专题09 因式分解全章中档培优（4个知识点+16种题型+58道题）-【名校压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题精讲精练（浙教版2024）

第四章 因式分解章末复习（4个知识点+16种题型+58道题） 题型导航 考点清单 知识点1 因式分解 一般地，把一个多项式化成几个 整式 的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫 分解因式 。 注意：(1)因式分解与整式乘法的关系： (2)因式分解的结果必须满足：①式子乘积的形式；②每个因式都是整式；③结果分解要彻底。 专项练习 题型01 判断是否因式分解 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型02 添括号 4．在等号右边的括号内填上适当的项： （1）（ ）； （2）（ ）； （3）（ ）； （4）（ ）； （5）（ ）． 5．在括号内填上适当的项： （1）( )； （2）( ) ． 知识点2 提公因式法 1.一般地，一个多项式中 每一项 都含有的相同的 因式 叫做这个多项式各项的公因式。 2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式 提取出来 进行因式分解。这种分解因式的方法，叫做提取公因式法。 3.提取公因式法的公式：。 4.提取公因式法的一般步骤 (1)确定应提取的 公因式 。先确定系数，再确定字母和字母的指数。 (2)用公因式去 除 这个多项式，所得的 商 作为另一个因式。 (3)把多项式写成这两个因式的 乘积 的形式。 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。 方法： 检查提取公因式法分解因式是否正确的方法为在因式分解完成后，按照整式乘法把各因式相乘，看结 果是否与原式相等，如果相等就说明是正确的，否则就是错误的。 题型03 公因式 6．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 7．多项式的公因式是（） A． B． C． D． 8．和的公因式是 ． 9．（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 题型04 提公因式法分解因式 10．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 11．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 12．因式分解： (1)； (2)； 13．因式分解：． 知识点3 平方差公式 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，,把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2 的等号两边互换位置,就得到 a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差,等于这两个数的 和 与这两个数的 差 的积。 注意： 当多项式的每一项都含有公因式时，要先提取公因式，再看能否运用平方差公式分解。分解因式必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。 题型05 用平方差公式分解因式 14．用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 知识点4 完全平方公式 1.把整式乘法的完全平方公式的等号两边互换位置，就得到=， =。即两数的平方和，加上（或 减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数 和 （或者 差 ）的平方。 2.一般地，利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)，或=把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法。公式中的a，b可以是数,也可以是整式。 题型06 用完全平方公式分解因式 15．用完全平方公式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； 题型07 提公因式法与公式法分解因式 16．用合适的方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)＋8＋16； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 题型08 十字相乘法分解因式 17．用合适的方法分解因式： (1)； (2)． (3)； (4)； (5)； (6)3； (7)； (8)； (9)； (10)． （11）； （12）； 题型09 分组分解法分解因式 18．用合适的方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (3)； (5)； (6)． (7)； (8)； (9)； (10)； 题型10 利用因式分解的方法简算 19．利用因式分解的方法简算 (1) (2) (3) 20．利用因式分解计算下列各式： (1)； (2) 21．用简便方法计算： (1)； (2)． 22．利用乘法公式计算：． 23．用简便方法计算：． 题型11 拆项添项分解因式 24.分解因式:x4+4. 25．因式分解： （1）x4+y4+z4﹣2x2y2﹣2y2z2﹣2x2z2 （2）x7+x5+1 （3）（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2． 26．因式分解： （1）x5+x+1； （2）x3﹣9x+8； （3）a4+2a3+3a2+2a+1． 27．因式分解： （1）x3﹣2x2+1； （2）3x3+2x﹣5； （3）x2+2xy+y2+x+y﹣2． 28．因式分解： （1）x2﹣3xy﹣10y2+x+9y﹣2； （2）x3﹣11x2+31x﹣21． 题型12 分解因式整除问题 29．若为整数，则代数式的值一定可以（   ） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 30．对于任何整数m．多项式一定能（    ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 31．若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 32．已知为自然数，则一定能被（   ）整除． A．7 B．8 C．9 D．10 33．已知能被整除，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 题型13 待定系数法求参数问题 34．已知因式分解后，其中有一个因式为，则k的值为（   ） A．6 B． C．10 D． 35．已知多项式分解因式后结果，则，的值为（  ） A．， B．， C．， D．， 36．多项式中，有一个因式为，则的值为（    ） A． B． C．15 D．3 37．已知分解因式的结果为，则（　　） A． B．4 C．1 D．0 38．若多项式有一个因式为，那么 ． 39．如果是多项式的一个因式，则的值为 ． 40．多项式分解因式后有一个因式是，则 ． 41．多项式除以多项式，则所得的余式是 ． 42．已知因式分解后含有因式，则的值为 ． 43．若整式有一项因式为，那么的值为 ． 题型14 已知一个代数式的值求另一个代数式的值 44．若，，则的值为（） A．8 B．－8 C．6 D．－6 45．已知，，则代数式的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 46．已知，，则代数式的值为（    ） A． B．25 C． D．45 47．若，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 48．已知，，则 ． 49．若，，则的值为 ． 50．已知，则的值等于 ． 51．已知，则的值为 ． 题型15 利用因式分解比较大小 52．若，，则M，N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 53．已知，，则与的大小关系是 ． 题型16 因式分解在几何图形中的应用 54．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 55．数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远，例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示． (1)由图2，你能得到的数学等式为：______； (2)观察图3，解决以下问题：若，，求的值． (3)小灵同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽． 56．【问题发现】小星发现把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式． 例如，由图①，可得到等式：． 【类比探究】（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，通过上面的启发，你能发现什么结论？请用等式表示出来； 【结论应用】（2）①已知，求的值； ②因式分解：_______． 【拓展延伸】（3）类似的，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一个等式．如图③所示的是一个棱长为x的正方体挖去一个底面边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中两个图形的变化关系，写出一个等式． 57．如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法． (1)结合图1、图2试着分解因式： ； (2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法： ①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形； ②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片； ③结合你的拼图过程，分解因式 ． 58．中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为的正方形纸片，2号纸片是边长为的正方形纸片，3号纸片是长为、宽为的长方形纸片． (1)由边长分别为，的两个小正方形和两个长为、宽为的长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：______； (2)如图3，根据所拼图形的面积，可以把多项式分解因式，其结果是______； (3)用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面积为32，3号纸片的面积为24，求，的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 因式分解章末复习（4个知识点+16种题型+58道题） 题型导航 考点清单 知识点1 因式分解 一般地，把一个多项式化成几个 整式 的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫 分解因式 。 注意：(1)因式分解与整式乘法的关系： (2)因式分解的结果必须满足：①式子乘积的形式；②每个因式都是整式；③结果分解要彻底。 专项练习 题型01 判断是否因式分解 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．根据定义分析即可． 【详解】解：A，C，D的右边不是积的形式，故不是因式分解； B符合因式分解的定义． 故选B． 2．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义、整式的乘法运算，熟记因式分解的定义是解题关键．根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，逐项判断即可得． 【详解】解：A、，，则此项不符题意； B、是整式的乘法运算，不是因式分解，则此项不符题意； C、等式右边等于，即等式的两边相等，且等式右边是整式积的形式，是因式分解，则此项符合题意； D、等式左右两边都是单项式，不是多项式，不符合题意因式分解定义，则此项不符题意； 故选：C． 3．下列式子的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，理解因式分解的定义是解题关键．因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据因式分解的定义分析判断即可． 【详解】解：A. ，是多项式乘多项式，不符合题意； B. ，分解错误，故不符合题意； C. ，是因式分解，故符合题意； D. ，是多项式乘多项式且计算错误，不是因式分解，故不符合题意． 故选：C． 题型02 添括号 4．在等号右边的括号内填上适当的项： （1）（ ）； （2）（ ）； （3）（ ）； （4）（ ）； （5）（ ）． 【答案】 【分析】（1）根据添括号法则，括号前为正号，则括号内各项不变号，括号前为负号，则括号内各项变号； （2）根据添括号法则，括号前为正号，则括号内各项不变号，括号前为负号，则括号内各项变号； （3）根据添括号法则，括号前为正号，则括号内各项不变号，括号前为负号，则括号内各项变号； （4）根据添括号法则，括号前为正号，则括号内各项不变号，括号前为负号，则括号内各项变号； （5）根据添括号法则，括号前为正号，则括号内各项不变号，括号前为负号，则括号内各项变号； 【详解】解;（1）（）； （2）（）； （3）（）； （4）（）； （5）（） 【点睛】本题考查添括号法则，理解添括号法则，注意括号前为负号，括号内各项变号． 5．在括号内填上适当的项： （1）( )； （2）( ) ． 【答案】 【分析】（1）根据添括号法则求解即可； （2）根据添括号法则求解即可． 【详解】解：（1）所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号，故． （2）所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都不改变符号，故． 故答案为：；. 【点睛】本题考查了添括号法则，熟练掌握添括号法则是解题的关键． 知识点2 提公因式法 1.一般地，一个多项式中 每一项 都含有的相同的 因式 叫做这个多项式各项的公因式。 2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式 提取出来 进行因式分解。这种分解因式的方法，叫做提取公因式法。 3.提取公因式法的公式：。 4.提取公因式法的一般步骤 (1)确定应提取的 公因式 。先确定系数，再确定字母和字母的指数。 (2)用公因式去 除 这个多项式，所得的 商 作为另一个因式。 (3)把多项式写成这两个因式的 乘积 的形式。 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。 方法： 检查提取公因式法分解因式是否正确的方法为在因式分解完成后，按照整式乘法把各因式相乘，看结 果是否与原式相等，如果相等就说明是正确的，否则就是错误的。 题型03 公因式 6．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求多项式的公因式，根据多项式的公因式是指各项都含有的相同的因式即可得解，熟练掌握多项式的公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式的公因式是， 故选：D． 7．多项式的公因式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式公因式，解题的关键是找出多项式各项系数的最大公因数以及各项都含有的相同字母的最低次幂． 分别分析多项式各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂，从而确定公因式． 【详解】在多项式中，8和12的最大公因数是4； 对于字母，在中的次数是3，在中的次数是1，相同字母的最低次幂是； 对于字母，在和中的次数分别是3和2，即相同字母的最低次幂是； 对于字母，中不含，所以公因式中不含． 综合起来，多项式的公因式是， 故答案选：B． 8．和的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．根据公因式的确定方法找出公因式即可． 【详解】解：和的公因式是， 故答案为：． 9．（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 题型04 提公因式法分解因式 10．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键． （1）直接利用提公因式法分解因式即可； （2）直接利用提公因式法分解因式即可； （3）将变形为，再直接提公因式进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 11．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键. （1）用提公因式法分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式提取公因式即可； （2）原式提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．因式分解：． 【答案】 【分析】此题考查提公因式法与单项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先提取公因式，再对余下的进行单项式乘多项式，最后合并同类项即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 知识点3 平方差公式 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，,把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2 的等号两边互换位置,就得到 a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差,等于这两个数的 和 与这两个数的 差 的积。 注意： 当多项式的每一项都含有公因式时，要先提取公因式，再看能否运用平方差公式分解。分解因式必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。 题型05 用平方差公式分解因式 14．用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10) 【详解】（1）解：． （2）解： ； （3）解： ； （4）解：， ， ． （5） 解：原式 （6）解：原式 ． （7）解：原式 ； （8）解：原式 ． （9）解：原式， ， ； （10）解： ． 知识点4 完全平方公式 1.把整式乘法的完全平方公式的等号两边互换位置，就得到=， =。即两数的平方和，加上（或 减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数 和 （或者 差 ）的平方。 2.一般地，利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)，或=把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法。公式中的a，b可以是数,也可以是整式。 题型06 用完全平方公式分解因式 15．用完全平方公式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． （5）解：原式 ． （6）解： ； （7）解：原式， ， ； 题型07 提公因式法与公式法分解因式 16．用合适的方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)＋8＋16； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ； （4）解：816 ． （5） ． （6）解： ； （7）解： ． （8）解： ． （9）解： ； （10） ． 题型08 十字相乘法分解因式 17．用合适的方法分解因式： (1)； (2)． (3)； (4)； (5)； (6)3； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； （12）； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)[x-(3m+3)][x-(3m-3)]；（12）； 【详解】（1）解：∵常数项，而，为一次项系数， ∴． （2）解： ． （3）解：； （4）解： ； （5）解： ． （6）解：3， ； （7）解：， ． （8）解； ． （9）解： ； （10）解： ． (11)解： =(3m-3)] =[x-(3m+3)][x-(3m-3)]； （12） =； 题型09 分组分解法分解因式 18．用合适的方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (3)； (5)； (6)． (7)； (8)； (9)； (10)； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)； (8)；(9)； (10)； 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． （4）解：原式 ； （5）解： ； （6）解： ． （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ． (10)解： = = =-x] =- = 题型10 利用因式分解的方法简算 19．利用因式分解的方法简算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)8 (3)40000 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式进行求解，再提取公因数计算即可； （2）提公因数再进行计算； （3）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1） （2） （3） 20．利用因式分解计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1)10000 (2)1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，因式分解，关键是掌握完全平方式进行因式分解．利用完全平方公式分解因式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 21．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)80 【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键； （1）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ． 22．利用乘法公式计算：． 【答案】100 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式进行简算即可．掌握完全平方公式，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 23．用简便方法计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 题型11 拆项添项分解因式 24.分解因式:x4+4. 【答案】（x2+2x+2）（x2-2x+2） 【解析】x4+4=（ x2）2+22=（ x2）2+4 x2+22-4 x2=（x2+2）2-（2x）2 =（x2+2+2x）（x2+2-2x） =（x2+2x+2）（x2-2x+2） 25．因式分解： （1）x4+y4+z4﹣2x2y2﹣2y2z2﹣2x2z2 （2）x7+x5+1 （3）（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2． 【答案】见解析 【解析】（1）先运用分组分解法将原式变形为x4﹣2x2y2+y4﹣2y2z2﹣2z2x2+z4，然后变形为（x2﹣y2）2﹣2z2（x2+y2）+z4，再运用完全平方公式和平方差公式分解就可以求出结论； （1）x4+y4+z4﹣2x2y2﹣2y2z2﹣2x2z2 ＝x4﹣2x2y2+y4﹣2y2z2﹣2z2x2+z4 ＝（x2﹣y2）2﹣2z2（x2+y2）+z4 ＝（x2﹣y2）2﹣2z2（x2﹣y2）+z4﹣4z2y2 ＝（x2﹣y2﹣z2）2﹣4z2y2 ＝（x2﹣y2﹣z2﹣2yz）（x2﹣y2﹣z2+2yz） ＝[x2﹣（y+z）2][x2﹣（y﹣z）2] ＝（x+y+z）（x﹣y﹣z）（x+y﹣z）（x﹣y+z）； （2）首先把因式添项x6再减去x6，然后因式分解，再提取公因式即可； x7+x5+1 ＝x7+x6+x5﹣x6+1 ＝x5（x2+x+1）﹣（x3+1）（x3﹣1） ＝（x2+x+1）[x5﹣（x﹣1）（x3+1）] ＝（x2+x+1）（x5﹣x4+x3﹣x+1）； （3）设x+y＝a，xy＝b，将式子变形为（a﹣2b）（a﹣2）+（b﹣1）2，再去括号，合并同类项进行因式分解即可． 设x+y＝a，xy＝b， 则（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2 ＝（a﹣2b）（a﹣2）+（b﹣1）2 ＝a2﹣2ab﹣2a+4b+b2﹣2b+1 ＝a2﹣2ab﹣2a+b2+2b+1 ＝a2﹣2ab+b2﹣2a+2b+1 ＝（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1 ＝（a﹣b﹣1）2 ＝（x+y﹣xy﹣1）2 ＝（x﹣1）2（1﹣y）2． 26．因式分解： （1）x5+x+1；（2）x3﹣9x+8；（3）a4+2a3+3a2+2a+1． 【答案】见解析 【解析】（1）首先利用补项法，进而提取公因式分解因式得出即可； x5+x+1 ＝x5﹣x2+x2+x+1 ＝x2（x3﹣1）+（x2+x+1） ＝x2（x﹣1）（x2+x+1）+（x2+x+1） ＝（x2+x+1）[x2（x﹣1）+1] ＝（x2+x+1）（x3﹣x2+1）； （2）根据多项式的特点，可以将常数项8拆成﹣1+9，然后分组分解．也可以将一次项﹣9x拆成﹣x﹣8x，然后分组分解； 解法1：将常数项8拆成﹣1+9． 原式＝x3﹣9x﹣1+9 ＝（x3﹣1）﹣9x+9 ＝（x﹣1）（x2+x+1）﹣9（x﹣1） ＝（x﹣1）（x2+x﹣8）； 解法2：将一次项﹣9x拆成﹣x﹣8x． 原式＝x3﹣x﹣8x+8 ＝（x3﹣x）+（﹣8x+8） ＝x（x+1）（x﹣1）﹣8（x﹣1） ＝（x﹣1）（x2+x﹣8）； （3）这个题用常规的方法难以分解，考虑应用拆项变形，经过探索试验，把3a2拆成a2+2a2即可． a4+2a3+3a2+2a+1 ＝a4+2a3+a2+2a2+2a+1 ＝a2（a+1）2+2a（a+1）+1 ＝[a（a+1）+1]2 ＝（a2+a+1）2． 27．因式分解： （1）x3﹣2x2+1；（2）3x3+2x﹣5；（3）x2+2xy+y2+x+y﹣2． 【答案】见解析 【解析】（1）把﹣2x2化为﹣x2﹣x2，然后分组，利用提公因式法和平方差公式分解即可； x3﹣2x2+1 ＝x3﹣x2﹣x2+1 ＝x2（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1） ＝（x﹣1）（x2﹣x﹣1）； （2）把+2x化为﹣3x+5x，然后分组，利用提公因式法和平方差公式分解即可； 3x3+2x﹣5 ＝3x3﹣3x+5x﹣5 ＝3x（x+1）（x﹣1）+5（x﹣1） ＝（x﹣1）（3x2+3x+5）； （3）先利用完全平方公式把前三项变形，利用十字相乘法分解即可． x2+2xy+y2+x+y﹣2 ＝（x+y）2+（x+y）﹣2 ＝（x+y+2）（x+y﹣1）． 28．因式分解： （1）x2﹣3xy﹣10y2+x+9y﹣2；（2）x3﹣11x2+31x﹣21． 【答案】见解析 【解析】（1）原式＝（x+2y）（x﹣5y）+2x+4y﹣x+5y﹣2 ＝（x+2y）（x﹣5y）+2（x+2y）﹣（x﹣5y+2） ＝（x+2y）（x﹣5y+2）﹣（x﹣5y+2） ＝（x+2y﹣1）（x﹣5y+2）； （2）原式＝（x3﹣1）﹣（11x3﹣31x+20） ＝（x﹣1）（x2+x+1）﹣（11x﹣20）（x﹣1） ＝（x﹣1）（x2+x+1﹣11x+20） ＝（x﹣1）（x2﹣10x+21） ＝（x﹣1）（x﹣3）（x﹣7）． 题型12 分解因式整除问题 29．若为整数，则代数式的值一定可以（   ） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算、因式分解的应用等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． 先运用整式的四则混合运算化简，再因式分解，然后判断即可． 【详解】解：因为 ， 所以该代数式的值一定可以被3整除． 故选：C． 30．对于任何整数m．多项式一定能（    ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是正确解答的关键． 综合提公因式法和公式法将原式化为即可． 【详解】解： ， ∴多项式一定能8整除， 故选：A． 31．若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把因式分解为，据此可得答案． 【详解】解： ； ∵k为任意整数， ∴为整数， ∴一定能被4整除， ∴的值总能被4整除， 故选：A． 32．已知为自然数，则一定能被（   ）整除． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子进行合理的变形，再由数的整除性求解是解题的关键．将所求式子用平方差公式分解因式即可进行求解． 【详解】解：∵ ， ∴一定能被8整除． 故选：B． 33．已知能被整除，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，设，则当时，，求出的值即可． 【详解】解：∵能被整除， ∴设， ∴当时，， ∴； 故选D． 题型13 待定系数法求参数问题 34．已知因式分解后，其中有一个因式为，则k的值为（   ） A．6 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，根据题意，令，当时，代入求解即可． 【详解】解：令 当时， ∴ 故选：B． 35．已知多项式分解因式后结果，则，的值为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解： ，，． 故选：D． 36．多项式中，有一个因式为，则的值为（    ） A． B． C．15 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了多项式的因式分解，将多项式化为两个多项式的乘法计算，即可得到b的值 【详解】解： ∴ 故选：C 37．已知分解因式的结果为，则（　　） A． B．4 C．1 D．0 【答案】D 【分析】此题主要考查了十字相乘法进行因式分解，正确掌握运算法则，将原式展开是解题关键． 首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出m，n的值，即可得出答案． 【详解】解：多项式分解因式的结果为， ， ，， ， ， ． 故答案为：0． 38．若多项式有一个因式为，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解的意义，由多项式有一个因式为，可设另一个因式为，可得．掌握因式分解的意义是解题关键． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 即， 解得． 故答案为：2． 39．如果是多项式的一个因式，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系，根据是多项式的一个因式，设=是解题的关键． 设=，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与的对应项的系数相同，据此即可求得a，m的值． 【详解】解：解：设 则， 解得：． 故答案为：8． 40．多项式分解因式后有一个因式是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解和多项式乘多项式，由多项式分解因式后有一个因式是得出当时，多项式的值为，由此得出关于k的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵多项式进行因式分解后有一个因式是， ∴当时，多项式的值为0， 即， 解得：． 故答案为： 41．多项式除以多项式，则所得的余式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的应用，将变形为即可求解． 【详解】∵ ， ∴多项式除以多项式，则所得的余式是， 故答案为：． 42．已知因式分解后含有因式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的意义，设出是解题的关键．设，将其展开后即可求得答案． 【详解】解：设， 则， ∴，， 解得：， 则， 故答案为：． 43．若整式有一项因式为，那么的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解和整式的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．不妨设，然后利用整式的乘法得到，从而得到，，，最后算得答案． 【详解】解：不妨设 那么 ，， ， 故答案为：2． 题型14 已知一个代数式的值求另一个代数式的值 44．若，，则的值为（） A．8 B．－8 C．6 D．－6 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键，先把化成，再把代入，即可求出的值． 【详解】解：，， 故选：A． 45．已知，，则代数式的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，先把所求代数式提取公因式，再把和的值代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 46．已知，，则代数式的值为（    ） A． B．25 C． D．45 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用、求代数式的值，将式子因式分解为，代入计算即得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 47．若，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，由可得，即得，再对多项式因式分解得，最后把的值代入计算即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 48．已知，，则 ． 【答案】100 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，掌握因式分解的方法成为解题的关键． 先运用提取公因式和公式法因式分解，然后将、代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 故答案为：100． 49．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，求代数式值，掌握因式分解的步骤，公式的运用是解题的关键．先提公式，再运用公式法，将待求的代数式用已知的代数表示，代入求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 50．已知，则的值等于 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法成为解题的关键． 先提取公因式，然后再运用完全平方公式分解，最后将已知条件代入求值即可． 【详解】解： ． 故答案为：50． 51．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出，再把变形为，进而把所求式子变形为，进一步变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型15 利用因式分解比较大小 52．若，，则M，N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解的应用，利用作差法比较大小是解题的关键．先计算，再利用完全平方公式变形即可得出结论． 【详解】解：由题意得， ， ． 故选：B． 53．已知，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键． 根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解： ，， ， 故答案为： ． 题型16 因式分解在几何图形中的应用 54．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求空白部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）根据长方形的周长是即可得出的值；由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ， 空白部分的面积为， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 55．数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远，例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示． (1)由图2，你能得到的数学等式为：______； (2)观察图3，解决以下问题：若，，求的值． (3)小灵同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽． 【答案】(1) (2)3 (3)长方形的长为，宽为 【分析】（1）根据大长方形的面积等于各部分的面积之和求解即可； （2）先得出，再将，代入计算即可； （3）由题意得，再分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得． 故答案为：； （2）解：从总体看，大正方形的边长为，面积为， 从部分看，图形的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：由题意可知：， ∴大长方形的长为，宽为． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 56．【问题发现】小星发现把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式． 例如，由图①，可得到等式：． 【类比探究】（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，通过上面的启发，你能发现什么结论？请用等式表示出来； 【结论应用】（2）①已知，求的值； ②因式分解：_______． 【拓展延伸】（3）类似的，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一个等式．如图③所示的是一个棱长为x的正方体挖去一个底面边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中两个图形的变化关系，写出一个等式． 【答案】（1）；（2）①144；②；（3） 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法并灵活运用是解题的关键． （1）用两种方法表示图②的面积即可得到恒等式； （2）①整体代入求值即可； ②根据（1）中的结论因式分解即可； （3）用两种不同的方法表示图3的体积，即可得到恒等式． 【详解】解：（1）由图2得：正方形的面积；正方形的面积， ∴； （2）①因为， 所以； ②， 故答案为：； （3）因为原几何体的体积，新几何体的体积， 所以． 57．如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法． (1)结合图1、图2试着分解因式： ； (2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法： ①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形； ②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片； ③结合你的拼图过程，分解因式 ． 【答案】(1) (2)①见解析； ② 3，1，4 ；③ 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解． （1）按长方形面积公式长×宽”计算得出； （2）①根据题意画出相应图形；②根据拼图即可得到A，B，C三种纸片各用了多少张；③根据长方形的面积分解因式即可． 【详解】（1）解：通过面积计算可以发现， ， 故答案为：； （2） ①解：如图； ②根据拼图即可得到共用了3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片； 故答案为：3,1,4； ③根据拼图过程和长方形面积公式可得； 故答案为：． 58．中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为的正方形纸片，2号纸片是边长为的正方形纸片，3号纸片是长为、宽为的长方形纸片． (1)由边长分别为，的两个小正方形和两个长为、宽为的长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：______； (2)如图3，根据所拼图形的面积，可以把多项式分解因式，其结果是______； (3)用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面积为32，3号纸片的面积为24，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合思想是解本题的关键． （1）根据面积相等的两次计算可得结论； （2）根据多项式的几何背景是边长为，的长方形扔面积，解答； （3）根据阴影面积＝总面积－两个三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，； 故答案为：； （2）解：根据所拼图形的面积，可以把多项式分解因式，其结果是， 故答案为：； （3）解：图形的总面积为：， 两个三角形两种分别为：， ，阴影面积＝总面积－两个三角形的面积， （负数舍去） ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$