（同步讲练篇）第三单元 （分数乘整数、分数乘分数、分数乘小数及倒数）-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册（北师大版）

五年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 本套资料分几个模块进行展示，不同的模块对应不同的定位，大家可以结合实际情况进行选择，下面用表格的形式结合个人的想法进行简单描述！ 模块名称 适用 涵盖内容 特点 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 考点+知识点+例题+练习 考点知识点有效结合，掌握知识点的同时把握考点方向 提分利器·专项突破篇 课后巩固 专项特点选择对应题型 题量广深，强化应用能效显著 复习神器·单元总结篇 复习阶段 思维导图+易错清单+常考易考考点+真题巩固 总结性强，能够系统对本单元进行复习 思维跃升·素养进阶篇 能力拓展 旧知识+现知识+后期知识 思维贯穿，旧知识的复习，后期知识畅想 分层检测·质量评价篇 教学评估 单元分层试卷 针对不同的实际情况有效评价 总结进阶·阶段检测篇 总结评价 月考+期中+期末 阶段性学习情况针对性模拟评价 纠错修正·错题纠正篇 复习清障 易错知识点+易错题型+练习强化 复习针对性修正，复习知识系统有效 资料的整理是一个不断完善的过程，同样也是提高自己能力和修养的过程，随着时间的推移，把冗繁改为系统化更是一个方向。即便如此，因为一些个人的主观思维束缚，个别之处会出现不尽人意的地方，敬请大家谅解！ 2025年3月15日 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第三单元 分数乘法 （分数乘整数、分数乘分数、分数乘小数及倒数） 【考点1】分数乘整数 3 【考点2】整数乘分数 4 【考点3】求一个数的几分之几的问题 5 【考点4】打折的意义及应用（分数） 5 【考点5】分数乘分数 6 【考点6】分数乘小数 7 【考点7】因数和积的大小关系（分数乘法） 8 【考点8】倒数的认识 9 【考点9】与倒数有关的综合计算 10 【考点10】与倒数有关的综合计算 11 【考点1】分数乘整数 考点详述 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。计算方法是用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变，能约分的要先约分再计算。 【思路点拨】 理解分数乘整数的意义时，可联系整数乘法意义。计算时，先观察分数的分母与整数是否能约分，若能约分先约分可以使计算更简便，然后再按照分子与整数相乘的规则得出结果。 典型例题 计算： 解题过程 练习题 1.计算： 2.计算： 3.一堆苹果，每次运走吨，运 5 次一共运走多少吨？ 【考点2】整数乘分数 考点详述 整数乘分数表示求这个整数的几分之几是多少。计算方法同样是用整数与分数的分子相乘的积作分子，分母不变，能约分的先约分再计算。 【思路点拨】 关键在于理解其表示的是求一个整数的几分之几的含义。计算步骤和分数乘整数类似，注意约分技巧以简化计算过程。 典型例题 6 的是多少？ 解题过程 ，6 和 3 先约分，6 约分为 2，3 约分为 1，得到。 练习题 1.8 的是多少？ 2.学校买了 15 个篮球，足球的个数是篮球的，足球有多少个？ 3.一辆汽车每小时行驶 60 千米，小时行驶多少千米？ 3 约分为 1，千米。 【考点3】求一个数的几分之几的问题 考点详述 在实际问题中，已知一个数，求它的几分之几是多少，用乘法计算。即这个数×几分之几 。 【思路点拨】 首先要准确确定单位“1”的量，也就是已知的那个数。然后明确所求的量占单位“1”的几分之几，最后用乘法运算得出结果。 典型例题 果园里有桃树 80 棵，梨树的棵数是桃树的，梨树有多少棵？ 解题过程 单位“1”是桃树的棵数 80 棵，梨树棵数是桃树的，所以梨树的棵数为棵。 练习题 1.五（1）班有学生 50 人，女生人数占全班人数的，女生有多少人？ 2.一本书有 120 页，小明第一天看了这本书的，第一天看了多少页？ 3.一根绳子长 20 米，用去了它的，用去了多少米？ 【考点4】打折的意义及应用（分数） 考点详述 几折就表示十分之几，也就是百分之几十。在商品销售等问题中，求商品打折后的价格，就是求原价的十分之几是多少，用原价×折扣对应的分数 。 【思路点拨】 先将折扣转化为对应的分数，明确原价是单位“1”，然后根据求一个数的几分之几是多少的方法，用乘法计算出打折后的价格。 典型例题 一件衣服原价 200 元，现在打八折出售，这件衣服现价多少元？ 解题过程 八折就是，单位“1”是原价 200 元，所以现价为元。 练习题 1.一个书包原价 80 元，现在打七五折销售，这个书包现价多少元？ 2.一部手机原价 1500 元，打九折后的价格比原价便宜了多少元？ 3.商店里的篮球原价 120 元，促销活动打六折，小明带了 80 元，够买这个篮球吗？ 【考点5】分数乘分数 考点详述 分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的要先约分再计算。其意义是求一个分数的几分之几是多少。 【思路点拨】 理解分数乘分数的意义可结合具体情境。计算时，重点观察分子和分母之间是否有可以约分的数，先约分能使计算更轻松，再按照分子分母分别相乘的规则得出结果。 典型例题 计算： 解题过程 先约分，2 和 4 约分为 1 和 2，3 和 3 约分为 1 和 1，得到。 练习题 1.计算： 2.一块地的面积是公顷，其中种西红柿，种西红柿的面积是多少公顷？ 3.计算： 【考点6】分数乘小数 考点详述 分数乘小数，有两种计算方法。一是把小数化成分数，然后按照分数乘分数的方法计算；二是把分数化成小数（除不尽时按要求保留适当位数），再按照小数乘法的方法计算 。 【思路点拨】 根据具体题目中分数和小数的特点，灵活选择合适的计算方法。如果分数能化成有限小数，且小数计算较简便，可将分数化成小数计算；若小数能化成分数，且分数约分后计算简单，则将小数化成分数计算。 典型例题 计算： 解题过程 方法一：把小数化成分数，，则，4 和 4 约分为 1 和 1，得到。 方法二：把分数化成小数，，，。 练习题 1.计算： 2.计算： 3.计算： 【考点7】因数和积的大小关系（分数乘法） 考点详述 一个数（0 除外）乘大于 1 的分数，积大于这个数；一个数（0 除外）乘小于 1 的分数，积小于这个数；一个数乘 1，积等于这个数。 【思路点拨】 在比较因数和积的大小时，先判断所乘分数与 1 的大小关系，再根据上述规律得出结论。需要注意的是，这个规律的前提是因数不为 0 。 典型例题 在（ ）里填上“＞” “＜”或“=”。 （ ） ，（ ） 解题过程 因为＞，根据规律，一个数（0 除外）乘大于 1 的分数，积大于这个数，所以＞； 因为＜，一个数（0 除外）乘小于 1 的分数，积小于这个数，所以＜。 练习题 1.在（ ）里填上“＞” “＜”或“=”。 （ ） ，（ ） 2.已知（、均不为 0），那么和谁大？ 所以＞。 3.一个非零自然数乘真分数，积（ ）这个自然数。 【考点8】倒数的认识 考点详述 乘积是 1 的两个数互为倒数。求一个分数的倒数，只需要把这个分数的分子和分母交换位置；求一个整数（0 除外）的倒数，就是把这个整数看作分母是 1 的分数，然后交换分子分母的位置；1 的倒数是 1，0 没有倒数。 【思路点拨】 理解倒数的概念要抓住“乘积是 1”和“互为”这两个关键要点。在求倒数时，按照不同数的类型（分数、整数）对应的方法进行求解。 典型例题 求， 5， 1 的倒数。 解题过程 的倒数是把分子分母交换位置，即； 5 可以看作，它的倒数是； 1 的倒数是 1 。 练习题 1.求 ， 8， 的倒数。 2.因为 ，所以（ ）和（ ）互为倒数。 3.下面说法正确的是（ ） A. 0 的倒数是 0 B. 假分数的倒数都小于 1 C. 互为倒数的两个数乘积一定是 1 【考点9】与倒数有关的综合计算 考点详述 在一些计算题目中，会涉及到倒数的知识，可能是多个数的乘积与倒数的关系，或者是分数运算中结合倒数来求解。 【思路点拨】 先明确题目中所给数据与倒数的联系，利用倒数的性质“乘积为 1”来简化计算。对于复杂的算式，可能需要先对各项进行化简，再运用倒数相关知识进行计算。 典型例题 计算： 解题过程 观察发现 ， 与 相乘时，4 和 8 可约分，得到 ，再计算 ，因为 与 互为倒数，乘积为 1。 练习题 1.计算： 2.已知 的倒数是 ， 的倒数是 4，求 的值。 3.若 ，则 是多少？ 【考点10】与倒数有关的综合计算 考点详述 此类问题主要是研究自然数与它的倒数进行加法或减法运算后的结果特点，以及相关的比较、计算等。 【思路点拨】 对于自然数（0 除外）与它的倒数的和差计算，先求出自然数的倒数，再进行相应的加、减运算。在比较大小时，可根据自然数的大小规律以及倒数的性质来分析结果的范围。 典型例题 求 3 与它的倒数的和是多少？ 解题过程 3 的倒数是 ，它们的和为 。 练习题 1.5 与它的倒数的差是多少？ 2.比较 4 与它的倒数的和，和 2 与它的倒数的和的大小。 3.一个自然数与它的倒数的和是 ，这个自然数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 五年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 本套资料分几个模块进行展示，不同的模块对应不同的定位，大家可以结合实际情况进行选择，下面用表格的形式结合个人的想法进行简单描述！ 模块名称 适用 涵盖内容 特点 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 考点+知识点+例题+练习 考点知识点有效结合，掌握知识点的同时把握考点方向 提分利器·专项突破篇 课后巩固 专项特点选择对应题型 题量广深，强化应用能效显著 复习神器·单元总结篇 复习阶段 思维导图+易错清单+常考易考考点+真题巩固 总结性强，能够系统对本单元进行复习 思维跃升·素养进阶篇 能力拓展 旧知识+现知识+后期知识 思维贯穿，旧知识的复习，后期知识畅想 分层检测·质量评价篇 教学评估 单元分层试卷 针对不同的实际情况有效评价 总结进阶·阶段检测篇 总结评价 月考+期中+期末 阶段性学习情况针对性模拟评价 纠错修正·错题纠正篇 复习清障 易错知识点+易错题型+练习强化 复习针对性修正，复习知识系统有效 资料的整理是一个不断完善的过程，同样也是提高自己能力和修养的过程，随着时间的推移，把冗繁改为系统化更是一个方向。即便如此，因为一些个人的主观思维束缚，个别之处会出现不尽人意的地方，敬请大家谅解！ 2025年3月15日 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第三单元 分数乘法 （分数乘整数、分数乘分数、分数乘小数及倒数） 【考点1】分数乘整数 4 【考点2】整数乘分数 4 【考点3】求一个数的几分之几的问题 5 【考点4】打折的意义及应用（分数） 6 【考点5】分数乘分数 7 【考点6】分数乘小数 8 【考点7】因数和积的大小关系（分数乘法） 9 【考点8】倒数的认识 10 【考点9】与倒数有关的综合计算 11 【考点10】与倒数有关的综合计算 12 【考点1】分数乘整数 考点详述 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。计算方法是用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变，能约分的要先约分再计算。 【思路点拨】 理解分数乘整数的意义时，可联系整数乘法意义。计算时，先观察分数的分母与整数是否能约分，若能约分先约分可以使计算更简便，然后再按照分子与整数相乘的规则得出结果。 典型例题 计算： 解题过程 练习题 1.计算： 答案： 解析：，先约分，4 和 8 约分为 1 和 2，得到。 2.计算： 答案： 解析：，6 和 9 约分为 2 和 3，即。 3.一堆苹果，每次运走吨，运 5 次一共运走多少吨？ 答案：吨 解析：求运 5 次运走的量，就是求 5 个吨是多少，用分数乘整数计算，吨。 【考点2】整数乘分数 考点详述 整数乘分数表示求这个整数的几分之几是多少。计算方法同样是用整数与分数的分子相乘的积作分子，分母不变，能约分的先约分再计算。 【思路点拨】 关键在于理解其表示的是求一个整数的几分之几的含义。计算步骤和分数乘整数类似，注意约分技巧以简化计算过程。 典型例题 6 的是多少？ 解题过程 ，6 和 3 先约分，6 约分为 2，3 约分为 1，得到。 练习题 1.8 的是多少？ 答案：6 解析：，8 和 4 约分，8 约分为 2，4 约分为 1，。 2.学校买了 15 个篮球，足球的个数是篮球的，足球有多少个？ 答案：6 个 解析：求足球个数，就是求 15 的是多少，，15 和 5 约分，15 约分为 3，5 约分为 1，个。 3.一辆汽车每小时行驶 60 千米，小时行驶多少千米？ 答案：40 千米 解析：求小时行驶的路程，就是求 60 千米的是多少，，60 和 3 约分，60 约分为 20，3 约分为 1，千米。 【考点3】求一个数的几分之几的问题 考点详述 在实际问题中，已知一个数，求它的几分之几是多少，用乘法计算。即这个数×几分之几 。 【思路点拨】 首先要准确确定单位“1”的量，也就是已知的那个数。然后明确所求的量占单位“1”的几分之几，最后用乘法运算得出结果。 典型例题 果园里有桃树 80 棵，梨树的棵数是桃树的，梨树有多少棵？ 解题过程 单位“1”是桃树的棵数 80 棵，梨树棵数是桃树的，所以梨树的棵数为棵。 练习题 1.五（1）班有学生 50 人，女生人数占全班人数的，女生有多少人？ 答案：30 人 解析：单位“1”是全班人数 50 人，女生人数占，则女生人数为人。 2.一本书有 120 页，小明第一天看了这本书的，第一天看了多少页？ 答案：20 页 解析：单位“1”是这本书的总页数 120 页，第一天看的占，页。 3.一根绳子长 20 米，用去了它的，用去了多少米？ 答案：8 米 解析：单位“1”是绳子的长度 20 米，用去的占，米。 【考点4】打折的意义及应用（分数） 考点详述 几折就表示十分之几，也就是百分之几十。在商品销售等问题中，求商品打折后的价格，就是求原价的十分之几是多少，用原价×折扣对应的分数 。 【思路点拨】 先将折扣转化为对应的分数，明确原价是单位“1”，然后根据求一个数的几分之几是多少的方法，用乘法计算出打折后的价格。 典型例题 一件衣服原价 200 元，现在打八折出售，这件衣服现价多少元？ 解题过程 八折就是，单位“1”是原价 200 元，所以现价为元。 练习题 1.一个书包原价 80 元，现在打七五折销售，这个书包现价多少元？ 答案：60 元 解析：七五折是，原价 80 元是单位“1”，元。 2.一部手机原价 1500 元，打九折后的价格比原价便宜了多少元？ 答案：150 元 解析：九折是，打折后的价格为元，比原价便宜元。 3.商店里的篮球原价 120 元，促销活动打六折，小明带了 80 元，够买这个篮球吗？ 答案：够 解析：六折是，篮球现价元，＜，所以小明带的钱够买。 【考点5】分数乘分数 考点详述 分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的要先约分再计算。其意义是求一个分数的几分之几是多少。 【思路点拨】 理解分数乘分数的意义可结合具体情境。计算时，重点观察分子和分母之间是否有可以约分的数，先约分能使计算更轻松，再按照分子分母分别相乘的规则得出结果。 典型例题 计算： 解题过程 先约分，2 和 4 约分为 1 和 2，3 和 3 约分为 1 和 1，得到。 练习题 1.计算： 答案： 解析：3 和 6 约分为 1 和 2，5 和 5 约分为 1 和 1，。 2.一块地的面积是公顷，其中种西红柿，种西红柿的面积是多少公顷？ 答案：公顷 解析：求种西红柿的面积，就是求公顷的是多少，，4 和 2 约分为 2 和 1，公顷。 3.计算： 答案： 解析：5 和 15 约分为 1 和 3，4 和 8 约分为 1 和 2，。 【考点6】分数乘小数 考点详述 分数乘小数，有两种计算方法。一是把小数化成分数，然后按照分数乘分数的方法计算；二是把分数化成小数（除不尽时按要求保留适当位数），再按照小数乘法的方法计算 。 【思路点拨】 根据具体题目中分数和小数的特点，灵活选择合适的计算方法。如果分数能化成有限小数，且小数计算较简便，可将分数化成小数计算；若小数能化成分数，且分数约分后计算简单，则将小数化成分数计算。 典型例题 计算： 解题过程 方法一：把小数化成分数，，则，4 和 4 约分为 1 和 1，得到。 方法二：把分数化成小数，，，。 练习题 1.计算： 答案： 解析：把小数化成分数，，，2 和 2 约分为 1 和 1，得到。 2.计算： 答案：1 解析：把小数化成分数，，。 3.计算： 答案： 解析：把小数化成分数，，，2 和 8 约分为 1 和 4，得到。 【考点7】因数和积的大小关系（分数乘法） 考点详述 一个数（0 除外）乘大于 1 的分数，积大于这个数；一个数（0 除外）乘小于 1 的分数，积小于这个数；一个数乘 1，积等于这个数。 【思路点拨】 在比较因数和积的大小时，先判断所乘分数与 1 的大小关系，再根据上述规律得出结论。需要注意的是，这个规律的前提是因数不为 0 。 典型例题 在（ ）里填上“＞” “＜”或“=”。 （ ） ，（ ） 解题过程 因为＞，根据规律，一个数（0 除外）乘大于 1 的分数，积大于这个数，所以＞； 因为＜，一个数（0 除外）乘小于 1 的分数，积小于这个数，所以＜。 练习题 1.在（ ）里填上“＞” “＜”或“=”。 （ ） ，（ ） 答案：＞ ，＜ 解析：因为＞，所以＞；因为＜，所以＜。 2.已知（、均不为 0），那么和谁大？ 答案：＞ 解析：因为＞，所以＞；因为＜，所以＜，又因为，所以＞。 3.一个非零自然数乘真分数，积（ ）这个自然数。 答案：小于 解析：真分数小于 1，根据规律，一个数（0 除外）乘小于 1 的分数，积小于这个数，所以一个非零自然数乘真分数，积小于这个自然数。 【考点8】倒数的认识 考点详述 乘积是 1 的两个数互为倒数。求一个分数的倒数，只需要把这个分数的分子和分母交换位置；求一个整数（0 除外）的倒数，就是把这个整数看作分母是 1 的分数，然后交换分子分母的位置；1 的倒数是 1，0 没有倒数。 【思路点拨】 理解倒数的概念要抓住“乘积是 1”和“互为”这两个关键要点。在求倒数时，按照不同数的类型（分数、整数）对应的方法进行求解。 典型例题 求， 5， 1 的倒数。 解题过程 的倒数是把分子分母交换位置，即； 5 可以看作，它的倒数是； 1 的倒数是 1 。 练习题 1.求 ， 8， 的倒数。 答案：，，3 解析： 的倒数是将分子分母交换位置，得到 ；8 可写成 ，其倒数为 ； 的倒数把分子分母交换后是 3。 2.因为 ，所以（ ）和（ ）互为倒数。 答案：， 解析：根据倒数的定义，乘积是 1 的两个数互为倒数，所以 和 互为倒数。 3.下面说法正确的是（ ） A. 0 的倒数是 0 B. 假分数的倒数都小于 1 C. 互为倒数的两个数乘积一定是 1 答案：C 解析：0 没有倒数，A 选项错误；假分数是大于或等于 1 的分数，当假分数等于 1 时，其倒数还是 1，并不小于 1，B 选项错误；根据倒数定义，互为倒数的两个数乘积一定是 1，C 选项正确。 【考点9】与倒数有关的综合计算 考点详述 在一些计算题目中，会涉及到倒数的知识，可能是多个数的乘积与倒数的关系，或者是分数运算中结合倒数来求解。 【思路点拨】 先明确题目中所给数据与倒数的联系，利用倒数的性质“乘积为 1”来简化计算。对于复杂的算式，可能需要先对各项进行化简，再运用倒数相关知识进行计算。 典型例题 计算： 解题过程 观察发现 ， 与 相乘时，4 和 8 可约分，得到 ，再计算 ，因为 与 互为倒数，乘积为 1。 练习题 1.计算： 答案：1 解析：先计算 ，4 和 8 约分，3 和 9 约分，得到 ，再计算 ，这里 与 互为倒数。 2.已知 的倒数是 ， 的倒数是 4，求 的值。 答案： 解析：因为 的倒数是 ，所以 ； 的倒数是 4，即 ，那么 。 3.若 ，则 是多少？ 答案：2 解析：先计算 ，原式变为 ，根据倒数定义，乘积为 1 的两个数互为倒数，所以 是 的倒数，即 。 【考点10】与倒数有关的综合计算 考点详述 此类问题主要是研究自然数与它的倒数进行加法或减法运算后的结果特点，以及相关的比较、计算等。 【思路点拨】 对于自然数（0 除外）与它的倒数的和差计算，先求出自然数的倒数，再进行相应的加、减运算。在比较大小时，可根据自然数的大小规律以及倒数的性质来分析结果的范围。 典型例题 求 3 与它的倒数的和是多少？ 解题过程 3 的倒数是 ，它们的和为 。 练习题 1.5 与它的倒数的差是多少？ 答案： 解析：5 的倒数是 ，。 2.比较 4 与它的倒数的和，和 2 与它的倒数的和的大小。 答案：4 与它的倒数的和大于 2 与它的倒数的和 解析：4 的倒数是 ，它们的和是 ；2 的倒数是 ，它们的和是 ，因为 ＞，所以 4 与它的倒数的和大于 2 与它的倒数的和。 3.一个自然数与它的倒数的和是 ，这个自然数是多少？ 答案：5 解析：，所以这个自然数是 5。 学科网（北京）股份有限公司 $$