [触类旁通] 2．(1)(2024·六安高一期末)在(－2π，2π)内与－终边相同的角是________． (2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 解析　(1)与－终边相同的角记为＝，当k2＝0时，β＝－∈(－2π，2π)；当k2＝1时，β＝∈(－2π，2π)，∴在(－2π，2π)内与－终边相同的角有－，，故答案为－，. (2)330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－， 而75°＝75×＝，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为. 答案　(1)－，　(2)略 题型三　扇形的弧长与面积公式的应用 　(2024·合肥八中学校联考)扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐地成为主流．如图所示，该折扇扇面画的外弧长为48，内弧长为18，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为(π≈3)(　　) A．990　　　　　　　 B．495 C．330 D．300 [解析]　设该扇面画的外弧半径为R，弧长为l2＝48，内弧半径为r，弧长为l1＝18，且120°＝.则有l2＝R＝48，R＝，l1＝r＝18，r＝.所以扇面画的面积约为l2R－l1r＝×48×－×18×＝≈495.故选B． [答案]　B 弧度制下涉及扇形问题的策略 涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 提醒：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度． [触类旁通] 3.(1)(全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图所示，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　　) A． B． C． D． (2)如图所示，已知扇形AOB的周长是6 cm，圆心角为1弧度，则该扇形的面积是________． 解析　(1)由条件得，△OAB为等边三角形，有OC＝，CD＝2－，所以s＝2＋＝2＋＝. (2)设扇形半径为R，圆心角为α， 则α＝1 rad,2R＋Rα＝6(cm)， ∴R＝2(cm)，∴S＝lR＝2(cm2)． 答案　(1)B　(2)2 cm2 [缜密思维提能区]　易错辨析 混用角度制与弧度制致误 与终边相同的角连同在内组成的角的集合是________________． [错解一]　因为与45°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}，所以与终边相同的角的集合为. [错解二]　因为与45°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}，所以与终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋45°，k∈Z}． [正解]　因为与45°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}，所以与终边相同的角的集合为. [答案]　 [纠错心得] 在解决角度制和弧度制的有关问题时，要遵循转换的原则，表达的形式要符合基本的原则和规范性，即在同一个式子中角度制和弧度制不能混用． 知识落实 技法强化 1．弧度制的概念． 2．弧度制与角度制的相互转化． 3．掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系． 4．扇形的弧长与面积的计算. 1．由特殊到一般的思想方法． 2．弧度与角度不可混用. 学科网（北京）股份有限公司 $$