（专项突破篇）第四单元·专项02 长方体正方体的体积、等积变形及切拼-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册(北师大版)

2024-2025学年度五年级数学下册专项突破篇 专项02 长方体正方体的体积、等积变形及切拼 一、仔细想，认真填。 1．把一个正方体木块锯成两个完全一样的长方体，这两个长方体的表面积之和与原正方体木块相比，增加了。原来正方体木块的表面积是( )，体积是( )。 2．一个长方体长4厘米，宽3厘米，高2厘米，它的表面积是( )平方厘米，它的体积是( )立方厘米；棱长2分米的正方体表面积是( )平方分米。 3．有一个长方体，从上面截下一个高是2cm的长方体后正好得到一个正方体（如图），正方体的表面积比原来长方体的表面积减少了32cm2，求原来长方体的体积( )。 4．下图的正方体魔方的表面积是216平方厘米，把它放在桌面上，所占桌面的面积是( )平方厘米，这个魔方的体积是( )立方厘米。 5．下图中，大纸箱能装下( )个正方体的小礼盒。 6．将一个棱长总和是60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是10厘米，宽是2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是( )厘米。 7．长方体纸盒的两个面如图所示。这个纸盒的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 8．一个正方体的棱长总和是60分米，这个正方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 9．用同样的小正方体搭成一个较大正方体，至少需要8块。( ) 10．如图，淘气从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，表面积和体积都减少了。( ) 11．如图是由若干个棱长为1厘米的小正方体组成的，再添上12个这样的小正方体，就可以组成一个棱长为3厘米的大正方体。( ) 12．一般来说，长方体和正方体容器的体积比容积小。( ) 13．对于长方体来说，底面积越大，体积也越大。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 14．小新有一块长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块，他想从这块木料中削出一个最大的正方体。他想知道这个正方体的体积是多少立方厘米？（    ） A．192立方厘米 B．64立方厘米 C．216立方厘米 D．322立法厘米 15．用棱长1厘米的小正方体摆长方体，摆了3行，4列，2层，拼成一个长方体（如图）。下面说法错误的是（    ）。 A．这个长方体的体积是24立方厘米。 B．这个长方体的占地面积最小是12平方厘米。 C．相交于一个顶点的三条棱的长度分别为3厘米、4厘米、2厘米。 D．这个长方体的表面积是52平方厘米。 16．如图，把棱长是1厘米的小正方体装入棱长是1分米的正方体盒子里，直到装满，还需要装入（    ）个小正方体。 A．90 B．900 C．990 D．992 17．学习长方体的体积时，同学们用7个体积是1立方米的小正方体像下图这样摆一摆。三个长方体中体积最大的是（    ）。 A． B． C． 18．用棱长为4厘米的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（    ）个这样的小正方体。 A．2 B．4 C．8 D．16 19．从两个棱长为5厘米的正方体木块上，分别锯掉长5厘米、宽和高都是1厘米的小长方体木块，得到甲、乙两种形状的木块，如下图所示。下面关于甲、乙两个木块，描述正确的是（    ）。 A．甲的体积乙的体积，甲的表面积乙的表面积 B．甲的体积乙的体积，甲的表面积乙的表面积 C．甲的体积乙的体积，甲的表面积乙的表面积 D．甲的体积乙的体积，甲的表面积乙的表面积 四、计算小能手。 20．计算下面各图形的体积。（单位：厘米） 21．计算下列图形的表面积和体积。 五、解决问题。 22．用棱长为1厘米的小正方体拼成下列两个图形，它们所占的空间一样大吗？为什么？ 23．小明爸爸打开了一个长方体的快递包装盒，如图是其表面展开图。