（同步讲练篇）第四单元 （长方体的体积、体积单位、不规则物体及组合体的体积）-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册（北师大版）

五年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 本套资料分几个模块进行展示，不同的模块对应不同的定位，大家可以结合实际情况进行选择，下面用表格的形式结合个人的想法进行简单描述！ 模块名称 适用 涵盖内容 特点 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 考点+知识点+例题+练习 考点知识点有效结合，掌握知识点的同时把握考点方向 提分利器·专项突破篇 课后巩固 专项特点选择对应题型 题量广深，强化应用能效显著 复习神器·单元总结篇 复习阶段 思维导图+易错清单+常考易考考点+真题巩固 总结性强，能够系统对本单元进行复习 思维跃升·素养进阶篇 能力拓展 旧知识+现知识+后期知识 思维贯穿，旧知识的复习，后期知识畅想 分层检测·质量评价篇 教学评估 单元分层试卷 针对不同的实际情况有效评价 总结进阶·阶段检测篇 总结评价 月考+期中+期末 阶段性学习情况针对性模拟评价 纠错修正·错题纠正篇 复习清障 易错知识点+易错题型+练习强化 复习针对性修正，复习知识系统有效 资料的整理是一个不断完善的过程，同样也是提高自己能力和修养的过程，随着时间的推移，把冗繁改为系统化更是一个方向。即便如此，因为一些个人的主观思维束缚，个别之处会出现不尽人意的地方，敬请大家谅解！ 2025年3月15日 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第四单元 长方体（二） （长方体的体积、体积单位、不规则物体及组合体的体积） 【考点1】体积与容积的认识 4 【考点2】体积单位的认识 5 【考点3】容积单位的认识 6 【考点4】体积、容积单位的选择 6 【考点5】体积（容积）大小的比较 7 【考点6】长方体的体积 8 【考点7】正方体的体积 9 【考点8】体积的等积变形（长方体、正方体） 10 【考点9】立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 11 【考点10】体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 12 【考点11】容积单位间的进率与换算（升和毫升） 13 【考点12】体积与容积单位间的进率及换算 14 【考点13】长方体、正方体的容积 15 【考点14】不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 16 【考点15】组合体的体积（长方体、正方体） 17 【考点1】体积与容积的认识 考点详述 体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。一切物体都有体积。 容积：容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积。只有容器才有容积，像实心的木块等没有容积。 【思路点拨】 在理解体积和容积概念时，可以通过生活中的实例，如比较不同大小的箱子所占空间不同来理解体积；通过往杯子里倒水，水的体积就是杯子的容积等例子来区分两者。体积强调物体自身占据空间的量，容积侧重于容器容纳物体的量。 典型例题 判断：冰箱的体积等于它的容积。（ ） 解题过程 冰箱的体积是指冰箱所占空间的大小，计算体积通常从冰箱的外部测量长、宽、高；而冰箱的容积是指冰箱内部能容纳物体的体积，计算容积通常从冰箱的内部测量长、宽、高。由于冰箱本身有一定的厚度，所以冰箱的体积大于它的容积。答案为“×”。 练习题 1.判断：一个游泳池的容积就是它的体积。（ ） 答案：× 解析：游泳池的体积是游泳池整体所占空间大小，容积是其内部能容纳水的体积，游泳池壁有一定厚度，体积大于容积。 2.一个盒子装满沙子，沙子的体积就是盒子的（ ）。 答案：容积 解析：此时盒子作为容器，所容纳沙子的体积就是盒子的容积。 3.下列物体中，有容积的是（ ） A. 石块 B. 书包 C. 篮球 答案：B 解析：石块和篮球是实心物体，没有可容纳其他物体的空间，书包可以装书本等物品，有容积。 【考点2】体积单位的认识 考点详述 常用的体积单位有立方厘米（）、立方分米（）、立方米（）。 棱长为 1 厘米的正方体，体积是 1 立方厘米，一个手指尖的体积大约是 1 立方厘米。 棱长为 1 分米的正方体，体积是 1 立方分米，一个粉笔盒的体积大约是 1 立方分米。 棱长为 1 米的正方体，体积是 1 立方米，一个棱长 1 米的正方体空间，大约能容纳 13 名小学生。 【思路点拨】 借助生活中熟悉的物体来感受不同体积单位的大小，形成直观的表象。在描述物体体积时，能根据物体的实际大小选择合适的体积单位。 典型例题 在括号里填上合适的体积单位。 一块橡皮的体积大约是 6（ ）；一个集装箱的体积大约是 40（ ）。 解题过程 橡皮是较小的物体，根据对 1 立方厘米大小的认识，一块橡皮的体积大约是 6 立方厘米；集装箱是非常大的物体，结合对 1 立方米大小的理解，一个集装箱的体积大约是 40 立方米。答案依次为：立方厘米、立方米。 练习题 1.在括号里填上合适的体积单位。 一个苹果的体积大约是 120（ ）；一间教室的体积大约是 180（ ）。 答案：立方厘米、立方米 解析：苹果体积较小，用立方厘米作单位合适；教室空间大，用立方米合适。 2.下面物体中，体积最接近 1 立方分米的是（ ） A. 一个骰子 B. 一个热水瓶 C. 一块砖头 答案：B 解析：骰子体积接近 1 立方厘米，砖头体积远大于 1 立方分米，热水瓶体积接近 1 立方分米。 3.1 立方厘米、1 立方分米、1 立方米分别是棱长为（ ）、（ ）、（ ）的正方体的体积。 答案：1 厘米、1 分米、1 米 解析：根据体积单位定义，棱长为 1 厘米、1 分米、1 米的正方体体积分别是 1 立方厘米、1 立方分米、1 立方米。 【考点3】容积单位的认识 考点详述 常用的容积单位有升（L）和毫升（mL）。1 升 = 1 立方分米，1 毫升 = 1 立方厘米 ，1 升 = 1000 毫升。生活中，一瓶矿泉水大约是 500 毫升，一个大瓶的可乐一般是 2 升。 【思路点拨】 理解容积单位与体积单位的关系，明确升和立方分米、毫升和立方厘米是对应的等量关系。通过常见的液体包装上的标注，感受升和毫升的实际大小。 典型例题 3 升 =（ ）立方分米 =（ ）毫升 解题过程 因为 1 升 = 1 立方分米，所以 3 升 = 3 立方分米；又因为 1 升 = 1000 毫升，那么 3 升 = 3×1000 = 3000 毫升。答案依次为：3、3000。 练习题 1.5000 毫升 =（ ）升 =（ ）立方厘米 答案：5、5000 解析：因为 1000 毫升 = 1 升，所以 5000 毫升 = 5 升；1 毫升 = 1 立方厘米，所以 5000 毫升 = 5000 立方厘米。 2.一个油桶的容积是 15 升，合（ ）立方分米，合（ ）毫升。 答案：15、15000 解析：1 升 = 1 立方分米，所以 15 升 = 15 立方分米；1 升 = 1000 毫升，15 升 = 15×1000 = 15000 毫升。 3.比较大小：800 毫升（ ）1 升 答案：＜ 解析：1 升 = 1000 毫升，800 毫升＜1000 毫升，所以 800 毫升＜1 升。 【考点4】体积、容积单位的选择 考点详述 根据物体的实际大小、容纳量以及题目所给的情境，合理选择体积或容积单位。一般较小的物体用立方厘米作体积单位，较大的物体用立方米作体积单位；对于液体的量，较少时用毫升作单位，较多时用升作单位。 【思路点拨】 先对物体的大小或液体的多少有一个大致的估计，再结合对不同体积、容积单位大小的认识，选择合适的单位。可以通过与熟悉的标准物体进行对比来辅助判断。 典型例题 在括号里填上合适的单位。 一瓶眼药水大约是 5（ ）；一个仓库的容积大约是 200（ ）。 解题过程 眼药水的量较少，根据生活经验，一瓶眼药水大约是 5 毫升；仓库是用来储存大量物品的空间，体积较大，一个仓库的容积大约是 200 立方米。答案依次为：毫升、立方米。 练习题 1.在括号里填上合适的单位。 一盒牛奶大约是 250（ ）；一个衣柜的体积大约是 2（ ）。 答案：毫升、立方米 解析：一盒牛奶的量通常用毫升衡量，衣柜体积较大，用立方米合适。 2.下列单位中，适合用来表示一个游泳池容积的是（ ） A. 立方厘米 B. 升 C. 立方米 答案：C 解析：游泳池容积较大，立方厘米太小不合适，升对于游泳池来说数值会过大不方便表述，立方米是合适的单位。 3.一个墨水瓶的容积大约是 60（ ） A. 升 B. 毫升 C. 立方分米 答案：B 解析：墨水瓶较小，升和立方分米对于墨水瓶容积来说太大，毫升合适。 【考点5】体积（容积）大小的比较 考点详述 比较不同物体的体积或容积大小时，若单位相同，直接比较数值大小；若单位不同，需要先将单位统一，再比较数值大小。可以通过计算物体的体积或容积公式，或者根据对物体实际大小的感知来进行比较。 【思路点拨】 首先观察单位是否一致，不一致时根据单位换算的方法将其转化为相同单位。对于规则物体，利用体积公式计算出体积后比较；对于不规则物体或生活中的实际物体，借助参照物或已有经验进行判断。 典型例题 比较大小：3 立方米（ ）300 立方分米 解题过程 因为 1 立方米 = 1000 立方分米，所以 3 立方米 = 3×1000 = 3000 立方分米。3000 立方分米＞300 立方分米，即 3 立方米＞300 立方分米。 练习题 1.比较大小：5 升（ ）500 毫升 答案：＞ 解析：1 升 = 1000 毫升，5 升 = 5×1000 = 5000 毫升，5000 毫升＞500 毫升。 2.有两个长方体水箱，甲水箱从里面量长 3 分米、宽和高都是 2 分米；乙水箱从里面量长 4 分米、宽 1 分米、高 2 分米。哪个水箱的容积大？ 答案：甲水箱容积大 解析：根据长方体容积公式（计算方法和体积公式相同），甲水箱容积为立方分米，乙水箱容积为立方分米，12 立方分米＞8 立方分米，所以甲水箱容积大。 3.比较大小：2000 立方厘米（ ）2 升 答案：= 解析：1 升 = 1 立方分米 = 1000 立方厘米，2 升 = 2×1000 = 2000 立方厘米，所以 2000 立方厘米 = 2 升。 【考点6】长方体的体积 考点详述 长方体的体积 = 长×宽×高，用字母表示为（其中表示体积，表示长，表示宽，表示高） 。 【思路点拨】 在计算长方体体积时，要准确测量或找出长方体的长、宽、高，然后代入公式进行计算。注意单位要统一，如果题目中给出的长、宽、高单位不一致，需先换算成相同单位再计算。 典型例题 一个长方体的长是 5 分米，宽是 3 分米，高是 2 分米，它的体积是多少立方分米？ 解题过程 根据长方体体积公式，将长分米，宽分米，高分米代入公式，可得立方分米。 练习题 1.一个长方体纸盒，从里面量长 12 厘米、宽 10 厘米、高 8 厘米。这个纸盒的容积是多少立方厘米？ 答案：960 立方厘米 解析：因为是求纸盒容积（计算方法同体积），根据公式立方厘米。 2.一个长方体的底面积是 24 平方厘米，高是 5 厘米，它的体积是多少立方厘米？ 答案：120 立方厘米 解析：长方体体积还可表示为（是底面积），已知平方厘米，厘米，所以立方厘米。 3.一个长方体的体积是 60 立方米，长是 5 米，宽是 4 米，高是多少米？ 答案：3 米 解析：由可得，立方米，米，米，所以米。 【考点7】正方体的体积 考点详述 正方体是特殊的长方体，正方体的棱长都相等，正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长，用字母表示为（其中表示体积，表示棱长） 。 【思路点拨】 明确正方体的特征，即 12 条棱长度相等。计算体积时，只要知道一条棱的长度，代入公式即可。注意表示 3 个相乘，而不是。 典型例题 一个正方体的棱长是 4 厘米，它的体积是多少立方厘米？ 解题过程 根据正方体体积公式，将棱长厘米代入公式，可得立方厘米。 练习题 1.一个正方体水箱的棱长是 2 分米，它的容积是多少立方分米？ 答案：8 立方分米 解析：求水箱容积（计算方法同体积），由公式立方分米。 2.一个正方体的体积是 125 立方厘米，它的棱长是多少厘米？ 答案：5 厘米 解析：因为，所以由可知，该正方体棱长厘米。 3.用棱长 1 厘米的小正方体拼成一个大正方体，至少需要多少个小正方体？ 答案：8 个 解析：拼成的大正方体棱长至少是 2 厘米，体积为立方厘米，小正方体体积是立方厘米，所以至少需要个小正方体。 【考点8】体积的等积变形（长方体、正方体） 考点详述 在一些实际问题中，物体的形状可能发生变化，但它的体积保持不变。例如，将一块长方体的橡皮泥捏成正方体，或者将一个长方体铁块熔铸成正方体铁块等，前后的体积是相等的。 【思路点拨】 抓住体积不变这个关键条件，先根据已知条件求出物体原来的体积，再根据变化后物体的形状和其他相关条件，求出变化后物体的某个未知量，如棱长、高、底面积等。 典型例题 把一个长 8 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米的长方体木块，削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？ 解题过程 要削成最大的正方体，正方体的棱长最大只能是长方体最短的棱，即 4 厘米。根据正方体体积公式，可得正方体体积为立方厘米。 练习题 1.一个正方体的棱长是 6 厘米，把它熔铸成一个长方体，这个长方体的底面积是 24 平方厘米，高是多少厘米？ 答案：9 厘米 解析：正方体体积为立方厘米，因为熔铸前后体积不变，所以长方体体积也是 216 立方厘米。由长方体体积公式可得，立方厘米，平方厘米，所以厘米。 2.有一个长方体容器，从里面量长 5 分米、宽 4 分米、高 6 分米，里面注有水，水深 3 分米。如果把一块棱长 2 分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？ 答案：0.4 分米 解析：正方体铁块体积为立方分米，铁块浸入水中，水上升的体积就是铁块的体积。容器底面积为平方分米，根据（这里是水面上升高度，是铁块体积，是容器底面积），可得水面上升高度为分米。 3.将一个棱长为10厘米的正方体钢坯锻造成一个长16厘米、宽5厘米的长方体钢条，这个钢条的高是多少厘米？ 答案：12.5厘米 解析：正方体钢坯体积为立方厘米，锻造前后体积不变。长方体体积公式为，已知立方厘米，厘米，厘米，则厘米。 【考点9】立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 考点详述 1.切割：把一个长方体或正方体切割成几个小长方体或正方体时，每切一刀会增加两个面，总体积不变，但表面积会增加。增加的表面积等于切割面的面积乘以2。 2.拼接：把几个长方体或正方体拼合成一个大的长方体或正方体时，每拼一次会减少两个面，总体积不变，表面积会减少。减少的表面积等于重合面的面积乘以2。 【思路点拨】 对于切割问题，先确定切割的方式和刀数，从而明确增加的面的数量和形状，再根据面的面积公式求出增加的表面积，而体积可根据原立体图形计算。对于拼接问题，要清楚拼接的方式，确定重合面的数量和形状，进而求出减少的表面积，体积依然是各部分体积之和。 典型例题 把两个棱长是3厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积和表面积分别是多少？ 解题过程 体积：两个正方体拼成长方体，体积不变。一个正方体体积为立方厘米，那么长方体体积为立方厘米。 表面积：两个正方体拼在一起，表面积减少了两个重合的面。一个面的面积是平方厘米，两个正方体表面积总和是平方厘米，减少的面积为平方厘米，所以长方体表面积是平方厘米。 练习题 1.把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块，切割成两个完全一样的小长方体，表面积最少增加多少平方厘米？ 答案：48平方厘米 解析：要使表面积增加最少，则平行于最小面切割，最小面为的面。切割后表面积增加两个的面，增加的面积为平方厘米。 2.有三个棱长为2厘米的正方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的体积是多少立方厘米？ 答案：24立方厘米 解析：三个正方体拼成长方体，体积不变。一个正方体体积为立方厘米，所以大长方体体积为立方厘米。 3.把一个棱长为6分米的正方体木块，平均分成三个完全一样的长方体后，表面积增加了多少平方分米？ 答案：144平方分米 解析：平均分成三个完全一样的长方体需要切两刀，每切一刀增加两个面，共增加个面。每个面的面积是平方分米，所以表面积增加了平方分米。 【考点10】体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 考点详述 1立方米 = 1000立方分米，1立方分米 = 1000立方厘米，即相邻两个体积单位间的进率是1000。将高级单位换算成低级单位，要乘以进率；将低级单位换算成高级单位，要除以进率。 【思路点拨】 在进行单位换算时，首先明确是从高级单位到低级单位，还是从低级单位到高级单位，然后根据对应的乘除进率规则进行计算。可以通过移动小数点的位置来快速完成换算，例如从立方分米换算到立方厘米，小数点向右移动三位；从立方厘米换算到立方分米，小数点向左移动三位。 典型例题 5立方米 = （ ）立方分米，3000立方厘米 = （ ）立方分米 解题过程 因为1立方米 = 1000立方分米，所以5立方米换算成立方分米是立方分米；因为1立方分米 = 1000立方厘米，所以3000立方厘米换算成立方分米是立方分米。 练习题 1.8立方分米 = （ ）立方厘米，6000立方分米 = （ ）立方米 答案：8000，6 解析：8立方分米换算成立方厘米，立方厘米；6000立方分米换算成立方米，立方米。 2.0.5立方米 = （ ）立方分米，250立方厘米 = （ ）立方分米 答案：500，0.25 解析：0.5立方米换算成立方分米，立方分米；250立方厘米换算成立方分米，立方分米。 3.一个物体的体积是3500立方厘米，合（ ）立方分米（ ）立方厘米 答案：3，500 解析：3500立方厘米 = 3000立方厘米 + 500立方厘米，3000立方厘米 = 3立方分米，所以3500立方厘米合3立方分米500立方厘米。 【考点11】容积单位间的进率与换算（升和毫升） 考点详述 1升 = 1000毫升。把升换算成毫升，乘进率1000；把毫升换算成升，除以进率1000。 【思路点拨】 和体积单位换算类似，关键在于明确换算方向，依据对应的乘除规则进行运算。可以借助生活中常见的容器容量标识来加深对升与毫升换算的理解。 典型例题 2.5升 = （ ）毫升，4500毫升 = （ ）升 解题过程 因为1升 = 1000毫升，所以2.5升换算成毫升是毫升；4500毫升换算成升是升。 练习题 1.3升 = （ ）毫升，8000毫升 = （ ）升 答案：3000，8 解析：3升换算成毫升，毫升；8000毫升换算成升，升。 2.1.2升 = （ ）毫升，670毫升 = （ ）升 答案：1200，0.67 解析：1.2升换算成毫升，毫升；670毫升换算成升，升。 3.一瓶饮料有1500毫升，合（ ）升（ ）毫升 答案：1，500 解析：1500毫升 = 1000毫升 + 500毫升，1000毫升 = 1升，所以1500毫升合1升500毫升。 【考点12】体积与容积单位间的进率及换算 考点详述 1升 = 1立方分米，1毫升 = 1立方厘米。在涉及体积和容积单位混合的换算中，利用这两个等量关系进行转换，再结合体积单位间、容积单位间的进率完成换算。 【思路点拨】 遇到体积与容积单位换算问题时，先判断是将体积单位换算成容积单位，还是反之，然后利用对应等量关系和进率进行计算。注意在同一算式中单位要统一。 典型例题 3立方米 = （ ）升，5000毫升 = （ ）立方分米 解题过程 因为1立方米 = 1000立方分米，1升 = 1立方分米，所以3立方米 = 3×1000立方分米 = 3000升；因为1毫升 = 1立方厘米，1立方分米 = 1000立方厘米，所以5000毫升 = 5000立方厘米 = 5000÷1000立方分米 = 5立方分米。 练习题 1.2立方分米 = （ ）毫升，8000立方厘米 = （ ）升 答案：2000，8 解析：因为1立方分米 = 1升 = 1000毫升，所以2立方分米 = 2×1000毫升 = 2000毫升；因为1立方厘米 = 1毫升，1升 = 1000毫升，所以8000立方厘米 = 8000毫升 = 8000÷1000升 = 8升。 2.0.5立方米 = （ ）升，350毫升 = （ ）立方厘米 答案：500，350 解析：因为1立方米 = 1000立方分米，1升 = 1立方分米，所以0.5立方米 = 0.5×1000立方分米 = 500升；因为1毫升 = 1立方厘米，所以350毫升 = 350立方厘米。 3.一个水桶的容积是15升，合（ ）立方分米，合（ ）立方厘米 答案：15，15000 解析：因为1升 = 1立方分米，所以15升 = 15立方分米；又因为1立方分米 = 1000立方厘米，所以15立方分米 = 15×1000立方厘米 = 15000立方厘米。 【考点13】长方体、正方体的容积 考点详述 长方体、正方体容积的计算方法和体积的计算方法相同，即长方体容积=长×宽×高（从容器内部测量长、宽、高），正方体容积=棱长×棱长×棱长（从容器内部测量棱长）。但要注意容积的单位通常用升、毫升或立方米、立方分米、立方厘米，且容器壁有一定厚度，计算容积的数据是从内部测量得到的。 【思路点拨】 计算容积时，先明确是长方体还是正方体容器，然后准确从内部测量相关数据。根据对应的公式计算出容积后，再根据题目要求进行单位换算或进一步的分析计算。同时，要理解容积与体积在概念和测量方式上的区别与联系。 典型例题 一个长方体鱼缸，从里面量长6分米、宽4分米、高5分米，这个鱼缸的容积是多少升？ 解题过程 根据长方体容积公式，鱼缸容积为立方分米。因为1立方分米 = 1升，所以120立方分米 = 120升。 练习题 1.一个正方体水箱，从里面量棱长是3分米，这个水箱的容积是多少升？ 答案：27升 解析：根据正方体容积公式，水箱容积为立方分米，又因为1立方分米 = 1升，所以水箱容积是27升。 2.一个长方体盒子，从里面量长8厘米、宽5厘米、高3厘米，它能容纳多少毫升的液体？ 答案：120毫升 解析：根据长方体容积公式，盒子容积为立方厘米，由于1立方厘米 = 1毫升，所以能容纳120毫升液体。 3.一个长方体容器的容积是100立方分米，从里面量它的长是5分米，宽是4分米，高是多少分米？ 答案：5分米 解析：由长方体容积公式可得，已知立方分米，分米，分米，则分米。 【考点14】不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 考点详述 对于不规则物体的体积，不能直接用公式计算。通常采用排水法，将不规则物体完全浸没在盛水的长方体或正方体容器中，水面上升的体积（或满水时溢出的水的体积）就是不规则物体的体积。如果容器是长方体，水面上升的体积 = 容器底面积×水面上升的高度 。 【思路点拨】 使用排水法时，先测量出容器的底面积（若为长方体容器，根据长和宽算出底面积），以及放入不规则物体前后水面的高度，求出水面上升的高度。然后根据公式计算出水面上升的体积，即为不规则物体的体积。如果是测量溢出的水的体积，可借助有刻度的量杯等工具测量。 典型例题 在一个长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体水槽中装满水，然后将一个土豆放入水槽中，水溢出后再把土豆取出，这时水面高度是4厘米，这个土豆的体积是多少立方厘米？ 解题过程 土豆的体积等于溢出的水的体积，也就是原来水的体积减去取出土豆后水的体积。原来水的体积为立方厘米，取出土豆后水的体积为立方厘米，所以土豆体积为立方厘米。 练习题 1.把一个铁块放入一个长15厘米、宽10厘米、水深8厘米的长方体玻璃容器中，水面上升到10厘米，这个铁块的体积是多少立方厘米？ 答案：300立方厘米 解析：铁块体积等于水面上升的体积，容器底面积为平方厘米，水面上升高度为厘米，根据公式可得铁块体积为立方厘米。 2.一个棱长为20厘米的正方体容器中装满水，将一个苹果放入水中，水溢出后把苹果取出，此时水面下降了3厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？ 答案：1200立方厘米 解析：苹果体积等于下降的水的体积，正方体容器底面积为平方厘米，水面下降3厘米，所以苹果体积为立方厘米。 3.一个底面边长为10厘米的正方体容器中装有一些水，将一个不规则物体放入水中后，水面从6厘米上升到8厘米，这个不规则物体的体积是多少立方厘米？ 答案：200立方厘米 解析：容器底面积为平方厘米，水面上升高度为厘米，根据水面上升的体积公式，不规则物体体积为立方厘米。 【考点15】组合体的体积（长方体、正方体） 考点详述 组合体是由多个长方体或正方体组合而成的立体图形。计算组合体的体积时，可以采用分割法，将组合体分割成几个简单的长方体或正方体，分别计算它们的体积，然后将各部分体积相加；也可以采用添补法，把组合体添补成一个大的长方体或正方体，用大图形的体积减去添补部分的体积。 【思路点拨】 面对组合体体积计算问题，先观察组合体的形状特点，判断是分割法还是添补法更简便。使用分割法时，分割的部分要便于计算体积；使用添补法时，要准确计算出添补部分和大图形的体积。 典型例题 用棱长为1厘米的小正方体搭立体图形。 （1）搭一个稍大一些的正方体，至少需要__________个小正方体，这个正方体的棱长和是__________厘米，表面积是__________平方厘米。 （2）如图是小明搭的一个立体图形，请你算一算它的表面积和体积。 答案：（1）8；24；24         （2）表面积150平方厘米；体积99立方厘米 分析：（1）根据正方体的特征，12条棱都相等；那么搭一个稍大一些的大正方体的每条棱上最少有2个棱长1厘米的小正方体，根据正方体的体积公式V＝a3可知，至少需要8个小正方体。 再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算，求出大正方体的棱长总和与表面积。 （2）观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；所以组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算即可求出它的表面积。 组合图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算即可求出它的体积。 详解：（1）2×2×2＝8（个） 大正方体的棱长：1×2＝2（厘米） 棱长和：2×12＝24（厘米） 表面积：2×2×6＝24（平方厘米） 搭一个稍大一些的正方体，至少需要8个小正方体，这个正方体的棱长和是24厘米，表面积是24平方厘米。 （2）（8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4 ＝（24＋24＋9）×2＋9×4 ＝57×2＋36 ＝114＋36 ＝150（平方厘米） 8×3×3＋3×3×3 ＝72＋27 ＝99（立方厘米） 答：它的表面积是150平方厘米，体积是99立方厘米。 练习题 1．如图，在一个棱长为5分米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。求挖洞后的几何体的表面积是多少平方分米？ 答案：170平方分米 分析：分析题目，通过平移可知：这个图形的表面积就等于棱长是5分米的正方体的表面积加棱长是1分米的正方体的前后左右4个面加棱长是2分米的正方体的前后左右4个面，据此结合正方体的表面积＝棱长×棱长×6列式计算即可。 详解：5×5×6＋1×1×4＋2×2×4 ＝25×6＋1×4＋4×4 ＝150＋4＋16 ＝170（平方分米） 答：挖洞后的几何体的表面积是170平方分米。 2．把17个棱长为1厘米的正方体重叠起来，堆成如图所示的立体图形，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？ 答案：50平方厘米 分析：根据正方体的特征可知，正方体的每个面都是正方形。已知正方体的棱长是1厘米，根据正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积。 分别找出从上下面、前后面、左右面看到的正方形的个数，再乘每个面的面积，就是这个立体图形的表面积。 详解：上下面看到的正方形有：8×2＝16（个） 前后面看到的正方形有：9×2＝18（个） 左右面看到的正方形有：8×2＝16（个） 一共有：16＋18＋16＝50（个） 1×1×50＝50（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是50平方厘米。 3．如图所示，在一个棱长为10厘米的正方体上截取一个长为8厘米、宽为3厘米、高为2厘米的小长方体，那么剩下的几何体的表面积是多少？ 答案：600平方厘米 分析：看图可知，在正方体顶点处截取一个小长方体，表面积减少了3个小长方形，里面又出现了同样的3个小长方形，因此表面积不变，还剩原来正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 详解：10×10×6＝600（平方厘米） 答：剩下的几何体的表面积是600平方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 五年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 本套资料分几个模块进行展示，不同的模块对应不同的定位，大家可以结合实际情况进行选择，下面用表格的形式结合个人的想法进行简单描述！ 模块名称 适用 涵盖内容 特点 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 考点+知识点+例题+练习 考点知识点有效结合，掌握知识点的同时把握考点方向 提分利器·专项突破篇 课后巩固 专项特点选择对应题型 题量广深，强化应用能效显著 复习神器·单元总结篇 复习阶段 思维导图+易错清单+常考易考考点+真题巩固 总结性强，能够系统对本单元进行复习 思维跃升·素养进阶篇 能力拓展 旧知识+现知识+后期知识 思维贯穿，旧知识的复习，后期知识畅想 分层检测·质量评价篇 教学评估 单元分层试卷 针对不同的实际情况有效评价 总结进阶·阶段检测篇 总结评价 月考+期中+期末 阶段性学习情况针对性模拟评价 纠错修正·错题纠正篇 复习清障 易错知识点+易错题型+练习强化 复习针对性修正，复习知识系统有效 资料的整理是一个不断完善的过程，同样也是提高自己能力和修养的过程，随着时间的推移，把冗繁改为系统化更是一个方向。即便如此，因为一些个人的主观思维束缚，个别之处会出现不尽人意的地方，敬请大家谅解！ 2025年3月15日 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第四单元 长方体（二） （长方体的体积、体积单位、不规则物体及组合体的体积） 【考点1】体积与容积的认识 4 【考点2】体积单位的认识 4 【考点3】容积单位的认识 5 【考点4】体积、容积单位的选择 6 【考点5】体积（容积）大小的比较 6 【考点6】长方体的体积 7 【考点7】正方体的体积 8 【考点8】体积的等积变形（长方体、正方体） 9 【考点9】立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 10 【考点10】体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 11 【考点11】容积单位间的进率与换算（升和毫升） 12 【考点12】体积与容积单位间的进率及换算 13 【考点13】长方体、正方体的容积 13 【考点14】不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 14 【考点15】组合体的体积（长方体、正方体） 16 【考点1】体积与容积的认识 考点详述 体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。一切物体都有体积。 容积：容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积。只有容器才有容积，像实心的木块等没有容积。 【思路点拨】 在理解体积和容积概念时，可以通过生活中的实例，如比较不同大小的箱子所占空间不同来理解体积；通过往杯子里倒水，水的体积就是杯子的容积等例子来区分两者。体积强调物体自身占据空间的量，容积侧重于容器容纳物体的量。 典型例题 判断：冰箱的体积等于它的容积。（ ） 解题过程 冰箱的体积是指冰箱所占空间的大小，计算体积通常从冰箱的外部测量长、宽、高；而冰箱的容积是指冰箱内部能容纳物体的体积，计算容积通常从冰箱的内部测量长、宽、高。由于冰箱本身有一定的厚度，所以冰箱的体积大于它的容积。答案为“×”。 练习题 1.判断：一个游泳池的容积就是它的体积。（ ） 2.一个盒子装满沙子，沙子的体积就是盒子的（ ）。 3.下列物体中，有容积的是（ ） A. 石块 B. 书包 C. 篮球 【考点2】体积单位的认识 考点详述 常用的体积单位有立方厘米（）、立方分米（）、立方米（）。 棱长为 1 厘米的正方体，体积是 1 立方厘米，一个手指尖的体积大约是 1 立方厘米。 棱长为 1 分米的正方体，体积是 1 立方分米，一个粉笔盒的体积大约是 1 立方分米。 棱长为 1 米的正方体，体积是 1 立方米，一个棱长 1 米的正方体空间，大约能容纳 13 名小学生。 【思路点拨】 借助生活中熟悉的物体来感受不同体积单位的大小，形成直观的表象。在描述物体体积时，能根据物体的实际大小选择合适的体积单位。 典型例题 在括号里填上合适的体积单位。 一块橡皮的体积大约是 6（ ）；一个集装箱的体积大约是 40（ ）。 解题过程 橡皮是较小的物体，根据对 1 立方厘米大小的认识，一块橡皮的体积大约是 6 立方厘米；集装箱是非常大的物体，结合对 1 立方米大小的理解，一个集装箱的体积大约是 40 立方米。答案依次为：立方厘米、立方米。 练习题 1.在括号里填上合适的体积单位。 一个苹果的体积大约是 120（ ）；一间教室的体积大约是 180（ ）。 2.下面物体中，体积最接近 1 立方分米的是（ ） A. 一个骰子 B. 一个热水瓶 C. 一块砖头 3.1 立方厘米、1 立方分米、1 立方米分别是棱长为（ ）、（ ）、（ ）的正方体的体积。 【考点3】容积单位的认识 考点详述 常用的容积单位有升（L）和毫升（mL）。1 升 = 1 立方分米，1 毫升 = 1 立方厘米 ，1 升 = 1000 毫升。生活中，一瓶矿泉水大约是 500 毫升，一个大瓶的可乐一般是 2 升。 【思路点拨】 理解容积单位与体积单位的关系，明确升和立方分米、毫升和立方厘米是对应的等量关系。通过常见的液体包装上的标注，感受升和毫升的实际大小。 典型例题 3 升 =（ ）立方分米 =（ ）毫升 解题过程 因为 1 升 = 1 立方分米，所以 3 升 = 3 立方分米；又因为 1 升 = 1000 毫升，那么 3 升 = 3×1000 = 3000 毫升。答案依次为：3、3000。 练习题 1.5000 毫升 =（ ）升 =（ ）立方厘米 2.一个油桶的容积是 15 升，合（ ）立方分米，合（ ）毫升。 3.比较大小：800 毫升（ ）1 升 【考点4】体积、容积单位的选择 考点详述 根据物体的实际大小、容纳量以及题目所给的情境，合理选择体积或容积单位。一般较小的物体用立方厘米作体积单位，较大的物体用立方米作体积单位；对于液体的量，较少时用毫升作单位，较多时用升作单位。 【思路点拨】 先对物体的大小或液体的多少有一个大致的估计，再结合对不同体积、容积单位大小的认识，选择合适的单位。可以通过与熟悉的标准物体进行对比来辅助判断。 典型例题 在括号里填上合适的单位。 一瓶眼药水大约是 5（ ）；一个仓库的容积大约是 200（ ）。 解题过程 眼药水的量较少，根据生活经验，一瓶眼药水大约是 5 毫升；仓库是用来储存大量物品的空间，体积较大，一个仓库的容积大约是 200 立方米。答案依次为：毫升、立方米。 练习题 1.在括号里填上合适的单位。 一盒牛奶大约是 250（ ）；一个衣柜的体积大约是 2（ ）。 2.下列单位中，适合用来表示一个游泳池容积的是（ ） A. 立方厘米 B. 升 C. 立方米 3.一个墨水瓶的容积大约是 60（ ） A. 升 B. 毫升 C. 立方分米 【考点5】体积（容积）大小的比较 考点详述 比较不同物体的体积或容积大小时，若单位相同，直接比较数值大小；若单位不同，需要先将单位统一，再比较数值大小。可以通过计算物体的体积或容积公式，或者根据对物体实际大小的感知来进行比较。 【思路点拨】 首先观察单位是否一致，不一致时根据单位换算的方法将其转化为相同单位。对于规则物体，利用体积公式计算出体积后比较；对于不规则物体或生活中的实际物体，借助参照物或已有经验进行判断。 典型例题 比较大小：3 立方米（ ）300 立方分米 解题过程 因为 1 立方米 = 1000 立方分米，所以 3 立方米 = 3×1000 = 3000 立方分米。3000 立方分米＞300 立方分米，即 3 立方米＞300 立方分米。 练习题 1.比较大小：5 升（ ）500 毫升 2.有两个长方体水箱，甲水箱从里面量长 3 分米、宽和高都是 2 分米；乙水箱从里面量长 4 分米、宽 1 分米、高 2 分米。哪个水箱的容积大？ 3.比较大小：2000 立方厘米（ ）2 升 【考点6】长方体的体积 考点详述 长方体的体积 = 长×宽×高，用字母表示为（其中表示体积，表示长，表示宽，表示高） 。 【思路点拨】 在计算长方体体积时，要准确测量或找出长方体的长、宽、高，然后代入公式进行计算。注意单位要统一，如果题目中给出的长、宽、高单位不一致，需先换算成相同单位再计算。 典型例题 一个长方体的长是 5 分米，宽是 3 分米，高是 2 分米，它的体积是多少立方分米？ 解题过程 根据长方体体积公式，将长分米，宽分米，高分米代入公式，可得立方分米。 练习题 1.一个长方体纸盒，从里面量长 12 厘米、宽 10 厘米、高 8 厘米。这个纸盒的容积是多少立方厘米？ 2.一个长方体的底面积是 24 平方厘米，高是 5 厘米，它的体积是多少立方厘米？ 3.一个长方体的体积是 60 立方米，长是 5 米，宽是 4 米，高是多少米？ 【考点7】正方体的体积 考点详述 正方体是特殊的长方体，正方体的棱长都相等，正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长，用字母表示为（其中表示体积，表示棱长） 。 【思路点拨】 明确正方体的特征，即 12 条棱长度相等。计算体积时，只要知道一条棱的长度，代入公式即可。注意表示 3 个相乘，而不是。 典型例题 一个正方体的棱长是 4 厘米，它的体积是多少立方厘米？ 解题过程 根据正方体体积公式，将棱长厘米代入公式，可得立方厘米。 练习题 1.一个正方体水箱的棱长是 2 分米，它的容积是多少立方分米？ 2.一个正方体的体积是 125 立方厘米，它的棱长是多少厘米？ 3.用棱长 1 厘米的小正方体拼成一个大正方体，至少需要多少个小正方体？ 【考点8】体积的等积变形（长方体、正方体） 考点详述 在一些实际问题中，物体的形状可能发生变化，但它的体积保持不变。例如，将一块长方体的橡皮泥捏成正方体，或者将一个长方体铁块熔铸成正方体铁块等，前后的体积是相等的。 【思路点拨】 抓住体积不变这个关键条件，先根据已知条件求出物体原来的体积，再根据变化后物体的形状和其他相关条件，求出变化后物体的某个未知量，如棱长、高、底面积等。 典型例题 把一个长 8 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米的长方体木块，削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？ 解题过程 要削成最大的正方体，正方体的棱长最大只能是长方体最短的棱，即 4 厘米。根据正方体体积公式，可得正方体体积为立方厘米。 练习题 1.一个正方体的棱长是 6 厘米，把它熔铸成一个长方体，这个长方体的底面积是 24 平方厘米，高是多少厘米？ 2.有一个长方体容器，从里面量长 5 分米、宽 4 分米、高 6 分米，里面注有水，水深 3 分米。如果把一块棱长 2 分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？ 3.将一个棱长为10厘米的正方体钢坯锻造成一个长16厘米、宽5厘米的长方体钢条，这个钢条的高是多少厘米？ 【考点9】立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 考点详述 1.切割：把一个长方体或正方体切割成几个小长方体或正方体时，每切一刀会增加两个面，总体积不变，但表面积会增加。增加的表面积等于切割面的面积乘以2。 2.拼接：把几个长方体或正方体拼合成一个大的长方体或正方体时，每拼一次会减少两个面，总体积不变，表面积会减少。减少的表面积等于重合面的面积乘以2。 【思路点拨】 对于切割问题，先确定切割的方式和刀数，从而明确增加的面的数量和形状，再根据面的面积公式求出增加的表面积，而体积可根据原立体图形计算。对于拼接问题，要清楚拼接的方式，确定重合面的数量和形状，进而求出减少的表面积，体积依然是各部分体积之和。 典型例题 把两个棱长是3厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积和表面积分别是多少？ 解题过程 体积：两个正方体拼成长方体，体积不变。一个正方体体积为立方厘米，那么长方体体积为立方厘米。 表面积：两个正方体拼在一起，表面积减少了两个重合的面。一个面的面积是平方厘米，两个正方体表面积总和是平方厘米，减少的面积为平方厘米，所以长方体表面积是平方厘米。 练习题 1.把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块，切割成两个完全一样的小长方体，表面积最少增加多少平方厘米？ 2.有三个棱长为2厘米的正方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的体积是多少立方厘米？ 3.把一个棱长为6分米的正方体木块，平均分成三个完全一样的长方体后，表面积增加了多少平方分米？ 【考点10】体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 考点详述 1立方米 = 1000立方分米，1立方分米 = 1000立方厘米，即相邻两个体积单位间的进率是1000。将高级单位换算成低级单位，要乘以进率；将低级单位换算成高级单位，要除以进率。 【思路点拨】 在进行单位换算时，首先明确是从高级单位到低级单位，还是从低级单位到高级单位，然后根据对应的乘除进率规则进行计算。可以通过移动小数点的位置来快速完成换算，例如从立方分米换算到立方厘米，小数点向右移动三位；从立方厘米换算到立方分米，小数点向左移动三位。 典型例题 5立方米 = （ ）立方分米，3000立方厘米 = （ ）立方分米 解题过程 因为1立方米 = 1000立方分米，所以5立方米换算成立方分米是立方分米；因为1立方分米 = 1000立方厘米，所以3000立方厘米换算成立方分米是立方分米。 练习题 1.8立方分米 = （ ）立方厘米，6000立方分米 = （ ）立方米 2.0.5立方米 = （ ）立方分米，250立方厘米 = （ ）立方分米 3.一个物体的体积是3500立方厘米，合（ ）立方分米（ ）立方厘米 【考点11】容积单位间的进率与换算（升和毫升） 考点详述 1升 = 1000毫升。把升换算成毫升，乘进率1000；把毫升换算成升，除以进率1000。 【思路点拨】 和体积单位换算类似，关键在于明确换算方向，依据对应的乘除规则进行运算。可以借助生活中常见的容器容量标识来加深对升与毫升换算的理解。 典型例题 2.5升 = （ ）毫升，4500毫升 = （ ）升 解题过程 因为1升 = 1000毫升，所以2.5升换算成毫升是毫升；4500毫升换算成升是升。 练习题 1.3升 = （ ）毫升，8000毫升 = （ ）升 2.1.2升 = （ ）毫升，670毫升 = （ ）升 3.一瓶饮料有1500毫升，合（ ）升（ ）毫升 【考点12】体积与容积单位间的进率及换算 考点详述 1升 = 1立方分米，1毫升 = 1立方厘米。在涉及体积和容积单位混合的换算中，利用这两个等量关系进行转换，再结合体积单位间、容积单位间的进率完成换算。 【思路点拨】 遇到体积与容积单位换算问题时，先判断是将体积单位换算成容积单位，还是反之，然后利用对应等量关系和进率进行计算。注意在同一算式中单位要统一。 典型例题 3立方米 = （ ）升，5000毫升 = （ ）立方分米 解题过程 因为1立方米 = 1000立方分米，1升 = 1立方分米，所以3立方米 = 3×1000立方分米 = 3000升；因为1毫升 = 1立方厘米，1立方分米 = 1000立方厘米，所以5000毫升 = 5000立方厘米 = 5000÷1000立方分米 = 5立方分米。 练习题 1.2立方分米 = （ ）毫升，8000立方厘米 = （ ）升 2.0.5立方米 = （ ）升，350毫升 = （ ）立方厘米 3.一个水桶的容积是15升，合（ ）立方分米，合（ ）立方厘米 【考点13】长方体、正方体的容积 考点详述 长方体、正方体容积的计算方法和体积的计算方法相同，即长方体容积=长×宽×高（从容器内部测量长、宽、高），正方体容积=棱长×棱长×棱长（从容器内部测量棱长）。但要注意容积的单位通常用升、毫升或立方米、立方分米、立方厘米，且容器壁有一定厚度，计算容积的数据是从内部测量得到的。 【思路点拨】 计算容积时，先明确是长方体还是正方体容器，然后准确从内部测量相关数据。根据对应的公式计算出容积后，再根据题目要求进行单位换算或进一步的分析计算。同时，要理解容积与体积在概念和测量方式上的区别与联系。 典型例题 一个长方体鱼缸，从里面量长6分米、宽4分米、高5分米，这个鱼缸的容积是多少升？ 解题过程 根据长方体容积公式，鱼缸容积为立方分米。因为1立方分米 = 1升，所以120立方分米 = 120升。 练习题 1.一个正方体水箱，从里面量棱长是3分米，这个水箱的容积是多少升？ 2.一个长方体盒子，从里面量长8厘米、宽5厘米、高3厘米，它能容纳多少毫升的液体？ 3.一个长方体容器的容积是100立方分米，从里面量它的长是5分米，宽是4分米，高是多少分米？ 【考点14】不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 考点详述 对于不规则物体的体积，不能直接用公式计算。通常采用排水法，将不规则物体完全浸没在盛水的长方体或正方体容器中，水面上升的体积（或满水时溢出的水的体积）就是不规则物体的体积。如果容器是长方体，水面上升的体积 = 容器底面积×水面上升的高度 。 【思路点拨】 使用排水法时，先测量出容器的底面积（若为长方体容器，根据长和宽算出底面积），以及放入不规则物体前后水面的高度，求出水面上升的高度。然后根据公式计算出水面上升的体积，即为不规则物体的体积。如果是测量溢出的水的体积，可借助有刻度的量杯等工具测量。 典型例题 在一个长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体水槽中装满水，然后将一个土豆放入水槽中，水溢出后再把土豆取出，这时水面高度是4厘米，这个土豆的体积是多少立方厘米？ 解题过程 土豆的体积等于溢出的水的体积，也就是原来水的体积减去取出土豆后水的体积。原来水的体积为立方厘米，取出土豆后水的体积为立方厘米，所以土豆体积为立方厘米。 练习题 1.把一个铁块放入一个长15厘米、宽10厘米、水深8厘米的长方体玻璃容器中，水面上升到10厘米，这个铁块的体积是多少立方厘米？ 2.一个棱长为20厘米的正方体容器中装满水，将一个苹果放入水中，水溢出后把苹果取出，此时水面下降了3厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？ 3.一个底面边长为10厘米的正方体容器中装有一些水，将一个不规则物体放入水中后，水面从6厘米上升到8厘米，这个不规则物体的体积是多少立方厘米？ 【考点15】组合体的体积（长方体、正方体） 考点详述 组合体是由多个长方体或正方体组合而成的立体图形。计算组合体的体积时，可以采用分割法，将组合体分割成几个简单的长方体或正方体，分别计算它们的体积，然后将各部分体积相加；也可以采用添补法，把组合体添补成一个大的长方体或正方体，用大图形的体积减去添补部分的体积。 【思路点拨】 面对组合体体积计算问题，先观察组合体的形状特点，判断是分割法还是添补法更简便。使用分割法时，分割的部分要便于计算体积；使用添补法时，要准确计算出添补部分和大图形的体积。 典型例题 用棱长为1厘米的小正方体搭立体图形。 （1）搭一个稍大一些的正方体，至少需要__________个小正方体，这个正方体的棱长和是__________厘米，表面积是__________平方厘米。 （2）如图是小明搭的一个立体图形，请你算一算它的表面积和体积。 答案：（1）8；24；24         （2）表面积150平方厘米；体积99立方厘米 分析：（1）根据正方体的特征，12条棱都相等；那么搭一个稍大一些的大正方体的每条棱上最少有2个棱长1厘米的小正方体，根据正方体的体积公式V＝a3可知，至少需要8个小正方体。 再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算，求出大正方体的棱长总和与表面积。 （2）观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；所以组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算即可求出它的表面积。 组合图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算即可求出它的体积。 详解：（1）2×2×2＝8（个） 大正方体的棱长：1×2＝2（厘米） 棱长和：2×12＝24（厘米） 表面积：2×2×6＝24（平方厘米） 搭一个稍大一些的正方体，至少需要8个小正方体，这个正方体的棱长和是24厘米，表面积是24平方厘米。 （2）（8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4 ＝（24＋24＋9）×2＋9×4 ＝57×2＋36 ＝114＋36 ＝150（平方厘米） 8×3×3＋3×3×3 ＝72＋27 ＝99（立方厘米） 答：它的表面积是150平方厘米，体积是99立方厘米。 练习题 1．如图，在一个棱长为5分米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。求挖洞后的几何体的表面积是多少平方分米？ 2．把17个棱长为1厘米的正方体重叠起来，堆成如图所示的立体图形，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？ 3．如图所示，在一个棱长为10厘米的正方体上截取一个长为8厘米、宽为3厘米、高为2厘米的小长方体，那么剩下的几何体的表面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$