数学（江苏常州卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

1 2025 年中考第二次模拟考试（常州卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 10 分，共 20 分） 9. _________________ 10．___________________ 11. __________________ 12．__________________ 13.___________________ 14. ___________________ 15.___________________ 16. ___________________ 17.___________________ 18. ___________________ 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 10 个小题，共 84 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8 分） 20．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8 分） 22．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8 分） 24．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（8 分） 26.（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（10 分） 28.（10 分） 2025年中考第二次模拟考试（常州卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C D A B B C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9． 10． 11．21 12． 13． 14．8 15． 16．/38度 17．/ 18． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 20．（6分） 【详解】 解：由①得 ， 由②得 ， 原不等式组的解集为； 解集在数轴上表示为： 21．（8分） 【详解】（1）解：调查学生的总数为：（人）， 喜爱诗歌的人数为：（人）． 补充条形统计图如下： （2）解：“寓言”所对应的扇形圆心角是：； （3）解：该校2600名学生中，喜爱“小说”的有： （人）． 22．（8分） 【详解】（1）解：依题意，一共有三部电影， 故淘气选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率． 故答案为：． （2）解：依题意，将《哪吒之魔童闹海》《射雕英雄传：侠之大者》《唐探1900》分别记为，且记笑笑和淘气分别为，运用表示两个人的选择情况，列表如下， ∴由表可知，等可能出现的结果为：、、、、、、、、，一共有种．笑笑和淘气两名同学选择观看同一电影的情况有种，即、、． ∴笑笑和淘气两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 23．（8分） 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的度数为． 24．（8分） 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 又∵在一次函数的图象上， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴， 设点的坐标为，则， ， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 25．（8分） 【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于， 由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，， 所以的长度就是与之间的距离， 在中，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 26．（10分） 【详解】（1）解：①连接，设与轴交于点， ∵的半径为2， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴，则， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴点是点关于弦的“等边旋转点” 故答案为：，是； ②根据新定义可得，则是等边三角形， ∴到的距离最小值即的长， ∵，， ∴的最小值为； 如图所示，当与相切时，轴，此时点与点重合， ∵是等边三角形， ∴ ∴ 故答案为：；． （2）解：由（1）可得，，则是半径为的圆的一条切线在半径为的圆的内部， 如图所示，连接，则， 当运动时，构成的图形是以为圆心，半径为，的同心圆的圆环 ∵若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”， 设是上任意一点， ∵，即点为轴上的点，则绕上一点顺时针得到的点在上，即是等边三角形， ∴在以为圆心，半径为，的同心圆的圆环内时（包括边界），符合题意， 如图所示， 当时，先求得最小值，如图所示，其中旋转后对应的线段在圆环内， 当与重合，且时，在半径为的上，此时 当距离最远时，此时重合，如图所示，连接，过点作轴于点， ∵是等边三角形，，， ∴， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 当时，∵上任意一点旋转后对应的点在圆环内，则线段在圆环内， 先求得最小值，即的最大值，则重合， 如图所示，在半径为的上时，是等边三角形则最小值， 如图所示，当在半径为的上且与其相切时，取得最大值时，如图所示，连接， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ 综上所述：的取值范围为：或 27．（10分） 【详解】（1）解： ， ， 当时，， 令， ， 解得：或， ，． （2）解：∵，． ∴， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， ∴直线的解析式为 作点B关于y轴的对称点F，连接，如图， ①当点P在x轴下方时，如图中点处， 连接交于E， 点B、点F关于y轴的对称， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设点E坐标为， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（舍去） ∴； ②当点P在x轴上方时，如图中点处， ∵， ∴与关于x轴对称， ， 同理可求经过的直线的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴ 综上，点P的坐标为或． （3）解：设，，， ， ， ， ， 设直线的解析为，则有 ， 解得：， ， 设直线的解析为， 经过， 同理可求， 直线的解析为， ， 直线的解析为， 联立， 整理得：， ， ， 联立， 整理得：， ， 得： ， ， ， 直线的解析式为， 直线必与直线平行， 故这条直线的函数解析式为． 28．（10分） 【详解】（1）解：（1）由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 由题意得：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：①过点A作于点F，连接，交于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置，如图： ②∵正方形、正方形、矩形、矩形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴的面积． ∵矩形的面积为12， ∴， ∴的面积． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考第二次模拟考试（常州卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 10 分，共 20 分） 9. _________________ 10 ． ___________________ 11. _______ ___________ 12 ． __________________ 13. ___________________ 14. ___________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 17. _________________ __ 18. ___________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共 10 个小题，共 84 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 9 ． （8分） 20 ． （6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21． （8分） 22． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （8分） 24． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25.（8分） 26.（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 27.（10分） 28.（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试（常州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（   ） A．2025 B． C． D． 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代正面建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，其主视图是（   ） A． B． C． D． 5．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组（    ） A． B． C． D． 7．在一场篮球赛中，某队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：187，188，192，193，194．因身高为m的队员受伤，教练让身高为的队员替补上场．与换人前相比，换人后场上队员的身高（   ） A．平均数变小，方差变大 B．平均数变小，方差变小 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 8．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水，下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（   ）    A．   B．   C．   D．   第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 10．根据某网站统计数据，截止至年月，的总访问量已达到次，其中用科学记数法表示为 ． 11．已知，则的值为 ． 12．我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积为 ．（结果用表示） 13．一元二次方程的一个解为，则 ． 14．在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有 个． 摸球的次数 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 15．如图，矩形中，，连接．以点为圆心，以任意长为半径作弧，交，分别于点，分别以点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．则的面积为 ． 16．如图，交于点切于点点在上，若，则为 ．    17．如图，在矩形中，是边上两点，且，连接，与相交于点，连接．若，，则的值为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点P作交y轴于点Q，当点在上运动时，点Q随之运动，设点Q的坐标为，则的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 20．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来 21．（8分）某校为了解本校学生对小说、散文、诗歌、寓言四类书籍的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“寓言”所对应的扇形圆心角是______°； (3)若该校有2600名在校学生，请你估计喜爱“小说”的有多少人？ 22．（8分）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒之魔童闹海》《射雕英雄传：侠之大者》《唐探1900》．笑笑和淘气两名同学分别从这三部电影中随机选择一部观看，假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等． (1)淘气选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率是___________； (2)求笑笑和淘气两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 23．（8分）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 24．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不包括两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是3时，求点的坐标． 25．（8分）某车站的一组智能通道闸机如图1所示，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)求当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 26．（10分）在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点，和的弦，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点逆时针旋转后与点重合，则称点是点关于弦的“等边旋转点”． (1)如图，点，直线与交于点，． ①点的坐标为______，点______（填“是”或“不是”）点关于弦的“等边旋转点”； ②若点关于弦的“等边旋转点”为点，则的最小值为______，当与相切时，点的坐标为______； (2)已知点，，若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”，直接写出的取值范围． 27．（10分）如图1，二次函数与轴相交于点、（点A在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)直接写出点、、的坐标； (2)如图1，连接，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图2，直线与抛物线相交于两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点与点的直线交抛物线于，若直线必与某条直线平行，求这条直线的函数解析式． 28．