经测量，厘米，厘米（、、表示线段的长度），求这个长方体的表面积和体积。 24．用如下五块长方形的亚克力板可以制作一个无盖的长方体，面与面相交的棱要用专业胶水粘连。请你帮忙算一算： 收费标准（含人工费） 亚克力板：2元/平方米 胶水：0.2元/分米 （1）做一个这样的长方体，买亚克力板需要多少钱？ （2）做一个这样的长方体，买胶水需要多少钱？ （3）将这个长方体装满水，再倒一部分到一个棱长是2分米的正方体容器中，使得两个容器中的水面同样高，那么两个容器中的水面高度是多少分米？（列方程解答，容器壁厚度忽略不计） 25．笑笑家有一块长方体木块，爸爸准备用这个木块给妹妹做小积木。长方体木块和小积木的形状大小如下图所示。这个长方体木块最多可以分割成多少块这样的小积木？（单位：米） 你同意笑笑的想法吗？结合生活实际想一想。 如果同意，请说明理由：如果不同意，请算出这个长方体木块最多可以分割成多少块小积木，（可以写一写，画一画，算一算） 26．有一个长方体容器（图1），长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米。为了节约占地面积，把这个容器盖紧，再朝左竖起来（图2），里面的水深应该是多少？ 27．一个长方体，如果仅仅长增加3厘米，则体积就增加45立方厘米；如果仅仅宽增加4厘米，则体积就增加160立方厘米；如果仅仅高增加5厘米，则体积就增加120立方厘米。求原长方体的表面积。 参考答案 1． 216 216 分析：这两个长方体的表面积之和与原正方体木块相比，增加了两个正方体木块的两个面的面积，用增加的面积除以2求出正方体木块一个面的面积，即72÷2＝36（），用正方体一个面的面积乘6就是原来正方体木块的表面积；因为6×6＝36（），所以正方体木块的棱长是6cm，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可求出正方体木块的体积。 详解：72÷2＝36（） 6×6＝36（） 36×6＝216（） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（） 所以原来正方体木块的表面积是216，体积是216。 2． 52 24 24 分析：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。 详解：（4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 4×3×2＝24（立方厘米） 2×2×6＝24（平方厘米） 一个长方体长4厘米，宽3厘米，高2厘米，它的表面积是52平方厘米，它的体积是24立方厘米；棱长2分米的正方体表面积是24平方分米。 3．96立方厘米/96cm3 分析：根据题意，截下高是2cm的长方体就变成一个正方体，则原来的长方体的底面是一个正方形，即长和宽是相等的。表面积减少32cm2，就是减少四个宽是2cm的一模一样的长方形，则除以4即可得出每个长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，得出长是4cm，即原来长方体的长是4cm，宽也是4cm，高是用4cm加上截掉的2cm，最后根据长方体的体积＝长×宽×高得出体积。 详解：32÷4＝8（cm2） 8÷2＝4（cm） 原来长方体的高：4＋2＝6（cm） 4×4×6＝96（cm3） 则原来长方体的体积96立方厘米或96cm3。 4． 36 216 分析：正方体有6个面且每个面的面积相等；把正方体魔方放在桌面上，所占桌面的面积即正方体的一个面的面积，根据正方体的表面积＝一个面的面积×6，用正方体的表面积÷6，即可求出一个面的面积；因为正方形的面积＝边长×边长，从而可以算出正方体的棱长是多少，最后根据公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，即可求出这个魔方的体积。 详解：216÷6＝36（平方厘米） 36＝6×6，即正方体的棱长是6厘米。 6×6×6＝216（立方厘米） 即所占桌面的面积是36平方厘米，这个魔方的体积是216立方厘米。 5．36 分析：用长方体大纸箱的长、宽、高分别除以正方体小礼盒的棱长，求出大纸箱的长、宽、高分别能放正方体小礼盒的个数，再把它们的个数相乘即可解答。 详解：20÷5＝4（个） 15÷5＝3（个） 15÷5＝3（个） 4×3×3 ＝12×3 ＝36（个） 所以大纸箱能装下36个正方体的小礼盒。 