精品解析：山东省济宁市第七中学（五四制）2024-2025学年八年级3月学情检测数学试题

初三年级数学学科3月学情评估 一．选择题（共10小题） 1. 在下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF，下列说法不正确的是（　　） A. 四边形CEDF是平行四边形 B. 当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形 C. 当∠AEC＝120° 时，四边形CEDF是菱形 D. 当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形 5. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（　　） A. 1cm B. 1.5cm C. 2cm D. 3cm 9. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，正方形中，点M是边上一点（异于点B、C），的垂直平分线分别交、、于E、F、K，连、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共5小题） 11. 函数y中自变量x的取值范围是___________． 12. 若最简根式与是同类二次根式，则_____． 13. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的值为_____． 14. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形，若，，则四边形的面积等于__． 15. 如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为_____． 三．解答题（共6小题） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 17. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 18. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）①当________时，四边形为菱形． ②当________时，四边形为矩形． 19. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF， （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AB＝13，OE＝2，求AE的长． 20. 【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题： 如果，其中a是整数，且，那么，． 【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：∵， ∴． ∴且，解得：，． 请解答： （1）如果，其中m是整数，且，那么______，______； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 21. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的角平分线CF于点F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科3月学情评估 一．选择题（共10小题） 1. 在下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：：A、是三次根式；故本选项错误； B、被开方数-10＜0，不是二次根式；故本选项错误； C、被开方数a2+1≥0，符合二次根式的定义；故本选项正确； D、被开方数a＜0时，不是二次根式；故本选项错误； 故选C． 点睛：式子（a≥0）叫做二次根式，特别注意a≥0，a是一个非负数． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的性质．根据二次根式的性质化简，二次根式的加减运算法则计算即可判断． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； B、没有意义，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 3. 已知，，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键． 将进行分母有理化，即可判断． 【详解】解：， 故选：A． 4. 如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF，下列说法不正确的是（　　） A. 四边形CEDF是平行四边形 B. 当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形 C. 当∠AEC＝120° 时，四边形CEDF是菱形 D. 当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和菱形、矩形的判定逐项进行判断即可． 【详解】A．四边形ABCD是平行四边形， ， ， 是CD的中点， ， 在和中， ， ≌ ， ， ， 四边形CEDF是平行四边形，故A选项正确； B．四边形CEDF是平行四边形， ， 四边形CEDF是矩形，故B选项正确； C．四边形CEDF是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， 四边形CEDF是平行四边形， 四边形CEDF是菱形，故C选项正确； D．当时，不能得出四边形CEDF是菱形，故D选项错误， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 5. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义得条件、二次根式得除法运算．直接利用二次根式有意义的条件、二次根式的除法运算法则得出关于的不等式组，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：C． 6. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连，根据三角形中位线的性质得到，； ，，即四边形为平行四边形，当和，只能判断四边形为平行四边形；当，能判断四边形为矩形；当，能判断四边形为菱形． 【详解】解：如图所示，连， ∵、、、为四边形各中点， ∴，；，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， 而， ∴． 当和，只能判断四边形为平行四边形，故A、D选项错误； 当，能判断四边形为矩形，故C选项正确； 当，可判断四边形为菱形，故B选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定定理，以及三角形中位线的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 7. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值． 【详解】解：∵AB＝3，BC＝4， ∴矩形ABCD的面积为12，AC＝， ∴AO＝DO＝AC＝， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为3， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF， ∴3＝××EO+×EF， ∴5（EO+EF）＝12， ∴EO+EF＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形性质是解答此题的关键． 8. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（　　） A. 1cm B. 1.5cm C. 2cm D. 3cm 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB，由勾股定理求出OB即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB， ∵AE垂直平分OB， ∴AB=AO， ∴OA=AB=OB， ∵AE=cm， ∴OB=2=OD； 故选C． 【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 9. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，平方差公式，先把原式变形为，再利用平方差公式和实数的运算法则求解即可． 【详解】解： 10. 如图，正方形中，点M是边上一点（异于点B、C），的垂直平分线分别交、、于E、F、K，连、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等是解决问题的关键. 作 于，根据三角形的全等得出，进而得出，再利用矩形的性质可得出；再利用等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质，判断出线段之间的关系即可得出正确答案. 【详解】如图， 作于， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； 由题可得：， ∴， 故②正确； 如图， 过作于， 于， ∵是正方形， ∴， ∴， ， 故③错误； ∵平分， ， 又∵的垂直平分线交于， ， ， ， 又， ，即， 故④正确； 正确的为①②④， 故选C. 二．填空题（共5小题） 11. 函数y中自变量x的取值范围是___________． 【答案】x≤2且x≠−3 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，2−x≥0且x＋3≠0， 解得x≤2且x≠−3． 故答案为：x≤2且x≠−3． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 若最简根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：2． 【点睛】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键． 13. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的值为_____． 【答案】﹣a+b+2c 【解析】 【分析】根据数轴得出c＜a＜0＜b，|c|＞|b|＞|a|，求出a﹣b＜0，b+c＜0，b﹣c＞0，再根据二次根式的性质进行化简，最后求出答案即可． 【详解】解：∵从数轴可知：c＜a＜0＜b，|c|＞|b|＞|a|， ∴a﹣b＜0，b+c＜0，b﹣c＞0， ∴ ＝|a﹣b|﹣|b+c|﹣|b﹣c| ＝﹣（a﹣b）+（b+c）﹣（b﹣c） ＝﹣a+b+b+c﹣b+c ＝﹣a+b+2c， 故答案为﹣a+b+2c． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值，数轴等知识点，能正确根据二次根式的性质进行计算是解此题的关键． 14. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形，若，，则四边形的面积等于__． 【答案】18 【解析】 【分析】先证明四边形是菱形，再根据勾股定理求出，最后根据面积公式计算即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形． 作于E，于F， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴， ∴， 根据勾股定理，得． ∴四边形的面积． 故答案为：． 15. 如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质．熟练掌握勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键． 由勾股定理得，，证明四边形是矩形，如图，连接，则，当时，最小，即最小，由，可求，进而可得的最小值． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 如图，连接， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴， 解得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）5 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算以及零指数幂运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先去括号并利用二次根式的性质化简，然后进行加减运算即可； （2）首先进行二次根式的乘除运算及利用二次根式的性质化简，然后进行加减运算即可； （2）首先平方差公式和完全平方公式进行化简，然后进行加减运算即可； （4）首先利用零指数幂运算法则及二次根式的性质化简，然后进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解： 原式 ； 【小问4详解】 原式 ． 17. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，涉及平方差公式应用，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先求出，，然后将变形，再整体代入求值即可； （2）先将变形，然后再代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ． 18. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）①当________时，四边形为菱形． ②当________时，四边形为矩形． 【答案】（1） 证明：根据题意，得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，含30度角的直角三角形的性质： （1）根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出，根据平行四边形的判定证明即可； （2）①根据菱形的性质得出相应方程求解即可；②由矩形的性质及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴要使平行四边形为菱形，则， ∴， 解得， ∴当时，四边形为菱形， 故答案为：． ②解：∵，， ∴当时，四边形为矩形. ∴，， ∴，即 解得， 故答案为：． 19. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF， （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AB＝13，OE＝2，求AE的长． 【答案】 （1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）12 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证出，然后由矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，，，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，，然后由勾股定理求出，则，最后由菱形的面积，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）四边形是菱形，， ，，，， ， ， ，， ， ， 菱形的面积， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 20. 【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题： 如果，其中a是整数，且，那么，． 【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：∵， ∴． ∴且，解得：，． 请解答： （1）如果，其中m是整数，且，那么______，______； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】（1）2， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算、方程组的解，利用平方根求方程的解，估计无理数是本题的关键． （1） 根据夹逼法可得，依此可求m和n； （2）根据夹逼法可得，依此可求a和b，代入可得结论； （3）因为x、y为有理数，所以也是有理数，根据材料可得方程组，解出可解答． 【小问1详解】 解： ， ，其中m是整数，且， ，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴ ∴且，解得：， ∴当时， 时，． 21. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的角平分线CF于点F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 【答案】 （1）解：正确． 证明：在上取一点，使，连接． ， ， ， 是外角平分线， ， ， ， ，， ， ， ． （2）解：正确． 证明：如图示，在的延长线上取一点，使，连接． ， ， 平分， ， ， 四边形是正方形， ， ， 即， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）在上取一点，使，连接，根据已知条件利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以． （2）在的延长线上取一点，使，连接，根据已知利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法，熟悉相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $