期中数学常考点分类专题（考查范围：7～10章）（夯实基础篇）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题 2024-2025学年八年级下学期期中数学常考点分类专题（夯实基础篇） （考查范围：数据的收集、整理、描述；认识概率；中心对称图形——平行四边形；分式） 第一部分【考点目录】 篇一：选择填空 第7章 数据的收集、整理、描述 【考点1】全面调查与抽样调查......................................................2 【考点2】总体、个体、样本、样本容量..............................................3 【考点3】样本估计总体............................................................4 【考点4】统计图的选用............................................................5 【考点5】频数和频率..............................................................7 【考点6】频率分布表和频率分布直方图..............................................8 第8章 认识概率 【考点7】确定事件与随机事件.....................................................10 【考点8】可能性的大小...........................................................11 【考点9】频率与概率.............................................................13 第9章 中心对称图形——平行四边形 【考点10】图形的识别——旋转、中心对称图表、轴对称图形..........................15 【考点11】利用旋转的性质求解证明................................................17 【考点12】平行四边形性质的判断..................................................19 【考点13】平行四边形判定的判断..................................................21 【考点14】平行四边形性质和判定求值证明..........................................22 【考点15】矩形性质和判定求值证明................................................26 【考点16】菱形性质和判定求值证明................................................30 【考点17】正方形性质和判定求值证明..............................................35 【考点18】三角形的中位线求值证明................................................39 第10章 分式 【考点19】分式的意义............................................................43 【考点20】分式的基本性质........................................................44 【考点21】分式方程的增根与无解..................................................45 【考点22】分式方程的非（正）负解、正（负）数解..................................47 【考点23】列分式方程解应用题....................................................50 篇二：计算、化简求值、解答题 【考点22】分式的运算化简求值....................................................51 【考点23】解分式方程............................................................53 【考点24】数据的收集、整理、描述解与认识概率求值................................55 【考点25】平行四边形性质与判定求值证明..........................................59 【考点26】特殊平行四边形性质与判定求值证明......................................63 【考点27】列分式方程解应用......................................................70 第二部分【题型梳理与方法展示】 篇一：选择填空 第7章 数据的收集、整理、描述 【考点1】全面调查与抽样调查 1．（24-25九年级上·重庆北碚·期中）下列调查中，适合采用全面调查的是（   ） A．调查一批圆珠笔的使用寿命 B．调查全国九年级学生的睡眠情况 C．调查重庆市民坐轻轨出行的意愿 D．调查“神十八”载人飞船各零部件质量 【答案】D 【分析】此题考查了抽样调查和全面调查的区别，根据抽样调查和全面调查的特征即可，解题的关键是理解选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 解：A、调查一批圆珠笔的使用寿命，具有破坏性，适宜采用抽样调查，故选项不符合题意； B、调查全国九年级学生的睡眠情况适宜采用抽样调查，故选项不符合题意； C、调查重庆市民坐轻轨出行的意愿适宜采用抽样调查，故选项不符合题意； D、调查“神十八”载人飞船各零部件质量，涉及安全性，适宜采用全面调查，故选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列选项适合采用普查的调查方式的是（    ） A．了解全国老龄人的健康状况 B．了解你所在班级学生的体重 C．了解全国初中生的视力情况 D．了解一批电视机的使用寿命 【答案】B 【分析】本题考查了全面调查（即普查）和抽样调查，根据全面调查的意义即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 解：A、了解我市老年人健康状况，人数太多，不适合全面调查，故选项不符合题意； B、了解你所在班级学生的体重，适合全面调查，故选项符合题意； C、调查全国中小学生的视力情况，人数太多，不适合全面调查，故选项不符合题意； D、了解一批电视机的使用寿命，具有破坏性的调查，不适合全面调查，故选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级上·贵州·期末）北京时间年月日时分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射前，科学家对飞船实施检查，最适宜的检查方式是 （填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】普查 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 解：∵调查“神舟十七号”载人飞船的各零件合格情况非常重要， 最适宜的检查方式是普查． 故答案为：普查 【考点2】总体、个体、样本、样本容量 1．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）某县为了了解当地年参加中考的名学生的身高情况，抽查了其中名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（   ） A．名学生是总体 B．从中抽取的名学生的身高是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是全面调查 【答案】B 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量、抽样调查的概念逐项判断即可解答． 解：A、名学生的身高情况是总体，错误，故A选项不符合题意； B、从中抽取的名学生的身高是总体的一个样本，正确，故B选项符合题意； C、每名学生的身高是总体的一个个体，正确，故C选项不符合题意； D、以上调查是抽样调查，正确，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了总体、个体、样本、样本容量、抽样调查的概念，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）某通讯公司想了解手机的使用情况，在某小区随机对300位居民进行了问卷调查，结果其中有9位居民使用了手机．下列关于该调查说法错误的是（     ） A．该调查方式是抽样调查 B．样本是9位居民 C．样本容量是300 D．手机在该小区的使用率约是 【答案】B 【分析】本题主要考查了总体，个体，样本，样本容量以及抽样调查，熟练掌握定义是解题的关键．根据样本，样本容量以及调查进行分析即可． 解：该调查方式是抽样调查，选项A正确，不符合题意； 样本是300位居民使用手机情况，选项B错误，符合题意； 样本容量是300，选项C正确，不符合题意； 手机在该小区的使用率约是，选项D正确，不符合题意； 故选B． 3．（23-24七年级上·陕西西安·期末）某中学有270名学生，为了了解学生们的上学方式，抽取部分学生做调查后绘制了如图所示的条形图，那么此次调查的样本容量为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了求样本容量，根据样本容量的定义进行求解即可：一个样本包括的个体数量叫做样本容量可得答案．熟知相关定义是解题的关键，样本容量是指样本中包含个体的数目，没有单位． 解：由题意得，样本容量为， 故答案为：． 【考点3】样本估计总体 1．（23-24九年级上·广西北海·期末）广西的白头叶猴是国家一级保护动物，为了了解某地区白头叶猴的数量，先捕捉了10只白头叶猴给它们做上标记，然后放走，待有标记的白头叶猴完全混合于猴群后，第二次捕捉20只白头叶猴，发现其中5只有标记，从而估计这个地区的白头叶猴约有（    ）只 A．20 B．25 C．40 D．45 【答案】C 【分析】本题主要考查用样本估计总体，用第一次捕捉的只数除以其占总数的比例即可． 解：由题意知，估计这个地区的白头叶猴约有（只）， 故选：C． 2．（21-22七年级上·安徽蚌埠·期末）中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是（    ） A．调查方式是普查 B．该校只是360个家长持反对态度 C．样本是400个家长 D．该校约有90% 的家长持反对态度 【答案】D 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 解：A．调查方式是抽样调查，故本选项不合题意； B．该校有=2250个家长持反对态度，故本选项不合题意； C．样本是400个家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故本选项不合题意； D．该校约有90%的家长持反对态度，说法正确，故本选项符合题意； 故选：D． 【点拨】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 3．（19-20九年级上·广东揭阳·阶段练习）某养殖户在池塘中放养了鲤鱼条，鲢鱼若干，在一次随机捕捞中，共抓到鲤鱼条，鲢鱼条，估计池塘中原来放养了鲢鱼 条． 【答案】 【分析】在一次随机捕捞中，共抓到鲤鱼200条，鲢鱼500条，即可求得鲤鱼和鲢鱼所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解． 解：设池塘中原来放养了鲢鱼x条， 则200：500=1000：x， 解得：x=2500． 答：估计池塘中原来放养了鲢鱼2500条． 故答案为：2500． 【点拨】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 【考点4】统计图的选用 1．（2025七年级下·全国·专题练习）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销售较好的A，B，C，D四种不同馅料粽子的喜好程度，在端午节前通过发放粽子的方式对某小区居民进行抽样调查（每人只能选择一种粽子）．已知A种粽子发放了32个，根据如图所示的不完整的扇形统计图可知，C种粽子发放了（   ） A．120个 B．128个 C．132个 D．140个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是扇形统计图，读懂统计图、从统计图中得到必要的信息是解题的关键． 先用A种粽子的个数除以A所占的百分比求得总人数，然后用总个数乘以喜欢C种粽子的人数所占的百分比即可解答． 解：发放粽子总数为：， 则C种粽子发放了（个）． 故选：B． 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）某班学生最喜欢的一项球类运动的统计表和扇形统计图如图所示，其中统计表不小心被撕掉一部分，下列推断不正确的是（   ） A．足球所在扇形的圆心角度数为 B．该班喜欢乒乓球的人数占总人数的 C．m与n的和为52 D．该班喜欢羽毛球的人数不超过13人 【答案】D 【分析】本题考查了扇形统计图与统计表信息关联，从扇形统计图与统计表中获取信息是解题的关键．根据乒乓球的人数与扇形统计图圆心角的度数求得总人数，根据足球的人数比上总人数，即可判断B选项，判断出足球所在扇形的圆心角度数，即可判断出A选项， 足球与乒乓球的人数的占比即可判断C选项，根据扇形统计图可知，进而即可判断D选项． 解：乒乓球的人数有14人，扇形统计图中圆心角的度数为，则总人数为：人， ，故B选项正确 足球有10人，则足球所在扇形的圆心角度数为，故A选项正确， ∴，故C选项正确， 根据扇形统计图可知， 所以该班喜欢羽毛球的人数超过人，故D选项不正确， 故选D． 3．（23-24七年级下·河北沧州·期末）某校有2000学生，想要了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，特进行了抽样调查．现将调查结果用条形图描述如图，则抽取的样本的容量为 ，可推测其中最受全校学生喜爱的节目是 ，若将该统计结果用扇形图来描述，则“动画”对应扇形的圆心角为 ．（填度数） 【答案】 50 娱乐 /108度 【分析】本题考查样本容量，调查统计中条形统计图、扇形统计图相关知识，根据条形统计图即可得到样本容量，并推测其中最受全校学生喜爱的节目，用 “动画”人数除以总人数，再乘以即可求得对应扇形的圆心角度数． 解：由图知 ， 抽取的样本的容量为50； 其中最受全校学生喜爱的节目是娱乐； “动画”对应扇形的圆心角为：； 故答案为：50，娱乐，． 【考点5】频数和频率 1．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）某校为了解八年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查部分学生，结果如下表所示，其中参加书法的学生占调查人数的，则参加绘画兴趣小组的频数是（    ） 兴趣小组 书法 绘画 舞蹈 其他 参加人数 8 m 9 11 A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查频数和频率之间的关系，利用统计图获取信息是解题的关键．根据题意可以知道总人数，然后利用总分数减去其他兴趣小组的人数即可得到答案． 解：由题意可知，总人数为人， 故人． 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）对八年级（6）班50名同学的一次科普知识竞赛成绩进行统计，如果频数分布直方图中分这一组的频数是14，那么该班学生竞赛成绩在分的频率是（   ） A．0.25 B．0.28 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】本题考查了频率、频数的关系频率． 根据频率，计算成绩在分的频率即可． 解：成绩在分的频率． 故选B． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期末）在一次七年级学生身高抽查中，个数据分别落在个小组内，第一、二、四组数据所占的百分比分别是、、，则第三组数据的频数是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了求频数与频率，根据频率之和为1，得出第三小组数据的频率，用总数乘以第三组数据的频率即可求解． 解：∵40个数据分别落在4个小组内，第一、二、四组数据所占的百分比分别是、、， ∴第三组数据的频率为， ∴第三小组数据的频数为． 故答案为：8． 【考点6】频率分布表和频率分布直方图 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）某市教育局对七年级学生进行体质监测，共收集了名学生的体重数据，并绘制成频数分布直方图．若从左往右数每个小长方形的面积之比为，则其中第三组的频数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了频数分布直方图的性质，理解频数分布直方图的意义，掌握频率是解答本题的关键． 求出第三组的频数占被调查人数的百分比，再根据频率进行计算即可． 解：第三组的频数为， 故选：A． 2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）某校进行植树活动，活动结束后统计了各班级种植树木的数量，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个数值，不含后一个数值），根据图中所提供的信息，下列说法正确的是（    ） A．共有24个班级参加植树活动 B．频数分布直方图的组距为2.5 C．有的班级种植树木的数量多于35棵 D．有3个班级都种了45棵树 【答案】A 【分析】本题考查频数分布直方图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据直方图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而解答本题． 解：由频数分布直方图可得， 参加植树活动的班级有：（个），故选项A说法正确，符合题意； 频数分布直方图的组距为5，故选项B说法错误，不符合题意； 种植树木的数量多于35棵所占比例为：，故选项C说法错误，不符合题意； 有3个班级都种树数量都大于40棵而小于45棵，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：A． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）某校七（1）班有48人，对本班学生展开零花钱的消费调查，绘制了如图所示的领数分布直方图（每个直方图对应的钱数含最小值不含最大值）．已知从左到右小长方形的高之比为，则零花钱在8元及以上的共有 人． 【答案】12 【分析】本题主要考查了频数分布直方图， 先求出每一份的人数，进而得出8元以上的分数，即可得出答案． 解：∵， ∴零花钱在8元以上的有（人）． 故答案为：12． 第8章 认识概率 【考点7】确定事件与随机事件 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列词语所描述的事件属于随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．水到渠成 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 解：A、水中捞月，是不可能事件，故不符合题意； B、画饼充饥，是不可能事件，故不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，故符合题意； D、水到渠成，是必然事件，故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·北京延庆·期末）下列事件中，随机事件是（   ） A．在数轴上取一个点，它表示的数是实数 B．画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 C．画一个三角形，它的内角和是 D．把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是事件的分类，三角形内角和，勾股定理，实数的定义．根据事件发生的可能性大小判断． 解：A、在数轴上取一个点，它表示的数是实数，是必然事件，不符合题意； B、画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合，是随机事件，符合题意； C、画一个三角形，它的内角和是，是必然事件，不符合题意； D、，则把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有______； （2）其中是随机事件的有______； （3）其中是确定事件的有______． 【答案】（1）④⑥；（2）①③⑤；（3）②④⑥ 【分析】本题考查确定事件和随机事件的概念．熟练应用确定事件和随机事件的概念进行判断是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 解：（1）解：是必然事件的有：④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：④⑥； （2）解：是随机事件的有：①守株待兔；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；⑤若，则； 故答案为：①③⑤； （3）解：是确定事件的有②水中捞月；④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：②④⑥． 【考点8】可能性的大小 1．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）不透明的袋子中有2个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．随机摸取1个小球后放回，连续摸取次，每次摸取到的都是黄球，下列说法正确的是（   ） A．第6次摸取到的一定是黄球 B．第6次摸取到的可能还是黄球 C．第6次摸取到的一定是红球 D．第6次摸取到红球的可能性更大 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件以及事件发生可能性的大小，理解事件可能性大小是解题的关键； 根据不同颜色的球的数量确定摸到哪种球的可能性的大小后即可确定正确的选项，即可求解； 解：∵不透明的袋子中有2个红球、个黄球， ∴每次摸球摸到红球概率为，每次摸球摸到黄球概率为； A、第6次摸取到的一定是黄球，错误，第6次摸取到的不一定是黄球，也有可能是红球； B、第6次摸取到的可能还是黄球，正确； C、第6次摸取到的一定是红球，错误，第6次摸取到的不一定是红球，也有可能是黄球； D、第6次摸取到红球的可能性更大，错误，第6次摸取到黄球的可能性更大； 故选：B； 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．购买张彩票，中奖 B．画一个三角形，其内角和是 C．随意翻到一本书的某页，页码是奇数 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件，随机事件，根据必然事件、不可能事件，随机事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可，正确理解必然事件、不可能事件，随机事件的意义是解题的关键． 解：、购买张彩票会中奖是随机事件，发生可能性不是最大，此选项不符合题意； 、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，发生可能性是，此选项符合题意； 、随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是奇数，有可能是偶数，因此是随机事件，发生可能性不是最大，此选项不符合题意； 、射击运动员射击一次，可能命中靶心，有可能不命中靶心，它是随机事件，发生可能性不是最大，此选项不符合题意； 故选：． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色． 【答案】4 【分析】本题考查可能性，可能性的大小与数量的多少有关，要黄色朝上的次数最多，所以涂黄色面最多；红色和绿色朝上的次数一样多，所以涂红色和绿色的面一样多，据此解答即可． 解：一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意抛一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多． 如果每种颜色朝上的数量都一样多，则红、黄、绿各涂2个面， 但现在黄色朝上的次数最多，而红色和绿色朝上的次数要一样多， 因此只能是红色、绿色各1个面，黄色涂4个面． 故答案为：4． 【考点9】频率与概率 1．（22-23九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项． 解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意； B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意； C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意； D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率． 2．（23-24九年级上·山西长治·期末）某大型连锁超市以17元/斤的价格购进草莓1万斤，在运输、储存过程中部分草莓损坏，超市管理员从所有的草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如表： 草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500 损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 75 草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.150 超市管理员希望卖出草莓（损坏的草莓不能出售）可以获得利润42500元，那么就需要利用草莓损坏的概率（精确到0.01）估算草莓的售价．根据表中数据可以估计，草莓每斤的售价应该定为（   ） A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元 【答案】A 【分析】本题主要考查用频率估计概率和一元一次方程的应用，先由草莓的损坏率得出完好率，再设每斤草莓的售价为x元，根据“利润=售价-进价”列出一元一次方程，求出x的值即可． 解：由表格中的数据可得草莓的损坏率为， 则完好率为：， 设每斤草莓的售价为x元，根据题意得， ， 解得，， 即每斤草莓的售价为25元， 故选：A． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据： 摸球的次数n 100 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250 摸到黑球的频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25 根据表中数据估计袋中白球有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式、分式方程的应用，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．先根据利用频率估计概率可得从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为，再利用概率公式建立方程，解方程即可得． 解：设袋中白球有个， 由表中数据估计从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为， 则， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以根据表中数据估计袋中白球有3个， 故答案为：3． 第9章 中心对称图形——平行四边形 【考点10】图形的识别——旋转、中心对称图表、轴对称图形 1．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 解：．是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形也是轴对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在下列三种图形变换中，本题图案不包括的变换是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．以上三项均不包括 【答案】B 【分析】考查图形的三种变换方式：轴对称、平移、旋转．轴对称的特点是一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断即可． 解：A、本题图案包含轴对称变换．不符合题意； B、不存在平移变换，符合题意． C、将图形绕着中心点旋转的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换．不符合题意； D、根据以上判断知本选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列是一组设计的图案（不考虑颜色），下列图形不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义判断即可． 解：A、是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故B选项符合题意； C、是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 【考点11】利用旋转的性质求解证明 1．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 解：将绕点顺时针旋转得到， 则点与点是对应点，点与点是对应点， 则， ． 但不一定等于． 故选C． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，已知中，，，，将绕点B顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，添加适当辅助线构造等边三角形是解题的关键． 连接，由旋转的性质可得，，，，进而可得是等边三角形，于是可得，，则，即是直角三角形，由勾股定理可得，由此即可求出的长． 解：如图，连接， 由旋转的性质可得：，，，， 是等边三角形， ，， ， 为直角三角形， 由勾股定理可得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在等腰直角中，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，若的度数为，则的度数为________． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，解决问题的关键是利用旋转性质得到全等判定的条件，利用全等转化角解决问题． 根据题意可得出，再证明，利用全等转化角即可求解． 解：是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 由题意得，， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点12】平行四边形性质的判断 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，平行四边形的对角线、相交于点，下列结论正确的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的定义和性质解题． 解：A、一般平行四边形是中心对称图形，特殊平行四边形，如矩形，菱形，正方形是轴对称图形，该选项不符合题意； B、是矩形和正方形的性质，不是一般平行四边形的性质，该选项不符合题意； C、是菱形和正方形的性质，不是一般平行四边形的性质，该选项不符合题意； D、由平行四边形的性质可得，故，，该选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）下列性质中菱形有而矩形没有的是（   ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质和矩形的性质，它们都具有平行四边形的性质，且各具有自己的特点．根据菱形和矩形性质，可知菱形和矩形的不同是：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等． 解：根据菱形和矩形都是平行四边形，所以对边平行且相等，对角相等；菱形和矩形不同：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等． 故选：B． 3．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质．由作法可得垂直平分，再由平行四边形的性质，可得，可判定A；再证明，可判定B，C，D，即可求解． 解：由作法得：垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 根据条件无法得到， ∴无法得到，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，，故B、D选项错误，不符合题意； ∴， 即，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【考点13】平行四边形判定的判断 1．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江西吉安·期末）下列说法正确的是（　　） A．两条对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，根据正方形的判定、平行四边形的判定和矩形的判定逐项判断即可求解，掌握以上判定定理是解题的关键． 解：、两条对角线相等的菱形是正方形，该选项说法正确，符合题意； 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项说法错误，不合题意； 、对角线相等的平行四边形是矩形，该选项说法错误，不合题意； 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 3．（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列命题中，真命题是（   ） A．有两边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且平分的四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断即可． 解：有两边相等的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，不符合题意； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B是假命题，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是真命题，符合题意； 对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故D是假命题，不符合题意； 故选：C． 【考点14】平行四边形性质和判定求值证明 1.（24-25八年级上·广东汕头·期末）【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A．3个    B．4个     C．5个    D．6个 ②已知，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）①B；②2 【分析】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）①由等腰三角形的判定可得出结论； ②由（1）可知，，进一步则可得出答案． 解：（1）证明：∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①共有四个等腰三角形．分别是：， 理由如下：由（1）知：， ∴是等腰三角形； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：B； ②∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． ∵， ∴∠EAG＝∠AGB， ∴， ∴， ∵. 2．（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，，，由等边对等角可得，，进而可得，，由内错角相等两直线平行可得，由此可证得四边形是平行四边形，于是可得，然后根据即可求出的度数． 解：由旋转的性质可得： ，，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，内错角相等两直线平行，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 3．（2023·吉林长春·一模）如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交    的延长线于点F．若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】根据平行四边形特性、直角三角形特性、中位线特性求解即可 解：∵，， ∴， 又 ∴四边形为平行四边形 又为直角三角形斜边中线 ∴ ∴ 故答案为：5 【点拨】本题考查平行四边形特性、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握这些是本题关键． 【考点15】矩形性质和判定求值证明 1．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）在平行四边形中，，，当平行四边形的面积最大时，以下4个结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，正方形的性质与判定，正确作出辅助线得出平行四边形是矩形是解题的关键． 如图所示，过点C作于E，得到，进而推出当，即点E与点B重合时，四边形的面积最大，即可证明平行四边形是矩形，由矩形的性质和勾股定理判断选项即可． 解：如图所示，过点C作于E， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴要使四边形的面积最大，即的长度要最大， ∵， ∴当，即点E与点B重合时，四边形的面积最大， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴，故A选项正确，不符合题意； ，即，故B选项正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； ∵矩形中，，， ∴， ∴矩形不是正方形， ∴与不垂直，故C选项错误，符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在矩形中，平分交于点E，在上取点F，使得，连接，以为腰作等腰直角三角形，点G恰好落在边上，则的长为 【答案】 【分析】如图，过点作交于点，交于点，根据四边形是矩形，得出，证明四边形是矩形，得出，根据角平分线和平行线性质得出，是等腰直角三角形，即可得，根据三角形是等腰直角三角形，得出，证明，从而得出，再根据勾股定理即可求解． 解：如图，过点作交于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】该题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）若平分，且，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，再利用平行线的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，，设，在和利用勾股定理建立方程，解方程求出的值即可解答． 解：（1）证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． （2）解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）中的结论得，，，四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 【考点16】菱形性质和判定求值证明 1．（23-24八年级上·重庆北碚·期末）如图，在中，，，对角线交于点，为直角三角形，是斜边的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．先得出是菱形，从而得到，由得出，再证明，从而得到，，又由推导，从而求出，，最后利用即可得到结论． 解：在中，， ∴是菱形， ， ， ， ， ， ，是斜边的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】通过题干的尺规作图得出是的角平分线，直线是的垂直平分线，再通过证明，则，所以四边形是菱形，结合三角形外角性质，则，即可作答． 解：∵，，， ∴， 如图： ∵用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G， ∴是的角平分线， ∴， ∵以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接， ∴直线是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴四边形是菱形， 则中，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即菱形的周长是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了尺规作图，角平分线的性质以及垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、． （1）分别求出点、、的坐标； （2）若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）；（3）或或 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有∶一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解答本题的关键． （1）联立两直线解析式求出点的坐标，分别令和，带入直线解析式求出点、的坐标； （2）根据在直线上，设，表示出面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （3）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑∶①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；分别求出Q坐标即可． 解：（1）根据，解方程组得，得， 分别令和，带入直线解析式得点、的坐标，． （2）设， 且， ， ， ， 令直线解析式为， 把，代入得： ， ， ， 直线的函数表达式为． （3）存在．如图所示： ①当四边形为菱形时， ，得四边形为正方形； ， 即． ②当四边形为菱形时， 得，带入直线的解析式， 得， ． ③当四边形为菱形时， ， ， 综上得点的坐标为或或． 【考点17】正方形性质和判定求值证明 1．（21-22九年级上·山东滨州·期末）如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 解：根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，平分，平分外角，若，点D到边的距离是3，则 ． 【答案】 【分析】过D作于E，于H，根据角平分线的性质得到，，根据正方形的性质得到，求得，根据全等三角形得到，同理，设，根据勾股定理即可得到结论． 解：过D作于E，于H， 平分，平分外角， ，， 四边形是正方形， ， ， ， 在与中， ， ， ， 同理， 设， ， ， ， 解得， ， ， ， 故答案为： 【点拨】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，过A作的平行线，交的平分线于点D，点E是上一点，连接交于点． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若，点分别是边中点，连接不添加字母和辅助线，直接写出图中所有与面积相等的三角形（不包含）． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查菱形的判定，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等： （1）先根据，，推出，证明四边形为平行四边形，再证，可得四边形是菱形； （2）若，则四边形是正方形，再找与等底等高的三角形面积相等，由此可解． 解：（1）证明：， ， ， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形为菱形； （2）解：图中与面积相等的三角形有． 理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ， 四边形是正方形； ， ， 点是边中点，， ， 在和中， ， ， 点分别是边中点， ， 又， 与等底等高， 与面积相等的三角形有． 【考点18】三角形的中位线求值证明 1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理，设的中点为，连接、，从而可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，求出，最后由勾股定理计算即可得解． 解：如图，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在四边形中，，，连接使平分，，E、F分别为、的中点，连接、、，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查直角三角形中线定理，中位线定理和勾股定理，熟悉掌握相关的判定和性质是解题的关键．因为，平分，求得，因为点E分别是的中点, 是直角三角形, 根据直角三角形中线定理求得：，，因为点E、F分别是、的中点,根据中位线定理求得，所以，最后根据勾股定理即可求解． 解：∵，平分， ， 点E是的中点, 是直角三角形， ， ∴ ， 点E、F分别是、的中点, ，， ∴， ， 根据勾股定理得：． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）先证明，继而可证明四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角三角形平行四边形是矩形证明即可； （2）过点O作于点F，根据矩形的性质结合三线合一可得为的中位线，则，由四边形是平行四边形，得到，那么，最后在中由勾股定理即可求解． 解：（1）证明：∵O为的中点， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图，过点O作于点F， ∵四边形是矩形， ，，，， ， ， ∴为的中位线， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 第10章 分式 【考点19】分式的意义 1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式的值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．当分母不为零时，分式有意义；当当分母为零时，分式无意义；当分母不为零且分子为零时，分式的值为零．当时，根据分母为零可求得，当时，根据分母不为零，分子为零，可求得，由此即可求的答案． 解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，分式的值为0， ， 解得， ． 故选：D． 2．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义，即分母不为零，列不等式求解，即可解题． 解：分式有意义， ， 解得， 故选：C． 3．（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）要使分式有意义，则x的取值应满足 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，零指数幂，熟练掌握它们成立的条件是解题的关键．根据分式有意义，则分母不为0；零指数幂的底数不为0解答即可． 解：要使分式有意义， 则，， 且， 故答案为：且． 【考点20】分式的基本性质 1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质计算即可． 解：把分式中的，的值都扩大为原来的倍可得， 即该分式的值不变， 故选：D． 2．（23-24八年级上·河北承德·期中）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义，分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式． 解：A、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为x时，，是最简分式，故该选项符合题意； C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，以及求代数式的值，先计算积的乘方运算，再根据单项式除以单项式得出，，进而求出a，b的值，再计算单项式除以单项式，最后再代入a，b的值计算即可． 解：∵ ∴， ∴，， 解得：，， ∴ ， 故答案为：． 【考点21】分式方程的增根与无解 1．（2020·四川成都·三模）下列结论正确的是（　　） A．是分式方程 B．方程＝1无解 C．方程的根为x＝0 D．解分式方程时，一定会出现增根 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义和分式方程的增根的意义即可判断． 解：A．原方程中分母不含未知数，不是分式方程， 所以A选项不符合题意； B．解方程，得x＝﹣2， 经检验x＝﹣2是原方程的增根， 所以原方程无解， 所以B选项符合题意； C．解方程，得x＝0， 经检验x＝0是原方程的增根， 所以原方程无解， 所以C选项不符合题意； D．解分式方程时，不一定会出现增根， 只有使分式方程分母的值为0的根是增根， 所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点拨】本题考查了分式方程的增根、分式方程的定义，解决本题的关键是掌握分式方程的相关知识． 2．（2021九年级·全国·专题练习）若关于x的方程有增根，k的值是 ；若关于x的方程无解，k的值是 ． 【答案】 6 6或2 【分析】①增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到或3，然后代入化为整式方程的方程算出k的值； ②分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程即可求出k的值． 解：①方程两边都乘， 得 ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得或1， 当时，方程不成立． 当时，， 故k的值是6． ②分式方程去分母得：， 移项合并得：， 当，即时，方程无解； 当时，分式方程有增根， 故k的值是6或2， 故答案为6；6或2． 【点拨】本题考查对分式方程的增根和无解的理解，分式方程有增根即对应化简后的整式方程有解，并且解为使得最简公分母为0的值，而分式方程无解包含有增根或对应整式方程无解两种情况． 3．（24-25八年级上·广西来宾·阶段练习）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：解方程． （1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）把？代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为，去分母后把增根代入整式方程求解即可． 解：（1）解：， 方程两边同时乘以得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． （2）解：设？为，则分式方程为， 方程两边同时乘以得 由于是原分式方程的增根， 所以把代入上面的等式得，解得， 所以，原分式方程中“？”代表的数是． 【考点22】分式方程的非（正）负解、正（负）数解 1．（24-25八年级下·四川泸州·开学考试）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键． 解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据是分式方程的增根，求出此时m的值，得到答案． 解：， 去分母得， ， 解得， 由题意得，， 解得，， 因为是分式方程的增根， 所有当时，方程无解，即， 所以m的取值范围是且． 故选C． 2．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）若关于的不等式组有解且最多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法．先解不等式组并结合题意确定的范围，再解出分式方程确定的范围，进而确定的所有取值，最后求满足条件的所有整数的和即可． 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式有解，且最多有两个偶数解， ∴ 解得：． 解分式方程 解得：． ∵分式方程的解为正整数，且 ∴ ∴ ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）关于的分式方程：． （1）当时，求此时方程的解． （2）若这个方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）且 【分析】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法，注意解分式方程要进行检验是解题关键． （1）直接利用解分式方程的方法求解即可； （2）先解分式方程，然后依据题意求解不等式即可． 解：（1）解：当时，分式方程为， 方程两边同乘， 解得， 检验：当时，， 所以当时， 分式方程的解为； （2）， 方程两边同乘， 解得， 这个方程的解为正数， 且， 解得且． 【考点23】列分式方程解应用题 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，结合单价=总价÷数量，数量=总价÷单价，即可得出答案． 解：设采购x个篮球，可得方程为； 设标价都为每个y元，可得方程为； 故选项A符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）我市某中学为了打造书香校园，营造良好的读书氛围，培养学生良好的阅读习惯，并属“读书好、读好书、好读书”阅读活动，活动开展后，“双减”政策落地实施，学生课外作业量减少，自主活动时间增加，小智同学实际每天比原计划每天多阅读30页课外书．实际阅读350页所需的时间与原计划阅读200页所需时间相同，设原计划每天阅读课外书x页．则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程的应用，理解题意、弄清数量关系是解题关键． 设原计划每天阅读课外书x页，则实际每天阅读课外书页，根据“实际阅读350页所需的时间与原计划阅读200页所需时间相同”即可列出方程． 解：设原计划每天阅读课外书x页，则实际每天阅读课外书页， 根据题意可得：． 故选：A． 3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）某物流公司运送一批货物，若用普通列车送到800千米的某城市，所需时间比规定时间多用2小时；若改为高速列车派送，则所需时间比规定时间少用3小时，已知高速列车的速度是普通列车的倍，则规定送达时间是多少？设规定时间为x小时，则分式方程列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据普通列车、高速列车运送所需时间与规定时间之间的关系，可得出用普通列车运送所需时间为天，高速列车运送所需时间为天，利用速度=路程÷时间，结合高速列车的速度是普通列车的倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 解：由题意可得，， 故选：D． 篇二：计算、化简求值、解答题 【考点22】分式的运算化简求值 1．（24-25八年级上·山东德州·期末）计算： （1）； （2）先化简：，再从、0、2中选择一个合适的数作为a的值代入计算． 【答案】（1）；（2）；当，原式 【分析】此题考查的是分式的混合运算，化简求值及分式有意义的条件，需特别注意运算顺序及符号的处理． （1）先计算括号内异分母分式减法，再将除法转化为乘法，化简即可； （2）先计算括号内异分母分式减法，再计算分式除法，将除法转化为乘法，化简，再根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； ∵且， ∴， 当时，原式． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中a是方程的根． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值及一元二次方程的根．熟练掌握分式运算法则是解题关键． 先运用分式的加减法乘除法将化简，再根据一元二次方程根的定义得到a的式子，整体代入即可求值． 解： ， ∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期末）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． （1）先把除法变为乘法，并且因式分解，然后即可求解； （2）先把括号内的分式通分，将除法转化为乘法，然后再按照分式的混合运算法则计算． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 【考点23】解分式方程 1．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）方程两边同乘去分母，得，然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1，再代入检验即可； （2）方程两边同乘去分母，得，然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1，再代入检验即可． 解：（1）解： 经检验，是原方程的解， 原方程的解为． （2）解： 经检验是原方程的增根， 原方程无解． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）解下列分式方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的解答步骤成为解题的关键． （1）先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 解：（1）解：原方程可化为： 方程两边同乘，得：，解得， 检验：当时，，     ∴是原方程的解． （2）解：方程两边同乘， 得：． 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原方程无解． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）方程无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键． （1）根据去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为解出的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）根据去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为解出的值，经检验即可得到分式方程的解． 解：（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 经检验，是原分式方程的根； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 则是分式方程的增根，故原方程无解． 【考点24】数据的收集、整理、描述解与认识概率求值 1．（2023·湖南·中考真题）某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．现从中随机抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出了如下频数分布图和如图（八）所示的条形统计图（不完整）．请根据图表中的信息回答下列问题． 等级 频数 频率 A a 0.2 B 1600 b C 1400 0.35 D 200 0.05 （1）求频数分布表中a，b的值． （2）补全条形统计图． （3）该市九年级学生约人，试估计该市有多少名九年级学生可以评为“A”级． 【答案】（1）的值为，的值为；（2）见分析；（3）16000 【分析】（1）根据D等级的频数和频率即可求出样本容量，进而求出的值，然后用B的频数除以样本数量即可求出的值； （2）按照统计图的画法补全即可； （3）用总体数量乘以A等级的频率即可求解． 解：（1）解：样本容量：， 则， 故的值为，的值为． （2）解：如图    （3）解：（名） 答：该市约有名九年级学生可以评为“A”级． 【点拨】本题主要考查了条形统计图的运用，能读懂统计图，并熟练掌握频数、频率的概念是求解的关键． 2．（24-25六年级上·山东东营·期末）省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动．某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽 查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图（如图所示），请根据图中提供的信息，解答下列问题．             （1） ，这次共抽取 名学生进行调查； （2）求扇形统计图中，乘公交车对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图； （3）如果该校共有2000名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生约有多少名？ 【答案】（1），50；（2）扇形统计图中，乘公交车对应扇形的圆心角度数为，补全条形统计图见分析；（3）估计该校骑自行车上学的学生约有400名 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合，解题的关键是数形结合，熟知数据条形统计图和扇形统计图的特点． （1）用1减去其它3个的百分比，从而得出m的值；根据乘公交车的人数和百分比得出总人数， （2）用乘以“乘公交车”的人数占总人数的比例即可得出圆心角度数，求出骑自行车的人数，将图形补全； （3）根据全校的总人数×骑自行车的百分比得出结果即可． 解：（1）解：， （名） 故答案为：，50； （2）解；乘公交车对应扇形的圆心角度数为 骑自行车人数：（名）， 则条形图如图所示： （3）（名） 估计该校骑自行车上学的学生约有400名． 3．（2019·西藏·中考真题）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了　 名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有　 　名； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　 　； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　 　． 【答案】（1）；（2）补全条形统计图，见分析；阅读部分圆心角是108°，（3）选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为. 【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数；利用样本估计总体即可估计全校爱好运动的学生人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用360°乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 解：（1）爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 爱好运动的学生人数所占的百分比为， 全校爱好运动的学生共有：人； 故答案为； （2）∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 补全条形统计图，如图所示，    阅读部分圆心角是， 故答案为； （3）爱好阅读的学生人数所占的百分比， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 【点拨】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息，本题属于中等题型． 【考点25】平行四边形性质与判定求值证明 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接． （1）求证：是的平分线； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）证明见分析；（2）的周长为． 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由作图可知，垂直平分，由性质得，再根据等边对等角得，又四边形是平行四边形，则，通过平行线的性质可得，所以，从而得证； （）由四边形是平行四边形，可知，，然后由垂直平分线的性质可得，最后通过周长即可求解． 解：（1）证明：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长 ， ∴的周长为． 2．（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，． （1）求证：点E是中点； （2）若，，则的长为 ___． 【答案】（1）见分析；（2）4 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据等腰三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，即可证明结论； （2）证明四边形为平行四边形，得出，求出，证明，，得出，，最后求出结果即可． 解：（1）证：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵、分别平分和， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点； （2）解：根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4．    【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． （1）求证：； （2）过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 【答案】（1）见分析；（2）四边形的周长为24 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，，，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的周长为12， ， . 四边形的周长为24. 【考点26】特殊平行四边形性质与判定求值证明 1．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）先证明是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定可得结论； （2）先利用菱形的性质得到，，然后根据平行线的性质和勾股定理，结合三角形的等面积法分别求得、、即可求解． 解：（1）证明：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点拨】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 2．（2025·安徽合肥·一模）王老师带领同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展探究活动：如图1，在Rt中，，将绕点顺时针旋转，得到，点与点对应，点与点对应． （1）当时，的长为_____． （2）如图2，是的中点，连接，过点作且交直线于点． ①求证：． ②在旋转的过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的长度． 【答案】（1）6；（2）①见分析；②2或18 【分析】（1）根据旋转的性质得到是等边三角形，即可求解； （2）①如图所示，延长交于点，则，连接，可得，，则，证明，得到，，再证，得到，，最后证明，得到，即可求解； ②在中，运用勾股定理得到，第一种情况，如图所示，四边形是菱形，则；第二种情况，如图所示，四边形是菱形，则，可证共线，点共线，则；由此即可求解． 解：（1）解：如图所示，将绕点顺时针旋转，得到，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； （2）解：∵旋转， ∴， ∴， ①证明：如图所示，延长交于点，则，连接， ∵点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②在中，， ∴， 第一种情况，如图所示，四边形是菱形， ∵旋转， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； 第二种情况，如图所示，四边形是菱形，则， ∵， ∴共线， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴点共线， ∴； 综上所述，的值为或． 【点拨】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，数形结合分析思想是解题的关键． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，点M在的延长线上，点N在的延长线上，平分，． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当时，连接，交于点O，过点D作，交于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与面积相等的4个三角形． 【答案】（1）见分析；（2），，， 【分析】（1）根据等边对等角可推出，根据角平分线的定义可推出，再结合三角形外角的性质可得出，即推出，结合题意，即证明四边形是平行四边形； （2）首先证明平行四边形是菱形，然后证明是等边三角形，得到，再根据等底等高的三角形面积相等可得答案． 解：（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，四边形是平行四边形， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴、、、的面积都与的面积相等． 【点拨】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质，平行线间的距离处处相等，等底等高的三角形面积相等等知识．熟知特殊四边形的判定和性质是解题关键． 【考点27】列分式方程解应用 1．（2025·贵州·模拟预测）小李从地出发去相距4.5千米的地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍． （1）求小李步行的速度和骑自行车的速度； （2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？ 【答案】（1）步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；（2）7.2千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式． （1）设小李步行的速度为千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，由题意：小李从地出发去相距4.5千米的地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可； （2）设小李跑步的速度为千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可． 解：（1）解：设小李步行的速度为千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， 答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时； （2）解：小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为（小时）， 小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：（小时）， 设小李跑步的速度为千米/小时， 由题意得：， 解得：， 答：为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为千米/小时． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）我市城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要天，若由甲队先做天，再由甲、乙合作天，共完成总工作量的三分之二． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工1天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款不超过万元，则甲、乙两队最多合作多少天？ 【答案】（1）乙队单独完成这项工程需要天；（2）甲、乙两队最多合作天． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，列出方程和不等式是解题的关键． （）设乙队单独完成这项工程需要天，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设甲、乙两队合作天，根据题意得，然后解不等式即可． 解：（1）解：设乙队单独完成这项工程需要天， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：乙队单独完成这项工程需要天； （2）解：设甲、乙两队合作天， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两队最多合作天． 3．（2025·湖南长沙·一模）某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． （1）求甲、乙两种水果每件的进货单价； （2）若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 【答案】（1）乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元；（2）购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出分式方程，求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）设购进甲种水果件，则购进乙种水果件，由题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解． 解：（1）解：设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， ∴乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元； （2）解：设购进甲种水果件，则购进乙种水果件， 由题意可得：， 解得：， 设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元， 由题意可得：， 则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时， ∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2024-2025学年八年级下学期期中数学常考点分类专题（夯实基础篇） （考查范围：数据的收集、整理、描述；认识概率；中心对称图形——平行四边形；分式） 第一部分【考点目录】 篇一：选择填空 第7章 数据的收集、整理、描述 【考点1】全面调查与抽样调查......................................................2 【考点2】总体、个体、样本、样本容量..............................................2 【考点3】样本估计总体............................................................2 【考点4】统计图的选用............................................................3 【考点5】频数和频率..............................................................4 【考点6】频率分布表和频率分布直方图..............................................4 第8章 认识概率 【考点7】确定事件与随机事件......................................................5 【考点8】可能性的大小............................................................6 【考点9】频率与概率..............................................................6 第9章 中心对称图形——平行四边形 【考点10】图形的识别——旋转、中心对称图表、轴对称图形...........................7 【考点11】利用旋转的性质求解证明.................................................8 【考点12】平行四边形性质的判断...................................................8 【考点13】平行四边形判定的判断...................................................9 【考点14】平行四边形性质和判定求值证明..........................................10 【考点15】矩形性质和判定求值证明................................................11 【考点16】菱形性质和判定求值证明................................................11 【考点17】正方形性质和判定求值证明..............................................12 【考点18】三角形的中位线求值证明................................................13 第10章 分式 【考点19】分式的意义............................................................14 【考点20】分式的基本性质........................................................14 【考点21】分式方程的增根与无解..................................................15 【考点22】分式方程的非（正）负解、正（负）数解..................................15 【考点23】列分式方程解应用题....................................................15 篇二：计算、化简求值、解答题 【考点22】分式的运算化简求值....................................................16 【考点23】解分式方程............................................................16 【考点24】数据的收集、整理、描述解与认识概率求值................................17 【考点25】平行四边形性质与判定求值证明..........................................18 【考点26】特殊平行四边形性质与判定求值证明......................................19 【考点27】列分式方程解应用......................................................20 第二部分【题型梳理与方法展示】 篇一：选择填空 第7章 数据的收集、整理、描述 【考点1】全面调查与抽样调查 1．（24-25九年级上·重庆北碚·期中）下列调查中，适合采用全面调查的是（   ） A．调查一批圆珠笔的使用寿命 B．调查全国九年级学生的睡眠情况 C．调查重庆市民坐轻轨出行的意愿 D．调查“神十八”载人飞船各零部件质量 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列选项适合采用普查的调查方式的是（    ） A．了解全国老龄人的健康状况 B．了解你所在班级学生的体重 C．了解全国初中生的视力情况 D．了解一批电视机的使用寿命 3．（24-25七年级上·贵州·期末）北京时间年月日时分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射前，科学家对飞船实施检查，最适宜的检查方式是 （填“普查”或“抽样调查”）． 【考点2】总体、个体、样本、样本容量 1．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）某县为了了解当地年参加中考的名学生的身高情况，抽查了其中名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（   ） A．名学生是总体 B．从中抽取的名学生的身高是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是全面调查 2．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）某通讯公司想了解手机的使用情况，在某小区随机对300位居民进行了问卷调查，结果其中有9位居民使用了手机．下列关于该调查说法错误的是（     ） A．该调查方式是抽样调查 B．样本是9位居民 C．样本容量是300 D．手机在该小区的使用率约是 3．（23-24七年级上·陕西西安·期末）某中学有270名学生，为了了解学生们的上学方式，抽取部分学生做调查后绘制了如图所示的条形图，那么此次调查的样本容量为 ．    【考点3】样本估计总体 1．（23-24九年级上·广西北海·期末）广西的白头叶猴是国家一级保护动物，为了了解某地区白头叶猴的数量，先捕捉了10只白头叶猴给它们做上标记，然后放走，待有标记的白头叶猴完全混合于猴群后，第二次捕捉20只白头叶猴，发现其中5只有标记，从而估计这个地区的白头叶猴约有（    ）只 A．20 B．25 C．40 D．45 2．（21-22七年级上·安徽蚌埠·期末）中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是（    ） A．调查方式是普查 B．该校只是360个家长持反对态度 C．样本是400个家长 D．该校约有90% 的家长持反对态度 3．（19-20九年级上·广东揭阳·阶段练习）某养殖户在池塘中放养了鲤鱼条，鲢鱼若干，在一次随机捕捞中，共抓到鲤鱼条，鲢鱼条，估计池塘中原来放养了鲢鱼 条． 【考点4】统计图的选用 1．（2025七年级下·全国·专题练习）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销售较好的A，B，C，D四种不同馅料粽子的喜好程度，在端午节前通过发放粽子的方式对某小区居民进行抽样调查（每人只能选择一种粽子）．已知A种粽子发放了32个，根据如图所示的不完整的扇形统计图可知，C种粽子发放了（   ） A．120个 B．128个 C．132个 D．140个 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）某班学生最喜欢的一项球类运动的统计表和扇形统计图如图所示，其中统计表不小心被撕掉一部分，下列推断不正确的是（   ） A．足球所在扇形的圆心角度数为 B．该班喜欢乒乓球的人数占总人数的 C．m与n的和为52 D．该班喜欢羽毛球的人数不超过13人 3．（23-24七年级下·河北沧州·期末）某校有2000学生，想要了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，特进行了抽样调查．现将调查结果用条形图描述如图，则抽取的样本的容量为 ，可推测其中最受全校学生喜爱的节目是 ，若将该统计结果用扇形图来描述，则“动画”对应扇形的圆心角为 ．（填度数） 【考点5】频数和频率 1．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）某校为了解八年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查部分学生，结果如下表所示，其中参加书法的学生占调查人数的，则参加绘画兴趣小组的频数是（    ） 兴趣小组 书法 绘画 舞蹈 其他 参加人数 8 m 9 11 A．13 B．12 C．11 D．10 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）对八年级（6）班50名同学的一次科普知识竞赛成绩进行统计，如果频数分布直方图中分这一组的频数是14，那么该班学生竞赛成绩在分的频率是（   ） A．0.25 B．0.28 C．0.3 D．0.4 3．（24-25八年级上·河南新乡·期末）在一次七年级学生身高抽查中，个数据分别落在个小组内，第一、二、四组数据所占的百分比分别是、、，则第三组数据的频数是 ． 【考点6】频率分布表和频率分布直方图 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）某市教育局对七年级学生进行体质监测，共收集了名学生的体重数据，并绘制成频数分布直方图．若从左往右数每个小长方形的面积之比为，则其中第三组的频数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）某校进行植树活动，活动结束后统计了各班级种植树木的数量，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个数值，不含后一个数值），根据图中所提供的信息，下列说法正确的是（    ） A．共有24个班级参加植树活动 B．频数分布直方图的组距为2.5 C．有的班级种植树木的数量多于35棵 D．有3个班级都种了45棵树 3．（2025七年级下·全国·专题练习）某校七（1）班有48人，对本班学生展开零花钱的消费调查，绘制了如图所示的领数分布直方图（每个直方图对应的钱数含最小值不含最大值）．已知从左到右小长方形的高之比为，则零花钱在8元及以上的共有 人． 第8章 认识概率 【考点7】确定事件与随机事件 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列词语所描述的事件属于随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．水到渠成 2．（24-25八年级上·北京延庆·期末）下列事件中，随机事件是（   ） A．在数轴上取一个点，它表示的数是实数 B．画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 C．画一个三角形，它的内角和是 D．把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有______； （2）其中是随机事件的有______； （3）其中是确定事件的有______． 【考点8】可能性的大小 1．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）不透明的袋子中有2个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．随机摸取1个小球后放回，连续摸取次，每次摸取到的都是黄球，下列说法正确的是（   ） A．第6次摸取到的一定是黄球 B．第6次摸取到的可能还是黄球 C．第6次摸取到的一定是红球 D．第6次摸取到红球的可能性更大 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．购买张彩票，中奖 B．画一个三角形，其内角和是 C．随意翻到一本书的某页，页码是奇数 D．射击运动员射击一次，命中靶心 3．（2024九年级上·全国·专题练习）一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色． 【考点9】频率与概率 1．（22-23九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 2．（23-24九年级上·山西长治·期末）某大型连锁超市以17元/斤的价格购进草莓1万斤，在运输、储存过程中部分草莓损坏，超市管理员从所有的草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如表： 草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500 损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 75 草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.150 超市管理员希望卖出草莓（损坏的草莓不能出售）可以获得利润42500元，那么就需要利用草莓损坏的概率（精确到0.01）估算草莓的售价．根据表中数据可以估计，草莓每斤的售价应该定为（   ） A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期末）李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据： 摸球的次数n 100 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250 摸到黑球的频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25 根据表中数据估计袋中白球有 个． 第9章 中心对称图形——平行四边形 【考点10】图形的识别——旋转、中心对称图表、轴对称图形 1．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在下列三种图形变换中，本题图案不包括的变换是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．以上三项均不包括 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列是一组设计的图案（不考虑颜色），下列图形不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【考点11】利用旋转的性质求解证明 1．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，已知中，，，，将绕点B顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在等腰直角中，，为内一点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，若的度数为，则的度数为________． 【考点12】平行四边形性质的判断 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，平行四边形的对角线、相交于点，下列结论正确的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）下列性质中菱形有而矩形没有的是（   ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 3．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点13】平行四边形判定的判断 1．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25九年级上·江西吉安·期末）下列说法正确的是（　　） A．两条对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3．（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列命题中，真命题是（   ） A．有两边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且平分的四边形是正方形 【考点14】平行四边形性质和判定求值证明 1.（24-25八年级上·广东汕头·期末）【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A．3个    B．4个     C．5个    D．6个 ②已知，求的长． 2．（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，，，将绕点B按顺时针方向旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·吉林长春·一模）如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交    的延长线于点F．若，则的长为 ． 【考点15】矩形性质和判定求值证明 1．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）在平行四边形中，，，当平行四边形的面积最大时，以下4个结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在矩形中，平分交于点E，在上取点F，使得，连接，以为腰作等腰直角三角形，点G恰好落在边上，则的长为 3．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）若平分，且，，求的长． 【考点16】菱形性质和判定求值证明 1．（23-24八年级上·重庆北碚·期末）如图，在中，，，对角线交于点，为直角三角形，是斜边的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、． （1）分别求出点、、的坐标； （2）若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点17】正方形性质和判定求值证明 1．（21-22九年级上·山东滨州·期末）如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，平分，平分外角，若，点D到边的距离是3，则 ． 3．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，过A作的平行线，交的平分线于点D，点E是上一点，连接交于点． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若，点分别是边中点，连接不添加字母和辅助线，直接写出图中所有与面积相等的三角形（不包含）． 【考点18】三角形的中位线求值证明 1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在四边形中，，，连接使平分，，E、F分别为、的中点，连接、、，则 ． 3．（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 第10章 分式 【考点19】分式的意义 1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 2．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）要使分式有意义，则x的取值应满足 ． 【考点20】分式的基本性质 1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 2．（23-24八年级上·河北承德·期中）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知 ，则 的值为 ． 【考点21】分式方程的增根与无解 1．（2020·四川成都·三模）下列结论正确的是（　　） A．是分式方程 B．方程＝1无解 C．方程的根为x＝0 D．解分式方程时，一定会出现增根 2．（2021九年级·全国·专题练习）若关于x的方程有增根，k的值是 ；若关于x的方程无解，k的值是 ． 3．（24-25八年级上·广西来宾·阶段练习）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：解方程． （1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【考点22】分式方程的非（正）负解、正（负）数解 1．（24-25八年级下·四川泸州·开学考试）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）若关于的不等式组有解且最多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 3．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）关于的分式方程：． （1）当时，求此时方程的解． （2）若这个方程的解为正数，求的取值范围． 【考点23】列分式方程解应用题 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 2．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）我市某中学为了打造书香校园，营造良好的读书氛围，培养学生良好的阅读习惯，并属“读书好、读好书、好读书”阅读活动，活动开展后，“双减”政策落地实施，学生课外作业量减少，自主活动时间增加，小智同学实际每天比原计划每天多阅读30页课外书．实际阅读350页所需的时间与原计划阅读200页所需时间相同，设原计划每天阅读课外书x页．则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）某物流公司运送一批货物，若用普通列车送到800千米的某城市，所需时间比规定时间多用2小时；若改为高速列车派送，则所需时间比规定时间少用3小时，已知高速列车的速度是普通列车的倍，则规定送达时间是多少？设规定时间为x小时，则分式方程列式正确的是（    ） A． B． C． D． 篇二：计算、化简求值、解答题 【考点22】分式的运算化简求值 1．（24-25八年级上·山东德州·期末）计算： （1）； （2）先化简：，再从、0、2中选择一个合适的数作为a的值代入计算． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中a是方程的根． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期末）计算 （1）； （2）． 【考点23】解分式方程 1．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）解方程： （1）； （2）． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）解下列分式方程： （1） （2） 3．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）解分式方程： （1）； （2）． 【考点24】数据的收集、整理、描述解与认识概率求值 1．（2023·湖南·中考真题）某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．现从中随机抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出了如下频数分布图和如图（八）所示的条形统计图（不完整）．请根据图表中的信息回答下列问题． 等级 频数 频率 A a 0.2 B 1600 b C 1400 0.35 D 200 0.05 （1）求频数分布表中a，b的值． （2）补全条形统计图． （3）该市九年级学生约人，试估计该市有多少名九年级学生可以评为“A”级． 2．（24-25六年级上·山东东营·期末）省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动．某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽 查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图（如图所示），请根据图中提供的信息，解答下列问题．             （1） ，这次共抽取 名学生进行调查； （2）求扇形统计图中，乘公交车对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图； （3）如果该校共有2000名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生约有多少名？ 3．（2019·西藏·中考真题）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了　 名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有　 　名； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　 　； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　 　． 【考点25】平行四边形性质与判定求值证明 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接． （1）求证：是的平分线； （2）若，，求的周长． 2．（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，． （1）求证：点E是中点； （2）若，，则的长为 ___． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． （1）求证：； （2）过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 【考点26】特殊平行四边形性质与判定求值证明 1．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 2．（2025·安徽合肥·一模）王老师带领同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展探究活动：如图1，在Rt中，，将绕点顺时针旋转，得到，点与点对应，点与点对应． （1）当时，的长为_____． （2）如图2，是的中点，连接，过点作且交直线于点． ①求证：． ②在旋转的过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的长度． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，点M在的延长线上，点N在的延长线上，平分，． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当时，连接，交于点O，过点D作，交于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与面积相等的4个三角形． 【考点27】列分式方程解应用 1．（2025·贵州·模拟预测）小李从地出发去相距4.5千米的地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍． （1）求小李步行的速度和骑自行车的速度； （2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？ 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）我市城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要天，若由甲队先做天，再由甲、乙合作天，共完成总工作量的三分之二． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工1天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款不超过万元，则甲、乙两队最多合作多少天？ 3．（2025·湖南长沙·一模）某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． （1）求甲、乙两种水果每件的进货单价； （2）若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$