（10分）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图1，为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：平行于主光轴的光线，通过透镜折射后经过焦点，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点． (1)若像距，物距，小蜡烛的高度，则蜡烛的像_____； (2)当时，设，，求关于的函数关系式； (3)如图2，在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为，作正方形、正方形、矩形、矩形． ①在线段上作出凸透镜的焦点的位置；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②若矩形的面积为12，求的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（常州卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的定义，由绝对值的意义可得，再根据倒数的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C． 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，根据运算法则对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标平面内点的坐标的特点与点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值. 根据“点M在第二象限”可知，点M的横坐标为负，纵坐标为正，根据“点M到轴的距离为，到轴的距离为”可分别得出点M横坐标与纵坐标的绝对值，即可得出坐标 【详解】解：∵点M在第二象限， ∴点M的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∵点M到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点M的坐标是， 故选：C 4．鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代正面建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，其主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】 解：从正面看到的平面图形是：   故选：D． 5．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，求一个角的余角，根据平行线的性质得出，再根据余角的定义求解即可． 【详解】解：如下图： ∵直尺的两边平行， ∴， ∴， 故选：A 6．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱可列方程为，根据乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱可列方程为，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列二元一次方程组为， 故选：B． 7．在一场篮球赛中，某队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：187，188，192，193，194．因身高为m的队员受伤，教练让身高为的队员替补上场．与换人前相比，换人后场上队员的身高（   ） A．平均数变小，方差变大 B．平均数变小，方差变小 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【答案】B 【分析】 本题主要考查平均数和方差，根据平均数和方差的定义和意义即可得出答案． 【详解】 解：用一名身高的队员换下场上身高的队员，与换人前相比，场上队员身高的和变小，而人数没变， 所以他们的平均数变小， 由于数据的波动性变小，所以数据的方差变小. 故选: B． 8．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水，下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键．分成3段分析可得答案． 【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10．根据某网站统计数据，截止至年月，的总访问量已达到次，其中用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 11．已知，则的值为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．根据平方差公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：21． 12．我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积为 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积， 故答案为：． 13．一元二次方程的一个解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，由题意可得，解方程即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有 个． 摸球的次数 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 【答案】8 【分析】本题考查由频率估计概率，最后计算出小球个数．根据题意通过表格可知白球的概率约为，再由小球总数即可计算出本题答案． 【详解】解：根据表格可得摸到白球的概率约为， ∵盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球， ∴白球个数：（个）， 故答案为：8． 15．如图，矩形中，，连接．以点为圆心，以任意长为半径作弧，交，分别于点，分别以点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与角平分线的性质，证明是解本题的关键．证明，，，如图，过H点作于M，可得，证明，求出，得到，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，，， 如图，过H点作于M， 由作法得平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 16．如图，交于点切于点点在上，若，则为 ．    【答案】/38度 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，利用圆周角定理求出是解题的关键．先由圆周角定理得到，由切线的性质得到，即可利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，在矩形中，是边上两点，且，连接，与相交于点，连接．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值．根据矩形的性质可证，得到，，如图所示，过点作于点，可证，，，，在中由勾股定理得到的长，再根据余弦的定义计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，且， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点P作交y轴于点Q，当点在上运动时，点Q随之运动，设点Q的坐标为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论：①当点在之间时，当延长交轴于点，即过点作，垂足为，根据已知条件证明，得到，设，则，，从而得到与的函数关系式，求出最值，从而求出的最值即可； ②过点作，延长交轴于点，连接，当点运动到点处时，根据已知条件求出，两点坐标，再根据其它各点坐标求出，，，，，从而根据勾股定理求出和的平方和，于的平方和，列出方程求出即可； ③过点作轴于点，延长交轴于点，连接，当点运动到点时，根据已知条件求出，两点坐标，再根据其它各点坐标求出，，，，从而根据勾股定理求出，，和的平方和，于的平方和，列出方程求出即可． 【详解】解：①如图所示：当点在之间时，当延长交轴于点，即过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，其中，则，设， ， ， ，， 当时，有最大值， ， 当时，有最小值0， ， 的取值范围为：； ②如图1所示，过点作，延长交轴于点，连接，当点运动到点时， ，， 轴， ， ，， ，，轴， ， ， ，，， ， ，， 轴轴， ， ， ， ， ， ， ， ； ③如图2所示，过点作轴于点，延长交轴于点，连接，当点运动到点时， ，， 轴， ，， ，，， ，，， ，轴， ， ， 轴， ， ，， ， ， ， 轴轴， ， ， ， ， 的取值范围是：， 综上可知：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用几何动点问题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，坐标与图形等知识，解题关键是根据已知条件求出有关点的坐标和有关线段． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（）；（）． 【分析】（）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂和化简绝对值，然后计算加减； （）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后计算加减即可． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 【点睛】此题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 20．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来 【答案】，解集在数轴上表示见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示解集；分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，解集在数轴上表示出来，即可求解；掌握不等式组的解法，并会在数轴上的表示解集是解题的关键． 【详解】 解：由①得 ， 由②得 ， 原不等式组的解集为； 解集在数轴上表示为： 21．（8分）某校为了解本校学生对小说、散文、诗歌、寓言四类书籍的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“寓言”所对应的扇形圆心角是______°； (3)若该校有2600名在校学生，请你估计喜爱“小说”的有多少人？ 【答案】(1)见解析 (2)54 (3)1040人 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．解题的关键是从两种统计图中获取有效信息，利用部分与整体的关系来求解．比如从条形统计图中得到各类的具体人数，从扇形统计图中得到各类人数占比，再根据相应的公式进行计算． （1）从条形统计图可知喜爱散文的有 50 人，从扇形统计图可知喜爱散文的人数占被调查总人数的，根据“部分量部分量所占百分比总量”来计算被调查的学生人数，用被调查的总人数减去喜爱小说、散文、寓言的人数，就得到喜爱诗歌的人数，再补全条形统计图即可． （2）先求出喜爱寓言的人数占总人数的百分比，再根据 “扇形圆心角度数该部分占总体的百分比” 计算 “寓言” 所对应的扇形圆心角； （3）先求出喜爱小说的人数在被调查人数中的占比，再用全校总人数乘以这个占比，就可估算出全校喜爱小说的人数． 【详解】（1）解：调查学生的总数为：（人）， 喜爱诗歌的人数为：（人）． 补充条形统计图如下： （2）解：“寓言”所对应的扇形圆心角是：； （3）解：该校2600名学生中，喜爱“小说”的有： （人）． 22．（8分）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒之魔童闹海》《射雕英雄传：侠之大者》《唐探1900》．笑笑和淘气两名同学分别从这三部电影中随机选择一部观看，假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等． (1)淘气选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率是___________； (2)求笑笑和淘气两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）依题意，一共有三部电影，则运用概率公式算出淘气选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率，即可作答． （2）列表得出所有等可能的情况数即可，再根据表格列出恰好选择观看同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意，一共有三部电影， 故淘气选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率． 故答案为：． （2）解：依题意，将《哪吒之魔童闹海》《射雕英雄传：侠之大者》《唐探1900》分别记为，且记笑笑和淘气分别为，运用表示两个人的选择情况，列表如下， ∴由表可知，等可能出现的结果为：、、、、、、、、，一共有种．笑笑和淘气两名同学选择观看同一电影的情况有种，即、、． ∴笑笑和淘气两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 23．（8分）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，得，即，根据平行线的性质得，又点是边的中点，所以，然后由三角形的判定方法即可求证； （）由四边形为矩形，则，，，则，然后由三角形的外角性质和等腰三角形的性质得， 再通过平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的度数为． 24．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不包括两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是3时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题关键．     （1）先求出，再利用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则，由，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 又∵在一次函数的图象上， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴， 设点的坐标为，则， ， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 25．（8分）某车站的一组智能通道闸机如图1所示，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)求当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】(1) (2)一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人 【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用； （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于， 由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，， 所以的长度就是与之间的距离， 在中，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 26．（10分）在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点，和的弦，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点逆时针旋转后与点重合，则称点是点关于弦的“等边旋转点”． (1)如图，点，直线与交于点，． ①点的坐标为______，点______（填“是”或“不是”）点关于弦的“等边旋转点”； ②若点关于弦的“等边旋转点”为点，则的最小值为______，当与相切时，点的坐标为______； (2)已知点，，若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，是；②； (2)或 【分析】（1）①连接，设与轴交于点，勾股定理求得的长得出点的坐标，进而勾股定理求得得出，是等边三角形，结合新定义，即可求解； ②根据新定义可得，则是等边三角形，根据点是线段上的点，最小值即为垂线段的长度，结合图形，即可求解；根据切线的性质可得轴，根据等边三角形的性质可得，即可得出点的坐标； （2）设是上任意一点，根据新定义将顺时针得到的点在上，分析旋转后的线段与圆弧的位置关系，以及点的位置，解直角三角形，求得最值，进而求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：①连接，设与轴交于点， ∵的半径为2， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴，则， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴点是点关于弦的“等边旋转点” 故答案为：，是； ②根据新定义可得，则是等边三角形， ∴到的距离最小值即的长， ∵，， ∴的最小值为； 如图所示，当与相切时，轴，此时点与点重合， ∵是等边三角形， ∴ ∴ 故答案为：；． （2）解：由（1）可得，，则是半径为的圆的一条切线在半径为的圆的内部， 如图所示，连接，则， 当运动时，构成的图形是以为圆心，半径为，的同心圆的圆环 ∵若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”， 设是上任意一点， ∵，即点为轴上的点，则绕上一点顺时针得到的点在上，即是等边三角形， ∴在以为圆心，半径为，的同心圆的圆环内时（包括边界），符合题意， 如图所示， 当时，先求得最小值，如图所示，其中旋转后对应的线段在圆环内， 当与重合，且时，在半径为的上，此时 当距离最远时，此时重合，如图所示，连接，过点作轴于点， ∵是等边三角形，，， ∴， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 当时，∵上任意一点旋转后对应的点在圆环内，则线段在圆环内， 先求得最小值，即的最大值，则重合， 如图所示，在半径为的上时，是等边三角形则最小值， 如图所示，当在半径为的上且与其相切时，取得最大值时，如图所示，连接， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ 综上所述：的取值范围为：或 【点睛】本题考查了几何新定义，旋转的性质，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，坐标与图形，解直角三角形，分析理解新定义是解题的关键． 27．（10分）如图1，二次函数与轴相交于点、（点A在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)直接写出点、、的坐标； (2)如图1，连接，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图2，直线与抛物线相交于两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点与点的直线交抛物线于，若直线必与某条直线平行，求这条直线的函数解析式． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）将解析式化为顶点式，当及时，即可求解； （2）由待定系数法得直线的解析式为作点B关于y轴的对称点F，连接①当点P在x轴下方时，如图中点处，连接交于E，点B、点F关于y轴的对称，由对称的性质及等腰三角形的性质得，设点E坐标为，由勾股定理得，即可求出，由待定系数法得直线的解析式为，即可求解； ②当点P在x轴上方时，如图中点处， 与关于x轴对称，同理可求； （3），，，由待定系数法得直线的解析为中，同理可得直线的解析为，可得， 联立，由根与系数的关系，同理可求，代入可求，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 当时，， 令， ， 解得：或， ，． （2）解：∵，． ∴， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， ∴直线的解析式为 作点B关于y轴的对称点F，连接，如图， ①当点P在x轴下方时，如图中点处， 连接交于E， 点B、点F关于y轴的对称， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设点E坐标为， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（舍去） ∴； ②当点P在x轴上方时，如图中点处， ∵， ∴与关于x轴对称， ， 同理可求经过的直线的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴ 综上，点P的坐标为或． （3）解：设，，， ， ， ， ， 设直线的解析为，则有 ， 解得：， ， 设直线的解析为， 经过， 同理可求， 直线的解析为， ， 直线的解析为， 联立， 整理得：， ， ， 联立， 整理得：， ， 得： ， ， ， 直线的解析式为， 直线必与直线平行， 故这条直线的函数解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用中的角度问题，待定系数法，轴对称的性质，等腰三角形的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系；掌握二次函数综合应用中的角度问题的典型解法，并能熟练利用待定系数法及一元二次方程根与系数的关系进行求解是解题的关键． 28．（10分）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图1，为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：平行于主光轴的光线，通过透镜折射后经过焦点，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点． (1)若像距，物距，小蜡烛的高度，则蜡烛的像_____； (2)当时，设，，求关于的函数关系式； (3)如图2，在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为，作正方形、正方形、矩形、矩形． ①在线段上作出凸透镜的焦点的位置；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②若矩形的面积为12，求的面积． 【答案】(1)2 (2)关于的函数关系式为 (3)①作图见解析；②的面积为6 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的和差求得，代入化简即可得出结论； （3）①过点A作于点F，连接，交于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置； ②利用矩与正方形的性质，设，则，利用（2）的结论得到，利用三角形的面积公式求得的面积，再利用矩形的面积求得的值，则结论可求 【详解】（1）解：（1）由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 由题意得：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：①过点A作于点F，连接，交于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置，如图： ②∵正方形、正方形、矩形、矩形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴的面积． ∵矩形的面积为12， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，三角形的面积，矩形的面积，基本作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（常州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（   ） A．2025 B． C． D． 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代正面建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，其主视图是（   ） A． B． C． D． 5．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组（    ） A． B． C． D． 7．在一场篮球赛中，某队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：187，188，192，193，194．因身高为m的队员受伤，教练让身高为的队员替补上场．与换人前相比，换人后场上队员的身高（   ） A．平均数变小，方差变大 B．平均数变小，方差变小 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 8．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水，下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（   ）    A．   B．   C．   D．   第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 10．根据某网站统计数据，截止至年月，的总访问量已达到次，其中用科学记数法表示为 ． 11．已知，则的值为 ． 12．我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积为 ．（结果用表示） 13．一元二次方程的一个解为，则 ． 14．在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有 个． 摸球的次数 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 15．如图，矩形中，，连接．以点为圆心，以任意长为半径作弧，交，分别于点，分别以点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．则的面积为 ． 16．如图，交于点切于点点在上，若，则为 ．    17．如图，在矩形中，是边上两点，且，连接，与相交于点，连接．若，，则的值为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点P作交y轴于点Q，当点在上运动时，点Q随之运动，设点Q的坐标为，则的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 20．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来 21．（8分）某校为了解本校学生对小说、散文、诗歌、寓言四类书籍的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“寓言”所对应的扇形圆心角是______°； (3)若该校有2600名在校学生，请你估计喜爱“小说”的有多少人？ 22．（8分）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒之魔童闹海》《射雕英雄传：侠之大者》《唐探1900》．笑笑和淘气两名同学分别从这三部电影中随机选择一部观看，假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等． (1)淘气选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率是___________； (2)求笑笑和淘气两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 23．（8分）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 24．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不包括两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是3时，求点的坐标． 25．（8分）某车站的一组智能通道闸机如图1所示，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)求当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 26．（10分）在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点，和的弦，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点逆时针旋转后与点重合，则称点是点关于弦的“等边旋转点”． (1)如图，点，直线与交于点，． ①点的坐标为______，点______（填“是”或“不是”）点关于弦的“等边旋转点”； ②若点关于弦的“等边旋转点”为点，则的最小值为______，当与相切时，点的坐标为______； (2)已知点，，若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”，直接写出的取值范围． 27．（10分）如图1，二次函数与轴相交于点、（点A在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． (1)直接写出点、、的坐标； (2)如图1，连接，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； (3)如图2，直线与抛物线相交于两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点与点的直线交抛物线于，若直线必与某条直线平行，求这条直线的函数解析式． 28．（10分）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图1，为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：平行于主光轴的光线，通过透镜折射后经过焦点，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点． (1)若像距，物距，小蜡烛的高度，则蜡烛的像_____； (2)当时，设，，求关于的函数关系式； (3)如图2，在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为，作正方形、正方形、矩形、矩形． ①在线段上作出凸透镜的焦点的位置；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②若矩形的面积为12，求的面积． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$