高二数学期中模拟卷（湘教版2019选择性必修第二册，测试范围：第1～2章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

2024-2025学年高二数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019选择性必修第二册第一章至第二章。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C 2．如图所示，在三棱柱中，为的中点.若，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在三棱柱中，为的中点， . 故选：B 3．若直线与曲线相切，则（    ） A．2 B．e C． D． 【答案】C 【详解】设切点为，则对求导有， 故在处切线的斜率为，则由在直线上可得， 解得，故. 故选：C 4．若函数在上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】，求导得， 由在上单调递增，得， 又当，，则， 又时，在上单调递增， 所以实数的最大值为2. 故选：D． 5．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 【答案】D 【详解】对于A，在平行六面体中，根据向量加法的三角形法则，， 由于，，所以，选项A正确. 对于B，已知以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是. ，则 .所以，选项B正确. 对于C，， ， 因为，所以，选项C正确. 对于D，，设向量与的夹角为 ， ， 所以，选项D错误. 故选：D. 6．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，定义域为， ， 令，得， 令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，排除A、C， 当时，，，，所以，排除B， 只有D中图象符合题意； 故选：D 7．已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示：    由函数图象可得. 故选：A. 8．已知底面边长为，高为的正三棱柱的顶点均在球的表面上，则球心到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设外接圆圆心为，外接圆圆心为，则正三棱柱的外接球球心为中点， 由题意，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 因为边长为，高为， 所以，故， 故， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以，平面的法向量为， 所以到平面的距离. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则（   ） A． B． C．向量的夹角的余弦值为 D．若向量（为实数），则 【答案】BC 【详解】对于A，由，可知与不共线，故A错误； 对于B，由，，可得，故B正确； 对于C，因，故，故C正确； 对于D，由且，可得，，故,故D错误． 故选：BC. 10．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若的增区间为，则 B．若在上单调递减，则 C．若的极大值为0，则 D．若，则曲线的对称中心为 【答案】ACD 【详解】函数定义域为R，求导得：， 对于A，若的增区间为，则的解集为， 所以，解得，正确； 对于B，若在上单调递减，则在上恒成立， 所以或，解得或，错误； 对于C，当时，令得，令得或， 因此在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处有极大值，则，解得，与矛盾； 当时，令得，令得或， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处有极大值，则，解得，正确； 对于D，若，则， 因为， 所以曲线的对称中心为，正确. 故选：ACD 11．函数在上有唯一零点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由得，，即， 由题意得，直线与函数图象有唯一交点. 令，则， ∴在上为增函数，则. 令，则. 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， ∴. 记，根据复合函数单调性可得函数在上为减函数，在上为增函数，且. 当时，，当时，，的图象如下： ∵直线与函数图象有唯一交点，∴，选项C、D错误. 由分析得，，即，选项A正确. ∵，， ∴， 由在上为增函数得，选项B正确. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，令，可得，而，， 所以，，函数单调递减；，，函数单调递增， 所以时函数最小为值， 所以函数在的最小值分别为. 故答案为：. 13．空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 【答案】/1.5 【详解】因为， 所以， 设平面ABC的法向量为， 所以，令，则， 所以 因为平面ABC， 所以，设，， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 14．已知为实数，，若恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】依题意，函数与在上单调递增， 且函数的值域为，，不等式恒成立， 当且仅当函数与有相同的零点，因此， 由得，，由得，于是， 则，，令， ，， 当时，，当时，， 因此函数在上递减，在上递增， 当时，， 从而得的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)讨论函数的单调性. 【详解】（1）函数，求导得，（2分） 由曲线在点处的切线垂直于直线，得，（3分） 所以.（4分） （2）函数的定义域为，，（6分） 当时，恒成立，函数在上单调递增；（7分） 当时，方程中，，（8分） 若，则，，函数在上单调递增；（9分） 若，则，关于x的方程有两个正根，，，（11分） 当或时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，（12分） 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是.（13分） 16．（15分）如图，在几何体中，平面平面，四边形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，. (1)求该几何体的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）取AC的中点，连接，， 则，. （1分） 因为平面平面，且交于AC， 所以平面. （2分） 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，，.（4分） 连接BC.因为，， 所以. 因为，， 所以， 则，所以.（5分） 设平面的法向量为， 则令，得，（7分） 因为， 所以点到平面的距离，（8分） 所以， 所以该几何体的体积.（9分） （2）设平面的法向量为， 因为，， 所以令，则.（11分） 设平面的法向量为， 因为，， 所以所以.（13分） 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 17．（15分）函数，. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）由题意得，，（2分） 当时，则，在上单增， 的递增区间为；（4分） 当时，令，则；令，则. 的递增区间为，递减区间为.（6分） （2）当时，令，， 则，，（8分） 由题意，得.（9分） 因为，（10分） 令，则；令，则， 在上递减，在上递增，（10分） ，（11分） 故（12分） 在上递增， 又，（13分） ， 实数的取值范围为.（15分） 18．（17分）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）取线段的中点，连接， 在正三棱柱中，为等边三角形，且平面， 则，（1分） 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 所以，，，，（3分） 所以，，，（4分） 所以，，，（5分） 因为，、平面，所以，平面.（6分） （2）设点，其中，，（7分） 由（1）可知，平面的一个法向量为， 因为线与平面所成角的正弦值为， 则，（9分） 整理可得，即， 因为，解得，（11分） 则，，（12分） 设平面的一个法向量为， 则，可得，取可得，（14分） 则，（16分） 所以，平面与平面夹角的余弦值为.（17分） 19．（17分）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数． 【详解】（1）设，则恒成立， 故函数在R上单调递增，（1分） 又，故函数在R上有唯一零点，（23分） 即有唯一不动点1．（3分） （2）证明：充分性：设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，充分性成立；（5分） 必要性：设为函数的稳定点，即． 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即 即，故为函数的不动点， 综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件．（7分） （3）当时，函数在上单调递增， 由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可； 令， 则， 则在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，且 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点；（9分） 当时，即时， 当x趋向无穷大时，趋近于0，此时 存在唯一 使得，（11分） 此时f（x）在上单调递增，在上单调递减， 故，（13分） 当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大， 设，则在上单调递增，且 又 在时单调递增， 故（i）当时，即 此时，方程有一个解，即有唯一不动点；（14分） （ii）当时，即 此时，方程无解，即无不动点；（15分） （iii）当时，即 此时，方程有两个解，即有两个不动点；（16分） 综上，当时或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当时，有两个稳定点．（17分） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C D D D A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）函数，求导得，（2分） 由曲线在点处的切线垂直于直线，得，（3分） 所以.（4分） （2）函数的定义域为，，（6分） 当时，恒成立，函数在上单调递增；（7分） 当时，方程中，，（8分） 若，则，，函数在上单调递增；（9分） 若，则，关于x的方程有两个正根，，，（11分） 当或时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，（12分） 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）取AC的中点，连接，， 则，. （1分） 因为平面平面，且交于AC， 所以平面. （2分） 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，，.（4分） 连接BC.因为，， 所以. 因为，， 所以， 则，所以.（5分） 设平面的法向量为， 则令，得，（7分） 因为， 所以点到平面的距离，（8分） 所以， 所以该几何体的体积.（9分） （2）设平面的法向量为， 因为，， 所以令，则.（11分） 设平面的法向量为， 因为，， 所以所以.（13分） 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由题意得，，（2分） 当时，则，在上单增， 的递增区间为；（4分） 当时，令，则；令，则. 的递增区间为，递减区间为.（6分） （2）当时，令，， 则，，（8分） 由题意，得.（9分） 因为，（10分） 令，则；令，则， 在上递减，在上递增，（10分） ，（11分） 故（12分） 在上递增， 又，（13分） ， 实数的取值范围为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）取线段的中点，连接， 在正三棱柱中，为等边三角形，且平面， 则，（1分） 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 所以，，，，（3分） 所以，，，（4分） 所以，，，（5分） 因为，、平面，所以，平面.（6分） （2）设点，其中，，（7分） 由（1）可知，平面的一个法向量为， 因为线与平面所成角的正弦值为， 则，（9分） 整理可得，即， 因为，解得，（11分） 则，，（12分） 设平面的一个法向量为， 则，可得，取可得，（14分） 则，（16分） 所以，平面与平面夹角的余弦值为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）设，则恒成立， 故函数在R上单调递增，（1分） 又，故函数在R上有唯一零点，（23分） 即有唯一不动点1．（3分） （2）证明：充分性：设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，充分性成立；（5分） 必要性：设为函数的稳定点，即． 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即 即，故为函数的不动点， 综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件．（7分） （3）当时，函数在上单调递增， 由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可； 令， 则， 则在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，且 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点；（9分） 当时，即时， 当x趋向无穷大时，趋近于0，此时 存在唯一 使得，（11分） 此时f（x）在上单调递增，在上单调递减， 故，（13分） 当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大， 设，则在上单调递增，且 又 在时单调递增， 故（i）当时，即 此时，方程有一个解，即有唯一不动点；（14分） （ii）当时，即 此时，方程无解，即无不动点；（15分） （iii）当时，即 此时，方程有两个解，即有两个不动点；（16分） 综上，当时或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当时，有两个稳定点．（17分） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期期中卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019选择性必修第二册第一章至第二章 5．难度系数：0.7 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．如图所示，在三棱柱中，为的中点.若，则可表示为（    ） A． B． C． D． 3．若直线与曲线相切，则（    ） A．2 B．e C． D． 4．若函数在上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 6．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知底面边长为，高为的正三棱柱的顶点均在球的表面上，则球心到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则（   ） A． B． C．向量的夹角的余弦值为 D．若向量（为实数），则 10．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若的增区间为，则 B．若在上单调递减，则 C．若的极大值为0，则 D．若，则曲线的对称中心为 11．函数在上有唯一零点，则（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，，则的最小值为 . 13．空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 14．已知为实数，，若恒成立，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)讨论函数的单调性. 16．（15分）如图，在几何体中，平面平面，四边形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，. (1)求该几何体的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）函数，. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 18．（17分）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019选择性必修第二册第一章至第二章 5．难度系数：0.7. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．如图所示，在三棱柱中，为的中点.若，则可表示为（    ） A． B． C． D． 3．若直线与曲线相切，则（    ） A．2 B．e C． D． 4．若函数在上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 6．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知底面边长为，高为的正三棱柱的顶点均在球的表面上，则球心到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则（   ） A． B． C．向量的夹角的余弦值为 D．若向量（为实数），则 10．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若的增区间为，则 B．若在上单调递减，则 C．若的极大值为0，则 D．若，则曲线的对称中心为 11．函数在上有唯一零点，则（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，，则的最小值为 . 13．空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 14．已知为实数，，若恒成立，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)讨论函数的单调性. 16．（15分）如图，在几何体中，平面平面，四边形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，. (1)求该几何体的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）函数，. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 18．（17分）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$