《第十八章 平行四边形》综合测试卷-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

（人教版）八年级下册数学《第十八章 平行四边形》 综 合 测 试 卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．（2024秋•鄄城县期末）下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 2．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相于点O，∠ACB＝60°，则∠AOD的大小为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 3．（2024•南充模拟）▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE 4．（2024春•达川区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．若AC＝8，△AOE的周长为9，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．17 B．20 C．26 D．34 5．（2024秋•铁西区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，延长CD到点E，连接BE交AD于点G，点F为BE的中点，连接CE，以点C为圆心，CF长为半径的圆弧经过点G，连接CG，若BE＝10，则DG的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．3 6．（2024秋•三明期中）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．20° 7．（2024秋•龙岗区月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝30cm，动点P从点A出发沿AB边以5cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发沿CD边以1cm/s的速度向点D运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，则当t＝（　　）s时，四边形APQD是矩形． A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2024春•海安市期末）如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，EF，GH相交于点O，且OA＝4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE＝BH，则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为（　　） A．4 B． C．8 D．16 9．（2024秋•萧县期中）如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线AC，BD相交于点O，测得AB＝10cm，AC＝12cm，过点A作AH⊥BC于点H，则AH的长为（　　） A．9.6cm B．10.8cm C．12cm D．14cm 10．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论： ①EF⊥AC； ②四边形ADFE为平行四边形； ③AD＝4AG； ④△DBF≌△EFA． 其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AC⊥BD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则应选择 　 　（填序号）． 12．如图，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别是（0，0），（8，0），（0，6），对角线交点为E，则点E的坐标是　 　． 13．（2024春•启东市期末）如图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），且∠ABC＝60°，则图2中对角线BD的长为 　 　． 14．（2024春•七星区校级期中）如图，P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC，则四边形PEBF的周长为　 　． 15．（2024秋•应城市期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为 　 　． 16．（2024秋•海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为 　 　． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分）如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．求线段EF的长． 18．（8分）（2024•河口区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点． （1）求证：DE＝BF； （2）求证：当∠BAC＝∠DAC，四边形DEBF为菱形． 19．（8分）（2024秋•如东县期末）【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD． 【方法应用】 （2）如图2，AD∥BC，AB∥DC，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F．若AD＝6，CD＝3.5，求CF的长． 20．（8分）（2024春•郾城区期末）如图，在▱ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长． 21．（9分）（2024春•丰满区校级期中）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）当∠A＝　 　°时，四边形BECF是正方形； （3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 　 　． 22．（9分）（2024•庐阳区校级模拟）在正方形ABCD中，点E为CD中点，连接AE并延长交BC延长线于点G，点F在BC上，∠FAE＝∠DAE，连接FE并延长交AD延长线于H，连接HG． （1）求证：四边形AFGH为菱形： （2）若DH＝1．求四边形AFGH的面积． 23．（10分）（2024春•莲池区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，点O为AB的中点，延长EO交△ABC的外角平分线于点F． （1）求证：； （2）求证：四边形ACEF为平行四边形． （3）连接BF，判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论． 24．（12分）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝2，CE，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数． 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A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意； B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意； C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意； D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 4．（2024春•达川区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．若AC＝8，△AOE的周长为9，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．17 B．20 C．26 D．34 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，得到O是AC的中点，进而得到OE为△ACD的中位线，得到△ACD的周长是△AOE的周长的2倍，用△ACD的周长减去AC的长，得到AD+CD的长，即可得解． 【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OCAC， ∵点E是AD中点， ∴AE＝EDAD，OE是△ACD的中位线， ∴OECD， ∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝2（AO+OE+AE）， ∵△AOE的周长＝AO+OE+AE＝9， ∴AC+AD+CD＝18， ∵AC＝8， ∴AD+CD＝18﹣8＝10， ∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD+CD）＝20， 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，是解题的关键． 5．（2024秋•铁西区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，延长CD到点E，连接BE交AD于点G，点F为BE的中点，连接CE，以点C为圆心，CF长为半径的圆弧经过点G，连接CG，若BE＝10，则DG的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．3 【分析】根据矩形的性质得出∠BCE＝90°，CD＝AB＝4，由点F为BE的中点可知，在Rt△CDG中利用勾股定理得出DG的长即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCE＝90°，CD＝AB＝4， ∵点F为BE的中点， ∴， ∵以点C为圆心，CF长为半径的圆弧经过点G， ∴CG＝CF＝5， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．（2024秋•三明期中）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．20° 【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE＝BO＝OD，根据菱形性质可得∠DBE∠ABC＝65°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED＝90°﹣∠OEB即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝50°， ∴O为BD中点，∠DBE∠ABC＝65°． ∵DE⊥BC， ∴在Rt△BDE中，OE＝OB＝OD， ∴∠OEB＝∠OBE＝65°． ∴∠OED＝90°﹣65°＝25°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形． 7．（2024秋•龙岗区月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝30cm，动点P从点A出发沿AB边以5cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发沿CD边以1cm/s的速度向点D运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，则当t＝（　　）s时，四边形APQD是矩形． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由题意得，AP＝5tcm，CQ＝tcm，进而由矩形的性质可得DQ＝（30﹣t）cm，即可得5t＝30﹣t，解方程即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键． 【解答】解：由题意得，CQ＝t cm，AP＝5t cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝30cm， ∴DQ＝（30﹣t）cm， 当四边形APQD是矩形时，DQ＝AP， ∴30﹣t＝5t， ∴6t＝30， ∴t＝5， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 8．（2024春•海安市期末）如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，EF，GH相交于点O，且OA＝4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE＝BH，则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为（　　） A．4 B． C．8 D．16 【分析】先证四边形BEOH与四边形DFOG为正方形，再根据勾股定理即可求出它们的面积之和． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD， ∵EF⊥AB，GH⊥BC， ∴∠AEF＝∠BEF＝90°，∠BHO＝∠CHO＝90°， ∴∠B＝∠BEO＝∠BHO＝90°， ∴四边形BEOH是矩形， ∵BE＝BH， ∴四边形BEOH是正方形， ∵∠BAC＝∠B＝∠BHO＝90°， ∴四边形ABHG是矩形， ∴AG＝BH， ∵AD∥BC，GH⊥BC， ∴GH⊥AD， ∴∠DGO＝∠AGO＝90°， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴∠DFO＝∠CFO＝90°， ∴∠DGO＝∠DFO＝∠D＝90°， ∴四边形DFOG是矩形， ∵∠B＝∠BEO＝∠C＝90°， ∴四边形BEFC是矩形， ∴CF＝BE， ∴AG＝CF， ∵AD＝CD， ∴DG＝DF， ∴四边形DFOG是正方形， ∴S正方形BEOH+S正方形DFOG＝BH2+OG2＝AG2+OG2， 在Rt△AOG中，由勾股定理得，OA2＝AG2+OG2＝42＝16， ∴四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为16， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 9．（2024秋•萧县期中）如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线AC，BD相交于点O，测得AB＝10cm，AC＝12cm，过点A作AH⊥BC于点H，则AH的长为（　　） A．9.6cm B．10.8cm C．12cm D．14cm 【分析】根据菱形的性质得出∠AOB＝90°，，BC＝AB＝10cm，再根据勾股定理即可得出BD＝16cm，然后再利用三角形面积公式即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，，，BC＝AB＝10cm，AC＝12cm， ∴∠AOB＝90°，， 在Rt△AOB中，， ∴BD＝2OB＝16cm， ∵， ∴， ∴AH＝9.6cm， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键． 10．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论： ①EF⊥AC； ②四边形ADFE为平行四边形； ③AD＝4AG； ④△DBF≌△EFA． 其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①连接CF，可推出AF＝CF，结合AE＝CE，可得出①正确； ②可证得AD∥BC∥EF，DF∥AE，从而得出②正确； ③AD＝AB，AB＝2AF，AF＝2AG，从而得出③正确； ④可得出∠DFB＝∠EAF＝90°，∠DBF＝∠AFE＝60°，DF＝AE，从而得出④正确． 【解答】解：如图， 连接CF， ∵∠ACB＝90°，点F是AB的中点， ∴CF＝AF， ∵△ACE是等边三角形， ∴AE＝CE， ∴EF⊥AC， 故①正确； ∵△ABD是等边三角形，△ACE是等边三角形， ∴∠AD＝BD，DAB＝60°，∠CAE＝60°， ∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°， ∵点F是AB的中点， ∴DF⊥AB， ∴∠DFA＝∠BAE＝90°， ∴DF∥AE， ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°， ∴AD∥BC， 由①知：AC⊥EF，BC⊥AC， ∴EF∥BC， ∴AD∥EF， ∴四边形ADFE是平行四边形， 故②正确； ∵四边形ADFE是平行四边形， ∴AF＝2AG， ∵AD＝AB，AB＝2AF， ∴AD＝B＝4AG， 故③正确； ∵EF∥BC， ∴∠AFE＝∠ABC＝60°， ∵△ABD是等边三角形， ∴∠DBF＝60°， ∴∠DBF＝∠AFE， ∵四边形ADFE是平行四边形， ∴DF＝AE， ∵∠DFB＝∠EAF＝90°， ∴△DBF≌△EFA（AAS）， 故④正确， 综上所述：①②③④均正确，故答案为：D． 【点评】本题考查了等边三角形性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AC⊥BD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则应选择 　 　（填序号）． 【分析】①根据对角线垂直的平行四边形为菱形，可得四边形ABCD为菱形；②不能证明四边形ABCD为菱形；③不能证明四边形ABCD为菱形． 【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形；故①符合题意； ②不能证明四边形ABCD为菱形；故②不符合题意； ③不能证明四边形ABCD为菱形；故③不符合题意； 故答案为：①． 【点评】本题考查菱形的判定．熟练掌握对角线垂直的平行四边形为菱形，是解题的关键． 12．如图，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别是（0，0），（8，0），（0，6），对角线交点为E，则点E的坐标是　 　． 【分析】由矩形的性质可得DE＝BE，由中点坐标公式可求解． 【解答】解：∵四边形OBCD是矩形， ∴DE＝BE， ∵点B坐标为（8，0），点D坐标为（0，6）， ∴点E坐标为（4，3）， 故答案为：（4，3）． 【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，掌握矩形的性质是关键． 13．（2024春•启东市期末）如图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），且∠ABC＝60°，则图2中对角线BD的长为 　 　． 【分析】先利用正方形的性质得到AB＝AD＝10cm，在图2中，连接AC交BD于O，证明△ABC是等边三角形得AC＝10cm，再根据菱形的性质和勾股定理求得BO的长即可求． 【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，， ∴， 在图2中，连接AC交BD于O， ∵∠ABC＝60°，AB＝AD＝10cm， ∴△ABC是等边三角形，则AC＝10cm， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，BO＝DO，AC⊥BD， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答的关键． 14．（2024春•七星区校级期中）如图，P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC，则四边形PEBF的周长为　 　． 【分析】首先根据正方形的性质和勾股定理可求出AB的长，再由条件可知：四边形PEBF为矩形，△AEP和△PFC为等腰直角三角形，所以PE+PF+BE+BF＝2AB，问题得解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°，AB＝BC， ∴AB2+BC2＝AC2， ∵AC， ∴AB＝BC＝2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∵PE⊥AB于E，PF⊥BC于F， ∴四边形PEBF为矩形，△AEP和△PFC为等腰直角三角形， ∴PF＝BE，PE＝AE， ∴PE+PF+BE+BF＝AE+BE+BE+AE＝2AB＝4， 即四边形PEBF的周长为4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长． 15．（2024秋•应城市期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为 　 　． 【分析】如图，首先把△ADF旋转到△ABG，然后利用全等三角形的性质得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF＝3，AB＝6和勾股定理，可以求出BE的长，本题得以解决． 【解答】解：如图，把△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG， ∴△ADF≌△ABG．∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°， ∴∠ABG+∠ABE＝180°， ∴G、B、E三点共线， ∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG， ∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠EAB＝45°， ∴∠BAG+∠EAB＝45°， ∴∠EAF＝∠EAG， 在△EAG和△EAF中， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴GE＝FE， 设BE＝x， ∵CD＝6，DF＝3， ∴CF＝3， 则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x， ∴EF＝3+x， ∵∠C＝90°， ∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2， 解得，x＝2， ∴BE的长为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16．（2024秋•海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为 　 　． 【分析】过点P作PG⊥AD交于点G，交BC于点H，当Q点与H点重合时，PQ的值最小，过点B作BM⊥AD交于点M，由题意可求BM＝4，PG＝8，则PQ的最小值为8﹣4． 【解答】解：过点P作PG⊥AD交于点G，交BC于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴PH⊥BC， 当Q点与H点重合时，PQ的值最小， 过点B作BM⊥AD交于点M， ∵AD＝12，△ADP是等腰三角形， ∴AG＝6， ∵AP＝10， ∴GP＝8， ∵BQ＝4， ∴MA＝2， ∵AB＝6， ∴BM4， ∴PQ＝8﹣4， ∴PQ的最小值为8﹣4， 故答案为：8﹣4． 【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分）如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．求线段EF的长． 【分析】（1）连接BD交AC于点O，根据平行四边形的性质证明OE＝OF，进而利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）根据勾股定理求出AF＝20，然后求出AE＝CF＝4，进而可得EF的长． 【解答】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵AB⊥BF，AB＝16，BF＝12， ∴AF20， ∵AC＝24， ∴AE＝CF＝AC﹣AF＝4， ∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝24﹣4﹣4＝16． 【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． 18．（8分）（2024•河口区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点． （1）求证：DE＝BF； （2）求证：当∠BAC＝∠DAC，四边形DEBF为菱形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，从而得到OE＝OF，可得到四边形DEBF是平行四边形，即可求证； （2）证明△AOD≌△AOB，可得∠AOD＝∠AOB，从而得到AO⊥BD，进而得到DE＝BE，即可求证． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵点E，F分别是AO，CO的中点， ∴， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE＝BF； （2）证明：当∠BAC＝∠DAC时， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， 在△AOD和△AOB中， ∵OD＝OB，AD＝CD，OA＝OC， ∴△AOD≌△AOB（SSS）， ∴∠AOD＝∠COD， ∵∠AOD+∠COD＝180°， ∴∠AOD＝∠COD＝90°，即AO⊥BD， ∴DE＝BE， 由（1）得：四边形DEBF是平行四边形， ∴四边形DEBF为菱形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，证明四边形DEBF是平行四边形是解题的关键． 19．（8分）（2024秋•如东县期末）【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD． 【方法应用】 （2）如图2，AD∥BC，AB∥DC，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F．若AD＝6，CD＝3.5，求CF的长． 【分析】（1）由角平分线的定义得出∠ABD＝∠CBD．由平行线的性质得出∠EDB＝∠CBD，证出∠EDB＝∠ABD，则可得出结论； （2）根据平行四边形的判定和性质定理得到BC＝AD＝6，AB＝CD＝3.5，由（1）可知，∠ABE＝∠EBG＝∠AEB．AB＝AE＝CD＝6，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD； （2）解：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAF＝∠F， ∴BC＝AD＝6，AB＝CD＝3.5， 由（1）可知，∠ABE＝∠EBG＝∠AEB，AB＝AE， ∵AF⊥BE， ∴∠BAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠F， ∴DF＝AD＝6， ∴CF＝DF﹣CD＝6﹣3.5＝2.5． 【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 20．（8分）（2024春•郾城区期末）如图，在▱ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而可得EF＝BC＝AD，再根据平行四边形的判定可得四边形AEFD是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先求出EC＝9，EB＝CF＝3，DC＝6，再在Rt△DFC中，利用勾股定理可得，然后根据矩形的性质可得，在Rt△ACE中，利用勾股定理可得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴AD∥EF， ∵BE＝CF， ∴BE+BF＝CF+BF，即EF＝BC， ∴AD＝EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， 又∵DF⊥BC， ∴∠DFE＝90°， ∴四边形AEFD是矩形． （2）解：由（1）可知，∠DFE＝∠DFC＝90°，AD＝EF＝BC， ∵AD＝6，BF＝3， ∴EB＝CF＝3，EC＝9， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°， ∴∠DCF＝60°，∠CDF＝30°， ∴DC＝2CF＝6， 在Rt△DFC中，由勾股定理得：DF2+CF2＝DC2， ∴， ∵四边形AEFD是矩形， ∴，∠AEC＝90°， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2+EC2＝AC2， ∴， ∵M是AC的中点，∠AEC＝90°， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 21．（9分）（2024春•丰满区校级期中）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE． （1）求证：四边形BECF是菱形； （2）当∠A＝　 　°时，四边形BECF是正方形； （3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 　 　． 【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断； （2）若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，而∠ACB＝90°，则∠ACE＝45°，若∠A＝45°，则∠AEC＝90°，可得四边形BECF是正方形； （3）根据梯形面积公式即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC， ∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠FCB＝∠FBC， ∵CF∥AE ∴∠FCB＝∠CBE， ∴∠FBC＝∠CBE， ∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD， ∴△FDB≌△EDB（ASA）， ∴BF＝BE， ∴BE＝EC＝FC＝BF， ∴四边形BECF是菱形； （2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下： 若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝45°， ∵∠A＝45°， ∴∠AEC＝90°， 由（1）知四边形BECF是菱形， ∴四边形BECF是正方形； 故答案为：45； （3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2， ∴四边形ABFC的面积为12， 故答案为：12． 【点评】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握菱形、正方形的判定定理． 22．（9分）（2024•庐阳区校级模拟）在正方形ABCD中，点E为CD中点，连接AE并延长交BC延长线于点G，点F在BC上，∠FAE＝∠DAE，连接FE并延长交AD延长线于H，连接HG． （1）求证：四边形AFGH为菱形： （2）若DH＝1．求四边形AFGH的面积． 【分析】（1）根据正方形的性质可得FA＝FG，然后证明△ADE≌△GCE可得AD＝CG，同理证明△DEH△CEF可得DH＝CF，进而可得四边形AFGH为菱形； （2）设正方形边长为x，结合（1）可得AF＝AH＝AD+DH＝x+1，BF＝BC﹣FC＝x﹣1，然后根据勾股定理列出方程即可求出x的值，进而可得四边形AFGH的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠FGA， ∵∠FAE＝∠DAE， ∴∠FGA＝∠FAE， ∴FA＝FG， ∵点E为CD中点， ∴DE＝CE， ∵∠ADE＝∠GCE＝90°， 在△ADE和△GCE中， ， ∴△ADE≌△GCE（AAS）， ∴AD＝CG， 同理：△DEH△CEF（AAS）， ∴DH＝CF， ∵AH＝AD+DH，GF＝CG+CF， ∴AH＝FG， ∴四边形AFGH为平行四边形， ∵FA＝FG， ∴四边形AFGH为菱形； （2）解：FC＝DH＝1， 设AB＝AD＝x， 由（1）知FC＝DH＝1， ∴AF＝AH＝AD+DH＝x+1， BF＝BC﹣FC＝x﹣1， 在Rt△ABF中，根据勾股定理，得 AF2＝AB2+BF2， ∴（x+1）2＝x2+（x﹣1）2， 解得x＝4，x＝0（舍去）， ∴AF＝FG＝x+1＝5， ∴菱形AFGH的面积为：FG•DC＝5×4＝20． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 23．（10分）（2024春•莲池区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，点O为AB的中点，延长EO交△ABC的外角平分线于点F． （1）求证：； （2）求证：四边形ACEF为平行四边形． （3）连接BF，判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得点O为AB的中点，则EO是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结论； （2）根据三角形中位线定理得EOAC，根据等腰三角形以及三角形外角的性质可得∠BAD＝∠B+∠C＝2∠B，由角平分线的性质得∠BAD＝2∠BAF，可得出∠B＝∠BAF，可得AF//BC，即可得出四边形ACEF是平行四边形； （3）由矩形的判定可得结论． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AE是∠BAC的平分线， ∴BE＝EC， ∵点O为AB的中点， ∴OB＝OA， ∴EO是△ABC的中位线， ∴EOAB； （2）四边形ACEF是平行四边形． ∵EO是△ABC的中位线， ∴EO∥AC， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AF是∠BAD的平分线， ∴∠BAD＝2∠BAF， ∵∠BAD＝∠B+∠C＝2∠B ∴∠B＝∠BAF， ∴AF∥BC， ∴四边形ACEF是平行四边形． （3）四边形AEBF是矩形，理由如下： ∵AO＝BO，EO＝FO， ∴四边形AEBF是平行四边形， ∵∠AEB＝90°， ∴四边形AEBF是矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定方法、等腰三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定方法，由等腰三角形的性质，利用三角形中位线定理是解决问题的关键． 24．（12分）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝2，CE，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数． 【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可； （2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题． （3）分两种情形考虑问题即可； 【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， ∵∠DCA＝∠BCA， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°， ∴∠QEF＝∠PED， 在Rt△EQF和Rt△EPD中， ， ∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； （2）如图2中，在Rt△ABC中．ACAB＝2， ∵EC， ∴AE＝CE， ∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG． （3）①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°， 则∠CDE＝90°﹣30°＝60°， 在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°， ②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示： ∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD， ∴∠EFC＝∠CDE＝30°， 综上所述，∠EFC＝120°或30°． 【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$