高二数学期中模拟卷01（新高考地区专用，测试范围：数列+导数+计数原理+概率统计）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

2024-2025学年高二数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+导数+计数原理+概率统计。 5．难度系数：0.6。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在处可导， 所以 ， 故选：B 2．已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 【答案】A 【详解】当时，， 当时，，作差得， 显然时，也满足上式，故， 显然，由等差数列与等比数列的定义知A正确，B、C、D错误. 故选：A 3．某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．324人 B．90人 C．130人 D．45人 【答案】C 【详解】由题意，，，则 ， 得分在区间内的学生大约有． 故选：C． 4．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍， 边长是相邻前一个图形的， 因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的， 即有，因此数列是首项，公比为的等比数列， 故，则. 故选：A. 5．某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件， 则， ， 所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是. 故选：D. 6．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，依题意，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 则， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 7．已知数列，，且，将与的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列是正奇数数列， 对于数列，当为奇数时，设，则，为奇数； 当为偶数时，设 ，则，为偶数， 所以，由数列的函数特性知为递减数列， 又， 所以， 故选：C． 8．设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意函数的定义域为，当时，， 则由，得恒成立，因为的值域为，故不可能恒成立，故不成立； 当时，由，得，由得， 由，得，由得，因为恒成立，故，即， 故，设，则，由，得到， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 故，所以的最小值为， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（    ） A．若1班不再分配名额.则共有种分配方法 B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法 C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 【答案】BD 【详解】解：对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误； 对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确； 对于CD，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额， 再将10个，名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有种，故C错误，D正确. 故选：BD. 10．已知为随机事件，，，则下列结论正确的有（   ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，若为互斥事件，则，故A正确； 对于B，若为互斥事件，则，，故B错误； 对于C，若相互独立，则，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．已知是数列的前项和，且，则下列说法正确的是（    ） A．可能为常数列 B．若，则数列的前11项之和为－22 C．若，则的最大值为3 D．不可能为单调递增数列 【答案】ACD 【详解】对于A，若为常数列，设， 因为，故， 当时，方程恒成立， 故存在常数列，使，故A正确； 对于B，， 当时，， 两式做差得：， 且时，，即， 当时，，解得， 当时，，即， 所以，即， 故当时，是公差为的等差数列，且，， 当时，， 故数列的前11项之和为：，故B错误； 对于C，当时，，解， 由B知，当时， 是公差为得等差数列， ， 故当时，， 易知当时，取最小正数，此时取最大值，故C正确； 对于D,由B知，当时， ，是递减的等差数列， 故一定存在，使，且，即， 故一定存在，，所以不可能为单调递增数列.故D正确； 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的二项展开式中，若各项系数和为16，则项的系数为 ． 【答案】4 【详解】依题意，的二项展开式的各项系数和为，则，解得， 所以展开式中项为，其系数为4. 故答案为：4 13．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 【答案】2 【详解】设函数在点和处的两条切线互相垂直， 如图，可得的零点为1，故不妨设，， 则，， 当时，，， 当时，，， 则，． 所以，即． 因为：，即， ：，即， 则，，因为，且， 故. 故答案为：2. 14．已知正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】正实数，， 令，当时，， 函数在上单调递增，又，于是， ，当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最小值6. 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 【详解】（1）选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率. （2）的取值为100，80，60，40， ， ， ， . 所以的分布列为 100 80 60 40 16．（15分）已知函数. (1)若存在极小值，且极小值为，求； (2)若，求的取值范围. 【详解】（1），， 当时，，所以函数无极值， 当时，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，解得. （2）由，得，即，， 设，，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，则， 所以的取值范围为. 17．（15分）在数列中，，. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，记数列的前项和，求. 【详解】（1）在数列中，由，得， 则，而，即， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列. （2）由（1）得，则，即， 所以的通项公式是. （3）由（2）得， 则 ， 所以. 18．（17分）已知函数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题可得，令，得． ①若，即，则， 当时，，在上单调递减，． ②若，即，则， 当时，，在上单调递增，． ③若，即，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，． 综上所述， 当时，在上的最大值为； 当时，在上的最大值为； 当时，在上的最大值为． （2）法一：当时恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则，所以在上单调递增， 又，， 所以存在唯一的，使得（☆）， 当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 则． 由（☆）得， 设，则，易知在上单调递增， 所以，得，（由，得，故）， 故， 因此，故的取值范围为． 法二：当时恒成立，即恒成立， 令，则，而， 令，则，令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，故，即，当且仅当时取等号． 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立． 令，则在上单调递增，又，， 所以存在，使得，当时，取得最小值1． 因此，故的取值范围为． 19．（17分）意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） (1)证明：①倍元关系：；②平方关系： (2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； (3)证明：． 【详解】（1）证明：①； ②. （2）构造函数     ①当时，因为，当且仅当即时等号成立， 所以，故单调递增， 此时，故对任意恒成立，符合题意；   ②当时，令， 则恒成立，故单调递增， 由与， 可知存在唯一，使得， 当时，，则在内单调递减， 故对任意，即，不合题意，舍去； 综上所述，实数a的取值范围为. （3）由（2）知：当时，，令，则， 令单调递增， 所以，即恒成立， 所以，则， 令单调递增， 所以，即恒成立，令， 所以 . 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期中卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+导数+计数原理+概率统计 5．难度系数：0.6。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 2．已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 3．某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．324人 B．90人 C．130人 D．45人 4．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，则（    ） A． B． C． D． 5．某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 6．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 7．已知数列，，且，将与的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（    ） A． B． C． D． 8．设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（    ） A．若1班不再分配名额.则共有种分配方法 B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法 C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 10．已知为随机事件，，，则下列结论正确的有（   ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若，则 11．已知是数列的前项和，且，则下列说法正确的是（    ） A．可能为常数列 B．若，则数列的前11项之和为－22 C．若，则的最大值为3 D．不可能为单调递增数列 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的二项展开式中，若各项系数和为16，则项的系数为 ． 13．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 14．已知正实数，满足，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 16．（15分）已知函数. (1)若存在极小值，且极小值为，求； (2)若，求的取值范围. 17．（15分）在数列中，，. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，记数列的前项和，求. 18．（17分）已知函数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） (1)证明：①倍元关系：；②平方关系： (2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； (3)证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C A D C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 4 13． 2 14． 6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【详解】（1）选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率. （2）的取值为100，80，60，40， ， ， ， . 所以的分布列为 100 80 60 40 16．（15分）【详解】（1），， 当时，，所以函数无极值， 当时，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，解得. （2）由，得，即，， 设，，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，则， 所以的取值范围为. 17．（15分）【详解】（1）在数列中，由，得， 则，而，即， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列. （2）由（1）得，则，即， 所以的通项公式是. （3）由（2）得， 则 ， 所以. 18．（17分）【详解】（1）由题可得，令，得． ①若，即，则， 当时，，在上单调递减，． ②若，即，则， 当时，，在上单调递增，． ③若，即，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，． 综上所述， 当时，在上的最大值为； 当时，在上的最大值为； 当时，在上的最大值为． （2）法一：当时恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则，所以在上单调递增， 又，， 所以存在唯一的，使得（☆）， 当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 则． 由（☆）得， 设，则，易知在上单调递增， 所以，得，（由，得，故）， 故， 因此，故的取值范围为． 法二：当时恒成立，即恒成立， 令，则，而， 令，则，令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，故，即，当且仅当时取等号． 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立． 令，则在上单调递增，又，， 所以存在，使得，当时，取得最小值1． 因此，故的取值范围为． 19．（17分）【详解】（1）证明：①； ②. （2）构造函数     ①当时，因为，当且仅当即时等号成立， 所以，故单调递增， 此时，故对任意恒成立，符合题意；   ②当时，令， 则恒成立，故单调递增， 由与， 可知存在唯一，使得， 当时，，则在内单调递减， 故对任意，即，不合题意，舍去； 综上所述，实数a的取值范围为. （3）由（2）知：当时，，令，则， 令单调递增， 所以，即恒成立， 所以，则， 令单调递增， 所以，即恒成立，令， 所以 . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+导数+计数原理+概率统计 5．难度系数：0.6。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 2．已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 3．某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．324人 B．90人 C．130人 D．45人 4．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，则（    ） A． B． C． D． 5．某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 6．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 7．已知数列，，且，将与的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（    ） A． B． C． D． 8．设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（    ） A．若1班不再分配名额.则共有种分配方法 B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法 C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 10．已知为随机事件，，，则下列结论正确的有（   ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若，则 11．已知是数列的前项和，且，则下列说法正确的是（    ） A．可能为常数列 B．若，则数列的前11项之和为－22 C．若，则的最大值为3 D．不可能为单调递增数列 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的二项展开式中，若各项系数和为16，则项的系数为 ． 13．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 14．已知正实数，满足，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 16．（15分）已知函数. (1)若存在极小值，且极小值为，求； (2)若，求的取值范围. 17．（15分）在数列中，，. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，记数列的前项和，求. 18．（17分）已知函数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） (1)证明：①倍元关系：；②平方关系： (2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； (3)证明：． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$