（同步讲练篇）第七单元 （列方程解和差倍及年龄问题、相遇问题）-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册（北师大版）

五年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 本套资料分几个模块进行展示，不同的模块对应不同的定位，大家可以结合实际情况进行选择，下面用表格的形式结合个人的想法进行简单描述！ 模块名称 适用 涵盖内容 特点 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 考点+知识点+例题+练习 考点知识点有效结合，掌握知识点的同时把握考点方向 提分利器·专项突破篇 课后巩固 专项特点选择对应题型 题量广深，强化应用能效显著 复习神器·单元总结篇 复习阶段 思维导图+易错清单+常考易考考点+真题巩固 总结性强，能够系统对本单元进行复习 思维跃升·素养进阶篇 能力拓展 旧知识+现知识+后期知识 思维贯穿，旧知识的复习，后期知识畅想 分层检测·质量评价篇 教学评估 单元分层试卷 针对不同的实际情况有效评价 总结进阶·阶段检测篇 总结评价 月考+期中+期末 阶段性学习情况针对性模拟评价 纠错修正·错题纠正篇 复习清障 易错知识点+易错题型+练习强化 复习针对性修正，复习知识系统有效 资料的整理是一个不断完善的过程，同样也是提高自己能力和修养的过程，随着时间的推移，把冗繁改为系统化更是一个方向。即便如此，因为一些个人的主观思维束缚，个别之处会出现不尽人意的地方，敬请大家谅解！ 2025年3月15日 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第七单元 用方程解决问题 （列方程解和差倍及年龄问题、相遇问题） 考点1】列方程解和差倍问题 3 考点2】列方程解年龄问题 4 考点3】列方程解相遇问题 5 考点4】列方程解稍复杂的行程问题 6 考点5】列方程解决稍复杂的实际问题 8 考点1】列方程解和差倍问题 考点详述 已知两个数的和、差或者倍数关系，求这两个数。通常设其中一个数为，根据数量关系表示出另一个数，再依据和、差或倍数的条件列出方程求解 。例如，已知甲、乙两数的和是，甲数是乙数的倍，设乙数为，则甲数为，可列方程。 思路点拨】 首先要找准题目中的关键信息，确定设哪个数为更便于表示其他数量。然后根据和差倍关系准确列出方程，在解方程时要注意运算规则。检验时，将求得的未知数的值代入原方程，看等式是否成立，同时也可代入题目条件中检查是否符合实际情况。 典型例题 果园里有苹果树和梨树共棵，苹果树的棵数是梨树的倍，苹果树和梨树各有多少棵？ 解题过程 设梨树有棵，因为苹果树的棵数是梨树的倍，所以苹果树有棵。 根据苹果树和梨树共棵，可列方程： 则苹果树的棵数为：（棵） 答：苹果树有棵，梨树有棵。 练习题 1.学校图书馆购进故事书和科技书共本，其中故事书的本数是科技书的倍，故事书和科技书各购进多少本？ 2.小明和小红一共有张邮票，小明的邮票张数比小红多张，小明和小红各有多少张邮票？ 3.仓库里大米的重量是面粉的倍，大米比面粉多千克，大米和面粉各有多少千克？ 考点2】列方程解年龄问题 考点详述 年龄问题中，两人的年龄差始终不变，但年龄的倍数关系会随时间变化。一般设其中一人现在的年龄为，根据年龄差不变以及题目中的其他条件列出方程。例如，今年爸爸年龄是儿子的倍，年后爸爸比儿子大岁，设儿子今年岁，则爸爸今年岁，可根据年龄差列出方程。 思路点拨】 抓住年龄差不变这个关键条件，这是列方程的重要依据。在设未知数时，通常选择较小的年龄或与其他年龄关系较多的那个量为。然后根据年龄的倍数关系、几年后的年龄变化等条件构建方程并求解。 典型例题 今年妈妈的年龄是女儿的倍，年前妈妈和女儿的年龄和是岁，今年妈妈和女儿各多少岁？ 解题过程 设女儿今年岁，因为妈妈的年龄是女儿的倍，所以妈妈今年岁。 年前女儿的年龄是岁，妈妈的年龄是岁。 根据年前妈妈和女儿的年龄和是岁，可列方程： 则妈妈今年的年龄为：（岁） 答：今年妈妈岁，女儿岁。 练习题 1.爸爸今年的年龄是儿子的倍，年后爸爸比儿子大岁，今年爸爸和儿子各多少岁？ 2.爷爷和孙子今年的年龄和是岁，爷爷的年龄是孙子的倍，爷爷和孙子今年各多少岁？ 3.姐姐年前的年龄与妹妹年后的年龄相等，姐姐和妹妹今年的年龄和是岁，姐姐和妹妹今年各多少岁？ 考点3】列方程解相遇问题 考点详述 两个物体同时从两地出发相向而行，经过一定时间相遇。基本数量关系为：速度和×相遇时间 = 路程 。设其中一个物体的速度为，根据已知条件表示出另一个物体的速度以及路程等相关量，进而列出方程。例如，甲、乙两人分别从相距米的两地同时相向而行，甲的速度是米/分，分钟后两人相遇，设乙的速度为米/分，可列方程。 思路点拨】 明确相遇问题的基本模型和数量关系，关键是找到速度和、相遇时间以及路程这几个量。设未知数时，可以根据题目条件选择合适的速度设为。然后根据数量关系列出方程，注意单位要统一。 典型例题 甲、乙两车分别从相距千米的、两地同时出发，相向而行，经过小时相遇。已知甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是多少？ 解题过程 设乙车的速度是千米/小时。 根据速度和×相遇时间 = 路程，可列方程： 答：乙车的速度是千米/小时。 练习题 1.小明和小刚同时从相距米的两地相向而行，小明每分钟走米，经过分钟两人相遇，小刚每分钟走多少米？ 2.甲、乙两艘轮船从相距千米的两个码头相向而行，小时后还相距千米。甲船每小时行千米，乙船每小时行多少千米？ 3.两地间的路程是千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，小时相遇，甲车每小时行千米，乙车每小时行多少千米？ 考点4】列方程解稍复杂的行程问题 考点详述 除了简单的相遇问题，还包括追及问题、两车先后出发的行程问题等较复杂的情况。追及问题的基本数量关系是：速度差×追及时间 = 追及路程；对于两车先后出发的情况，要分别计算出各车行驶的路程，再根据总路程等条件列出方程 。例如，甲在乙后面米，甲的速度是米/秒，乙的速度是米/秒，设秒后甲追上乙，可列方程。 思路点拨】 分析复杂行程问题时，要准确判断是哪种类型的问题，找到相应的数量关系。设未知数后，仔细梳理各物体的运动过程，明确路程、速度和时间之间的关系，列出正确的方程。 典型例题 甲、乙两人同向而行，甲的速度是米/分，乙的速度是米/分，甲先走分钟后乙才出发，问乙出发后多长时间能追上甲？ 解题过程 设乙出发后分钟能追上甲。 甲先走分钟，则甲先走的路程为米。 在乙出发后的分钟内，甲走的路程为米，乙走的路程为米。 根据乙追上甲时，两人所走路程的关系可列方程： 答：乙出发后分钟能追上甲。 练习题 1.一辆慢车速度为千米/小时，一辆快车速度为千米/小时，慢车在前，快车在后，两车相距千米，快车追上慢车需要多少小时？ 2.甲、乙两车从地开往地，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米，甲车先出发小时后乙车才出发，两车同时到达地。、两地相距多少千米？ 3.小明和小亮在环形跑道上跑步，小明的速度是米/秒，小亮的速度是米/秒。两人同时从同一地点出发，反向而行，经过秒两人第一次相遇。如果两人同时从同一地点出发，同向而行，经过多少秒小亮第一次追上小明？ 考点5】列方程解决稍复杂的实际问题 思路点拨】 仔细读题，理解题意，将实际问题转化为数学模型。通过分析各数量之间的内在联系，确定等量关系。可以借助列表、画线段图等方法梳理条件，设未知数时，一般选择与其他量关系较多的量作为未知数，然后根据等量关系列出方程并求解，最后检验答案是否符合实际情况。 典型例题 工程队修一条公路，原计划每天修米，天修完。实际每天比原计划多修米 ，实际多少天可以修完？ 解题过程 设实际天可以修完。 根据工作总量 = 工作效率×工作时间，原计划工作效率是每天修米，工作时间是天，所以公路的总长度为米。 实际工作效率是每天修米，工作时间是天，那么公路总长度也可表示为米。 因为公路的总长度是固定的，所以可列方程： 答：实际天可以修完。 练习题 1.学校买来个篮球和个足球，一共花了元。每个篮球元，每个足球多少元？ 2.小明读一本故事书，第一天读了全书的，第二天读了页，两天一共读了全书的。这本故事书一共有多少页？ 3.甲、乙两个仓库共有粮食吨，如果从甲仓库运吨粮食到乙仓库，则两个仓库的粮食量相等。甲、乙两个仓库原来各有粮食多少吨？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 五年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 本套资料分几个模块进行展示，不同的模块对应不同的定位，大家可以结合实际情况进行选择，下面用表格的形式结合个人的想法进行简单描述！ 模块名称 适用 涵盖内容 特点 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 考点+知识点+例题+练习 考点知识点有效结合，掌握知识点的同时把握考点方向 提分利器·专项突破篇 课后巩固 专项特点选择对应题型 题量广深，强化应用能效显著 复习神器·单元总结篇 复习阶段 思维导图+易错清单+常考易考考点+真题巩固 总结性强，能够系统对本单元进行复习 思维跃升·素养进阶篇 能力拓展 旧知识+现知识+后期知识 思维贯穿，旧知识的复习，后期知识畅想 分层检测·质量评价篇 教学评估 单元分层试卷 针对不同的实际情况有效评价 总结进阶·阶段检测篇 总结评价 月考+期中+期末 阶段性学习情况针对性模拟评价 纠错修正·错题纠正篇 复习清障 易错知识点+易错题型+练习强化 复习针对性修正，复习知识系统有效 资料的整理是一个不断完善的过程，同样也是提高自己能力和修养的过程，随着时间的推移，把冗繁改为系统化更是一个方向。即便如此，因为一些个人的主观思维束缚，个别之处会出现不尽人意的地方，敬请大家谅解！ 2025年3月15日 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第七单元 用方程解决问题 （列方程解和差倍及年龄问题、相遇问题） 考点1】列方程解和差倍问题 3 考点2】列方程解年龄问题 4 考点3】列方程解相遇问题 5 考点4】列方程解稍复杂的行程问题 6 考点5】列方程解决稍复杂的实际问题 8 考点1】列方程解和差倍问题 考点详述 已知两个数的和、差或者倍数关系，求这两个数。通常设其中一个数为，根据数量关系表示出另一个数，再依据和、差或倍数的条件列出方程求解 。例如，已知甲、乙两数的和是，甲数是乙数的倍，设乙数为，则甲数为，可列方程。 思路点拨】 首先要找准题目中的关键信息，确定设哪个数为更便于表示其他数量。然后根据和差倍关系准确列出方程，在解方程时要注意运算规则。检验时，将求得的未知数的值代入原方程，看等式是否成立，同时也可代入题目条件中检查是否符合实际情况。 典型例题 果园里有苹果树和梨树共棵，苹果树的棵数是梨树的倍，苹果树和梨树各有多少棵？ 解题过程 设梨树有棵，因为苹果树的棵数是梨树的倍，所以苹果树有棵。 根据苹果树和梨树共棵，可列方程： 则苹果树的棵数为：（棵） 答：苹果树有棵，梨树有棵。 练习题 1.学校图书馆购进故事书和科技书共本，其中故事书的本数是科技书的倍，故事书和科技书各购进多少本？ 答案：设科技书有本，故事书有本。，，，。即科技书购进本，故事书购进本。 解析：根据两种书的倍数关系设未知数，再依据总数列出方程求解。 2.小明和小红一共有张邮票，小明的邮票张数比小红多张，小明和小红各有多少张邮票？ 答案：设小红有张邮票，小明有张邮票。，，，，。即小红有张邮票，小明有张邮票。 解析：根据两人邮票数量的差设未知数，再根据总数列方程求解。 3.仓库里大米的重量是面粉的倍，大米比面粉多千克，大米和面粉各有多少千克？ 答案：设面粉有千克，大米有千克。，，，。即面粉有千克，大米有千克。 解析：依据大米和面粉的倍数关系设未知数，根据重量差列方程求解。 考点2】列方程解年龄问题 考点详述 年龄问题中，两人的年龄差始终不变，但年龄的倍数关系会随时间变化。一般设其中一人现在的年龄为，根据年龄差不变以及题目中的其他条件列出方程。例如，今年爸爸年龄是儿子的倍，年后爸爸比儿子大岁，设儿子今年岁，则爸爸今年岁，可根据年龄差列出方程。 思路点拨】 抓住年龄差不变这个关键条件，这是列方程的重要依据。在设未知数时，通常选择较小的年龄或与其他年龄关系较多的那个量为。然后根据年龄的倍数关系、几年后的年龄变化等条件构建方程并求解。 典型例题 今年妈妈的年龄是女儿的倍，年前妈妈和女儿的年龄和是岁，今年妈妈和女儿各多少岁？ 解题过程 设女儿今年岁，因为妈妈的年龄是女儿的倍，所以妈妈今年岁。 年前女儿的年龄是岁，妈妈的年龄是岁。 根据年前妈妈和女儿的年龄和是岁，可列方程： 则妈妈今年的年龄为：（岁） 答：今年妈妈岁，女儿岁。 练习题 1.爸爸今年的年龄是儿子的倍，年后爸爸比儿子大岁，今年爸爸和儿子各多少岁？ 答案：设儿子今年岁，爸爸今年岁。，，，。即今年爸爸岁，儿子岁。 解析：利用年龄差不变设未知数并列出方程求解。 2.爷爷和孙子今年的年龄和是岁，爷爷的年龄是孙子的倍，爷爷和孙子今年各多少岁？ 答案：设孙子今年岁，爷爷今年岁。，，，。即爷爷今年岁，孙子今年岁。 解析：根据年龄和与倍数关系设未知数，列方程求解。 3.姐姐年前的年龄与妹妹年后的年龄相等，姐姐和妹妹今年的年龄和是岁，姐姐和妹妹今年各多少岁？ 答案：设妹妹今年岁，姐姐今年岁。，，，，。即姐姐今年岁，妹妹今年岁。 解析：先根据“姐姐年前的年龄与妹妹年后的年龄相等”得出姐姐和妹妹年龄的关系，再结合年龄和设未知数求解。 考点3】列方程解相遇问题 考点详述 两个物体同时从两地出发相向而行，经过一定时间相遇。基本数量关系为：速度和×相遇时间 = 路程 。设其中一个物体的速度为，根据已知条件表示出另一个物体的速度以及路程等相关量，进而列出方程。例如，甲、乙两人分别从相距米的两地同时相向而行，甲的速度是米/分，分钟后两人相遇，设乙的速度为米/分，可列方程。 思路点拨】 明确相遇问题的基本模型和数量关系，关键是找到速度和、相遇时间以及路程这几个量。设未知数时，可以根据题目条件选择合适的速度设为。然后根据数量关系列出方程，注意单位要统一。 典型例题 甲、乙两车分别从相距千米的、两地同时出发，相向而行，经过小时相遇。已知甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是多少？ 解题过程 设乙车的速度是千米/小时。 根据速度和×相遇时间 = 路程，可列方程： 答：乙车的速度是千米/小时。 练习题 1.小明和小刚同时从相距米的两地相向而行，小明每分钟走米，经过分钟两人相遇，小刚每分钟走多少米？ 答案：设小刚每分钟走米。，，。即小刚每分钟走米。 解析：依据相遇问题数量关系设未知数，列方程求解。 2.甲、乙两艘轮船从相距千米的两个码头相向而行，小时后还相距千米。甲船每小时行千米，乙船每小时行多少千米？ 答案：设乙船每小时行千米。，，，。即乙船每小时行千米。 解析：先求出两船小时行驶的路程，再根据相遇问题数量关系列方程求解。 3.两地间的路程是千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，小时相遇，甲车每小时行千米，乙车每小时行多少千米？ 答案：设乙车每小时行千米。，，。即乙车每小时行千米。 解析：按照相遇问题的数量关系列出方程并求解。 考点4】列方程解稍复杂的行程问题 考点详述 除了简单的相遇问题，还包括追及问题、两车先后出发的行程问题等较复杂的情况。追及问题的基本数量关系是：速度差×追及时间 = 追及路程；对于两车先后出发的情况，要分别计算出各车行驶的路程，再根据总路程等条件列出方程 。例如，甲在乙后面米，甲的速度是米/秒，乙的速度是米/秒，设秒后甲追上乙，可列方程。 思路点拨】 分析复杂行程问题时，要准确判断是哪种类型的问题，找到相应的数量关系。设未知数后，仔细梳理各物体的运动过程，明确路程、速度和时间之间的关系，列出正确的方程。 典型例题 甲、乙两人同向而行，甲的速度是米/分，乙的速度是米/分，甲先走分钟后乙才出发，问乙出发后多长时间能追上甲？ 解题过程 设乙出发后分钟能追上甲。 甲先走分钟，则甲先走的路程为米。 在乙出发后的分钟内，甲走的路程为米，乙走的路程为米。 根据乙追上甲时，两人所走路程的关系可列方程： 答：乙出发后分钟能追上甲。 练习题 1.一辆慢车速度为千米/小时，一辆快车速度为千米/小时，慢车在前，快车在后，两车相距千米，快车追上慢车需要多少小时？ 答案：设快车追上慢车需要小时。，，。即快车追上慢车需要小时。 解析：根据追及问题数量关系设未知数，列方程求解。 2.甲、乙两车从地开往地，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米，甲车先出发小时后乙车才出发，两车同时到达地。、两地相距多少千米？ 答案：设乙车行驶小时到达地。，，，，千米。即、两地相距千米。 解析：先根据两车行驶路程相等设未知数，求出乙车行驶时间，再计算两地距离。 3.小明和小亮在环形跑道上跑步，小明的速度是米/秒，小亮的速度是米/秒。两人同时从同一地点出发，反向而行，经过秒两人第一次相遇。如果两人同时从同一地点出发，同向而行，经过多少秒小亮第一次追上小明？ 答案：设同向而行经过秒小亮第一次追上小明。环形跑道长度为米，，，。即经过秒小亮第一次追上小明。 解析：先求出环形跑道长度，再根据追及问题数量关系设未知数求解。 考点5】列方程解决稍复杂的实际问题 思路点拨】 仔细读题，理解题意，将实际问题转化为数学模型。通过分析各数量之间的内在联系，确定等量关系。可以借助列表、画线段图等方法梳理条件，设未知数时，一般选择与其他量关系较多的量作为未知数，然后根据等量关系列出方程并求解，最后检验答案是否符合实际情况。 典型例题 工程队修一条公路，原计划每天修米，天修完。实际每天比原计划多修米 ，实际多少天可以修完？ 解题过程 设实际天可以修完。 根据工作总量 = 工作效率×工作时间，原计划工作效率是每天修米，工作时间是天，所以公路的总长度为米。 实际工作效率是每天修米，工作时间是天，那么公路总长度也可表示为米。 因为公路的总长度是固定的，所以可列方程： 答：实际天可以修完。 练习题 1.学校买来个篮球和个足球，一共花了元。每个篮球元，每个足球多少元？ 答案：设每个足球元。根据“买篮球的钱 + 买足球的钱 = 总花费”，可列方程。 。即每个足球元。 解析：先确定篮球和足球的单价、数量与总花费之间的关系，设出足球单价为未知数，再根据等量关系列方程求解。 2.小明读一本故事书，第一天读了全书的，第二天读了页，两天一共读了全书的。这本故事书一共有多少页？ 答案：设这本故事书一共有页。根据“第一天读的页数 + 第二天读的页数 = 两天一共读的页数”，可列方程。 。即这本故事书一共有页。 解析：把全书页数设为未知数，根据两天读的页数与全书页数的关系列出方程，通过移项、通分等步骤求解。 3.甲、乙两个仓库共有粮食吨，如果从甲仓库运吨粮食到乙仓库，则两个仓库的粮食量相等。甲、乙两个仓库原来各有粮食多少吨？ 答案：设甲仓库原来有粮食吨，那么乙仓库原来有粮食吨。根据“甲仓库运出吨 = 乙仓库运进吨”，可列方程。 ，则乙仓库原来有吨。即甲仓库原来有粮食吨，乙仓库原来有粮食吨。 解析：设出甲仓库原有的粮食吨数，从而表示出乙仓库原有的粮食吨数，再依据两个仓库粮食量变化后的等量关系列出方程求解。 学科网（北京）股份有限公司 $$