高一数学期中模拟卷（湘教版2019必修第二册，测试范围：第1～3章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

2024-2025学年高一数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019必修第二册第一章至第三章 5．难度系数：0.7 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若向量，则（　　） A． B． C．8 D． 2．若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 3．如图，有三个相同的正方形相接，若，则（    ） A． B．1 C． D． 4．已知向量、满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．在中，，分别是边，的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知复数，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是的充分不必要条件 D．，，，则 11．已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知复数，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是的充分不必要条件 D．，，，则 11．已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为 米．（，答案保留整数） 13．已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 14．若，，且，，则 ； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 16．（15分）已知为锐角，． (1)求证：； (2)的值． 17．（15分）记锐角三角形的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求； (2)求的最大值． 18．（17分）在中，角，，所对的边分别是，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的最大值． (3)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长. 19．（17分）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数． (1)求的对称轴方程及在上的单调递增区间； (2)在锐角中，已知，求． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019必修第二册第一章至第三章 5．难度系数：0.7. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若向量，则（　　） A． B． C．8 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 2．若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【详解】由题，，对应的点在第一象限， 则，可得，又为整数，所以． 故选：B． 3．如图，有三个相同的正方形相接，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】设正方体边长为1，由图可得， 则， 故选：B 4．已知向量、满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量、满足，且，则， 故，所以，. 故选：A. 5．在中，，分别是边，的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 故选：D. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 由. 故选：D. 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， ∵，∴， ∵，当且仅当时取等号，因此， ∴面积， ∴当时，的面积取得最大值． 故选：C． 8．在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的内角所对的边分别为， 因为， 所以由正弦定所得， 又，所以， 由余弦定理得， 所以，所以顶点为费马点， 故点到各顶点的距离之和为， 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：AB． 10．已知复数，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是的充分不必要条件 D．，，，则 【答案】ABC 【详解】对于A，令，满足，显然不成立，错误； 对于B，令，满足，显然不成立，错误； 对于C，令，满足，此时不成立，错误； 对于D，由，，可得， 可得：， 所以, 所以，则，正确； 故选：ABC 11．已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ACD 【详解】由题知，设， 则 ， 因为， 所以，则，且，A正确，B不正确； ， 当且仅当时，等号成立，C正确； 又 ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为 米．（，答案保留整数） 【答案】31 【详解】如图，，，，， 设，则，，， ∴，∴， 则． 故答案为：31. 13．已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】向量与的夹角为钝角，则， 解得或； 又向量与不共线，所以，解得且； 故所求的取值范围是. 故答案为： 14．若，，且，，则 ； 【答案】 【详解】因，所以，又，所以. 所以， 同时也能确定. 因为，，， 所以， 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 【详解】（1）因为，，，所以，（2分） 因为四边形为平行四边形，所以，（3分） 设，所以， 所以，所以（5分） （2）因为，，三点共线，， 所以设，（7分） 又，所以，所以，（9分） 又（11分） 所以.（13分） 16．（15分）已知为锐角，． (1)求证：； (2)的值． 【详解】（1）证明：因为， 所以，（2分） 又， 所以，（4分） 所以，即（5分） 所以（6分） （2），（8分） 所以，（11分） 因为为锐角，所以，所以，（12分） 所以，（13分） 所以.（15分） 17．（15分）记锐角三角形的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求； (2)求的最大值． 【详解】（1）因为，所以．   （2分） 又为锐角三角形，故，则．    因为，所以． （4分） 又，故．（5分） （2）由正弦定理得，    则，．   （7分） 由（1）知，则． 所以 ，（10分） 因为为锐角三角形， 所以，所以，（12分） 所以，（13分） 所以当时，即时，取得最大值．（15分） 18．（17分）在中，角，，所对的边分别是，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的最大值． (3)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长. 【详解】（1）由正弦定理得：，（1分） 又， ，（2分） 即，（3分） 又，，，（4分） 又，；（5分） （2）由余弦定理得，，（6分） ，（8分） ，当且仅当时等号成立，（9分） ， 所以面积最大值为；（10分） （3）由正弦定理得，解得，即，（11分） 为边上的中点，，（12分） 由余弦定理得，即①，（13分） 方法一：在中，， 在中，， ，， 即，整理得：②， 由①②得：，（15分） ，解得：，（16分） 的周长为.（17分） 方法二：由向量加法得， ，即②， 由①②得，（15分） ，解得，（16分） 的周长为.（17分） 19．（17分）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数． (1)求的对称轴方程及在上的单调递增区间； (2)在锐角中，已知，求． 【详解】（1） ，（2分） 设， 由，得，所以的对称轴为．（4分） 由，解得，（5分） 又，所以单调递增区间为，．（6分） （2）由（1）知，，则，（7分） 由，得，则，解得，（8分） 因为中，，则为锐角， 所以，（9分） 因为，所以；（10分） 因为，故可得，（11分） 即，也即，故；（12分） 设，则， 在和中，由正弦定理得， ，（14分） 上面两个等式相除可得，（15分） 得，即，（16分） 所以．（17分） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期期中卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B A D D C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ABC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．31 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为，，，所以，（2分） 因为四边形为平行四边形，所以，（3分） 设，所以， 所以，所以（5分） （2）因为，，三点共线，， 所以设，（7分） 又，所以，所以，（9分） 又（11分） 所以.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）证明：因为， 所以，（2分） 又， 所以，（4分） 所以，即（5分） 所以（6分） （2），（8分） 所以，（11分） 因为为锐角，所以，所以，（12分） 所以，（13分） 所以.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）因为，所以．   （2分） 又为锐角三角形，故，则．    因为，所以． （4分） 又，故．（5分） （2）由正弦定理得，    则，．   （7分） 由（1）知，则． 所以 ，（10分） 因为为锐角三角形， 所以，所以，（12分） 所以，（13分） 所以当时，即时，取得最大值．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由正弦定理得：，（1分） 又， ，（2分） 即，（3分） 又，，，（4分） 又，；（5分） （2）由余弦定理得，，（6分） ，（8分） ，当且仅当时等号成立，（9分） ， 所以面积最大值为；（10分） （3）由正弦定理得，解得，即，（11分） 为边上的中点，，（12分） 由余弦定理得，即①，（13分） 方法一：在中，， 在中，， ，， 即，整理得：②， 由①②得：，（15分） ，解得：，（16分） 的周长为.（17分） 方法二：由向量加法得， ，即②， 由①②得，（15分） ，解得，（16分） 的周长为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1） ，（2分） 设， 由，得，所以的对称轴为．（4分） 由，解得，（5分） 又，所以单调递增区间为，．（6分） （2）由（1）知，，则，（7分） 由，得，则，解得，（8分） 因为中，，则为锐角， 所以，（9分） 因为，所以；（10分） 因为，故可得，（11分） 即，也即，故；（12分） 设，则， 在和中，由正弦定理得， ，（14分） 上面两个等式相除可得，（15分） 得，即，（16分） 所以．（17分） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2019必修第二册第一章至第三章 5．难度系数：0.7. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若向量，则（　　） A． B． C．8 D． 2．若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 3．如图，有三个相同的正方形相接，若，则（    ） A． B．1 C． D． 4．已知向量、满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．在中，，分别是边，的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知复数，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是的充分不必要条件 D．，，，则 11．已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为 米．（，答案保留整数） 13．已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 14．若，，且，，则 ； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 16．（15分）已知为锐角，． (1)求证：； (2)的值． 17．（15分）记锐角三角形的内角，，的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求； (2)求的最大值． 18．（17分）在中，角，，所对的边分别是，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的最大值． (3)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长. 19．（17分）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数． (1)求的对称轴方程及在上的单调递增区间； (2)在锐角中，已知，求． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$