精品解析：北京市丰台区怡海中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷

北京市丰台区怡海中学2024—2025学年度第二学期3月月考 初三数学试题卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解. 【详解】解：A：既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C：既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意； 故选：D ． 2. 如图，，平分，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，先根据“两直线平行，同位角相等”得，根据角平分线定义得，然后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案． 【详解】∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 3. 据网络平台数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿元，目前观影人次已超3亿，位居全球影史票房榜第5位，150亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：150亿， 故选：C． 4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先观察数轴可知：，，然后判断D选项的正误，根据有理数的乘除法法则判断A、C选项的正误，再根据有理数的加减法则判断B选项的正误即可． 本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则和乘法法则． 【详解】解：观察数轴可知：，， ∴，，，， ∴A，B，D选项的结论错误，C选项的结论正确， 故选：C． 5. 若，则下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．根据比例的性质“如果，那么”进行解答即可得． 【详解】解：A、，则，故错误，不符合题意； B、，则，故错误，不符合题意； C、，则，故错误，不符合题意； D、，则，故正确，符合题意． 故选：D． 6. 若函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（　 ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，可得m+2＞0，从而得出m的取值范围． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而减小 ∴m+2＞0， 解得： 故选A． 【点睛】此题考查反比例函数的性质．解题关键在于掌握反比例函数（k≠0），当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点 为圆心，适当长为半径画弧，交于点 ，交 于点． （2）分别以点 ，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点 ． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（ ） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定，由作图可得，，，再结合，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图可得，， ∵， ∴， ∴． ∴判定的依据是：三边分别相等的两个三角形全等． 故选：D． 8. 如图，在菱形 中，为对角线的交点，将菱形 绕点O逆时针旋转 得到菱形，两个菱形的公共点为，对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③该八边形有外接圆；④该八边形有内切圆．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形 ，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线 ， 上，且，，继而得到，，继而得到，可证，，同理可证，，，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定八边形有外接圆即④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定八边形没有内切圆即③错误，解答即可． 【详解】解：向两方分别延长 ，连接， 由菱形的性质可得：，， 由题意旋转的性质可得： 点一定在对角线 ， 上，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，同理可证，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴该八边形各边长都相等， 故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等， ∴该八边形有内切圆， ∴④正确； 由图形可得：， ∵，， ∴， ∴该八边形各内角不相等； ∴②错误， 根据，，， ∴， ∴， ∵， 故， ∴点O到该八边形各顶点的距离都相等错误， ∴该八边形没有外接圆 ∴③错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若式子有意义，则实数 的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 10. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 11. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故答案为： 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验． 12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则 的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题． 【详解】解：把点代入反比例函数得：， ∴，解得：， 故答案为-2． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：），数据整理如下： 稻穗长度 稻穗个数 5 8 16 14 7 根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在范围内）的水稻数量为__________万棵． 【答案】1.8 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，利用3万棵水稻乘以穗长在范围内的所占比，即可解题． 【详解】解：由题知，（万棵）， 故答案为：． 14. 已知，均为锐角，且，则___． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性求出，的值，进而根据特殊角的三角函数值得到，，进而即可解答． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为： 15. 在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共10张牌挑出，打乱顺序后随机地发给了甲、乙、丙、丁、戊五名同学，每人各两张牌．并要求其中四位同学将手中两张牌的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11，乙：4，丙：17，戊：7，则戊的两张牌上的数字是_______，丁的两张牌上的数字是_______． 【答案】 ①. 和 ； ②. 和； 【解析】 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，理解题意，找出逻辑关系是解题关键．先求出丁同学的两张牌的数字之和，再把五名同学的所有可能情况罗列出来，以乙的两张牌为突破口逐一破解即可． 【详解】解：由题意可知，一共有10张牌，五名同学每人各两张牌，数字不重复， 五名同学10张牌的和为，甲、乙、丙、戊四名同学的牌数字之和为， 丁同学的两张牌的数字之和为， 由甲：11可知，甲的两张牌上的数字可能是 和、 和 、 和， 和、 和 ； 由乙：4可知，乙的两张牌上的数字只能是 和 ； 由丙：17可知，丙的两张牌上的数字可能是和、和 ； 由丁：16可知，丁的两张牌上的数字可能是 和、和 ； 由戊：7可知，戊的两张牌上的数字可能是 和 、 和 、 和 ； 综上可知，乙的两张牌上的数字是 和 ；戊的两张牌上的数字是 和 ；甲的两张牌上的数字是 和；丙的两张牌上的数字可能是和 ；丁的两张牌上的数字可能是 和； 故答案为： 和 ； 和； 16. 如图，在正方形 中，， ， 分别为边 ，的中点， 与， 分别交于点 ，．计算 的长为____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作交 的延长线于，利用正方形的性质求出是的中位线，得到的长，判定出，利用全等的性质和勾股定理得到，判定出，再利用相似三角形的比值关系运算求解即可． 【详解】解：过点 作交 于，如图所示： ∵四边形 是正方形，， ∴，， ∵点 ， 是 ，的中点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，中位线的判定及性质等知识点，合理做出辅助线，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本日考查了实数的混合运算，二次根式的运算，特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 即不等式组的解集为． 19. 已知：，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值问题，先通分，计算括号里的，再除法转化成乘法，计算括号外的，最后把的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，在 中， ， 是对角线 上的两点（点 在点 左侧），且． （1）求证：四边形 是平行四边形． （2）当，，时，求 的长． 【答案】（1）证明 ， ∴， 在 中，，， ∴， ∴ ， ∴， ∴四边形 是平行四边形． （2）． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB=CD，，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论； （2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ∴BE=DF， ∵四边形 是平行四边形， ∴， 在中，， ∴AE=3，BE=4． ∵BE=DF，AE=CF， ∴BE=DF=4，AE=CF=3， ，， ∴， ∴tan∠CBF=，tan∠ECF=， ∴，得到EF=，或EF=（舍去）， ∴BD=4+4+=， 即BD=． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题． 21. 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．根据相关行业标准，空调的安全使用年限是年．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是 元，请回答下列问题． 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量 1级 3级 （1）使用多少年时，1级能效和3级能效这两款空调的综合费用相等？（综合费用空调的售价 电费） （2）某人打算选购一台空调使用年，请分析他购买、使用哪款空调更划算． 【答案】（1）6 （2）购买、使用1级能效空调更划算 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用、有理数的混合运算，解决本题的关键是列一元一次方程求出使用多少年时，两款空调的综合费用相等． （1）设使用 年时，两款空调的综合费用相等，列方程求解即可； （2）分别计算出两款空调使用年的综合费用，通过比较判断，然后即可求解． 【小问1详解】 解：设使用 年时，两款空调的综合费用相等，根据题意得： ， 解得：， 答：使用6年时，两款空调的综合费用相等； 【小问2详解】 解：当时， 1级能效空调的综合费用：（元）， 3级能效空调的综合费用：（元）， ∵， ∴所以购买、使用1级能效空调更划算． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向上平移4个单位长度得到，且与x轴交于点A． （1）求该一次函数的解析式及点A的坐标； （2）当 时，对于x的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2）且 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数的平移，一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据一次函数的平移规律得到一次函数解析式，再求出与x轴的交点坐标即可； （2）先找到临界值，求出当一次函数过点时以及与平行时的值，再结合图象确定m的取值范围即可． 【小问1详解】 解： 一次函数的图象由函数的图象向上平移4个单位长度得到， 该一次函数的解析式为， 当 时，，解得：， 点A的坐标为； 【小问2详解】 解：当 时，， 把点代入一次函数，得， 解得：， 当一次函数与平行时，， 一次函数中， 当 时，对于x的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，m的取值范围为且． 23. “华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，是为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立的．小华对截止到第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． a．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：）： b．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在 这一组的是： c．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 71.2 m 根据以上信息，回答下列问题： （1）截止到第十六届共有_______人获得“华罗庚数学奖”； （2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图； （3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄_______（填“小”或“大”），理由是_____________． 【答案】（1）30 （2） 补全频数分布直方图如下： （3）小，徐宗本院士获奖时的年龄小于“华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图、频数分布直方图，中位数的意义，掌握相关知识点是解题关键． （1）用 年龄段的得主获奖人数除以所占百分比求解即可； （2）先求出 年龄段的得主获奖人数，再补全频数分布直方图即可； （3）先求出“华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数，再根据中位数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：人， 即截止到第十六届共有30人获得“华罗庚数学奖”， 故答案为：30； 【小问2详解】 解： 年龄段的得主获奖人数为：人； 【小问3详解】 解：由“华罗庚数学奖”得主获奖人数为30人可知，获奖年龄的中位数为第 和16名年龄的平均数， 年龄段有3人， 年龄段有人， 第 和16名年龄在 年龄段，分别为69岁和69岁， “华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数岁， 徐宗本院士获奖时的年龄为68岁， 他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小，理由是徐宗本院士获奖时的年龄小于“华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数． 24. 如图，三点在 上，直径 平分 ，过点D作 的切线交 的延长线于点 ， 为 上一点，且． （1）求证： （2）如果 半径为，求 的长． 【答案】（1）见解析； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的性质，圆周角，解直角三角形的应用等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）由角平分线的定义，得到，由圆的切线的性质和等腰对等角的性质，得到，从而得出，即可证明结论； （2）连接 ，根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得到，再根据余弦值，设，，则，，，，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：平分 ， ， 与 相切， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接 ， 平分 ， ， ， ，， ，， 是直径， ， ， ， 设，， ，，， ， 半径为 ， ， ， ， 解得：， ． 25. 化肥能让土壤中的有机质含量增加，提高土壤中的重要微生物孢子的含量和多样性，既能改良土壤的活性，又能改变土壤的性质，从而提高土壤的肥力，增加农作物的产量．某科研团队分析了化肥使用量与某农作物产量之间的关系．部分内容如下： 种植方式一：在种植过程中不添加化肥，该农作物的产量为15吨/公顷； 种植方式二：在种植过程中，记该农作物的产量为y（吨/公顷），化肥的使用总量为x（吨/公顷）．记录的部分实验数据如下： x/（吨/公顷） 2.2 3.0 4.2 5.0 6.5 7.5 8.5 9.4 10.3 y/（吨/公顷） 21.3 25.7 32.2 35.8 41.0 43.1 43.4 40.8 30.8 根据以上实验数据，解决下列问题： （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象； （2）若将（1）中所画函数图象补全，则该函数图象与y轴交点的坐标为_______． （3）若某农业基地在种植该农作物时，两种种植方式均存在． ①该农作物每公顷的产量最多相差_______吨（结果保留1位小数）； ②当两种方式的种植面积相同时，若种植方式二的总产量不低于方式一总产量的2倍，该基地化肥的使用总量需控制在_______（吨/公顷）至_______（吨/公顷）范围内（结果保留整数）． 【答案】（1）见解析； （2） （3）①28.4；②4,10； 【解析】 【分析】本题考查了描点法画函数图象，从函数图象获取信息，有理数减法的应用，正确画出图象是解题关键． （1）再坐标系中找出实验数据各点，用平滑的曲线连接即可； （2）由题意可知， 时表示在种植过程中不添加化肥，再结合种植方式一求解即可； （3）①由题意可知，种植方式一的产量为15吨/公顷，由实验数据可知，种植方式二的产量的最高值为43.4吨/公顷，作差即可求解； ②结合图象，找出当时， 的大概取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：y关于x的函数图象如下图； 【小问2详解】 解：与y轴交点即 ，表示在种植过程中不添加化肥， 由种植方式一可知，此时该农作物的产量为15吨/公顷， 则该函数图象与y轴交点的坐标为； 【小问3详解】 解：①由题意可知，种植方式一的产量为15吨/公顷； 由实验数据可知，种植方式二的产量的最高值为43.4吨/公顷； 即该农作物每公顷的产量最多相差（吨）， 故答案为：28.4； ②若种植方式二的总产量不低于方式一总产量的2倍， 则， 观察图象可知，当时， 的大概取值范围为， 即该基地化肥的使用总量需控制在4（吨/公顷）至10（吨/公顷）范围内， 故答案为：4,10 26. 在 中，于点 ， 为 边中点，连接， 与相交于点F，过E作，交线段 于点M，连接． （1）依题意补全图形； （2）判断与的数量关系并证明； （3）判断的数量关系并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析； （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据垂线可得，再结合对顶角相等和三角形内角和定理求解即可； （3）延长至点，使得，连接、，先证明，得到，再证明，得到，然后根据勾股定理得出结论即可． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：，证明如下： ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接、， 为 边中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ． 27. 在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点P的关联直线，例如，点的关联直线为． （1）已知点． ①点A的关联直线为_________； ②若 与点A的关联直线相切，则 的半径为_________； （2）已知点，点．点M为直线 上的动点． ①当时，求点O到点M的关联直线的距离的最大值； ②以为圆心，3为半径作．在点M运动过程中，当点M的关联直线与交于E，F两点时， 的最小值为4，请直接写出d的值． 【答案】（1）①；② （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）①根据关联直线的定义进行求解即可；②设直线与 相切于点E，连接，设直线与x轴，y轴分别交于C、D，先求出C、D的坐标，进而得到，利用勾股定理求出，再利用等面积法求出的长即可得到答案； （2）①先求出直线直线 的解析式为，设点M的坐标为，则点M的关联直线为，推出点M的关联直线经过定点，进而得到当点H与点N重合时，最大，即 点O到点M的关联直线的距离最大，然后利用勾股定理求解即可；②同理求出点M的关联直线经过定点；如图所示，过点T作于N，连接，则，要想 最小，则要使最大，由此得到，由（2）①可知，当点N与点重合时，最大，由此即可建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：①由题意得，点的关联直线为， 故答案为：； ②如图所示，设直线与 相切于点E，连接，设直线与x轴，y轴分别交于C、D， ∴， ∴， ∴， 由切线的性质可得， ∴， ∴， ∴ 的半径为； 【小问2详解】 解：①设直线 的解析式为 ， 由题意得，点，点， ∴， ∴， ∴直线 的解析式为， 设点M的坐标为， ∴点M的关联直线为， ∴点M的关联直线经过定点， 如图所示，过点O作直线的垂线，垂足为H， ∴， ∴当点H与点N重合时，最大，即 点O到点M的关联直线的距离最大， ∴点O到点M的关联直线的距离的最大值为； ②同理可得直线 的解析式为， 设点M的坐标为， ∴点M的关联直线为， ∴点M的关联直线经过定点； 如图所示，过点T作于N，连接，则， ∴， ∴要想 最小，则要使最大， ∵ 的最小值为4，即的最小值为2， ∴， 由（2）①可知，当点N与点重合时，最大， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，一次函数与几何综合等等，正确推出点M的关联直线经过定点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市丰台区怡海中学2024—2025学年度第二学期3月月考 初三数学试题卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，平分，，的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 据网络平台数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿元，目前观影人次已超3亿，位居全球影史票房榜第5位，150亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（　 ）． A. B. C. D. 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点 为圆心，适当长为半径画弧，交于点 ，交 于点． （2）分别以点 ，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（ ） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 8. 如图，在菱形中，为对角线的交点，将菱形绕点O逆时针旋转 得到菱形，两个菱形的公共点为，对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③该八边形有外接圆；④该八边形有内切圆．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若式子有意义，则实数 的取值范围是____________． 10. 分解因式：=______． 11. 分式方程的解是______． 12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______________． 13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位： ），数据整理如下： 稻穗长度 稻穗个数 5 8 16 14 7 根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在范围内）的水稻数量为__________万棵． 14. 已知，均为锐角，且，则___． 15. 在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共10张牌挑出，打乱顺序后随机地发给了甲、乙、丙、丁、戊五名同学，每人各两张牌．并要求其中四位同学将手中两张牌的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11，乙：4，丙：17，戊：7，则戊的两张牌上的数字是_______，丁的两张牌上的数字是_______． 16. 如图，在正方形中，，， 分别为边，的中点， 与，分别交于点 ，．计算 的长为____________________ ． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知：，求的值． 20. 如图，在中，， 是对角线上的两点（点在点 左侧），且． （1）求证：四边形 是平行四边形． （2）当，，时，求的长． 21. 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．根据相关行业标准，空调的安全使用年限是年．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是 元，请回答下列问题． 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量 1级 3级 （1）使用多少年时，1级能效和3级能效这两款空调的综合费用相等？（综合费用空调的售价 电费） （2）某人打算选购一台空调使用年，请分析他购买、使用哪款空调更划算． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向上平移4个单位长度得到，且与x轴交于点A． （1）求该一次函数的解析式及点A的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 23. “华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，是为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立的．小华对截止到第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． a．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：）： b．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在这一组的是： c．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 71.2 m 根据以上信息，回答下列问题： （1）截止到第十六届共有_______人获得“华罗庚数学奖”； （2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图； （3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄_______（填“小”或“大”），理由是_____________． 24. 如图，三点在上，直径平分 ，过点D作的切线交的延长线于点 ，为上一点，且． （1）求证： （2）如果半径为，求的长． 25. 化肥能让土壤中的有机质含量增加，提高土壤中的重要微生物孢子的含量和多样性，既能改良土壤的活性，又能改变土壤的性质，从而提高土壤的肥力，增加农作物的产量．某科研团队分析了化肥使用量与某农作物产量之间的关系．部分内容如下： 种植方式一：在种植过程中不添加化肥，该农作物的产量为15吨/公顷； 种植方式二：在种植过程中，记该农作物的产量为y（吨/公顷），化肥的使用总量为x（吨/公顷）．记录的部分实验数据如下： x/（吨/公顷） 2.2 3.0 4.2 5.0 6.5 7.5 8.5 9.4 10.3 y/（吨/公顷） 21.3 25.7 32.2 35.8 41.0 43.1 43.4 40.8 30.8 根据以上实验数据，解决下列问题： （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象； （2）若将（1）中所画函数图象补全，则该函数图象与y轴交点的坐标为_______． （3）若某农业基地在种植该农作物时，两种种植方式均存在． ①该农作物每公顷的产量最多相差_______吨（结果保留1位小数）； ②当两种方式的种植面积相同时，若种植方式二的总产量不低于方式一总产量的2倍，该基地化肥的使用总量需控制在_______（吨/公顷）至_______（吨/公顷）范围内（结果保留整数）． 26. 在中，于点 ，为边中点，连接，与相交于点F，过E作，交线段于点M，连接． （1）依题意补全图形； （2）判断与的数量关系并证明； （3）判断的数量关系并证明． 27. 在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点P的关联直线，例如，点的关联直线为． （1）已知点． ①点A的关联直线为_________； ②若与点A的关联直线相切，则的半径为_________； （2）已知点，点．点M为直线上的动点． ①当时，求点O到点M的关联直线的距离的最大值； ②以为圆心，3为半径作．在点M运动过程中，当点M的关联直线与交于E，F两点时， 的最小值为4，请直接写出d的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $