精品解析：2025年河南省周口市西华县中考一模数学试题

2025年普通高中招生第一次模拟考试试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 据报道，截至2025年2月23日10时40分，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房已达135亿元，位列全球影史票房榜第8位．数据“135亿”用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 如图所示是一个物体三视图，则这个物体可以是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 等腰三角形两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 7. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三解，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒x斗，清酒y斗，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 10. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用. 如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的次数是________． 12. 分式方程的解为______． 13. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是______． 14. 如图，在中，．将绕点B逆时针旋转一定角度后得到，其中点C的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，在中，，点D，E分别是边中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16 （1）计算：； （2）化简：． 17. ，两市相距，分别从，处测得国家级风景区中心处的方位角如图所示，，．已知风景区是以为圆心，为半径的圆形区域．为了开发旅游，有关部门设计、修建连接，两市的高速公路，问高速公路是否穿过风景区，请说明理由． 18. 如图，已知一次函数与反比例函数相交于，两点，其中点的坐标为． （1）求，的值； （2）求的坐标； （3）直接写出不等式的解． 19. 智慧食堂是一种结合了计算机、大数据、物联网和人工智能等先进技术的新型餐饮管理模式．智慧食堂的核心理念是以用户为中心，提供个性化的就餐体验，并通过优化食堂全流程的系统来提升管理效率．某学校食堂管理员通过智慧食堂软件系统，随机抽取中午在学校食堂用餐的10名学生，收集到他们午餐消费金额x（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息： a．10名学生午餐消费金额数据：4，8，10，9，9，9，10，7，8，5． b．10名学生午餐消费金额数据的频数分布表： 消费金额 频数 2 1 a 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）该调查属于______调查，表格中a的值为______； （2）该组数据的众数为______，中位数为______； （3）为了合理膳食结构，学校食堂推出A、B、C三种价格不同的营养汤．据调查，午餐消费金额在的学生中有选择B营养汤，消费金额在的学生中有选择B营养汤，其余参与调查的学生选择A营养汤或C营养汤或不选营养汤．若每天中午约有1200名学生在食堂用餐，则估计食堂每天中午需准备B营养汤的份数． 20. 学校计划购买歼－20模型和歼－35模型作为“科技铸就强国”演讲比赛的奖品．已知购买2个歼模型和3个歼模型共需650元，购买4个歼模型和5个歼模型共需1150元． （1）求歼模型、歼－35模型的单价； （2）若学校准备购买歼模型、歼模型共10个，且歼模型的数量不多于歼模型数量的，请求出最省钱的购买方案． 21. 如图，在中，，，以边上上一点为圆心，为半径作，恰好经过边的中点，并与边相交于另一点． （1）求证:是的切线． （2）若，是半圆上一动点，连接，，．填空： ①当的长度是________时，四边形是菱形； ②当的长度是___________时，是直角三角形． 22. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）当时，二次函数的最小值为．求此时二次函数的解析式； （3）已知点，，线段与二次函数的图象有公共点，直接写出a的取值范围． 23. 综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸1：如图1，在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2）． 问题1：重叠部分的三角形的形状______（是、不是）等腰三角形． 问题2：若，，则重叠部分的面积为______． （2）折纸2：如图3，长方形纸片，点E为边上一点，将沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上，请仅用无刻度的直尺和圆规在图3中找出点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）． （3）折纸3：如图4，长方形纸片，，，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年普通高中招生第一次模拟考试试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一个数的相反数，有理数和数轴，根据数轴得到点表示的数为1，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点表示的数为1 ∴数轴上点P表示的数的相反数是； 故选A． 2. 据报道，截至2025年2月23日10时40分，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房已达135亿元，位列全球影史票房榜第8位．数据“135亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：亿， 故选：B． 3. 如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线． 根据三视图的定义逐项分析即可． 【详解】A．左视图不符合题意，故不正确； B．俯视图与左视图与题意不符，故不正确； C．符合题意，正确； D．俯视图不符合题意，故不正确． 故选C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，整式的运算，有理数的乘方运算，根据相关运算法则，逐一进行计算后判断即可． 【详解】解：A、，原计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选A． 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质和对顶角的性质，求出的度数，再利用三角形的外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 6. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 7. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是 ， 故选：B 8. 如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF. 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAF， ∴△AFD∽△EBA， ∴， ∵DF=6， ∴AF=， ∴， ∴AE=5， ∴EF=AF-AE=8-5=3. 故选B. 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法. 9. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三解，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒x斗，清酒y斗，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设醑酒x斗，清酒y斗，根据共换了5斗酒得到，根据一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，拿30斗谷子换了5斗酒，据此得到，即可得到方程组． 【详解】解：设醑酒x斗，清酒y斗， ∵共换了5斗酒， ∴； ∵一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，拿30斗谷子换了5斗酒， ∴． ∴所列方程组为． 故选：D． 10. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用. 如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标，根据叶片每秒绕原点顺时针转动，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标与相同，且与点关于原点对称，即可求得点的对应点的坐标． 【详解】解：∵， ∴A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点顺时针转动， ∴点A的坐标以每6秒为一个周期依次循环， ∵， ∴第时，点A的对应点的坐标与相同，且与点关于原点对称， 为． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的次数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了单项式，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，直接利用单项式次数的定义得出答案． 【详解】解：的次数为：． 故答案为：3． 12. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验是原方程的解； 故答案为：． 13. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题的关键．根据一元二次方程的定义及根的判别式可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴， ∴m的最大整数值是0． 故答案为：0． 14. 如图，在中，．将绕点B逆时针旋转一定角度后得到，其中点C的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，旋转的性质，连接，根据旋转的性质，利用分割法得到阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵将绕点B逆时针旋转一定角度后得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查求旋转性质、全等三角形性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质．根据题意，由旋转性质，结合直线与的一边平行，分两类：当时；当时；两种情况讨论求解即可得到答案， 【详解】解：根据题意，将绕点D按顺时针方向旋转得到，即， 在中，， ∴． ∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴ 当时，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴和均为等腰三角形，且， ∴， 由得到，则， 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴正方形， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，负整数指数幂，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． （1）分别计算立方根，代入特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再进行加减计算； （2）先化简括号内，再将除法化为乘法计算． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. ，两市相距，分别从，处测得国家级风景区中心处的方位角如图所示，，．已知风景区是以为圆心，为半径的圆形区域．为了开发旅游，有关部门设计、修建连接，两市的高速公路，问高速公路是否穿过风景区，请说明理由． 【答案】不穿过风景区，理由见解析． 【解析】 【分析】首先过点作于点，由题意得：，，即可得在中，，在中，，继而可得，则可求得的长，即可知连接AB高速公路是否穿过风景区． 【详解】解：不穿过风景区,理由如下: 过点作于点，如图所示： 根据题意得：，， 在中，， 在中，， ∴；， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴高速公路不穿过风景区． 【点睛】本题考查了方向角问题，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解题的关键． 18. 如图，已知一次函数与反比例函数相交于，两点，其中点的坐标为． （1）求，的值； （2）求的坐标； （3）直接写出不等式的解． 【答案】（1）， （2）点的坐标 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，函数的图象，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）把点的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可； （2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，即可求出点坐标； （3）根据、的坐标结合图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：把点代入反比例函数， 可得，， 的值为； 把点代入一次函数， 可得，， 解得， 的值为1； 【小问2详解】 解：由（1）可知，一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 根据题意，联立一次函数和反比例函数解析式，得 解得，；， 一次函数与反比例函数相交于，两点，其中点， 【小问3详解】 解：，， 根据图像可知，当或时一次函数值的图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． 19. 智慧食堂是一种结合了计算机、大数据、物联网和人工智能等先进技术的新型餐饮管理模式．智慧食堂的核心理念是以用户为中心，提供个性化的就餐体验，并通过优化食堂全流程的系统来提升管理效率．某学校食堂管理员通过智慧食堂软件系统，随机抽取中午在学校食堂用餐的10名学生，收集到他们午餐消费金额x（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息： a．10名学生午餐消费金额数据：4，8，10，9，9，9，10，7，8，5． b．10名学生午餐消费金额数据的频数分布表： 消费金额 频数 2 1 a 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）该调查属于______调查，表格中a的值为______； （2）该组数据的众数为______，中位数为______； （3）为了合理膳食结构，学校食堂推出A、B、C三种价格不同的营养汤．据调查，午餐消费金额在的学生中有选择B营养汤，消费金额在的学生中有选择B营养汤，其余参与调查的学生选择A营养汤或C营养汤或不选营养汤．若每天中午约有1200名学生在食堂用餐，则估计食堂每天中午需准备B营养汤的份数． 【答案】（1）抽样，5； （2）9，； （3）估计食堂每天中午需准备B营养汤的份数为份． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、众数和中位数，以及用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键． （1）根据抽样调查和全面调查的定义可知，该调查属于抽样调查；用样本人数减去其余三组的人数，即可求出a的值； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）用总人数乘以样本中选择B营养汤的人数作战的比例求解即可． 【小问1详解】 解：该调查属于抽样调查， 表格中a值为， 故答案为：抽样，5； 【小问2详解】 解：该组数据中，出现了次，次数最多， 该组的众数为9； 把这组数据从小到大排列为：4、5、7、8、8、9、9、9、10、10， 中位数为， 故答案为：9，； 【小问3详解】 解：（份）， 即估计食堂每天中午需准备B营养汤的份数为份． 20. 学校计划购买歼－20模型和歼－35模型作为“科技铸就强国”演讲比赛的奖品．已知购买2个歼模型和3个歼模型共需650元，购买4个歼模型和5个歼模型共需1150元． （1）求歼模型、歼－35模型的单价； （2）若学校准备购买歼模型、歼模型共10个，且歼模型的数量不多于歼模型数量的，请求出最省钱的购买方案． 【答案】（1）歼模型的单价为100元，歼模型的单价为150元 （2）购买歼模型3个，购买歼模型7个时最省钱 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设歼模型的单价为x元，歼模型的单价为y元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买歼模型a个，则购买歼模型个，共需w元，根据总价等于单价乘以数量，列出一次函数解析式，根据歼模型的数量不多于歼模型数量的，列出不等式，根据一次函数的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设歼模型的单价为x元，歼模型的单价为y元， 根据题意，得解得 所以歼模型的单价为100元，歼模型的单价为150元． 小问2详解】 设购买歼模型a个，则购买歼模型个，共需w元， 根据题意，得． ∵， ∴当a取最大值时，w有最小值． ∵， ∴． 而a为整数， ∴当时，w取得最小值，此时． 所以购买歼模型3个，则购买歼模型7个时最省钱． 21. 如图，在中，，，以边上上一点为圆心，为半径作，恰好经过边的中点，并与边相交于另一点． （1）求证:是的切线． （2）若，是半圆上一动点，连接，，．填空： ①当的长度是________时，四边形是菱形； ②当的长度是___________时，是直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）① ②或 【解析】 【分析】（1）首先连接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好经过边BC的中点D，易得AB=BD，继而证得∠ODB=∠BAC=90°，即可证得结论； （2）①易得当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度数，半径OD的长，则可求得答案； ②分别从∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，即， ∴是的切线. （2）解：①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形； 如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE=2DM， ∵∠C=30°， ∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=BC， ∵∠BAC=90°， ∴DE∥AB， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵AB=BD， ∴四边形ABDE是菱形； ∵AD=BD=AB=CD=BC=， ∴△ABD是等边三角形，OD=CD•tan30°=1， ∴∠ADB=60°， ∵∠CDE=90°-∠C=60°， ∴∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=60°， ∴∠AOE=2∠ADE=120°， ∴的长度为：； 故答案为：； ②若∠ADE=90°，则点E与点F重合，此时 的长度为：=π； 若∠DAE=90°，则DE是直径，则∠AOE=2∠ADO=60°，此时 的长度为：π； ∵AD不是直径，∴∠AED≠90°； 综上可得：当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形． 故答案为：π或π． 【点睛】本题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及弧长公式等知识．注意准确作出辅助线，利用分类讨论思想求解是解题的关键． 22. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）当时，二次函数的最小值为．求此时二次函数的解析式； （3）已知点，，线段与二次函数的图象有公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，二次函数的性质； （1）根据对称轴公式与顶点坐标公式，即可求解； （2）根据题意得出时，最小为，待定系数法求解析式，即可求解； （3）分抛物线经过，，求得的临界值，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴对称轴为直线， 当时， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵，，在对称轴直线的左侧，随的增大而减小， ∴时，最小为 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵点，，线段与二次函数的图像有公共点， 当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得：， ∴． 23. 综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸1：如图1，在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2）． 问题1：重叠部分的三角形的形状______（是、不是）等腰三角形． 问题2：若，，则重叠部分的面积为______． （2）折纸2：如图3，长方形纸片，点E为边上一点，将沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上，请仅用无刻度的直尺和圆规在图3中找出点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）． （3）折纸3：如图4，长方形纸片，，，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1）是；12 （2）如图所示： （3）的长为或10 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由折叠的性质知，，得到，即可求解；由的面积，即可求解； （2）以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点，即可求解； （3）求出，证明，即可求解． 【小问1详解】 问题1：如图②，设点是纸片下边上的点， 纸片为矩形，则， ， 由折叠的性质知，， ， 的形状为等腰三角形， 故答案为：是； 问题2：过点作于点，则， 则， 则的面积， 故答案为：； 【小问2详解】 解：以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点， 作图过程如下： 【小问3详解】 过点作于点，交于点， 由题意得：， 点恰好落在的垂直平分线上，故， 在中，， ，，则，则， 则， ，， ， 在中，， 解得：， 则． 当点落在矩形内部时， 同理可得，． 故答案为或10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$