6．6.25 分析：已知正方体实心铁块的棱长总和是60厘米，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出正方体铁块的棱长；再根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积。 已知把这块正方体实心铁块锻造成一个长方体实心铁块，铁块的体积不变；根据长方体的高＝体积÷长÷宽，求出长方体铁块的高。 详解：60÷12＝5（厘米） 5×5×5＝125（立方厘米） 125÷10÷2 ＝12.5÷2 ＝6.25（厘米） 这个长方体铁块的高是6.25厘米。 7． 120 158 分析：从题意可知：这个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，高是3厘米。根据长方体的体积＝长×宽×高，长方体长表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出它的体积和表面积。 详解：8×5×3＝120（立方厘米） （8×5＋8×3＋5×3）×2 ＝（40＋24＋15）×2 ＝79×2 ＝158（平方厘米） 这个纸盒的体积是120立方厘米，表面积是158平方厘米。 8． 150 125 分析：根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，代入数据计算，求出正方体的棱长；再根据公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，即可求出正方体的表面积和体积，据此解答。 详解：60÷12＝5（分米） 5×5×6＝150（平方分米） 5×5×5＝125（立方分米） 即这个正方体的表面积是150平方分米，体积是125立方分米。 9．√ 分析：小正方体拼成一个较大的正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体，由此利用正方体的体积公式计算即可求出至少需要的小正方体个数。 详解：2×2×2 ＝4×2 ＝8（个） 所以，至少需要8块。原说法正确。 故答案为：√ 10．√ 分析：根据图形可知，淘气从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，表面积减少4个小正方形面积，增加2个小正方形面积，所以长方体的表面积减少了，体积也减少了，据此判断即可。 详解：如图，淘气从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，表面积和体积都减少了，说法正确。 故答案为：√ 11．× 分析：一个棱长为 3厘米的大正方体的体积为：3×3×3＝27（立方厘米），小正方体的体积＝1×1×1＝1（立方厘米）；已知立体图形里有7个这样的小正方体，现有的体积：1×7＝7（立方厘米），还需要多少立方厘米才能组成大正方体：27－7＝20（立方厘米）即为20个这样的小正方体。 详解：（3×3×3）－（1×1×1×7） ＝27－7 ＝20（立方厘米） 再添上20个这样的小正方体才能组成棱长为3厘米的大正方体。 故答案为：× 12．× 分析：物体所占空间的大小叫做体积；容器所能容纳液体的多少叫做容积。同一容器的容积小于它的体积；据此解答。 详解：根据分析可知，一般来说，长方体和正方体容器的体积比容积大。原题干说法错误。 故答案为：× 13．× 分析：长方体的体积公式：体积＝底面积×高，由此可以看出，决定长方体体积大小的因素有两个，即底面积和高，如果底面积越大，高越小，这种情况就不能确定体积大小。据此解答。 详解：根据分析可知，对于长方体来说，底面积越大，体积不能确定越大。 原题干说法错误。 故答案为：× 14．B 分析：根据题意，把一块长方体木料削出一个最大的正方体，那么这个正方体的棱长等于长方体最短的棱；再根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求出正方体的体积。 详解：4＜6＜8 所以这个最大正方体的棱长是4厘米。 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 这个正方体的体积是64立方厘米。 故答案为：B 15．B 分析：A．根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可判断。 B．占地面积最小是长方体的最小的面，代入数据计算即可。 C．相交于一个顶点的三条棱分别是长、宽、高。据此判断。 D．根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可判断。 详解：A．4×3×2＝24（立方厘米），这个长方体的体积是24立方厘米。该选项说法正确。 B．3×2＝6（平方厘米），这个长方体的占地面积最小是6平方厘米。该选项错误。 C．相交于一个顶点的三条棱分别是长、宽、高，即长度分别为3厘米、4厘米、2厘米。该选项说法正确。 D．（4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 这个长方体的表面积是52平方厘米。该选项说法正确。 故答案为：B 16．C 分析：从图中可知：1分米＝10厘米，即正方体的每条棱上要放10÷1＝10个小正方体，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出这个大正方体一共有多少个小正方体，再减去已有个数（10个），即可求出还需要的个数。 详解：1分米＝10厘米    10÷1＝10（个） 10×10×10＝1000（个） 1000－10＝990（个） 直到装满，还需要装入990个小正方体。 故答案为：C 17．C 分析：棱长1米的正方体，体积是1立方米，观察摆的小正方体，可以确定长方体的长、宽、高，根据长方体体积＝长×宽×高，分别计算出各选项长方体的体积，比较即可。 详解：A．5×2×2＝20（立方米） B．4×3×2＝24（立方米） C．3×3×3＝27（立方米） 27＞24＞20 三个长方体中体积最大的是。 故答案为：C 18．C 分析：用小正方体拼成一个大正方体，那么这个大正方体的棱长最少有两个小正方体组成，由此解答即可。 详解：2×2×2 ＝4×2 ＝8（个） 用棱长为4厘米的小正方体拼成一个大正方体，至少需要8个这样的小正方体。 故答案为：C 19．B 分析：两个正方体木块的体积相等，两个小长方体木块的体积也相等，甲、乙两个木块的体积都是正方体木块的体积减去小长方体体积，也就是甲、乙两个木块的体积相等。根据图形中的切割特点，甲切割后的表面积比切割前减少了2个边长为1厘米的小正方形的面积。乙切割后的表面积比切割前增加了长为5厘米，宽为1厘米的两个长方形的面的面积，减少了2个边长为1厘米的小正方形的面积。那么甲的表面积应小于乙的表面积。据此解答。 详解：由分析得： 甲的体积乙的体积，甲的表面积乙的表面积。 故答案为：B 20．512立方厘米；1080立方厘米 分析：由图一可知，正方体的棱长是8厘米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，将棱长代入公式即可求出正方体的体积； 由图二可知，长方体的长是15厘米，宽是8厘米，高是9厘米，长方体的体积＝长×宽×高，将长、宽、高的数据代入公式计算即可解答。 详解：正方体的体积： 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 长方体的体积： 15×8×9 ＝120×9 ＝1080（立方厘米） 21．1880平方厘米；4320立方厘米 分析：根据图示，图形的表面积＝长方体的表面积＋挖去一部分产生的新的面，依据长方体表面积公式，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，挖去部分跟没挖前的面是相同的，所以直接将数据代入计算即可。 根据图示，图形的体积＝大长方体的体积－挖去部分的体积，长方体体积＝长×宽×高， 将数据代入公式计算即可。 详解：表面积：（30×10＋16×10＋30×16）×2 ＝（300＋160＋480）×2 ＝（460＋480）×2 ＝940×2 ＝1880（平方厘米） 图形的表面积是1880平方厘米； 体积：30×16×10－10×8×6 ＝480×10－80×6 ＝4800－680 ＝4320（立方厘米） 图形的体积是4320立方厘米。 22．不一样；理由见详解 分析：已知小正方体的棱长是1厘米，根据正方体的体积公式V＝a3，求出1个小正方体的体积是1立方厘米； 从图中数出，左图是由12个小正方体拼成，用1个小正方体的体积乘12，即是左图的体积；右图是由16个小正方体拼成，用1个小正方体的体积乘16，即是右图的体积；然后比较大小，得出结论。 详解：小正方体的体积：1×1×1＝1（立方厘米） 左图：1×12＝12（立方厘米） 右图：1×16＝16（立方厘米） 12＜16 答：它们所占的空间不一样大。因为左图由12个小正方体拼成，左图的体积是12立方厘米；右图由16个小正方体拼成，右图的体积是16立方厘米，所以它们所占的空间不一样大。 23．112平方厘米；64立方厘米 分析：设长方体的长、宽、高分别为，，，根据图形条件可得，（厘米），即（厘米）；（厘米）；厘米；故可得，（厘米），（厘米），（厘米），再根据和计算公式即可解答。 详解：解：设长方体的长、宽、高分别为，，。 （厘米） （厘米） （厘米） （厘米） （厘米） （厘米） 长方体表面积： （平方厘米） 长方体体积为： （立方厘米） 答：这个长方体的表面积是112平方厘米，体积是64立方厘米。 24．（1）32元 （2）2.8元 （3）0.6分米 分析：（1）根据图形，求出长方体的表面积，需要将5个长方形的面积加起来，长方形的面积＝长×宽，求出长方体的表面积是3×2＋1×2×2＋3×1×2，求出长方体的表面积，亚克力板是2元/平方分米，用长方体的表面积乘上2即可。 （2）先根据长方形的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，求出它的棱长之和，因为是无盖的，再减去上面盖的周长（只有单个面的长方形的周长），即可求出需要粘胶水的长度，再乘0.2即可； （3）将这个长方体装满水，水的体积是3×2×1＝6（立方分米），再倒一部分到一个棱长是2分米的正方体容器中，即两个容器中的水的体积的和是6立方分米，设两个容器中的水面高度都是h分米，所以长方体中的水的体积是（3× 2×h）立方分米，正方体容器中水的体积是（2× 2×h）立方分米，列出方程为3×2×h＋2×2×h＝3×2×1，求出h即可。 详解：（1）3×2＋1×2×2＋3×1×2 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16（平方分米） 16×2＝32（元） 答：做一个这样的长方体，买亚克力板需要32元。 （2）（3＋2＋1）×4 ＝6×4 ＝24（分米） （3＋2）×2 ＝5×2 ＝10（分米） 24-10＝14（分米） 14×0.2＝2.8（元） 答：做一个这样的长方体，买胶水需要2.8元。 （3）解：设两个容器中的水面高度都是h分米。 3×2×h＋2×2×h＝3×2×1 6h＋4h＝6 10h＝6 10h÷10＝6÷10 h＝0.6 答：两个容器中的水面高度都是0.6分米。 25．不同意；20块 分析：根据长方体的体积公式：长×宽×高，则可知笑笑是用大长方体木块的体积除以小积木的体积。看能分割成多少块这样的小积木，先考虑长方体的长，15是7的两倍多1厘米，则长能放2块；4是2的2倍，则能放两层；15是3的5倍，则能放5行，放完之后用每行的数量×行数×层数即可求出能分割成多少个小积木；由于剩下的部分可能比小积木的体积要大，但是剩下的木块有一边是1厘米，不能够分割成小积木，所以不同意笑笑的想法，据此即可解答。 详解：不同意笑笑的想法。 15÷7＝2（块）……1（厘米） 4÷2＝2（块） 15÷3＝5（块） 2×2×5＝20（块） 20＜21 答：不同意笑笑的想法，最多可以分割成20块小积木。 26．18厘米 分析：首先要明确无论容器怎么放，里面的水的体积不变，先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出容器中水的体积。把容器朝左竖起来时，左侧面成为长方体的底面，根据“长方体的体积＝底面积×高”，用水的体积除以左侧面面积（宽×高）即可求出这时的水深，如果让长10厘米、宽20厘米的面朝下，则这个面成为底面，同样用水的体积除以这个面的面积，即可求出这时水的深度。 详解：30×20×6 ＝600×6 ＝3600（立方厘米） 3600÷（10×20） ＝3600÷200 ＝18（厘米） 答：里面的水深应该是18厘米。 27．158平方厘米 分析：长增加3厘米，则体积就增加45立方厘米，增加的是一个长方体，用45除以3可得到宽乘高的积，同样的思路，160除以4可得到长乘高的积，120除以5可得到长乘宽的积。根据，代入数据计算即可得解。 详解： （平方厘米） 答：原长方体的表面积是158平方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $$