第2章 相交线与平行线（导图+知识梳理+易错点拨+16个考点讲练+优选压轴题专练 共57题）-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习知识串讲【2024●新教材 优等生培优版】 第2章 相交线与平行线 （知识梳理+易错点拨+16个重难点考点讲练+压轴题专练 共57题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：两条直线的位置关系 2 知识点梳理02：平行线的判定与性质 3 知识点梳理03：用尺规作线段和角 4 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：基本概念混淆 5 易错知识点02：角度关系与位置判断错误 5 易错知识点03：平行线性质与判定混淆 5 易错知识点04：几何推理中的典型疏漏 6 重点难点 考点讲练 6 重点难点考点讲练01:余角和补角 6 重点难点考点讲练02:相交线 7 重点难点考点讲练03:对顶角、邻补角 7 重点难点考点讲练04:垂线 8 重点难点考点讲练05:垂线段最短 9 重点难点考点讲练06:点到直线的距离 10 重点难点考点讲练07:同位角、内错角、同旁内角 11 重点难点考点讲练08:平行线 11 重点难点考点讲练09:平行线公理及推论 12 重点难点考点讲练10:平行线的判定 13 重点难点考点讲练11:平行线的性质 14 重点难点考点讲练12:平行线的判定与性质 16 重点难点考点讲练13:平行线之间的距离 18 重点难点考点讲练14:猪脚模型（相交线与平行线的解题模型） 18 重点难点考点讲练15:铅笔模型（相交线与平行线的解题模型） 20 重点难点考点讲练16:锯齿模型（相交线与平行线的解题模型） 22 压轴专练 拔尖冲刺 25 知识点梳理01：两条直线的位置关系 1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行. 【易错点剖析】 （1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点. （2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示. 2.对顶角、补角、余角 （1）定义： ①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角. ②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角． （2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等． 3.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图． （2）垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短． （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 知识点梳理02：平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点梳理03：用尺规作线段和角 1.用尺规作线段 （1）用尺规作一条线段等于已知线段. （2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数. （3）用尺规作一条线段等于已知线段的和. （4）用尺规作一条线段等于已知线段的差. 2.用尺规作角 （1）用尺规作一个角等于已知角. （2）用尺规作一个角等于已知角的倍数. （3）用尺规作一个角等于已知角的和. （4）用尺规作一个角等于已知角的差. 易错知识点01：基本概念混淆 1. 对顶角与邻补角识别错误 对顶角：两条直线相交形成的两个角，必须满足“顶点相同，两边互为反向延长线”。但学生常将相邻的角误认为对顶角，例如在复杂图形中忽略反向延长线的条件 邻补角：相邻且和为180°的角，但可能误将非相邻的补角视为邻补角（如两条直线相交时，对角线的两个角虽互补但不是邻补角） 2. 平行线与相交线定义混淆 平行线：“同一平面内永不相交”是核心条件，但学生可能忽略“同一平面”导致错误（如立体几何中不相交的直线未必平行） 垂线：认为垂直必须形成90°角即可，但需明确垂线是相交的特殊情况，且交点称为垂足 易错知识点02：角度关系与位置判断错误 1. 余角、补角的条件混淆 余角需和为90°，补角需和为180°，但学生可能将互补的角误认为余角，或忽略“同角或等角”的前提（如认为任意两个和为90°的角都是余角） 应用错误：例如已知∠A与∠B互余，求∠A的补角时，可能直接写为180°-∠A，而忽略需结合具体图形关系 2. 同位角、内错角、同旁内角的位置误判 同位角：需满足“F型”结构，但在复杂图形中可能误判非同位角（如将不同截线形成的角视为同位角） 内错角：需满足“Z型”结构，学生可能将同旁内角（“C型”）误认为内错角 同旁内角：需和为180°，但可能误将互补的非同旁内角代入计算 易错知识点03：平行线性质与判定混淆 1. 性质与判定颠倒使用 平行线性质：已知平行，推导角的关系（如同位角相等）。学生可能在未证明平行时直接使用性质，导致逻辑错误 平行线判定：需通过角的关系（如内错角相等）证明平行，但可能误用性质反向推导（如用“同位角相等”直接作为判定条件时未确认两直线被同一条直线所截） 2. 垂线段最短的应用错误 例如求最短路径时，学生可能误将斜线段长度当作垂线段处理，或未明确“点到直线的距离”是垂线段的长度而非线段本身 实际应用题：如“在河岸建水站到村庄的最短管道”，需转化为垂线段，但可能错误选择斜线或其他路径 易错知识点04：几何推理中的典型疏漏 1. 条件缺失的跳跃性推理 例如证明平行时，直接写“同位角相等”而未说明两直线被第三条直线所截，或未标注截线的位置。 步骤跳跃：如从“∠1=∠2”直接推出“a∥b”，忽略需明确“∠1和∠2是同位角”的条件。 2. 忽略隐藏条件 角的非负性：如在动态几何问题中，未验证角度或线段长度是否为合理值（如时间为负数或角度超过180°） 零角或平角误用：例如误认为平角（180°）的两边是反向延长线，因此属于对顶角 重点难点考点讲练01:余角和补角 【例题精讲】（2024春•永寿县期中）一个角的余角是40°，这个角的度数是（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 【训练1】（2023春•张店区校级期中）若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论： ①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的是（　　） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【训练2】（2021春•渠县校级期中）如果一个角的余角是它的补角的，求这个角的度数． 重点难点考点讲练02:相交线 【例题精讲】（2024春•龙门县期中）已知2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，…由此猜想，8条直线最多有个交点（　　） A．16 B．28 C．32 D．40 【训练1】（2022春•南岸区校级期中）观察如图，并阅读图形下面的相关文字： 两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点…… 像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（　　） A．100个 B．135个 C．190个 D．200个 【训练2】（2019春•郯城县期中）在一平面中，两条直线相交有一个交点；三条直线两两相交最多有3个交点；四条直线两两相交最多有6个交点……当相交直线的条数从2至n变化时，最多可有的交点数P与直线条数n之间的关系如下表： 直线条数n/条 2 3 4 5 6 7 8 … 最多交点个数p/个 1 3 6 10 … … … … 则n与p的关系式为：　 　 ． 重点难点考点讲练03:对顶角、邻补角 【例题精讲】（2024春•绥化期中）如图1是一把剪刀，把它抽象为图2所示，如果∠1+∠2＝60°，那么∠3的度数是（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 【训练1】．（2023春•端州区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数为 　　 ． 【训练2】（2024春•嘉祥县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 重点难点考点讲练04:垂线 【例题精讲】（2024春•庐江县期中）如图，PQ∥MN，l⊥MN，垂足为A，l交PQ于点B，点C在射线AM上． （1）若BC平分∠PBA，则∠BCM＝　 　 ． （2）若∠ACB＜60°，在直线PQ上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD．交直线l于点E．若∠BDE＝30°，则∠ACD＝　 　 ． 【训练1】（2023春•龙华区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD． （1）写出图中∠AOF的余角 　 ； （2）如果∠EOF∠AOD，求∠EOF的度数． 【训练2】（2024春•霸州市期中）【动手操作】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°．将直角三角板MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线OC互相垂直时，∠AOM的度数是 　 重点难点考点讲练05:垂线段最短 【例题精讲】（2024春•涧西区期中）如图，直线AB是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，已知PA＝2.7米，MC＝2.6米，则小明跳远的成绩可能是（　　） A．2.7米 B．2.65 米 C．2.6米 D．2.5米 【训练1】（2022春•禹城市期中）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点 　 ，依据是 　 　 ． 【训练2】（2022春•黑山县期中）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据． 重点难点考点讲练06:点到直线的距离 【例题精讲】（2023春•博爱县期中）如图，P是∠AOB的边OB上一点． （1）过点P画OA的垂线，垂足为H； （2）过点P画OB的垂线，交OA于点C； （3）点O到直线PC的距离是线段　 的长度； （4）比较PH与CO的大小，并说明理由． 【训练1】（2021春•椒江区校级期中）如图，AC⊥BC，垂足为点C，CD⊥AB，垂足为点D，则点A到BC的距离是线段 　　 的长度． 【训练2】（2023春•馆陶县期中）如图，将一块直角三角板COD的直角顶点O放在直线AB上． （1）若线段OC的长是点C到直线AB的距离，则点D在直线AB 　　 （填“上”或“外”）． （2）比较CD与OD的大小，并说明理由． 重点难点考点讲练07:同位角、内错角、同旁内角 【例题精讲】（2023春•富锦市校级期中）下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【训练1】（2024春•建始县期中）如图，∠1的内错角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 重点难点考点讲练08:平行线 【例题精讲】（2023春•安乡县期中）如图，下列结论正确的序号是 　 　 ． ①∠ABC与∠C是同位角； ②∠C与∠ADC是同旁内角； ③∠BDC与∠DBC是内错角； ④∠ABD的内错角是∠BDC； ⑤∠A与∠ABD是由直线AD，BD被直线AB所截得到的同旁内角． 【训练1】（2024春•襄州区期中）如图，直线a，b被直线c所截，下列说法不正确的是（　　） A．∠1和∠5是同位角 B．∠1和∠2是对顶角 C．∠2和∠3是同旁内角 D．∠2和∠4是内错角 【训练2】（2022春•汕头期中）下列说法正确的有（　　） ①两点之间的所有连线中，线段最短； ②相等的角叫对顶角； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两点之间的距离是两点间的线段； ⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 重点难点考点讲练09:平行线公理及推论 【例题精讲】（2024春•雁塔区校级期中）下列说法中正确的是（　　） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交 【训练1】（2022春•兴城市校级期中）如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上． 理由是：　 　 ． 【训练2】（2024春•上城区校级期中）下列说法正确的有（　　） ①同位角相等； ②两点之间的所有连线中，线段最短； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④两点之间的距离是两点间的线段； ⑤已知同一平面内∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝100°． A．② B．②③ C．②③④ D．②③⑤ 重点难点考点讲练10:平行线的判定 【例题精讲】（2023春•东台市期中）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（　　） A．∠2＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠4 D．∠1+∠5＝180° 【训练1】（2021春•甘州区校级期中）已知：如图，要得到AB∥CD，则需要的条件　 （填一个你认为正确的条件即可） 【训练2】（2024春•武侯区校级期中）如图，∵AC⊥AB，BD⊥AB（已知） ∴∠CAB＝90°，∠　 　 ＝90°　 　 ∴∠CAB＝∠　 　 ∵∠CAE＝∠DBF（已知） ∴∠BAE＝∠ 　 ∴　 　 ∥　 ． 重点难点考点讲练11:平行线的性质 【例题精讲】（2024春•鄂尔多斯期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】（2024春•成都期中）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°． （1）试说明：∠BAG＝∠BGA； （2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD． （3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值． 【训练2】（2024春•海珠区校级期中）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE． （1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数； （2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝46°，∠MND＝68°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒4°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时将△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒11°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当MN首次与CD重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（t≥0）秒后，M′N恰好平行于△F′PH′的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 重点难点考点讲练12:平行线的判定与性质 【例题精讲】（2022春•海陵区期中）如图，已知CD平分∠ACB，∠1＝∠2． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠3＝30°，∠B＝25°，求∠BDE的度数． 【训练1】（2024春•乾安县期中）探究题 已知：如图1，AB∥CD，CD∥EF． 求证：∠B+∠BDF+∠F＝360°． 老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ （1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小额用到的平行线性质可能是　 　 ． （2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB、EF，然后在平行线间画了一点D，连接BD，DF后，用鼠标拖动点D，分别得到了图①②③，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和③中的∠B、∠BDF与∠F之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图①中∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系并加以证明： ②补全图③，直接写出∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系：　 ． （3） 学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图2所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝ 　 ． 【训练2】（2024春•海沧区校级期中）如图，点E在BC的延长线上，已知AD∥BE，∠B＝∠D． （1）求证：AB∥CD； （2）连接AE，若∠DAE和∠DCE的平分线相交于点F，如图所示，试探究∠BAE与∠AFC之间的数量关系，并说明理由． 重点难点考点讲练13:平行线之间的距离 【例题精讲】（2023春•咸宁期中）如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝60°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求a与b的距离． 【训练1】（2024春•宣化区期中）如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积（　　） A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定 【训练2】（2023春•古冶区期中）已知直线a∥b，点M到直线a的距离是3cm，到直线b的距离是5cm，那么直线a和直线b之间的距离为 　 ． 重点难点考点讲练14:猪脚模型（相交线与平行线的解题模型） 【例题精讲】（2024春•十堰期中）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【训练1】（2024春•西城区校级期中）如图，直线AB∥CD，M、N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连接HM，HN，延长HN至点G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．若∠H＝α，则∠MEN可以用含α的式子可以表示为（　　） A． B．180°﹣α C． D．90°+α 【训练2】（2024春•河池期中）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、∠D之间的关系． 解：过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∵∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠BED＝∠B+∠D． 【学以致用】 （1）当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝　　 °． （2）①如图（2），已知AB∥CD，若∠A＝135°，∠C＝130°，求出∠AEC的度数． ②如图（3），在①的条件下，若AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度数． 重点难点考点讲练15:铅笔模型（相交线与平行线的解题模型） 【例题精讲】（2024春•荣成市期中）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝360°； ②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C； ③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1； ④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°． 以上结论正确的是（　　） A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②④ 【训练1】（2024春•广汉市期中）将一副三角板如图1所示摆放，∠BAC＝30°，∠E＝45°，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒3°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当0≤t≤120时，若边BC与三角板DEF的一条直角边（边DE，DF）平行，则所有满足条件的t的值为 　 　 ． 【训练2】（2024春•青羊区校级期中）如图1，一副直角三角板如图放置（∠PFE＝∠GHQ＝90°，∠HGQ＝30°，∠PEF＝45°），且直角边GH和EF所在的直线AB、CD互相平行，点G、P、Q在同一直线上． （1）∠GPF的度数是 　 ； （2）如图2，将三角板PFE以每秒40°的速度绕点P按逆时针方向旋转，当PF垂直AB时，立刻按原速返回；同时三角板GHQ以每秒15°的速度绕点G按逆时针方向旋转，设运动时间为t秒（0＜t＜9）．当GQ⊥PF时，求t的值． 重点难点考点讲练16:锯齿模型（相交线与平行线的解题模型） 【例题精讲】（2024春•长垣市校级期中）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　 　 ，∠C＝　 　 ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　 　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （4） 如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 【训练1】（2024春•息县期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝60°． （1）【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1＝55°，则∠2＝　　 °； （2）【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1＝5∠CBD（∠CBD＜60°），请直接写出射线BA与直线a所夹锐角的度数． 【训练2】（2024春•绥中县期中）如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，AB，BC分别为入射光线和反射光线，则∠ABE＝∠CBF．请继续以下探究： （1）探究反射规律 ①如图3，∠ABE＝α，∠BFC＝105°，则∠DCG＝　 （用含α的代数式表示）． ②若光线AB∥CD，判断EF与FG的位置关系，并说明理由． （2）模拟应用研究 在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点D会高于反射点C（如图4），因此小亮认为反射光线CD应与水平视线DH成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线AB∥DH，当CD与DH所成夹角为15°时，求∠BFC的度数． 1．（2024春•驿城区期中）如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，已知∠ABE＝∠FBM，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．85° 2．（2024春•立山区期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF所在直线折叠，点D，C分别落在点M，N处，EM与BC交于点C，若∠EFG＝40°，则∠BGE的度数是（　　） A．100° B．80° C．40° D．120° 3．（2024春•鼓楼区校级期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝130°，∠3＝102°，则∠4的度数为（　　） A．57° B．54° C．52° D．51° 4．（2024秋•滨海新区校级期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，A′B′与BC交于点G，若∠A′GC＝60°，则∠BFE的度数为 　 ． 5．（2024春•中山区校级期中）如图所示，直线AB∥CD，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝174°，则∠FME的度数是 　 　 ． 6．（2024春•张店区校级期中）如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为 E3，…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．若∠En＝1°，那∠BEC等于 　 °． 7．（2017春•龙口市校级期中）完成下面的证明： 已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°． 求证：AB∥CD． 证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（　 ）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝　 　 （角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（　 　 ）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝　 （　 　 ）． ∴AB∥CD（　 　 ）． 8．（2024春•宁津县期中）【学科融合】 物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【理解运用】 （1）如图1，展示了光线反射定律，EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2．则∠1 　＝　 ∠2（填“＞”“＜“或“＝“）； 【尝试探究】 （2）学完光的反射定律，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图2，AB、CD是平行放置的两面平面镜，入射光线EF经过两次反射后，得到的反射光线GH，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，请问进人潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH是否平行，说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，AB、BC是两平面镜，入射光线FE经过两次反射后，反射光线GH与入射光线EF平行但方向相反已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠2+∠3的度数． 9．（2022春•嵊州市期中）如图1，已知直线l1∥l2，l3和l1、l2分别相交于A、B两点，l4和l1、l2分别交于C、D两点，∠ACP＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3．点P在线段AB上． （1）若∠1＝22°，∠2＝33°，则∠3＝　 　 ． （2）试找出∠1、∠2、∠3之间的等量关系，并说明理由． （3）应用（2）中的结论解答下列问题： 如图2，点A在B处北偏东40°的方向上，在C处的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度数． （5） 如果点P在直线l3上且在A、B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B两点不重合），直接写出结论即可． 10．（2024春•集美区校级期中）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝ 　 °； （2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F， ①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA； ②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习知识串讲【2024●新教材 优等生培优版】 第2章 相交线与平行线 （知识梳理+易错点拨+16个重难点考点讲练+压轴题专练 共57题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 2 知识点梳理01：两条直线的位置关系 2 知识点梳理02：平行线的判定与性质 3 知识点梳理03：用尺规作线段和角 4 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：基本概念混淆 5 易错知识点02：角度关系与位置判断错误 5 易错知识点03：平行线性质与判定混淆 5 易错知识点04：几何推理中的典型疏漏 6 重点难点 考点讲练 6 重点难点考点讲练01:余角和补角 6 重点难点考点讲练02:相交线 8 重点难点考点讲练03:对顶角、邻补角 9 重点难点考点讲练04:垂线 11 重点难点考点讲练05:垂线段最短 15 重点难点考点讲练06:点到直线的距离 16 重点难点考点讲练07:同位角、内错角、同旁内角 18 重点难点考点讲练08:平行线 19 重点难点考点讲练09:平行线公理及推论 22 重点难点考点讲练10:平行线的判定 23 重点难点考点讲练11:平行线的性质 25 重点难点考点讲练12:平行线的判定与性质 32 重点难点考点讲练13:平行线之间的距离 36 重点难点考点讲练14:猪脚模型（相交线与平行线的解题模型） 38 重点难点考点讲练15:铅笔模型（相交线与平行线的解题模型） 42 重点难点考点讲练16:锯齿模型（相交线与平行线的解题模型） 48 压轴专练 拔尖冲刺 55 知识点梳理01：两条直线的位置关系 1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行. 【易错点剖析】 （1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点. （2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示. 2.对顶角、补角、余角 （1）定义： ①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角. ②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角． （2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等． 3.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图． （2）垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短． （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 知识点梳理02：平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点梳理03：用尺规作线段和角 1.用尺规作线段 （1）用尺规作一条线段等于已知线段. （2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数. （3）用尺规作一条线段等于已知线段的和. （4）用尺规作一条线段等于已知线段的差. 2.用尺规作角 （1）用尺规作一个角等于已知角. （2）用尺规作一个角等于已知角的倍数. （3）用尺规作一个角等于已知角的和. （4）用尺规作一个角等于已知角的差. 易错知识点01：基本概念混淆 1. 对顶角与邻补角识别错误 对顶角：两条直线相交形成的两个角，必须满足“顶点相同，两边互为反向延长线”。但学生常将相邻的角误认为对顶角，例如在复杂图形中忽略反向延长线的条件 邻补角：相邻且和为180°的角，但可能误将非相邻的补角视为邻补角（如两条直线相交时，对角线的两个角虽互补但不是邻补角） 2. 平行线与相交线定义混淆 平行线：“同一平面内永不相交”是核心条件，但学生可能忽略“同一平面”导致错误（如立体几何中不相交的直线未必平行） 垂线：认为垂直必须形成90°角即可，但需明确垂线是相交的特殊情况，且交点称为垂足 易错知识点02：角度关系与位置判断错误 1. 余角、补角的条件混淆 余角需和为90°，补角需和为180°，但学生可能将互补的角误认为余角，或忽略“同角或等角”的前提（如认为任意两个和为90°的角都是余角） 应用错误：例如已知∠A与∠B互余，求∠A的补角时，可能直接写为180°-∠A，而忽略需结合具体图形关系 2. 同位角、内错角、同旁内角的位置误判 同位角：需满足“F型”结构，但在复杂图形中可能误判非同位角（如将不同截线形成的角视为同位角） 内错角：需满足“Z型”结构，学生可能将同旁内角（“C型”）误认为内错角 同旁内角：需和为180°，但可能误将互补的非同旁内角代入计算 易错知识点03：平行线性质与判定混淆 1. 性质与判定颠倒使用 平行线性质：已知平行，推导角的关系（如同位角相等）。学生可能在未证明平行时直接使用性质，导致逻辑错误 平行线判定：需通过角的关系（如内错角相等）证明平行，但可能误用性质反向推导（如用“同位角相等”直接作为判定条件时未确认两直线被同一条直线所截） 2. 垂线段最短的应用错误 例如求最短路径时，学生可能误将斜线段长度当作垂线段处理，或未明确“点到直线的距离”是垂线段的长度而非线段本身 实际应用题：如“在河岸建水站到村庄的最短管道”，需转化为垂线段，但可能错误选择斜线或其他路径 易错知识点04：几何推理中的典型疏漏 1. 条件缺失的跳跃性推理 例如证明平行时，直接写“同位角相等”而未说明两直线被第三条直线所截，或未标注截线的位置。 步骤跳跃：如从“∠1=∠2”直接推出“a∥b”，忽略需明确“∠1和∠2是同位角”的条件。 2. 忽略隐藏条件 角的非负性：如在动态几何问题中，未验证角度或线段长度是否为合理值（如时间为负数或角度超过180°） 零角或平角误用：例如误认为平角（180°）的两边是反向延长线，因此属于对顶角 重点难点考点讲练01:余角和补角 【例题精讲】（2024春•永寿县期中）一个角的余角是40°，这个角的度数是（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 【思路引导】根据角互余的概念，进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：∵一个角的余角是40°， ∴这个角的度数是：90°﹣40°＝50°， 故选：B． 【考点评析】本题考查了角互余的概念，和为90°的两个角互为余角，熟练掌握此概念是解题的关键． 【训练1】（2023春•张店区校级期中）若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论： ①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的是（　　） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【思路引导】根据题意得：①（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°，（2）﹣（1）得出结果进行判断； ②（1）+（2）得出结果进行判断； ③（2）﹣（1）×2得出结果进行判断； ④先把（1）等式两边乘2得2（∠1+∠2）＝180°，把（2）变形后代入2（∠1+∠2）＝180°，得出结果进行判断． 【规范解答】解：根据题意得：（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°， ∴（2）﹣（1）得，∠3﹣∠2＝90°， ∴①正确； （1）+（2）得，∠1+∠2+∠1+∠3＝270°， ∴∠3+∠2＝270°﹣2∠1， ∴②正确； （2）﹣（1）×2得，∠3﹣∠1＝2∠2， ∴③正确； ∵（1）∠1+∠2＝90°，（2）∠1+∠3＝180°， ∴2（∠1+∠2）＝180°， ∴∠3＝180°﹣∠1 ＝2（∠1+∠2）﹣∠1 ＝∠1+2∠2， ∴∠3＞∠1+∠2， ∴④错误； 故选：C． 【考点评析】本题考查余角和补角，掌握余角和补角的定义，根据题目的要求对两个等式进行不同的计算是解题关键． 【训练2】（2021春•渠县校级期中）如果一个角的余角是它的补角的，求这个角的度数． 【思路引导】首先根据余角与补角的定义，设这个角为x°，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），再根据题中给出的等量关系列方程即可求解． 【规范解答】解：设这个角为x度， 由题意，得90﹣x（180﹣x）， 解得：x＝60， 所以这个角的度数是60度． 【考点评析】此题综合考查余角与补角，属于基础题中较难的题，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解． 重点难点考点讲练02:相交线 【例题精讲】（2024春•龙门县期中）已知2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，…由此猜想，8条直线最多有个交点（　　） A．16 B．28 C．32 D．40 【思路引导】利用给出的交点个数，推导出规律，把8代入即可． 【规范解答】解：∵2条直线最多有1个交点， 3条直线最多有3个交点， 4条直线最多有6个交点， …… n条直线最多有个交点， ∴n＝8时，28． 故选：B． 【考点评析】本题考查的直线的交点个数，也就是数字规律题，解题的关键是找到数字规律，把特殊值代入求值． 【训练1】（2022春•南岸区校级期中）观察如图，并阅读图形下面的相关文字： 两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点…… 像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（　　） A．100个 B．135个 C．190个 D．200个 【思路引导】根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）n（n﹣1）个交点，据此解答即可． 【规范解答】解：2条直线相交最多有1个交点，11×2， 3条直线相交最多有3个交点，3＝1+22×3， 4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+33×4， 5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+44×5， … n条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）． 20条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）20×19＝190． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了相交线探索规律．此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法是解题的关键． 【训练2】（2019春•郯城县期中）在一平面中，两条直线相交有一个交点；三条直线两两相交最多有3个交点；四条直线两两相交最多有6个交点……当相交直线的条数从2至n变化时，最多可有的交点数P与直线条数n之间的关系如下表： 直线条数n/条 2 3 4 5 6 7 8 … 最多交点个数p/个 1 3 6 10 … … … … 则n与p的关系式为：　pn（n﹣1）　 ． 【思路引导】根据题意，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）n（n﹣1）个交点． 【规范解答】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点． 而3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4， ∴可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）n（n﹣1）个交点． 即pn（n﹣1）， 故答案为：pn（n﹣1）． 【考点评析】本题主要考查了相交线，此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 重点难点考点讲练03:对顶角、邻补角 【例题精讲】（2024春•绥化期中）如图1是一把剪刀，把它抽象为图2所示，如果∠1+∠2＝60°，那么∠3的度数是（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 【思路引导】先求出∠1＝30，再根据邻补角的定义即可得出答案． 【规范解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝60°， ∴∠1＝30°， ∴∠3＝180°﹣∠1＝150°． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查对顶角、邻补角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【训练1】．（2023春•端州区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝30°，则∠2的度数为 　30°　 ． 【思路引导】根据对顶角相等可得∠2＝∠1＝30°． 【规范解答】解：∵∠1＝30°，∠1与∠2是对顶角， ∴∠2＝∠1＝30°． 故答案为：30°． 【考点评析】本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等． 【训练2】（2024春•嘉祥县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数． 【思路引导】（1）直接利用角平分线的定义以及结合邻补角的定义得出答案； （2）结合已知得出∠AOC的度数，再利用角平分线的定义得出答案． 【规范解答】解：（1）OF与OD的位置关系：互相垂直， 理由：∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠FOE， ∵∠DOE＝∠BOD， ∴∠AOF+∠BOD＝∠FOE+∠DOE180°＝90°， ∴OF与OD的位置关系：互相垂直； （2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5， ∴∠AOC180°＝30°， ∴∠BOD＝∠EOD＝30°， ∴∠AOE＝120°， ∴∠EOF∠AOE＝60°． 【考点评析】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确得出各角之间关系是解题关键． 重点难点考点讲练04:垂线 【例题精讲】（2024春•庐江县期中）如图，PQ∥MN，l⊥MN，垂足为A，l交PQ于点B，点C在射线AM上． （1）若BC平分∠PBA，则∠BCM＝　135°　 ． （2）若∠ACB＜60°，在直线PQ上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD．交直线l于点E．若∠BDE＝30°，则∠ACD＝　60°或120°　 ． 【思路引导】（1）利用角平分线的定义计算即可； （2）根据题意画出图形，计算即可． 【规范解答】解：（1）如图1， ∵PQ∥MN，l⊥MN， ∴∠PBA＝∠MAB＝90°， ∴∠PBC∠PBA＝45°， ∵PQ∥MN， ∴∠PBC+∠BCM＝180°， ∴∠BCM＝135°； （2）分两种情况， 如图2﹣1， ∵∠BDE＝30°，CD⊥DE， ∴∠BDC＝60°， ∵PQ∥MN， ∴∠ACD+∠BDC＝180°， ∴∠ACD＝120°； 如图2﹣2， ∵∠BDE＝30°，CD⊥DE， ∴∠BDC＝30°+90°＝120°， ∵PQ∥MN， ∴∠BDC+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝60°． 故答案为：（1）135°， （2）60°或120° 【考点评析】本题考查的是垂直的定义，平行线的性质，解题的关键是掌握垂直的定义以及平行线的性质定理． 【训练1】（2023春•龙华区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD． （1）写出图中∠AOF的余角 　∠AOC、∠FOE、∠BOD　 ； （2）如果∠EOF∠AOD，求∠EOF的度数． 【思路引导】（1）由垂直的定义可知∠AOF+∠COA＝90°，∠AOF+∠FOE＝90°，从而可知∠COA与∠FOE是∠AOF的余角，由对顶角的性质从而的得到∠BOD是∠AOF的余角； （2）依据同角的余角相等可知∠FOE＝∠DOB，∠EOF∠AOD，从而得到∠EOF平角． 【规范解答】解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴∠AOF+∠COA＝90°，∠AOF+∠FOE＝90°． ∴∠COA与∠FOE是∠AOF的余角． ∵由对顶角相等可知：∠AOC＝∠BOD， ∴∠BOD+∠AOF＝90°． ∴∠BOD与∠APF互为余角． ∴∠AOF的余角为∠AOC，∠FOE，∠BOD； 故答案为：∠AOC、∠FOE、∠BOD． （2）解：∵∠AOC＝∠EOF，∠AOC+∠AOD＝180°，∠EOF∠AOD， ∴6∠AOC＝180°． ∴∠EOF＝∠AOC＝30°． 【考点评析】本题主要考查的是垂线、余角的定义、对顶角、邻补角的定义，掌握相关性质是解题的关键． 【训练2】（2024春•霸州市期中）【动手操作】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°．将直角三角板MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线OC互相垂直时，∠AOM的度数是 　135°或45°　 ． 【思路引导】分OM在直线OC的右侧和OM在直线OC的左侧两种情况求解即可． 【规范解答】解：∵∠BOC＝135°， ∴∠AOC＝180°﹣135°＝45°． 当OM在直线OC的右侧时，如图， ∵OM⊥OC， ∴∠COM＝90°， ∴∠AOM＝∠AOC+∠COM＝135°． 当OM在直线OC的左侧时，如图， ∵OM⊥OC， ∴∠COM＝90°， ∴∠AOM＝∠COM﹣∠AOC＝45°． 故答案为：135°或45°． 【考点评析】本题考查了垂直的定义，角的和差计算，数形结合是解答本题的关键． 重点难点考点讲练05:垂线段最短 【例题精讲】（2024春•涧西区期中）如图，直线AB是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，已知PA＝2.7米，MC＝2.6米，则小明跳远的成绩可能是（　　） A．2.7米 B．2.65 米 C．2.6米 D．2.5米 【思路引导】跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段MB的长度． 【规范解答】解：根据跳远成绩的计算方法可知：垂线段MB的长度是小明跳远的成绩， ∵垂线段最短， ∴MB＜MC， ∴小明跳远的成绩可能是2.5米． 故选：D． 【考点评析】本题考查垂线段最短，熟记相关结论即可． 【训练1】（2022春•禹城市期中）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点 　C　 ，依据是 　垂线段最短　 ． 【思路引导】根据“垂线段最短”进行分析判断即可． 【规范解答】解：根据题意得：在连接超市O和公路AD上的四点A、B、C、D的连线中，只有OC⊥AD， ∴在线段OA、OB、OC和OD中，OC最短， ∴为了使超市距离车站最近，车站应该修建在C点处． 依据是垂线段最短． 故答案为：C，垂线段最短． 【考点评析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟知“在连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”是解题的关键． 【训练2】（2022春•黑山县期中）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据． 【思路引导】（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置； （2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段． 【规范解答】解：（1）∵两点之间线段最短， ∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小． （2）过H作HG⊥EF，垂足为G． “过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据． 【考点评析】本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用． 重点难点考点讲练06:点到直线的距离 【例题精讲】（2023春•博爱县期中）如图，P是∠AOB的边OB上一点． （1）过点P画OA的垂线，垂足为H； （2）过点P画OB的垂线，交OA于点C； （3）点O到直线PC的距离是线段　OP　 的长度； （4）比较PH与CO的大小，并说明理由． 【思路引导】（1）（2）根据题意画垂线； （3）根据点到直线的距离的定义得到线段PH的长度是点P到OA的距离，线段OP的长是点C到直线OB的距离； （4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到PC＞PH，CO＞CP，即可得到线段PH、OC的大小关系． 【规范解答】解：（1）作图， （2）作图， （3）OP， 故答案为：OP； （4）PH＜CO， ∵垂线段最短， ∴PH＜PO，PO＜OC， ∴PH＜CO． 【考点评析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． 【训练1】（2021春•椒江区校级期中）如图，AC⊥BC，垂足为点C，CD⊥AB，垂足为点D，则点A到BC的距离是线段 　AC　 的长度． 【思路引导】根据点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度，可得答案． 【规范解答】解：AC⊥BC，垂足为点C，CD⊥AB，垂足为点D，则点A到BC的距离是线段AC的长度， 故答案为：AC． 【考点评析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度． 【训练2】（2023春•馆陶县期中）如图，将一块直角三角板COD的直角顶点O放在直线AB上． （1）若线段OC的长是点C到直线AB的距离，则点D在直线AB 　上　 （填“上”或“外”）． （2）比较CD与OD的大小，并说明理由． 【思路引导】（1）由线段OC的长是点C到直线AB的距离，可得OC⊥OB，结合CO⊥OD，从而可得答案； （2）由垂线段最短可得答案． 【规范解答】解：（1）∵线段OC的长是点C到直线AB的距离， ∴OC⊥OB， ∵CO⊥OD， ∴OB，OD重合， ∴则点D在直线AB上． （2）DC＞DO，理由如下： ∵OD⊥OC， ∴D与OC上各点的连线段中，垂线段OD最短． ∴DC＞DO． 【考点评析】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，熟记点到直线的距离的含义是解本题的关键． 重点难点考点讲练07:同位角、内错角、同旁内角 【例题精讲】（2023春•富锦市校级期中）下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路引导】根据垂线、对顶角、平行线的定义、角相互间的关系、点与直线的关系进行判断． 【规范解答】解：①一条直线有无数条垂线，故①错误； ②不相等的两个角一定不是对顶角，故②正确； ③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故③错误； ④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，故④错误； ⑤不在同一直线上的四个点可画4或6条直线，故⑤错误； ⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故⑥正确． 所以错误的有4个． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查：平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要学会区分不同概念之间的联系和区别． 【训练1】（2024春•建始县期中）如图，∠1的内错角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【思路引导】两条直线被第三条直线所截，若两个角都在两被截直线之间，并且在截线的两旁，则这样的一对角叫做内错角． 【规范解答】解：∠1的内错角为：∠4． 故选：C． 【考点评析】本题考查了“三线八角”的识别．注意区分内错角，同位角，同旁内角以及对顶角．同位角是指两个角位于两被截直线的同侧，截线的同旁；同旁内角是指两个角位于两被截直线之间，截线的同旁；而对顶角则只需要两条直线相交即可产生．此题变式：∠1的同位角，同旁内角以及对顶角分别是哪个角． 重点难点考点讲练08:平行线 【例题精讲】（2023春•安乡县期中）如图，下列结论正确的序号是 　②④⑤　 ． ①∠ABC与∠C是同位角； ②∠C与∠ADC是同旁内角； ③∠BDC与∠DBC是内错角； ④∠ABD的内错角是∠BDC； ⑤∠A与∠ABD是由直线AD，BD被直线AB所截得到的同旁内角． 【思路引导】同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．依此即可作出判断． 【规范解答】解：①∠ABC与∠C是同旁内角，该选项说法错误； ②∠C与∠ADC是同旁内角，该选项说法正确； ③∠BDC与∠DBC是同旁内角，该选项说法错误； ④∠ABD的内错角是∠BDC，该选项说法正确； ⑤∠A与∠ABD是由直线AD，BD被直线AB所截得到的同旁内角，该选项说法正确． 故答案为：②④⑤． 【考点评析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成F形，内错角的边构成Z形，同旁内角的边构成U形． 【训练1】（2024春•襄州区期中）如图，直线a，b被直线c所截，下列说法不正确的是（　　） A．∠1和∠5是同位角 B．∠1和∠2是对顶角 C．∠2和∠3是同旁内角 D．∠2和∠4是内错角 【思路引导】根据题意及相关概念逐项判断即可． 【规范解答】解：A．∠1和∠5不是同位角，原说法不正确，此项符合题意； B．∠1和∠2是对顶角，说法正确，此项不符合题意； C．∠2和∠3是同旁内角，说法正确，此项不符合题意； D．∠2和∠4是内错角，说法正确，此项不符合题意． 故选：A． 【考点评析】本题考查同位角，内错角，同旁内角，对顶角的概念．熟练掌握以上知识点是关键． 【训练2】（2022春•汕头期中）下列说法正确的有（　　） ①两点之间的所有连线中，线段最短； ②相等的角叫对顶角； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两点之间的距离是两点间的线段； ⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引导】①根据两点之间线段最短判断． ②对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． ③根据平行公理进行判断． ④根据垂线的性质进行判断． ⑤距离是指的长度． ⑥根据在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系． 【规范解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①说法正确． ②相等的角不一定是对顶角，故②说法错误． ③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误． ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误． ⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤说法错误． ⑥在同一平面内，直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥说法正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查对平行线的定义，两点间的距离，相交线等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键． 重点难点考点讲练09:平行线公理及推论 【例题精讲】（2024春•雁塔区校级期中）下列说法中正确的是（　　） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交 【思路引导】根据平行公理，垂线的性质，点到直线的距离以及相交线的概念分别判断即可． 【规范解答】解：A、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不合题意； B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； C、从直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，故错误，不合题意； D、如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，有可能平行，故错误，不合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查了平行公理，垂线的性质，点到直线的距离以及相交线，熟练掌握相关基本知识方能正确选择． 【训练1】（2022春•兴城市校级期中）如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上． 理由是：　过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行　 ． 【思路引导】根据平行线公理的推理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得出答案． 【规范解答】解：∵PC∥AB，QC∥AB， ∵PC和CQ都过点C， ∴P、C、Q在一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【考点评析】本题考查了平行公理及推理的应用，能熟练地运用公理进行说理是解此题的关键，题型较好，难度适中． 【训练2】（2024春•上城区校级期中）下列说法正确的有（　　） ①同位角相等； ②两点之间的所有连线中，线段最短； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④两点之间的距离是两点间的线段； ⑤已知同一平面内∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝100°． A．② B．②③ C．②③④ D．②③⑤ 【思路引导】依据平行线的性质，线段的性质以及平行公理进行判断即可． 【规范解答】解：①同位角不一定相等，故①错误； ②两点之间的所有连线中，线段最短，正确； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误； ④两点之间的距离是两点间的线段的长度，错误； ⑤已知同一平面内∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝100°或40°，错误． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质以及线段的性质，解题时注意：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 重点难点考点讲练10:平行线的判定 【例题精讲】（2023春•东台市期中）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（　　） A．∠2＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠4 D．∠1+∠5＝180° 【思路引导】根据平行线的判定方法一一判断即可． 【规范解答】解：∵∠2＝∠5， ∴a∥b， ∵∠4＝∠5， ∴a∥b， ∵∠1+∠5＝180°， ∴a∥b， 故选：B． 【考点评析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【训练1】（2021春•甘州区校级期中）已知：如图，要得到AB∥CD，则需要的条件　∠EAD＝∠ADC（答案不唯一）　 （填一个你认为正确的条件即可） 【思路引导】根据平行线的判定方法解答即可． 【规范解答】解：添加∠EAD＝∠ADC，利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD； 故答案为：∠EAD＝∠ADC（答案不唯一）． 【考点评析】考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．本题属于开放性试题，答案不唯一． 【训练2】（2024春•武侯区校级期中）如图，∵AC⊥AB，BD⊥AB（已知） ∴∠CAB＝90°，∠　DBA　 ＝90°　（垂直定义）　 ∴∠CAB＝∠　ABD　 ∵∠CAE＝∠DBF（已知） ∴∠BAE＝∠　ABF　 ∴　AE　 ∥　BF　 ． 【思路引导】首先根据垂直定义可得∠CAB＝90°，∠DBA＝90°，再根据等式的性质可得∠BAE＝∠ABF，根据内错角相等两直线平行可得AE∥BF． 【规范解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB（已知）， ∴∠CAB＝90°，∠DBA＝90°（垂直定义）， ∴∠CAB＝∠ABD， ∵∠CAE＝∠DBF（已知） ∴∠BAE＝∠ABF， ∴AE∥BF． 【考点评析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理：内错角相等两直线平行． 重点难点考点讲练11:平行线的性质 【例题精讲】（2024春•鄂尔多斯期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引导】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【规范解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝40°错误；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选：A． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高． 【训练1】（2024春•成都期中）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°． （1）试说明：∠BAG＝∠BGA； （2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD． （3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值． 【思路引导】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明． （2）根据三角形外角的性质可证明结论； （3）有两种情况： ①当M在BP的下方时，如图5，设∠ABC＝4x，先根据已知计算∠ABP＝3x，∠PBG＝x，根据平行线的性质得：∠BCH＝∠AGB＝90°﹣2x，根据角的和与差计算∠ABM，∠GBM的度数，可得结论； ②当M在BP的上方时，如图6，同理可得结论． 【规范解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠GAD＝∠BGA， ∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG＝∠GAD ∴∠BAG＝∠BGA； （2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF， ∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF， ∵∠BAG＝∠BGA， ∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF， ∵∠BAG﹣∠F＝45°， ∴∠BCF＝45°， ∵∠BCD＝90°， ∴CF平分∠BCD； （3）解：有两种情况： ①当M在BP的下方时，如图5， 设∠ABC＝4x， ∵∠ABP＝3∠PBG， ∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x， ∵AG∥CH， ∴∠BCH＝∠AGB90°﹣2x， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x， ∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x， ∠GBM＝2x﹣x＝x， ∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5； ②当M在BP的上方时，如图6， 同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x， ∠GBM＝2x+x＝3x， ∴∠ABM：∠GBM＝x：3x． 综上，的值是5或． 【考点评析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的判定与性质及角的和与差，注意分类讨论思想的运用，本题容易丢解，要注意审题． 【训练2】（2024春•海珠区校级期中）已知，如图，AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N，点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MB，ND上，连接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE． （1）如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数； （2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若∠APE＝46°，∠MND＝68°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H，将MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒4°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时将△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒11°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当MN首次与CD重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t（t≥0）秒后，M′N恰好平行于△F′PH′的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【思路引导】（1）延长PE交CD于G，根据平行线的性质可得∠APE＝∠PGQ，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）参考（1）的解答，根据角平分线性质、平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先计算出t的取值范围，用t表示出∠MND的大小，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义，用t表示出△FPH三边与AB的夹角，当夹角相等时，两直线平行，据此解答． 【规范解答】解：（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，如图： 设∠APE＝2α，则∠FPH∠APE＝α， ∵AB∥CD， ∴∠PGQ＝∠APE＝2α， ∵PE⊥QE， ∴∠QEH＝QEG＝90°， ∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝90°+2α， ∴∠EQH∠EQD＝45°+α 在△EQH和△PFH中， ∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ， ∴∠HEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH， 即：90°+45°+α＝α+∠PFH， ∴∠PFH＝135°； （2）2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°， 理由如下：延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，如图： 设∠APE＝2α，则∠FPH∠APE＝α， ∵AB∥CD， ∴∠PGQ＝∠APE＝2α， ∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ， ∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α， ∴∠HQE∠EQD＝90°+α∠PEQ， 在△EQH 和△PFH 中， ∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ， ∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH， 即：∠PEQ+90°+α∠PEQ＝α+∠PFQ， ∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°； （3）∵∠MND＝68°， ∴tmax17， ∴∠MND＝68°﹣4t， ∵∠APE＝46°，PF是∠APE的平分线， ∴∠APF＝23°， ∴∠BPF＝180°﹣23°＝157°， ∴转动过程中，∠BPF， 由（1）知，∠QFP＝135°， ∴∠HFP＝45°， ∵PH⊥FH， ∴∠PHF＝45°， ∴∠HPM＝45°﹣23°＝22°， ∴∠HPB＝180°﹣22°＝158°， ∴在转动过程中，∠HPB， 设QH所在直线与射线PB的夹角为α， ∴α＝90°﹣∠HPA＝68°， ∴在转动过程中，α， ①当MN∥PF时， （i）当0≤t时，此时，F在AB下方， ∴∠MND+∠BPF＝180°， 即，68°﹣4t+157°﹣11t＝180°， 解得：t＝3， （ii）当t≤17时，此时，F在AB上方， ∴∠MND＝∠BPF， 即，68°﹣4t＝11t﹣157°， 解得：t＝15， ②当MN∥HP时， （i）当0≤t＜2时，此时，H在AB上方， ∴∠MND＝∠HPB， 即，68°﹣4t＝158°+11t， 解得：t＝﹣6，舍去， （ii）当2≤t≤17时，此时，H在AB下方， ∴∠MND+∠HPB＝180°， 即，68°﹣4t+202°﹣11t＝180°， 解得：t＝6， ③当MN∥FH时， （i）当0≤t时，∠MND＝α， 即，68°﹣4t＝68°+11t， 解得：t＝0， （ii）当t≤17时，∠MND+α＝180°， 即，68°﹣4t+292°﹣11t＝180°， 解得：t＝12， 综上所述，t＝0或3或6或12或15． 【考点评析】本题主要考查了平行线的综合题，正确理解旋转的性质、平行线的性质是本题解题的关键． 重点难点考点讲练12:平行线的判定与性质 【例题精讲】（2022春•海陵区期中）如图，已知CD平分∠ACB，∠1＝∠2． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠3＝30°，∠B＝25°，求∠BDE的度数． 【思路引导】（1）先根据角平分线的定义得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2可得出∠1＝∠3，进而可得出结论； （2）根据∠3＝30°可得出∠ACB的度数，再由平行线的性质得出∠BED的度数，由三角形内角和定理即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠2＝∠3． ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴DE∥AC； （2）解：∵CD平分∠ACB，∠3＝30°， ∴∠ACB＝2∠3＝60°． ∵DE∥AC， ∴∠BED＝∠ACB＝60°． ∵∠B＝25°， ∴∠BDE＝180°﹣60°﹣25°＝95°． 【考点评析】本题考查的是平行线的判定与性质，涉及到角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，难度适中． 【训练1】（2024春•乾安县期中）探究题 已知：如图1，AB∥CD，CD∥EF． 求证：∠B+∠BDF+∠F＝360°． 老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ （1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小额用到的平行线性质可能是　两直线平行同旁内角互补　 ． （2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB、EF，然后在平行线间画了一点D，连接BD，DF后，用鼠标拖动点D，分别得到了图①②③，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和③中的∠B、∠BDF与∠F之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图①中∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系并加以证明： ②补全图③，直接写出∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系：　∠F＝∠D+∠B　 ． （3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图2所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝　120°　 ． 【思路引导】（1）利用平行线的性质证明即可． （2）①结论：∠BDF＝∠B+∠F．如图①中，作DK∥AB．利用平行线的性质证明即可． ②如图③中，结论：∠F＝∠D+∠B．（答案不唯一）．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质证明即可． （3）利用图1中的结论，计算即可． 【规范解答】（1）证明：如图1中， ∵AB∥EF，CD∥EF， ∴CD∥EF， ∴∠B+∠CDB＝180°，∠F+∠CDF＝180°（两直线平行同旁内角互补）， ∴∠B+∠CDB+∠CDF+∠F＝360°， ∴∠B+∠BDF+∠F＝360°， 故答案为：两直线平行同旁内角互补． （2）解：①结论：∠BDF＝∠B+∠F． 理由：如图①中，作DK∥AB． ∵AB∥DK，AB∥EF， ∴DK∥EF， ∴∠B＝∠BDK，∠F＝∠FDK， ∴∠BDF＝∠BDK+∠FDK＝∠B+∠F． ②如图③中，结论：∠F＝∠D+∠B．（答案不唯一）． 理由：∵AB∥EF， ∴∠1＝∠F， ∵∠1＝∠B+∠D， ∴∠F＝∠D+∠B． 故答案为∠F＝∠D+∠F． （3）解：如图2中， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∵∠ABC+∠BAE+∠BCD＝360°，∠BCD＝150°， ∴∠ABC＝360°﹣240°＝120°， 故答案为120°． 【考点评析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 【训练2】（2024春•海沧区校级期中）如图，点E在BC的延长线上，已知AD∥BE，∠B＝∠D． （1）求证：AB∥CD； （2）连接AE，若∠DAE和∠DCE的平分线相交于点F，如图所示，试探究∠BAE与∠AFC之间的数量关系，并说明理由． 【思路引导】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论； （2）过点F作FG∥AD，可得FG∥AD∥BE，设∠DAF＝∠FAE＝x，∠FCD＝∠FCE＝y，∠BAE＝α，∠AFC＝β，可得β＝x+y，再根据平行线的性质可得α+2x+2y＝180°，α+2β＝180°，进而可得结论． 【规范解答】（1）证明：∵AD∥BE， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD； （2）解：∠BAE+2∠AFC＝180°，理由如下： 过点F作FG∥AD， ∵AD∥BE， ∴FG∥AD∥BE， ∴∠AFG＝∠FAE，∠CFG＝∠FCD， ∴∠AFC＝∠FAE+∠FCD， ∵∠DAE和∠DCE的平分线相交于点F， ∴∠DAF＝∠FAE，∠FCD＝∠FCE， 设∠DAF＝∠FAE＝x，∠FCD＝∠FCE＝y，∠BAE＝α，∠AFC＝β， ∴β＝x+y， ∵AD∥BE， ∴∠D＝∠DCE＝2y， ∵AB∥DC， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴∠BAE+∠DAE+∠D＝180°， ∴α+2x+2y＝180°， ∴α+2β＝180°， ∴∠BAE+2∠AFC＝180°． 【考点评析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 重点难点考点讲练13:平行线之间的距离 【例题精讲】（2023春•咸宁期中）如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝60°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求a与b的距离． 【思路引导】（1）依据直线a∥b，AC⊥AB，即可得到∠2＝90°﹣∠3＝30°； （2）过A作AD⊥BC于D，依据AB×ACBC×AD，即可得到AD． 【规范解答】解：（1）∵直线a∥b， ∴∠3＝∠1＝60°， 又∵AC⊥AB， ∴∠2＝90°﹣∠3＝30°； （2）如图，过A作AD⊥BC于D，则AD的长即为a与b之间的距离． ∵AC⊥AB， ∴AB×ACBC×AD， ∴AD， ∴a与b的距离为． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 【训练1】（2024春•宣化区期中）如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积（　　） A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定 【思路引导】根据平行线间的距离处处相等可得点P到CD的距离不变，因此三角形的面积不变． 【规范解答】解：∵直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点， ∴无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变， ∴△PCD的底不变，高不变，面积也不变， 故选：C． 【考点评析】本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键． 【训练2】（2023春•古冶区期中）已知直线a∥b，点M到直线a的距离是3cm，到直线b的距离是5cm，那么直线a和直线b之间的距离为 　2cm或8cm　 ． 【思路引导】点M的位置不确定，可分情况讨论． （1）点M在直线b的下方，直线a和直线b之间的距离为5cm﹣3cm＝2cm， （2）点M在直线a、b的之间，直线a和直线b之间的距离为5cm+3cm＝8cm． 【规范解答】解：当M在b下方时，距离为5﹣3＝2（cm）； 当M在a、b之间时，距离为5+3＝8（cm）． 故答案为：2cm或8cm． 【考点评析】本题需注意点M的位置不确定，解答本题的关键是注意分情况讨论． 重点难点考点讲练14:猪脚模型（相交线与平行线的解题模型） 【例题精讲】（2024春•十堰期中）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【思路引导】过点F作FP∥AB，HQ∥AB，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案． 【规范解答】解：∵∠FMA＝∠FGC ∴AB∥CD ∴①正确； 过点F作FP∥AB，HQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴FP∥AB∥HQ∥CD， 设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y ∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y， ∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣2y）＝3x+3y﹣180°， ∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°， ∴∠EHG≠2∠EFM ∴②错误； ∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°， ∴③错误； ∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①④． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查平行线的拐点模型，能识别出模型并作出辅助线是解题的关键． 【训练1】（2024春•西城区校级期中）如图，直线AB∥CD，M、N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连接HM，HN，延长HN至点G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．若∠H＝α，则∠MEN可以用含α的式子可以表示为（　　） A． B．180°﹣α C． D．90°+α 【思路引导】设CD与MH相交于点Q，过点E作EP∥AB，先利用角平分线的定义可得：∠BMD∠BMH，∠DNE∠GND，然后利用猪脚模型可得：∠MEN＝∠BMD+∠DNE（∠BMH+∠GND），再利用平行线的性质可得∠BMH＝∠DQH，最后利用三角形的外角性质可得∠H＝∠DQH﹣∠DNH，从而可得∠H＝∠BMH﹣180°+∠GND，进而可得∠BMH+∠GND＝180°+α，再进行计算即可解答． 【规范解答】解：设CD与MH相交于点Q，过点E作EP∥AB， ∴∠BMD＝∠MEP， ∵AB∥CD， ∴EP∥CD， ∴∠PEN＝∠DNE， ∵MD平分∠BMH，NE平分∠GND， ∴∠BMD∠BMH，∠DNE∠GND， ∴∠MEN＝∠MEP+∠PEN ＝∠BMD+∠DNE ∠BMH∠GND （∠BMH+∠GND）， ∵AB∥CD， ∴∠BMH＝∠DQH， ∵∠DQH是△NQH的一个外角， ∴∠H＝∠DQH﹣∠DNH， ∴∠H＝∠BMH﹣（180°﹣∠GND）＝∠BMH﹣180°+∠GND， ∵∠H＝α， ∴∠BMH+∠GND＝180°+∠H＝180°+α， ∴∠MEN（∠BMH+∠GND）＝90°， 故选：C． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【训练2】（2024春•河池期中）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图（1），已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、∠D之间的关系． 解：过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∵∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠BED＝∠B+∠D． 【学以致用】 （1）当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝　65　 °． （2）①如图（2），已知AB∥CD，若∠A＝135°，∠C＝130°，求出∠AEC的度数． ②如图（3），在①的条件下，若AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度数． 【思路引导】（1）因为∠BED＝∠B+∠D，所以当当∠B＝30°，∠D＝35°时，∠BED＝65°； （2）①如图所示过点E作EF//AB，利用平行线的定理和推论可知∠AEC＝∠AEF+∠CEF，最后计算出∠AEC的度数； ②已知AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，所以可以推导出∠BAF和∠DCF的度数，利用（1）的结论可知∠AFC的度数． 【规范解答】解：（1）∵∠BED＝∠B+∠D， 又∵∠B＝30°，∠D＝35°， ∴∠BED＝65°， 故答案为：65°； （2）①过点E作EF//AB，如图： ∵EF//AB，AB//CD， ∴EF//AB//CD， ∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°， 又∵∠A＝135°，∠C＝130°， ∴∠AEF＝180°﹣135°＝45°，∠CEF＝180°﹣130°＝50°， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝45°+50°＝95°， 答：∠AEC的度为95°； ②∵∠BAE＝135°，AF平分∠BAE， ∴， ∵∠DCE＝130°，CF平分∠DCE， ∴∠DCF＝65°， 由（1）问可知：∠AFC＝∠BAF+∠FCD＝67.5°+65°＝132.5°， 答：∠AFC的度数为：132.5°． 【考点评析】本题考查的重点是平行线的性质和角度的计算，可以利用猪蹄模型和铅笔模型的解题思路，很容易得出计算结果． 重点难点考点讲练15:铅笔模型（相交线与平行线的解题模型） 【例题精讲】（2024春•荣成市期中）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝360°； ②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C； ③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1； ④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°． 以上结论正确的是（　　） A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②④ 【思路引导】①过点E作EF∥AB，根据铅笔模型即可解答；②设CD与AP交于点E，先利用平行线的性质可得∠A＝∠DEP，再利用三角形的外角性质可得∠DEP＝∠C+∠P，从而可得∠A＝∠C+∠P；③利用铅笔模型，即可解答；④利用平行线的性质可得∠α+∠BOE＝180°，∠γ＝∠COE，再根据∠BOE＝∠γ﹣∠β，然后利用等量代换可得∠α+∠γ﹣∠β＝180°；逐一判断即可解答． 【规范解答】解：①过点E作EF∥AB， ∴∠A+∠1＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C＝360°， 故①正确； ②如图：设CD与AP交于点E， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DEP， ∵∠DEP是△CEP的一个外角， ∴∠DEP＝∠C+∠P， ∴∠A＝∠C+∠P， ∴∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③由①可得：∠A+∠E+∠ECD＝360°， ∵∠ECD＝180°﹣∠1， ∴∠A+∠E+180°﹣∠1＝360°， ∴∠A+∠E﹣∠1＝180°， 故③不正确； ④∵AB∥EF， ∴∠α+∠BOE＝180°， ∵CD∥EF， ∴∠γ＝∠COE， ∴∠BOE＝∠COE﹣∠β＝∠γ﹣∠β， ∴∠α+∠γ﹣∠β＝180°， 故④正确； 所以，以上结论正确的是①②④， 故选：C． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【训练1】（2024春•广汉市期中）将一副三角板如图1所示摆放，∠BAC＝30°，∠E＝45°，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒3°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当0≤t≤120时，若边BC与三角板DEF的一条直角边（边DE，DF）平行，则所有满足条件的t的值为 　15或105或60　 ． 【思路引导】先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可． 【规范解答】解：由题意得：∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝3t°， （1）当BC∥DE时， 如图所示：延长AC交MN于点P， ①DE在MN上方， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDM＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠FDM＝∠HAC， 即3t＝t+30，t＝15； ②DE1 在MN下方时，∠F1DP＝（3t﹣180）°， ∵DE1∥BC，DE1⊥DF1，AC⊥BC， ∴AP∥DF1， ∴∠F1 DM＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠F1DM＝∠HAC， 即3t﹣180＝t+30， 解之得：t＝105； 如图：当BC∥DF时， 延长AC交MN于点I， ①DF在MN上方，∠FDN＝（180﹣3t）度， ∵DF∥BC，AC⊥BC， ∴AI∥DE， ∴∠FDN+∠MIA＝90°， ∵MN∥GH， ∴∠MIA＝∠HAC， ∴∠FDN+∠HAC＝90°， 即180﹣3t+t+30＝90，解之得：t＝60； ②DF在MN下方，∠F2DN＝（3t﹣180）度， ∵DF2∥BC，AC⊥BC，ED2⊥DF2， ∴AC∥DE2， ∴∠AIM＝∠MDE2， ∵MN∥GH， ∴∠MIA＝∠HAC， ∴∠E2DM＝∠HAC， 即3t﹣270＝t+30，解之得：t＝150（舍去）， 综上可知：所有满足条件的t的值为：15或105或60， 故答案为：15或105或60． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是根据题意，画出旋转后的图形． 【训练2】（2024春•青羊区校级期中）如图1，一副直角三角板如图放置（∠PFE＝∠GHQ＝90°，∠HGQ＝30°，∠PEF＝45°），且直角边GH和EF所在的直线AB、CD互相平行，点G、P、Q在同一直线上． （1）∠GPF的度数是 　120°　 ； （2）如图2，将三角板PFE以每秒40°的速度绕点P按逆时针方向旋转，当PF垂直AB时，立刻按原速返回；同时三角板GHQ以每秒15°的速度绕点G按逆时针方向旋转，设运动时间为t秒（0＜t＜9）．当GQ⊥PF时，求t的值． 【思路引导】（1）由HQ∥PF得∠QPE＝∠Q＝60°，故∠GPF＝180°﹣∠Q＝120°． （2）①如图，设GQ旋转后为GQ'，PF旋转后为PF'．则∠QGQ'＝15t，∠FPF'＝40t，∠GPF'＝90°，利用铅笔型∠PRN＝∠AGQ'＝∠AGQ+∠QGQ'＝30+15t，由利用三角形外角计算即可． ②如图，设GQ旋转后为GQ'，PF旋转后为PF'，且PF旋转大于180°到PF'处．得∴∠F'PF＝40t﹣180°，∠AGQ'＝30°+15t，再利用三角形外角计算即可． 【规范解答】解：（1）∵HQ∥PF， ∴∠QPE＝∠Q＝60°， ∴∠GPF＝180°﹣∠Q＝120°． （2）①如图，设GQ旋转后为GQ'，PF逆时针旋转（小于180°）后为PF'时．GQ′⊥PF′． 则∠QGQ'＝15t，∠FPF'＝40t，∠GPF'＝90°， ∵PF⊥CD， ∴∠PNM＝90﹣40t， ∵AB∥CD， ∴∠PRN＝∠AGQ'＝∠AGQ+∠QGQ'＝30+15t， 由三角形外角∠GPF'＝∠PRN+∠PNM得： 90°＝30+15t+90﹣40t， ∴t＝1.2（秒） ②如图，设GQ旋转后为GQ'，PF 逆时针旋转180°到PK后，立刻按原速返回到到PF'时．GQ′⊥PF′．延长MP交AB于K． ∴∠F'PF＝40t﹣180°，∠AGQ'＝30°+15t， ∵GQ'⊥PF'， ∴∠GPF′＝90°， ∴∠GF′P＝∠AGP﹣∠GPF′＝30°+15t﹣90°＝15t﹣60°， ∵∠MPF′+∠PKF′+∠GF′P＝180°， ∴40t﹣180°+90°+15t﹣60°＝180°， ∵t＝6（秒）， 答：t的值为1.2秒或6秒． 【考点评析】本题考查了平行线的知识，掌握平行线的性质是解题关键． 重点难点考点讲练16:锯齿模型（相交线与平行线的解题模型） 【例题精讲】（2024春•长垣市校级期中）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　∠EAB　 ，∠C＝　∠DAC　 ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　180°　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 【思路引导】（1）过点A作ED∥BC，从而利用平行线的性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，再根据平角定义可得∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，然后利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即可解答； （2）过点E作EF∥AB，从而利用平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠B，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得EF∥CD，然后利用平行线的性质可得∠FEC＝∠C，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作PE∥CD，从而利用平行线的性质可得∠D＝∠DPE，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥PE，然后利用平行线的性质可得∠B＝∠BPE，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB；∠DAC；180°； （2）过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC＝∠C， ∵∠BEC＝80°， ∴∠BEF+∠FEC＝80°， ∴180°﹣∠B+∠C＝80°， ∴∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D， 理由：过点P作PE∥CD， ∴∠D＝∠DPE， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE， ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【训练1】（2024春•息县期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝60°． （1）【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1＝55°，则∠2＝　35　 °； （2）【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1＝5∠CBD（∠CBD＜60°），请直接写出射线BA与直线a所夹锐角的度数． 【思路引导】（1）过点C作直线a的平行线CD，根据平行线的性质可得∠1+∠2＝90°，从而可得∠1＝35°； （2）过点B作直线a的平行线BE，根据平行线的性质可得∠2＝180°﹣∠ABE，∠CBE＝∠1，由已知∠ABC＝60°，故∠ABE＝60°﹣∠1，从而有∠2＝180°﹣（60°﹣∠1）＝120°+∠1； （3）根据点A始终在直线BD的上方可知，分两种情况：①边BC在直线BD上方时，∠CBD+∠1+∠ABC＝180°，从而可得∠CBD＝20°，射线BA与直线所夹锐角的度数为80°，②边BC再直线BD的下方，此时∠1+∠ABC﹣∠CBD＝180°，从而可得∠CBD＝30°，射线BA与直线所夹锐角的度数为30°． 【规范解答】解：（1）如题1，过点C作直线a的平行线CF， ∵a∥b， ∴CF∥a∥b， ∴∠2＝∠ACF，∠1＝∠BCF， ∵∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝35°， 故答案为：35°； （2）∠1与∠2间的数量关系为∠2＝120°+∠1，理由如下： 如图2，过点B作直线a的平行线BE， ∵a∥b， ∴BE∥a∥b， ∴∠2+∠ABE＝180°，∠1＝∠CBE， ∵∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝60°， ∴∠2+60°﹣∠1＝180°， 即∠2＝120°+∠1； （3）由题意可知，分两种情况： ①当边BC在直线BD上方时，如图3， 射线BA与直线所夹锐角为∠2， ∵∠1+∠ABC+∠CBD＝180°， ∠1＝5∠CBD， ∴6∠CBD＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠CBD＝20°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝80°， 即射线BA与直线所夹锐角的度数为80°， ②当边BC再直线BD的下方时，如图4， 射线BA与直线所夹锐角为∠2， ∵∠1+∠ABD＝180°，∠1＝5∠CBD， ∴5∠CBD+∠ABD＝180°， ∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝60°， ∴∠CBD＝30°， ∴∠ABD＝30°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠ABD＝30°， 即射线BA与直线所夹锐角的度数为30°， 综上所述，射线BA与直线所夹锐角的度数为80°或30°.. 【考点评析】本题考查了平行线的性质以及平行线的拉皮筋模型中构造辅助线的方法，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 【训练2】（2024春•绥中县期中）如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，AB，BC分别为入射光线和反射光线，则∠ABE＝∠CBF．请继续以下探究： （1）探究反射规律 ①如图3，∠ABE＝α，∠BFC＝105°，则∠DCG＝　75°﹣α　 （用含α的代数式表示）． ②若光线AB∥CD，判断EF与FG的位置关系，并说明理由． （2）模拟应用研究 在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点D会高于反射点C（如图4），因此小亮认为反射光线CD应与水平视线DH成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线AB∥DH，当CD与DH所成夹角为15°时，求∠BFC的度数． 【思路引导】（1）①根据∠DCG＝∠BCF＝180°﹣∠EFC﹣∠CBF，即可得出结果； ②先求出∠ABC＝180°﹣2∠CBF，∠DCB＝180°﹣2∠BCF，再根据AB∥CD，可得∠ABC+∠DCB＝180°，即180°﹣2∠CBF+180°﹣2∠BCF＝180°，得出∠CBF+∠BCF＝90°，可求出∠BFC＝90°，即可； （2）延长BC交DH于点M，根据∠MDC+∠M+∠MCD＝180°，得出∠M+∠MCD＝180°﹣∠MDC＝165°，又因为MD∥AB，得出∠M+∠MBA＝180°，根据∠MCD+∠DCB＝180°，求出∠DCB+∠CBA＝180°﹣∠MCD+180°﹣∠M＝360°﹣165°＝195°，则∠FCB+∠CBF（360°﹣∠DCB﹣∠CBA）＝82.5°，∠BFC＝180°﹣∠FCB﹣∠CBF＝97.5°． 【规范解答】解：（1）①∵∠ABE＝∠CBF＝α，∠BFC＝105°， ∴∠DCG＝∠BCF＝180°﹣105°﹣α＝75°﹣α， 故答案为：75°﹣α； ②EF⊥FG，理由如下： ∵∠ABE+∠ABC+∠CBF＝180°，∠ABE＝∠CBF＝α， ∴∠ABC＝180°﹣2∠CBF， 同理，∠DCB＝180°﹣2∠BCF， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB＝180°， 即180°﹣2∠CBF+180°﹣2∠BCF＝180°， ∴∠CBF+∠BCF＝90°， ∴∠BFC＝180°﹣90°﹣90°， ∴EF⊥FG； （2）延长BC交DH于点M， ∵∠MDC+∠M+∠MCD＝180°， ∴∠M+∠MCD＝180°﹣∠MDC＝165°， ∵MD∥AB， ∴∠M+∠MBA＝180°， ∵∠MCD+∠DCB＝180°， ∴∠DCB+∠CBA＝180°﹣∠MCD+180°﹣∠M＝360°﹣165°＝195°， ∴∠FCB+∠CBF（360°﹣∠DCB﹣∠CBA）＝82.5°， ∴∠BFC＝180°﹣∠FCB﹣∠CBF＝97.5°． 【考点评析】本题考查的是列代数式，图形的变化规律和平行线的性质，熟练掌握上述知识点并找出题目中各角的关系是解题的关键． 1．（2024春•驿城区期中）如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，已知∠ABE＝∠FBM，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．85° 【思路引导】根据BM⊥CD，得∠CBM＝90°，所以∠ABE+∠FBM＝40°，再根据∠ABE＝∠FBM，得∠ABE＝∠FBM＝20°，即可得∠EBC＝20°+50°＝70°． 【规范解答】解：∵BM⊥CD， ∴∠CBM＝90°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°， ∵∠ABE＝∠FBM， ∴∠ABE＝∠FBM＝20°， ∴∠EBC＝20°+50°＝70°． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识． 2．（2024春•立山区期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF所在直线折叠，点D，C分别落在点M，N处，EM与BC交于点C，若∠EFG＝40°，则∠BGE的度数是（　　） A．100° B．80° C．40° D．120° 【思路引导】根据平行线的性质得∠DEF＝∠EFG＝40°，∠BGE＝∠DEG，再根据折叠的性质得∠DEF＝∠GEF＝40°，则∠DEG＝80°，于是得到∠BGE＝80°． 【规范解答】解：根据题意得：AD∥BC， ∵∠EFG＝40°， ∴∠DEF＝∠EFG＝40°，∠BGE＝∠DEG， 由折叠的性质得∠DEF＝∠GEF＝40°， ∴∠BGE＝∠DEG＝∠DEF+∠GEF＝80°， 故选：B． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 3．（2024春•鼓楼区校级期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝130°，∠3＝102°，则∠4的度数为（　　） A．57° B．54° C．52° D．51° 【思路引导】光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，依据平行线的性质进行判断，即可得解． 【规范解答】解：如图， ∵AC∥BD， ∴∠5＝∠3＝102°， ∵AB∥CD， ∴∠5+∠2＝180°， ∴∠2＝78°， ∵∠1+∠2＝130°， ∴∠1＝52°， ∵AE∥BF， ∴∠6＝∠1＝52°， ∵AB∥EF， ∴∠4＝∠6＝52°， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了平行线的判定，关键是平行线判定定理的应用． 4．（2024秋•滨海新区校级期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，A′B′与BC交于点G，若∠A′GC＝60°，则∠BFE的度数为 　105°　 ． 【思路引导】把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，即可得到∠BFE＝∠EFB'，∠B'＝∠B＝90°，再根据∠CFB'＝30°，可得∠BFE＝∠EFB'＝105°． 【规范解答】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处， ∴∠BFE＝∠EFB'，∠B'＝∠B＝90°， ∵∠A'GC＝60°＝∠FGB'， ∴∠CFB'＝30°， ∴∠BFE＝∠EFB'（180°+30°）＝105°， 故答案为：105°． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 5．（2024春•中山区校级期中）如图所示，直线AB∥CD，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝174°，则∠FME的度数是 　116°　 ． 【思路引导】设∠FMB＝α，∠END＝β，根据角平分线的定义得∠FMB＝∠BME＝α，∠END＝∠FNE＝β，∠FME＝2α，∠FND＝2β，再根据EP∥AB∥CD得∠FHB＝∠FND＝2β，∠MEP＝∠BME＝α，∠PEN＝∠END＝β，由此可得∠MEN＝α+β，∠F＝α﹣2β，然后根据2∠MEN+∠F＝174°可求出α＝58°，据此即可求出∠FME的度数． 【规范解答】解：设NF交AB于点H，过E作EP∥AB，如图： 设∠FMB＝α，∠END＝β， ∵NE平分∠FND，MB平分∠FME， ∴∠FMB＝∠BME＝α，∠END＝∠FNE＝β， ∴∠FME＝2α，∠FND＝2β， ∵AB∥CD，EP∥AB， ∴EP∥AB∥CD， ∴∠FHB＝∠FND＝2β，∠MEP＝∠BME＝α，∠PEN＝∠END＝β， ∴∠MEN＝∠MEP+∠PEN＝α+β， 又∵∠FMB＝∠F+∠FHB， ∴∠F＝∠FMB﹣∠FHB＝α﹣2β， ∵2∠MEN+∠F＝174°， ∴2（α+β）+α﹣2β＝174°， ∴α＝58°， ∴∠FME＝2α＝116°． 故答案为：116°． 【考点评析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解答此题的关键． 6．（2024春•张店区校级期中）如图，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为 E3，…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．若∠En＝1°，那∠BEC等于 　2n　 °． 【思路引导】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B＝∠1，∠C＝∠2，进而得到∠BEC＝∠ABE+∠DCE；先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC；同理可得∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C∠BEC；…据此得到规律∠En∠BEC，最后求得∠BEC的度数． 【规范解答】解：如图①，过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠B＝∠1，∠C＝∠2， ∵∠BEC＝∠1+∠2， ∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE； 如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1， ∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC． ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2， ∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC； 如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3， ∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3∠ABE2∠DCE2∠CE2B∠BEC； … 以此类推，∠En∠BEC． ∴当∠En＝1°时，∠BEC等于（2n）°． 故答案为：2n． 【考点评析】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质，掌握两直线平行，内错角相等，作平行线构造内错角是解题的关键． 7．（2017春•龙口市校级期中）完成下面的证明： 已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°． 求证：AB∥CD． 证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（　角平分线的定义　 ）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝　2∠2　 （角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（　等式的性质　 ）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝　180°　 （　等量代换　 ）． ∴AB∥CD（　同旁内角互补两直线平行　 ）． 【思路引导】首先根据角平分线的定义可得∠BDC＝2∠1，∠ABD＝2∠2，根据等量代换可得∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2），进而得到∠ABD+∠BDC＝180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【规范解答】证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（ 角平分线的定义）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝2∠2（角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 等式的性质）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 等量代换）． ∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）． 【考点评析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法． 8．（2024春•宁津县期中）【学科融合】 物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【理解运用】 （1）如图1，展示了光线反射定律，EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2．则∠1 　＝　 ∠2（填“＞”“＜“或“＝“）； 【尝试探究】 （2）学完光的反射定律，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图2，AB、CD是平行放置的两面平面镜，入射光线EF经过两次反射后，得到的反射光线GH，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，请问进人潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH是否平行，说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，AB、BC是两平面镜，入射光线FE经过两次反射后，反射光线GH与入射光线EF平行但方向相反已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠2+∠3的度数． 【思路引导】[理解运用]由题意知，∠EFA＝∠EFB＝90°，由∠EFA＝θ1+∠1，∠EFB＝θ2+∠2，θ1＝θ2，可求∠1＝∠2； [尝试探究]由题意知，AB∥CD，则∠2＝∠3，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，由题意知，∠EFG＝180°﹣∠1﹣∠2，∠FGH＝180°﹣∠3﹣∠4，可得∠EFG＝∠FGH，进而可证EF∥GH； [拓展应用]由EF∥GH，可得∠EFG+∠EGH＝180°，由∠FEG＝180°﹣∠1﹣∠2，∠EGH＝180°﹣∠3﹣∠4，可得180°﹣∠1﹣∠2+180°﹣∠3﹣∠4＝180°，进而可求∠2+∠3＝90°． 【规范解答】解：[理解运用]解：由题意知，∠EFA＝∠EFB＝90°， ∵∠EFA＝θ1+∠1，∠EFB＝θ2+∠2，θ1＝θ2， ∴∠1＝∠2， 故答案为：＝； [尝试探究]解：平行，理由如下； 由题意知，AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 由题意知，∠EFG＝180°﹣∠1﹣∠2，∠FGH＝180°﹣∠3﹣∠4， ∴∠EFG＝∠FGH， ∴EF∥GH； [拓展应用]解：∵EF∥GH， ∴∠EFG+∠EGH＝180°， ∵∠FEG＝180°﹣∠1﹣∠2，∠EGH＝180°﹣∠3﹣∠4， ∴180°﹣∠1﹣∠2+180°﹣∠3﹣∠4＝180°， 整理得，∠2+∠3＝90°， ∴∠2+∠3的度数为90°． 【考点评析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 9．（2022春•嵊州市期中）如图1，已知直线l1∥l2，l3和l1、l2分别相交于A、B两点，l4和l1、l2分别交于C、D两点，∠ACP＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3．点P在线段AB上． （1）若∠1＝22°，∠2＝33°，则∠3＝　55°　 ． （2）试找出∠1、∠2、∠3之间的等量关系，并说明理由． （3）应用（2）中的结论解答下列问题： 如图2，点A在B处北偏东40°的方向上，在C处的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度数． （4）如果点P在直线l3上且在A、B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B两点不重合），直接写出结论即可． 【思路引导】（1）根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解； （2）根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解； （3）过A点作AF∥BD，则AF∥BD∥CE，根据平行线的性质即可求解； （4）分当P点在A的外侧与当P点在B的外侧两种情况进行分类讨论即可． 【规范解答】解：（1）∠1+∠2＝∠3． ∵l1∥l2， ∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°， 在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°， ∴∠3＝∠1+∠2＝55°， 故答案为：55°； （2）∠1+∠2＝∠3， ∵l1∥l2， ∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°， 在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°， ∴∠1+∠2＝∠3； （3）过A点作AF∥BD，则AF∥BD∥CE，则∠BAC＝∠DBA+∠ACE＝40°+45°＝85°； （4）当P点在A的外侧时，如图2，过P作PF∥l1，交l4于F， ∴∠1＝∠FPC． ∵l1∥l4， ∴PF∥l2， ∴∠2＝∠FPD ∵∠CPD＝∠FPD﹣∠FPC ∴∠CPD＝∠2﹣∠1． 当P点在B的外侧时，如图3，过P作PG∥l2，交l4于G， ∴∠2＝∠GPD ∵l1∥l2， ∴PG∥l1， ∴∠1＝∠CPG ∵∠CPD＝∠CPG﹣∠GPD ∴∠CPD＝∠1﹣∠2． 【考点评析】此题考查了平行线的判定与性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 10．（2024春•集美区校级期中）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝　45　 °； （2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F， ①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA； ②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系． 【思路引导】（1）过点E作EF∥MN，根据MN∥OB，可得EF∥OB，根据平行线的性质可得∠AOB＝45°； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明CE∥OA； ②当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB＝α，在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°，可得∠DCB＝60°+α，根据MN∥OB和角平分线定义，即可求出∠OFD与α之间的数量关系． 【规范解答】解：（1）如图，过点E作EF∥MN， ∴∠DEF＝∠NDE＝45°， ∵∠CED＝90°， ∴∠FEC＝45°， ∵MN∥OB， ∴EF∥OB， ∴∠BCE＝∠FCE＝45°， ∵AO∥CE， ∴∠AOB＝∠ECB＝45°， 则α＝45°， 故答案为：45； （2）①∵DF∥OA， ∴∠DFC＝∠AOB＝α＝60°， ∵MN∥OB， ∴∠MDF＝∠DFC， ∵DF平分∠MDC， ∴∠CDF＝∠MDF＝60°， 在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°， ∴∠CDF＝∠DCE， ∴CE∥DF， ∵DF∥OA， ∴CE∥OA； ②∵当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB＝α， 在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°， ∴∠DCB＝60°+α， ∵MN∥OB， ∴∠MDC＝∠DCB＝60°+α，且∠DFC＝∠MDF， ∵DF平分∠MDC， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$