湖南省娄底市新化县2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题
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内容正文：
2024 年下学期高二期末考试试题 数 学 第 1版 共 6 版
2024 年下学期高二期末考试试题
数 学
考试时间：120 分钟；满分：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．经过 1,2 , 0,3A B 两点的直线的倾斜角为
A．
π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
π
2
2．已知等差数列 na 中， 4 4a ，则 2 3 7a a a 的值是
A．6 B．9 C．12 D．15
3．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， ,E F分别为棱 1 1,AA BB 的中点，则异面直线 BE与 1D F
所成角的正切值为
A． 2 5
5
B． 5
2
C． 5 D． 5
5
4．已知点 ( , )P x y 的坐标满足 2 2 2 2( 1) ( 1) 2x y x y ，则动点 P的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支
5．已知在四面体O ABC 中， a OA
，b OB
， c OC
，
1
3
OM MA
，N为 BC的中点，
若MN xa yb zc
.则 x y z
2024 年下学期高二期末考试试题 数 学 第 2版 共 6 版
A．
3
4
B．
1
3
C． 12 D．3
6．设函数 f x 满足 0 0
0
2
lim 2
x
f x x f x
x
，则 0f x
A．2 B．1 C． 2 D． 1
7．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点为 F，抛物线C上的两点 P，Q均在第一象限，且
| | 2PQ ， | | 3PF ， | | 4QF ，则直线 PQ的斜率为
A．1 B． 2 C． 3 D． 5
8．若数列 na 满足 2 2a ，且 *, N , m n m nm n a a a ，则 2 4 6 2024a a a a
A． 10122 2 B． 20232 1
C． 10132 2 D． 10122 1
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．已知等差数列{��}的公差和首项都不等于 0，且 3a ， 5a ， 8a 成等比数列，则下列说法正
确的是
A． 2 6 10
3 4
7
3
a a a
a a
B．
2 6 10
3 4
3
7
a a a
a a
C． 12d a D． 1 2a d
10．已知双曲线
2 2
2: 1( 0)4
x yC b
b
的右焦点为 F，直线 : 0 l x by 是 C的一条渐近线，P
是 l上一点，则
2024 年下学期高二期末考试试题 数 学 第 3版 共 6 版
A．C的虚轴长为 2 2 B．C的离心率为
6
2
C． PF 的最小值为 2 D．直线 PF的斜率不等于 2
2
11．如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 E，F，G 分别为 1 1A B ， 1 1B C ， 1B B
的中点，若点 P在线段EF上运动，则下列结论正确的为
A． 1AC 与EF为共面直线
B．平面 1ACD ∥平面 EFG
C．三棱锥 1P ADC 的体积为定值
D． 1AC 与平面 1A BC所成角的正切值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ， 6 7 1a a ， 5 55S ，则公差为 .
13．已知长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的底面 ABCD是正方形， 4AB ， 1 3AA ， E为棱 1 1C D
的中点，则 AB AE
.
14．已知 F是椭圆 C的右焦点，O为坐标原点，P是 C上的一点，若 2PF OF ，且
120OFP ，则 C的离心率为 ．
2024 年下学期高二期末考试试题 数 学 第 4版 共 6 版
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．（13 分）已知三点 0,0 , 1, 1 , 2, 0O A B ，记△ AOB的外接圆为 C .
（1）求 C 的方程；
（2）若直线 : 1 0l x y 与 C 交于 ,M N 两点，求△CMN的面积.
16．（15 分）已知函数 2 ln 2 1f x x x f x .
（1）求 1f 的值；
（2）求 f x 在点 2 2e , ef 处的切线方程.
2024 年下学期高二期末考试试题 数 学 第 5版 共 6 版
17．（15 分）记 nS 为数列 na 的前 n项和，已知 21 12,2 2n na S n na n
（1）求数列 na 的通项 na ；
（2）求 nS 最小值及取最小值时 n的值．
（3）求数列
13
2
n
n
a
的前 n项和 nT ．
18．（17 分）如图 1，在边长为 4的菱形 ABCD中， 60DAB ，点 ,M N 分别是边 BC，CD
的中点， 1,AC BD O AC MN G .沿MN 将△CMN翻折到△ PMN 的位置，连接
, ,PA PB PD，得到如图 2所示的五棱锥 P ABMND .
（1）在翻折过程中是否总有平面 PBD 平面 PAG？证明你的结论；
（2）当四棱锥 P MNDB 体积最大时，求点 B到面 PDG的距离；
（3）在（2）的条件下，在线段 PA上是否存在一点Q，使得平面QDN 与平面 PMN所成角
的余弦值为
29
29
？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.
2024 年下学期高二期末考试试题 数 学 第 6版 共 6 版
19．（17 分）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)
x yE a b
a b
的离心率为
1
2 ，且过点
3(1, )
2
P ，设 M．F分别
是椭圆 E的左、右焦点．
（1）是椭圆 E的标准方程；
（2）若椭圆 E上至少有 11个不同的点 1,2( )3,iP i ，使得 1FP ， 2FP ， 3FP ，…组成公
差为 d的等差数列，求公差 d的取值范围
（3）若过右焦点 F的直线交椭圆 E于 A，B两点，过左焦点 M的直线交椭圆 E于 C，D两
点，且 AB CD ，求 AB CD 的最小值．
2024年下学期期末高二数学
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
B
A
D
C
C
AD
ABD
题号
11
答案
BCD
11．BCD
对于A：连接，如图所示：
，分别为，的中点，，
在正方体中，，
，而，与为异面直线，故A错误；
对于B：连接，
点，分别为，的中点，，又，
平面，平面，∥平面，
由选项A得，平面，平面，∥平面，
又，平面，平面，平面∥平面，故B正确；
对于C：由选项B得∥平面，
点在线段上运动，
点到平面的距离等于点到平面的距离，且为定值，
又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D：建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
，设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，
，
，，故D正确．故选：BCD．
二、填空题
12． 13．8 14．
三、解答题
15．
解：（1）设的方程为，
由题意可得，解得，
所以的方程为，
化为标准方程可得.
（2）由（1）可得圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
且，
因此的面积为.
16．
解：（1）因为，
所以，
代入得：，所以.
（2）由（1）可得，则
所以，，
所以切线方程为，即.
17．
解：（1）由题意知①，
当时，②，
①-②：化简得，
即，所以数列为以为首项，为公差的等差数列，
所以数列的通项.
（2），
所以当或时，.
（3）记，则，所以，
：，
化简得：
18．解：（1）折叠前，因为四边形是菱形，所以，
由于分别是边，的中点，所以，所以，
折叠过程中，平面，
所以平面，所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）当平面平面时，四棱锥体积最大，
由于平面平面，平面，，
所以平面，由于平面，所以，
由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
依题意可知，
设平面的法向量为，
则，故可设，
所以到平面的距离为.
（3）存在，理由如下：
，，
设，则，
平面的法向量为，
，
设平面的法向量为，
则，
故可设，
设平面与平面所成角为，
由于平面与平面所成角的余弦值为，
所以，
解得或（舍去），
所以当是的中点时，平面与平面所成角的余弦值为.
19．
解：（1）由题意，由，故解得，∴椭圆标准方程是；
（2）设是椭圆上的点，则，，
∵等差数列，，，…至少有11项，
若，则，解得，
若，则，解得，
若，则满足条件的点最多有4个，不合题意．
∴所求的范围是且；
（3）当斜率为0时，，，，同理当斜率不存在时，也有，
当斜率存在且不为0时，设斜率为，方程为，设，
由得，
∴，，
，
设，同理可得，
∴，
∴，当且仅当，即时等号成立．∴．，∴的最小值为．
答案第14页，共14页
答案第1页，共1页
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