精品解析：湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二下学期5月期中检测数学试卷

湖南省长沙市周南中学2026年5月高二期中数学检测卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 设等比数列的前项和为，若，，则等于（ ） A. 127 B. C. D. 255 4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 从5名湖南籍球员（甲、乙、丙、丁、戊）中选出4人分别参加在四个湖南城市（长沙、株洲、永州、衡阳）举行的足球巡回推广活动，每个城市安排1人参加，每人只参加一个城市的活动，已知甲、乙两人不去长沙，不同的安排方案共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 6. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 7. 某公司有三个部门：甲部门、乙部门、丙部门．新入职员工小张第1个月在甲部门工作．此后每个月，该员工会等可能地轮岗到另外两个部门中的一个（即从当前部门调往另一个部门，不会留在原部门）．记为经过次调动后（即第个月末）该员工在甲部门的概率，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 第5次调动后在甲部门的不同调动方式共有10种 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，从点发出的光线经过图2中的点，反射后，分别经过点，，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强 B. 若随机变量服从二项分布，且，则 C. 相关系数时，样本点在同一直线上 D. 样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 10. 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3．已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 的最小值为 D. 11. 已知函数，定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则________．（用数字作答） 13. 若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________． 14. 在四棱锥中，是边长为1的等边三角形，，，，，则四棱锥的外接球表面积为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知，． （1）求； （2）已知的面积为，求． 16. 2025年湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）于9月至12月在全省14个市州举行，主打“快乐足球，全民参与”的理念．赛事规定，每场比赛中每队同时上场的中学生球员不少于3人．某校足球社团为了解学生喜欢足球是否与“中学生身份”有关，随机抽取了本校中学生和非中学生各100名进行调查，部分数据如下表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 中学生 60 非中学生 70 合计 （1）根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否判断该校学生喜欢足球与中学生身份有关？ （2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名中学生和1名非中学生示范点球射门，已知中学生进球的概率为，非中学生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，平行六面体中，，，，． （1）求对角线的长度； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且过点 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条斜率分别为的直线，交椭圆于两点，交椭圆于两点，弦的中点分别为． （ⅰ）当时，求弦长； （ⅱ）当时，求面积的最大值． 19. 已知函数 ． （1）求函数的极值； （2）当时，数列，且，； ①求数列的前项和； ②证明： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市周南中学2026年5月高二期中数学检测卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将集合A通过分式不等式的解法进行化简，再根据交集运算的定义进行计算即可． 【详解】由整理可得：，解得：，且； 故，又因为， 所以． 2. 已知复数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，分母实数化，将复数化为的形式，利用计算即可． 【详解】因为，因为， 故； 所以． 3. 设等比数列的前项和为，若，，则等于（ ） A. 127 B. C. D. 255 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件及等比数列的性质求出公比，代入求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，首项为. 因为，， 所以，解得， 所以． 4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，为偶函数，且在上单调递减，A符合题意； 对于B，的定义域为，， 所以为偶函数， 当时，，故在上单调递增，B不符合题意； 对于C，的定义域为，， 所以为奇函数，在上单调递增，C不符合题意； 对于D，的定义域为，， 所以为偶函数，因为，所以在上不是单调函数，D不符合题意． 5. 从5名湖南籍球员（甲、乙、丙、丁、戊）中选出4人分别参加在四个湖南城市（长沙、株洲、永州、衡阳）举行的足球巡回推广活动，每个城市安排1人参加，每人只参加一个城市的活动，已知甲、乙两人不去长沙，不同的安排方案共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】对于有特殊要求的元素，优先考虑，优先安排，其他人再按排列计算，分步将两个结果用乘法计算． 【详解】首先从除甲乙之外的3人中选1人去长沙，共有种， 其次从剩余4人中选3人到其他三个城市，共有种， 分步用乘法：共有种． 6. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】对于型函数，可根据图中的最值确定A的值，由图象可确定周期，利用计算，代点计算的值，得到解析式，再根据余弦函数的单调性，对称性等性质整体代换计算判断即可． 【详解】由图可得， 函数的最小正周期， 又，所以， 则，由， 得，解得 ， 又，所以，故A错误； 由上分析，得， 令， 解得， 故函数的单调递增区间为； 令，解得， 故函数的单调递减区间为， 则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故B错误； 因为， 故函数的图象不关于点对称，故C错误； 当时，则， 要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，需使，解得，故D正确． 7. 某公司有三个部门：甲部门、乙部门、丙部门．新入职员工小张第1个月在甲部门工作．此后每个月，该员工会等可能地轮岗到另外两个部门中的一个（即从当前部门调往另一个部门，不会留在原部门）．记为经过次调动后（即第个月末）该员工在甲部门的概率，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 第5次调动后在甲部门的不同调动方式共有10种 【答案】D 【解析】 【分析】根据等可能轮岗可知去另外两个部门中的每一个概率均为，根据第n次调动结果在甲，即可确定第的位置一定不在甲，故概率为，从而得到与的关系式，利用数列的通项写出的解析式，判断即可． 【详解】由题意可知，要使得次调动后在甲部门，则第次必定不在甲部门， 所以，即， 因为，则，，所以， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B错误； 则，即， 对于A，，故A错误； 对于C，由，可得，故C错误； 对于D，若第5次调动后在甲部门，则第4次调动后必不在甲部门， 设甲，乙，丙对应于，，，则不同的调动方式有： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥， ⑦， ⑧， ⑨， ⑩，故共有10种情况，故D正确． 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，从点发出的光线经过图2中的点，反射后，分别经过点，，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干中给的光学性质，可将图2中的反射光线反向延长，再根据双曲线的定义列出等式，在焦点三角形中构造关于a，c的齐次式，计算离心率． 【详解】 由题意可知，延长，则必过点，如图所示： 因为，设，则，， 由双曲线定义可得，， 由可得， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 化简可得， 即，因为，故； 在中，由余弦定理可得 ，即， 化简可得：， 即， 代入得：，化简可得， 故． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强 B. 若随机变量服从二项分布，且，则 C. 相关系数时，样本点在同一直线上 D. 样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相关系数性质判断变量线性相关性强弱，利用二项分布期望与方差公式计算，依据相关系数取值范围判断样本点线性相关情况，通过样本平均数性质求新数据平均数. 【详解】的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强， A选项中， ，因此组数据的相关性更强，A错误， B选项中，若随机变量，则期望，方差， 所以， ，B正确， C选项中，相关系数满足 ，当 ∣时，所有样本点完全线性相关， 即全部样本点都在同一直线上，C正确， D选项中，样本数据的平均数，则对于样本数据， 其平均数为 ，故D正确． 10. 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3．已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 的最小值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】(1)利用向量加法与向量积的性质计算； (2)根据投影向量的定义，得到在方向上的投影向量； (3)构造函数，求函数的最小值； (4)数形结合，利用向量加法与向量积的性质计算. 【详解】对于A，延长，交于点，则，正八边形内角为，所以, 因此，所以 ，故A正确； 对于B，由图可知，因此投影向量即为，故B错误； 对于C，由图可知，，， 所以由题意可知函数， 当时，取得最小值，，故C正确； 对于D，过点作直线的垂线，垂足为，因此， 易知当点在线段上时，取得最大值，当点在线段上时，取得最小值，故D正确．故选：ACD． 11. 已知函数，定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据 为奇函数推出的对称中心，再结合与的关系分析的对称性、周期性、进而判断各选项. 【详解】A选项中，因为为奇函数，所以， 则，故A正确， B选项中，由A选项可知，， ， 所以 ，即， 所以关于点对称，又的图象关于对称， 所以的对称中心为，，不是，故B错误， C选项中，由A项得关于对称，即，， ，，因为的图象关于对称， 所以，又 ，所以， 所以 ，即， 所以关于对称，即， 因此 ，， 所以 ，故C正确， D选项中，因为，所以 ， 又，所以，则， 所以，则的周期为4， 所以，又因为， 所以 ，所以 ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则________．（用数字作答） 【答案】255 【解析】 【分析】根据二项式定理的展开式，通过赋值计算系数和． 【详解】因为， 所以令，可得，， 令，可得，， (1)式减(2)式可得：． 13. 若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线，结合公切线的性质进一步求解即可. 【详解】由，得， ，故曲线在处的切线方程为； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线重合，则，解得． 14. 在四棱锥中，是边长为1的等边三角形，，，，，则四棱锥的外接球表面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】求外接球的表面积，先找球心，再求半径，根据球心在四棱锥高上，球心到顶点的距离等于半径，设球心，求半径，计算表面积即可． 【详解】在等腰梯形中，，，则， 在底面中连接， 则， 即，， 以为原点，，分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 可得：，，，， 因为，则底面外接圆，也即是的外接圆， 即的中点即为底面外接圆圆心，坐标为， 设，由，，， ，，； 可得， 解得，，，即， 由四棱锥外接球的性质，外接球的球心在过垂直于底面的直线上， 故设球心，半径为， 则，，， 由得：，解得， 因此外接球半径平方：， 外接球表面积：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知，． （1）求； （2）已知的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将边角关系转化为边的关系，再结合余弦定理求出角；接着将第二个条件与余弦定理结合，代入的值求出，结合三角形内角范围确定； （2）先由内角和求出，再利用正弦定理用外接圆半径表示；将代入三角形面积公式，结合已知面积求出，进而得到． 【小问1详解】 因为 ， 由正弦定理可得 ，即， 由余弦定理可得， 因为，所以， 又因为，由余弦定理得， 所以，即， 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 设的外接圆的半径为， 则，， 所以， 可得，所以． 16. 2025年湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）于9月至12月在全省14个市州举行，主打“快乐足球，全民参与”的理念．赛事规定，每场比赛中每队同时上场的中学生球员不少于3人．某校足球社团为了解学生喜欢足球是否与“中学生身份”有关，随机抽取了本校中学生和非中学生各100名进行调查，部分数据如下表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 中学生 60 非中学生 70 合计 （1）根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否判断该校学生喜欢足球与中学生身份有关？ （2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名中学生和1名非中学生示范点球射门，已知中学生进球的概率为，非中学生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 喜欢足球 不喜欢足球 合计 中学生 60 40 100 非中学生 30 70 100 合计 90 110 200 认为该校学生喜欢足球与中学生身份有关 （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）零假设为：该校学生喜欢足球与中学生身份无关，计算出，结合小概率值的独立性检验判断即可. （2）根据题意确定的取值，求出对应的概率，即可写出分布列并计算数学期望. 【小问1详解】 依题意，得到列联表如下： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 中学生 60 40 100 非中学生 30 70 100 合计 90 110 200 零假设为：该校学生喜欢足球与中学生身份无关． 根据列联表数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该校学生喜欢足球与中学生身份有关． 【小问2详解】 依题意，3人进球总次数的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为． 17. 如图，平行六面体中，，，，． （1）求对角线的长度； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将平方，利用已知数量积求，进而得到. （2）先证为等边三角形，取中点得垂直关系，再通过向量平方结合已知求二面角余弦值. 【小问1详解】 由题意知，在中，，， 以向量，，为基底，①， ，同理可得，， ①式平方，得 ， 所以． 【小问2详解】 在中，，， 又，，所以为等边三角形， 所以，故为等边三角形， 取中点，连接，则， 又，②， 设二面角为，则，， ，②式两边同时平方，得 ， 所以，． 所以二面角的余弦值为． 18. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且过点 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条斜率分别为的直线，交椭圆于两点，交椭圆于两点，弦的中点分别为． （ⅰ）当时，求弦长； （ⅱ）当时，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆长轴与短轴的关系设出标准方程，再将已知点代入方程求解参数，直接得到椭圆的标准方程； （2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，消元后利用韦达定理得到根的和与积，再代入弦长公式计算出； （2）设出两条直线的方程，分别与椭圆方程联立求出中点的坐标，利用斜率关系化简三角形面积表达式，再通过均值不等式求出面积的最大值． 【小问1详解】 由椭圆：的长轴长是短轴长的倍， 得，即， 又椭圆过点，则，联立解得，， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）当时，直线的方程为，设，， 由消去得，，则，， 所以． （ⅱ） 当时，直线的方程为，设，， 由消去得， ， 而是弦的中点， 则，，即， 同理， 因此的面积 ， 而，当且仅当，或，时取等号， 因此当，或，时，， 所以面积的最大值为． 19. 已知函数 ． （1）求函数的极值； （2）当时，数列，且，； ①求数列的前项和； ②证明： ． 【答案】（1）当时，函数无极值．当时，函数极大值为，无极小值 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性、极值的关系求解即可. （2）①求出及，结合裂项相消法求解即可. ②结合①可得，结合（1）可得，构造函数，结合导数与单调性、最值的关系得到，进而得到，利用并项相消法求和证明即可. 【小问1详解】 因为 ，，所以，． 当时，因为，所以恒成立，则函数在内单调递减，无极值． 当时，令，得， 则当时，，当时，， 所以函数在内单调递增，在内单调递减， 函数的极大值为，无极小值． 综上所述，当时，函数无极值． 当时，函数极大值为，无极小值． 【小问2详解】 ①当时，，， 所以 ． ②证明：由①知，所以， 且由（1）知当时，的极大值即最大值为 ， 所以， 恒成立，即，当且仅当时等号成立． 令，则，， 所以，． 令，则恒成立， 所以函数在内单调递增， 则当时，，即． 所以，． 所以 所以．得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $