第一单元 倍数与因数（知识清单）数学西南大学版五年级下册

【单元复习知识清单】2024-2025学年西师大版数学五年级下册 第一单元：倍数与因数 知识点01：因数和倍数 1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。整数与自然数的关系：整数包括自然数。 2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。例：12是6的倍数，6是12的因数。 (1)数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 (2)一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。 一个数的因数的求法：成对地按顺序找。 (3)一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。 知识点02：2、3、5的倍数特征 1、个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。 2、一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 3、个位上是0或5的数，是5的倍数。 4、能同时被2、3、5整除(也就是2、3、5的倍数)的最大的两位数是90,最小的三位数是120。同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5-30的倍数。 5、用短除法求三个数的最小公倍数(除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来) 6、如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。 如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。 7、如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0. 8、自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。 奇数：不能被2整除的数叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。 偶数：能被2整除的数叫偶数(0也是偶数),也就是个位上是0、2、4、6、8的数。 最小的奇数是1,最小的偶数是0. 关系：奇数+偶数=奇数；奇数+-奇数=偶数；偶数－偶数=偶数。 知识点03：质数和合数 1、自然数按因数的个数来分：质数、合数和1. 质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。 合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。 1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 2、20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19） 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 100以内找质数、合数的技巧： 看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 3、最大、最小 A的最小因数是：1；A的最大因数是：A；A的最小倍数是：A； 最小的奇数是：1；最小的偶数是：0； 最小的质数是：2；最小的合数是：4； 最小的自然数是：0。 4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。 用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式） 比如：30分解质因数是：2、3和5（30=2×3×5） 知识点04：公因数和公倍数 1、公因数、最大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。 （1）用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来） 几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。 （2）如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的那个数就是它的最小公倍数。 如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。 2、公倍数、最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。 （1）用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来） 用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来） （2）如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。 如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。 （3）求最大公因数和最小公倍数方法 用12和16来举例 1、求法一：(列举求同法) 最大公因数的求法： 12的因数有：1、12、2、6、3、4 16的因数有：1、16、2、8、4 最大公因数是4 最小公倍数的求法： 12的倍数有：12、24、36、48.… 16的倍数有：16、32、48、..最小公倍数是48 2、求法二：(分解质因数法) 12→2×2×3 16→2×2×2×2 最大公因数是：2×2=4(相同乘) 最小公倍数是：2×2×3×2×2=48(相同乘×不同乘) 考点01：因数与倍数的定义及关系 【典例分析01】甲数既是12的因数，又是6的倍数，甲数可能是几？如果乙数既是36的因数，又是6的倍数，乙数可能是几？ 【分析】先找出12的因数，然后找出12以内（包括12）的6的倍数，进而结合题意，得出结论； 先找出36的因数，然后找出36以内（包括54）的6的倍数，进而结合题意，得出结论． 【详解】12的因数有1，2，3，4，6，12； 12以内的6的倍数有：6，12； 所以既是12的因数，又是6的倍数有：6，12； 36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36； 36以内的6的倍数有：6，12，18，24，30，36； 所以既是36的因数，又是6的倍数有：6，12，18，36． 答：甲数可能是6或12；乙数可能是6或12或18或36． 点评：解答此题的关键是：根据求一个数的倍数的方法和求一个数的因数的方法，进行分析、解答． 【变式训练01】（ ）一定是21的倍数． A．同时是2和3的倍数的数 B．同时有因数7和2的数 C．既是的7倍数，又是3的倍数的数 D．末尾是3的两位数 【分析】把21进行分解质因数，进而根据分解的质因数进行分析、解答即可． 【详解】21=3×7，3和7的最小公倍数是21，所以既是的7倍数，又是3的倍数的数一定是21的倍数； 故选C． 【变式训练02】若A是B的倍数，C是B的因数，那么A是C的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．公因数 D．无法确定 【分析】根据一个数的倍数一定是这个数的因数的倍数，进行分析。 【详解】若A是B的倍数，C是B的因数，那么A是C的倍数。 故答案为：A 【点睛】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【变式训练03】（判断）4÷8＝0.5，4是8的倍数，8是4的因数。( ) 【分析】因数是指整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数，a是b的倍数。据此解答。 【详解】4÷8＝0.5，商是小数，不是整数，所以4不是8的倍数，8也不是4的因数。 原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练04】一个长方形的面积是40平方厘米，长和宽都是整厘米数，长和宽各是多少厘米？一共有几种情况？ 【分析】因为长方形的面积＝长×宽，即长×宽＝40，又因为长和宽都是整厘米数，此题实际是求40的因数，根据求一个数的因数的方法从而求解。 【详解】因为：长×宽＝40，又因为长和宽都是整厘米数， 所以：40×1＝40，20×2＝40，10×4＝40，5×8＝40， 答：这样的长方形有4种，长40厘米，宽1厘米；长20厘米，宽2厘米；长10厘米，宽4厘米；长8厘米，宽5厘米。 【点睛】关键是利用长方形的面积公式得出长与宽的积，再将40写成两个整数相乘形式，即可得出答案。 考点02：2、5和3的倍数特征 【典例分析02】洋洋到蛋糕店买面包，甜甜圈2元一个，奶油面包3元一个，三明治10元一个，她买了一些甜甜圈和三明治，付给营业员50元，找回了11元，你能不计算，很快帮洋洋判断找回的钱数对吗，为什么？ 【分析】根据偶数的倍数是偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，进行分析。 【详解】找得不对；理由：偶数的倍数是偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数。因为2和10都是偶数，所以无论买了几个甜甜圈和三明治，所花的钱数都是偶数，所以找回的钱数也是偶数，11是奇数，所以找得不对。 【变式训练01】要使三位数56是3的倍数，“”里最大能填（     ）。 A．3 B．7 C．8 D．9 【分析】根据3的倍数的特征，先将5和6相加，再判断“”里最大能填几。 【详解】5＋6＝11，要使得三位数56是3的倍数，“”里能填1、4、7，所以“”里最大能填7。故答案为：B 【点睛】本题考查了3的倍数的特征。各个位置上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。 【变式训练02】如果用a表示自然数，那么偶数可以表示为（    ）。 A．a+2 B．2a C．a-1 D．2a-1 【详解】本题考查学生对偶数的认识 ．对于任意一个自然数只要与一个偶数相乘后，一定变成新的偶数．a表示自然数，那么偶数可以一定表示为2a．故答案选B 【变式训练03】36口口能同时被2、3、5整除，这个四位数的十位上最大能填( )。 【分析】能同时被2、3、5整除，个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。 【详解】36口口能同时被2、3、5整除，个位上是0，6＋3＋0＝9，所以十位上最大能填9。 【点睛】掌握2、3、5的倍数特征，并能灵活运用是解题关键。 考点03：质数与合数 【典例分析03】一个长方形周长是16米，它的长、宽的米数是两个质数，这个长方形面积是多少平方米？ 【分析】因为长方形的周长是16厘米，所以长宽米，又因为长、宽均为质数，，所以长应该是5米，宽是3米，再根据长方形的面积公式，即可求出面积。 【详解】（米）；， 所以长应该是5米，宽是3米； 长方形的面积是：（平方米）。 答：这个长方形的面积是15平方米。 【点睛】关键是根据题意将8分解成两个质数的和，得出符合要求的长和宽，再利用长方形的面积公式解决问题。 【变式训练01】在1，2，4，9，37，48，这些数中，奇数有( )；偶数有( )；质数有( )；合数有( )。 【分析】是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】在1，2，4，9，37，48，这些数中，奇数有1、9、37；偶数有2、4、48；质数有2、37；合数有4、9、48。 【点睛】关键是掌握奇数、偶数、质数、合数的分类标准，其中1不是质数也不是合数。 【变式训练02】两个质数相加后，和是（     ）。 A．合数 B．偶数 C．奇数或偶数 【分析】质数中除了最小的质数2为偶数外，其余全为奇数．偶数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数。所以质数中2与其余任意一个质数的和为奇数，奇数中包含质数，除2外任意两个质数的和为偶数，偶数中除2外全为合数．所以两个质数相加的和是可能是奇数或偶数。 【详解】根据数和的奇偶性可知： 两个质数的和可能是奇数，也可能是偶数； 例如：2＋3＝5，5是奇数 3＋5＝8，8是偶数。 故答案为：C 【点睛】完成本题的关键是明确质数中最小的质数2为偶数。 考点04：分解质因数 【典例分析04】下列把合数写成质数相乘的形式，哪个写正确了？（     ） A．40＝5×8 B．97＝1×97 C．35＝7×5 D．0＝0×0 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此解答。 【详解】A． 40＝5×8，8不是质数。     B．97＝1×97，1不是质数。     C． 35＝7×5，7和5都是质数。     D．0＝0×0，0不是质数。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查分解质因数的方法及其应用，一般先从较小的质数试着分解。 【变式训练01】把210分解质因数是（     ）。 A．210＝1×2×3×5×7 B．210＝5×6×7 C．210＝1×5×6×7 D．210＝2×3×5×7 【分析】每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数，据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．210＝1×2×3×5×7；1不是质数，不符合题意； B．210＝5×6×7；6是合数，不是质数，不符合题意； C．210＝1×5×6×7；1不是质数，6是合数，不是质数，不符合题意； D．210＝2×3×5×7，2、3、5，7都是210的因数，都是质数，符合题意。 把210分解质因数是210＝2×3×5×7。 故答案为：D 【变式训练02】把下列各数写成质数相乘的形式。                            42＝（    ）×（    ）×（    ）   36＝（    ）×（    ）×（    ）×（    ） 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】； 42＝2×3×7；36＝2×2×3×3 【变式训练03】用短除法分解质因数。 32          45      60         120 【分析】根据质因数的分解原则用短除法进行解分解即可。分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积的形式，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】32＝2×2×2×2×2 45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 120＝2×2×2×3×5 考点05：公因数与公倍数 【典例分析05】A＝2×3×7，B＝2×5×7，A和B的最大公因数是 ，最小公倍数是 。 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】2×7＝14 2×3×5×7＝210 A＝2×3×7，B＝2×5×7，A和B的最大公因数是14，最小公倍数是210。 【点睛】关键是掌握最大公因数和最小公倍数的求法。 【变式训练01】用大小相等的长方形纸，每张长12厘米，宽8厘米．要拼成一个正方形，最少需要这种长方形纸（ ） A．4张 B．6张 C．8张 【分析】12和8的最小公倍数是24，所以拼成后正方形边长是24厘米，需要小长方形的长的个数是24÷12，需要小长方形宽的个数是24÷8．需要这种纸的张数就是（24÷12）×（24÷8）．据此解答． 【详解】12和8的最小公倍数是24，所以拼成后正方形边长是24厘米． （24÷12）×（24÷8） =2×3 =6（张）； 答：需要6张． 故选B． 【变式训练02】2021年端午节到来之际，为了弘扬传统文化，实验小学开展了“我们的节日——端午”主题活动。其中五年级参加划旱地龙舟的学生在20人～30人之间，赛前预演时，无论4人一组或6人一组都剩余2人，请问五年级参加划旱地龙舟的学生有多少人？ 【分析】根据题意，五年级参加旱地龙舟的学生人数在20人～30人之间，无论4人或6人一组都省2人，求出4和6的公倍数，在20～30之间，求出倍数再加上2，就是参加旱地龙舟的学生人数。 【详解】4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32…… 6的倍数：6、12、18、24、30…… 4和6在20～30之间的倍数是24 24＋2＝26（人） 答：五年级参加旱地龙舟的学生有26人。 【点睛】本题考查两个数的公倍数的求法。 【变式训练03】一座喷泉由内外双层构成。外面每隔10分钟喷一次，里面每隔6分钟喷一次。中午12：45同时喷过一次后，下次同时喷水是几时几分？ 【分析】此题主要考查了最小公倍数的应用，求两个数的最小公倍数可以用分解质因数法：分别把这两个数分解质因数，从质因数中，先找到两个数公有的质因数，再找到两个数独有的质因数，它们相乘的积，就是这两个数的最小公倍数，也就是间隔喷水的时间，然后用中午同时喷水的时刻＋间隔时间＝下次同时喷水的时刻，据此列式解答。 【详解】10＝2×5 6＝2×3 10和6的公倍数是2×3×5＝30，即间隔30分钟同时喷水，所以12时45分＋30分钟＝13时15分。 【点睛】理解好题意并掌握求最小公倍数是解决此题的关键。 【变式训练04】五年级（1）、（2）、（3）班要完成大扫除任务。五（1）班来了54人，五（2）班来了48人，五（3）班来了42人。如果把三个班的学生分别分成若干小组，要使三个班每个小组的人数相同，每班可以分成几组？ 【分析】求出三个班人数除1之外的公因数就是每组可以分的人数，进而再求出可以分成的组数。 【详解】54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54； 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42。 54、48、42的公因数有2、3、6。 每组2人时：54÷2＝27（组） 48÷2＝24（组） 42÷2＝21（组） 每组3人时：54÷3＝18（组） 48÷3＝16（组） 42÷3＝14（组） 每组6人时：54÷6＝9（组） 48÷6＝8（组） 42÷6＝7（组） 答：每组2人时，五（1）班可以分成27组、五（2）班可以分成24组、五（3）班可以分成21组；每组3人时，五（1）班可以分成18组、五（2）班可以分成16组、五（3）班可以分成14组；每组6人时，五（1）班可以分成9组、五（2）班可以分成8组、五（3）班可以分成7组。 【点睛】解决此题关键是把问题转化成求三个数的公因数，再根据求三个数的公因数的方法解答即可。 考点06：猜数问题 【典例分析06】王老师家的电话号码是个7位数，从高到低依次排列为：最小的合数、最小的质数、3的最小倍数、最大的一位数、既不是质数也不是合数的非0自然数、最小的奇数、8的最大因数，王老师家的电话号码是多少？ 【分析】最小的合数是4，最小的质数是2，一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，最大的一位数是9，1不是质数也不是合数，最小的奇数是1，由此得出电话号码为：4239118。 【详解】由分析可得电话号码为：4239118。 【变式训练01】一个电话号码是0827－ABCDEFG。A：5最小的倍数，B：最小的质数，C：既是6的因数又是6的倍数，D：最小的合数，E：只有一个因数，F：最小的偶数，G：既是质数又是奇数的最小一位数。这个电话号码是多少？ 【分析】一个数的最小倍数是本身； 因数只有1和本身的数是质数，最小的质数是2； 一个数既是本身的因数，也是本身的倍数； 因数除了1和本身，还有别的数，这样的数是合数。最小的合数是4； 1只有一个因数； 2的倍数是偶数，0也是偶数。最小的偶数是0； 不是2的倍数的数是奇数，既是质数又是奇数的最小一位数是3。据此解题。 【详解】A是5，B是2，C是6，D是4，E是1，F是0，G是3。 答：这个电话号码是0827－5264103。 1、 选择题 1．一个正方形的边长是一个质数，这个正方形的周长一定是（    ）。 A．合数 B．奇数 C．质数 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。正方形的周长＝边长×4，它的周长至少有的因数（1、2、4、边长），所以说一定是合数。据此解答。 【详解】根据分析可知，一个正方形的边长是一个质数，这个正方形的周长一定是合数。例如：一个边长为2的正方形，2×4＝8 它的周长是8，8的因数有1、2、4、8，所以8是合数。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了质数和合数的认识以及应用。 2．三个连续自然数的和一定是（    ）。 A．3的倍数 B．偶数 C．奇数 【分析】设三个连续自然数中的第一个为a，由这三个连续的自然数可表示为a、a+1，a+2。其和为：a+（a+1）+（a+2）=3×（a+1），所以三个连续自然数的和一定是3的倍数。 【详解】解：设三个连续自然数中的第一个为a，则三个连续自然数的和为： a+（a+1）+（a+2）=3×（a+1） 所以三个连续自然数的和一定是3的倍数。 如果这三个连续自然数是2、3、4，则和是奇数9。 如果这三个连续自然数是1、2、3，则和是偶数6。 故答案为：A。 3．将40个苹果分装在两个篮子里，如果第一个篮子里苹果的个数为奇数，那么第二个篮子里苹果的个数是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．奇数或偶数 D．以上都不正确 【分析】根据奇偶数的运算性质，分析解题即可。 【详解】因为奇数＋奇数＝偶数，40是偶数，所以如果第一个篮子里苹果的个数为奇数，那么第二个篮子里苹果的个数是奇数。 故答案为：A 【点睛】本题考查了奇偶数的运算性质，明确奇数＋奇数＝偶数是解题的关键。 4．下面各种说法，有（    ）句是正确的。 ①一个数的最小倍数是它本身。         ②一个数有无数个倍数。 ③一个数的倍数大于它的因数。         ④一个数至少有两个因数。 A．1 B．2 C．3 【分析】根据“一个数的倍数是无限的，其中最小是它本身，一个数的因数是有限的，其中最大是它本身”，解答即可。 【详解】在题干的4个说法中，“一个数最小倍数是它本身”，“一个数有无数个倍数”，这2句话的说法正确。 故答案为：B 【点睛】本题主要是考查因数和倍数的意义，解答此题应注意一个非0整数，它的最小倍数和最大因数都是它本身。 5．m、n均是自然数，下面算式中，m、n一定为互质数的是（    ）。 A．m＋n＝10 B．m－n＝1 C．m÷n＝5 D．m×n＝100 【分析】公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。 相邻的两个自然数是互质数，如4和5，7和8等。 【详解】A．当m＝6，n＝4时，则m＋n＝6＋4＝10，但6、4不是互质数，不符合题意； B．m－n＝1，说明m、n是两个相邻自然数，它们是互质数，符合题意； C．当m＝10，n＝2时，则m÷n＝10÷2＝5，但10、2不是互质数，不符合题意； D．当m＝20，n＝5时，则m×n＝20×5＝100，但20、5不是互质数，不符合题意。 故答案为：B 6．A、B是两个连续的自然数，且都不等于0，它们相乘的积一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【分析】可以令A、B等于某两个数值，求出它们的积，再与选项作对比即可。 【详解】当A、B是两个连续的自然数，且不为0时，其中一个一定是偶数，奇数×偶数＝偶数，例如：A＝1，B＝2，1×2＝2；它们的积是偶数； 所以A选项不符合题意，B选项符合题意； 例如：A＝2，B＝3，2×3＝6，它们的积可能是质数，也可能是合数； 所以，C选项和D选项不符合题意。 故答案为：B 【点睛】采用赋值法解答此题简便易行，解题要掌握奇数、偶数、质数和合数的意义。 2、 填空题 7．最小的质数是( )，最小的合数是( )，( )既不是质数也不是合数。 【详解】根据质数、合数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。据此可知，最小的质数是（2），最小的合数是（4），（1）既不是质数也不是合数。 14．24的因数有( )，18的因数有( )。 【分析】找一个数的因数的方法：（1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。（2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 可得，24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24； 18＝1×18＝2×9＝3×6 可得，18的因数有：1、2、3、6、9、18。 8．一个四位数256□，要使它是偶数，□里最大填( )；要使它是3的倍数，□里最小填( )；要使它既是2的倍数，又是5的倍数，□里应该填( )。 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；2的倍数的数也叫做偶数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。 【详解】一个四位数256□，要使它是偶数，□里可以填：0、2、4、6、8，□里最大填8； 2＋5＋6＋0＝13，13不是3的倍数； 2＋5＋6＋1＝14，14不是3的倍数； 2＋5＋6＋2＝15，15是3的倍数； 要使它是3的倍数，□里最小填2； 要使它既是2的倍数，又是5的倍数，□里应该填0。 【点睛】本题考查2、3、5的倍数特征及应用。 9．三个连续奇数的和是75，这三个奇数中最小的是( )，最大的是( )。 【分析】三个连续的奇数，后一个奇数比前一个多2，中间的一个就是三个数的平均数。据此用75除以3即可求出中间的那个奇数，再用这个数分别减2、加2即可解答。 【详解】75÷3＝25 25－2＝23 25＋2＝27 则这三个奇数中最小的是23，最大的是27。 10．一个七位数，个位上是最小的合数，十位上是最小的质数，千位上的数是一位数中最大的自然数，百万位上的数既是质数又是偶数，其余数位上的数都是0，这个七位数是( )。 【分析】最小的合数是4，则个位上的数字是4；最小的质数是2，则十位上的数字是2；一位数中最大的自然数是9，则千位上的数字是9；既是质数又是偶数的数是2，则百万位上的数字是2；其余数位上的数都是0，则百位、万位、十万位上的数字都是0；据此解答即可。 【详解】由分析可知： 这个七位数是2009024。 11．在1～10中，既不是质数，也不是合数的数是( )；既是奇数，又是合数的数是( )；既是偶数，又是质数的数是( )。 【分析】在1～10中，质数有：2、3、5、7；合数有：4、6、8、9、10；奇数有：1、3、5、7、9；偶数有：2、4、6、8、10；根据条件由此即可得出答案。 【详解】由分析可得：在1～10中，既不是质数，也不是合数的数是1；既是奇数，又是合数的数是9；既是偶数，又是质数的数是2。 【点睛】此题考查的有：质数、合数、奇数、偶数的意义。 3、 判断题 12．一个非0的自然数不是质数就是合数。( ) 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】1既不是质数也不是合数，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】质数合数的区别在于因数的个数，质数只有2个因数，合数至少有3个因数。 13．一个数的因数一定比它的倍数小。( ) 【分析】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是这个数本身，一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数，据此解答。 【详解】分析可知，一个数的最大因数等于这个数的最小倍数，都是这个数本身，如：4是4的因数，4也是4的倍数。 故答案为：× 【点睛】熟记一个数的最大因数等于这个数的最小倍数是解答题目的关键。 14．一个自然数越大，它的因数个数就越多。( ) 【分析】自然数是从0开始的整数，比较因数的个数，举两个例子推翻即可。 【详解】例如12的因数有：1、2、3、4、6、12。13的因数有：1、13。 因为13＞12，但12的因数比13多。 故答案为：× 【点睛】本题考查因数的定义，根据定义举例子推翻原题即可。判断题有时可以根据定义或法则直接判断对错，也可以找到符合条件的例子，推翻原题。 15．个位上是3、6、9的数都是3的倍数。( ) 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数，据此举例判断即可。 【详解】如：23的个位上的数字是3，但23不是3的倍数。原题干说法错误。 故答案为：× 16．所有的偶数都是合数。所有的奇数都是质数。( ) 【分析】能被2整除的数叫做偶数，不能被2整数的数叫做奇数；最小的偶数是2，最小的奇数是1；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；1不是质数；一个自然数，除了1和它本身两个因数外，还有其它的因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4；据此解答。 【详解】由分析得： 2是偶数，不是合数；1是奇数，不是质数，所以原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】利用奇数和偶数的意义、质数和合数的意义进行解答。 17．一个自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。( ) 【分析】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，0也是偶数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。（讨论因数、倍数、质数、合数时一般不包括0） 【详解】根据分析可知，一个自然数不是奇数就是偶数，有可能是质数，也有可能是合数，但有可能既不是质数也不是合数，例如：1。所以原题干说法错误。 故答案为：× 4、 解答题（每题4分） 18．阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可。 【详解】48＝1×18＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48。 在15到25之间的是24。 答：这个文具盒的价格是24元。 【点睛】关键是理解因数和倍数的意义，掌握因数和倍数的求法。 19．把48块月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？（装在至少两个盒子里）每种装法各需要几个盒子？如果有47块月饼呢？ 【分析】根据48的因数分析，两个数相乘积是48，一个因数是盒子数，一个因数是盒子里装的月饼数，据此解答。 【详解】平均每个盒子里装2块月饼，需要48÷2＝24（个）盒子； 平均每个盒子里装3块月饼，需要48÷3＝16（个）盒子； 平均每个盒子里装4块月饼，需要48÷4＝12（个）盒子； 平均每个盒子里装6块月饼，需要48÷6＝8（个）盒子； 平均每个盒子里装8块月饼，需要48÷8＝6（个）盒子； 平均每个盒子里装12块月饼，需要48÷12＝4（个）盒子； 平均每个盒子里装16块月饼，需要48÷16＝3（个）盒子； 平均每个盒子里装24块月饼，需要48÷24＝2（个）盒子； 如果有47块月饼，做不到每个盒子装得同样多。 答：每个盒子装得同样多，有8种装法，从多到少各需要24、16、12、8、6、4、3、2个盒子，如果有47块月饼，做不到每个盒子装得同样多。 【点睛】熟练掌握求一个数的因数的方法并能灵活利用是解答本题的关键。 20．有一个电话号码是****﹣ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D既是4的倍数，又是4的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；一个数的因数的个数是有限，最小的因数是1，一个数的最大因数是它本身；最小的自然数是0，1只有一个因数，据此解答。 【详解】A：5的最小倍数是5； B：最小的自然数是0； C：5的最大因数是5； D：它既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4； E：它的所有因数是1，2，3，6，这个数是6； F：它的所有因数是1，3，这个数是3； G：它只有一个因数，这个数是1； 由此得：这个电话号码是****﹣5054631。 【点睛】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，明确一个数的最小倍数和最大因数都是它本身是解答本题的关键。 21．王爷爷有块长方形的菜地，周长24米，它的长和宽都是质数，这块菜地的面积是多少平方米？ 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，用24÷2即可求出菜地的长与宽的和，根据质数的定义，可将12拆分成5＋7，据此根据长方形的面积公式求解即可。 【详解】24÷2＝12（米） 12＝5＋7 5×7＝35（平方米） 答：这块菜地的面积是35平方米。 【点睛】本题主要考查了质数的意义、长方形的面积公式和周长公式的灵活应用。 22.老师带同学们去植树，一共植树312棵，每个人植树数目相同，并且不超过10棵。已知学生人数是3的倍数。一共有多少名学生？ 【分析】把312分解因数，因为每人种树的数量不大于10，所以不可能是13，那么就应该由3和8组合，若每人种8棵，则总人数是39，学生分三组，还多一个李老师，人数是不对的，所以每人种6棵，一共人数312÷6＝52人，李老师除外，还有51人。 【详解】把312分解质因数：312＝2×2×2×3×13， 根据师生总人数是被3除余1的数；每人植树的棵数小于等于10棵， 所以把312分解成：312＝6×52 52被3除余1，即参加种树师生总人数为52名，每人植树6棵，所以学生有51名。 答：一共有51名学生。 【点睛】此题的解题关键是通过分解质因数以及3的倍数的特征求解。 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【单元复习知识清单】2024-2025学年西师大版数学五年级下册 第一单元：倍数与因数 知识点01：因数和倍数 1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。整数与自然数的关系：整数包括自然数。 2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。例：12是6的倍数，6是12的因数。 (1)数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 (2)一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。 一个数的因数的求法：成对地按顺序找。 (3)一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。 知识点02：2、3、5的倍数特征 1、个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。 2、一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 3、个位上是0或5的数，是5的倍数。 4、能同时被2、3、5整除(也就是2、3、5的倍数)的最大的两位数是90,最小的三位数是120。同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5-30的倍数。 5、用短除法求三个数的最小公倍数(除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来) 6、如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。 如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。 7、如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0. 8、自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。 奇数：不能被2整除的数叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。 偶数：能被2整除的数叫偶数(0也是偶数),也就是个位上是0、2、4、6、8的数。 最小的奇数是1,最小的偶数是0. 关系：奇数+偶数=奇数；奇数+-奇数=偶数；偶数－偶数=偶数。 知识点03：质数和合数 1、自然数按因数的个数来分：质数、合数和1. 质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。 合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。 1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 2、20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19） 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 100以内找质数、合数的技巧： 看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 3、最大、最小 A的最小因数是：1；A的最大因数是：A；A的最小倍数是：A； 最小的奇数是：1；最小的偶数是：0； 最小的质数是：2；最小的合数是：4； 最小的自然数是：0。 4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。 用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式） 比如：30分解质因数是：2、3和5（30=2×3×5） 知识点04：公因数和公倍数 1、公因数、最大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。 （1）用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来） 几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。 （2）如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的那个数就是它的最小公倍数。 如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。 2、公倍数、最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。 （1）用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来） 用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来） （2）如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。 如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。 （3）求最大公因数和最小公倍数方法 用12和16来举例 1、求法一：(列举求同法) 最大公因数的求法： 12的因数有：1、12、2、6、3、4 16的因数有：1、16、2、8、4 最大公因数是4 最小公倍数的求法： 12的倍数有：12、24、36、48.… 16的倍数有：16、32、48、..最小公倍数是48 2、求法二：(分解质因数法) 12→2×2×3 16→2×2×2×2 最大公因数是：2×2=4(相同乘) 最小公倍数是：2×2×3×2×2=48(相同乘×不同乘) 考点01：因数与倍数的定义及关系 【典例分析01】甲数既是12的因数，又是6的倍数，甲数可能是几？如果乙数既是36的因数，又是6的倍数，乙数可能是几？ 【变式训练01】（ ）一定是21的倍数． A．同时是2和3的倍数的数 B．同时有因数7和2的数 C．既是的7倍数，又是3的倍数的数 D．末尾是3的两位数 【变式训练02】若A是B的倍数，C是B的因数，那么A是C的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．公因数 D．无法确定 【变式训练03】（判断）4÷8＝0.5，4是8的倍数，8是4的因数。( ) 【变式训练04】一个长方形的面积是40平方厘米，长和宽都是整厘米数，长和宽各是多少厘米？一共有几种情况？ 考点02：2、5和3的倍数特征 【典例分析02】洋洋到蛋糕店买面包，甜甜圈2元一个，奶油面包3元一个，三明治10元一个，她买了一些甜甜圈和三明治，付给营业员50元，找回了11元，你能不计算，很快帮洋洋判断找回的钱数对吗，为什么？ 【变式训练01】要使三位数56£是3的倍数，“”里最大能填（     ）。 A．3 B．7 C．8 D．9 【变式训练02】如果用a表示自然数，那么偶数可以表示为（    ）。 A．a+2 B．2a C．a-1 D．2a-1 【变式训练03】36££能同时被2、3、5整除，这个四位数的十位上最大能填( )。 考点03：质数与合数 【典例分析03】一个长方形周长是16米，它的长、宽的米数是两个质数，这个长方形面积是多少平方米？ 【变式训练01】在1，2，4，9，37，48，这些数中，奇数有( )；偶数有( )；质数有( )；合数有( )。 【变式训练02】两个质数相加后，和是（     ）。 A．合数 B．偶数 C．奇数或偶数 考点04：分解质因数 【典例分析04】下列把合数写成质数相乘的形式，哪个写正确了？（     ） A．40＝5×8 B．97＝1×97 C．35＝7×5 D．0＝0×0 【变式训练01】把210分解质因数是（     ）。 A．210＝1×2×3×5×7 B．210＝5×6×7 C．210＝1×5×6×7 D．210＝2×3×5×7 【变式训练02】把下列各数写成质数相乘的形式。                            42＝（    ）×（    ）×（    ）   36＝（    ）×（    ）×（    ）×（    ） 【变式训练03】用短除法分解质因数。 32          45      60         120 考点05：公因数与公倍数 【典例分析05】A＝2×3×7，B＝2×5×7，A和B的最大公因数是 ，最小公倍数是 。 【变式训练01】用大小相等的长方形纸，每张长12厘米，宽8厘米．要拼成一个正方形，最少需要这种长方形纸（ ） A．4张 B．6张 C．8张 【变式训练02】2021年端午节到来之际，为了弘扬传统文化，实验小学开展了“我们的节日——端午”主题活动。其中五年级参加划旱地龙舟的学生在20人～30人之间，赛前预演时，无论4人一组或6人一组都剩余2人，请问五年级参加划旱地龙舟的学生有多少人？ 【变式训练03】一座喷泉由内外双层构成。外面每隔10分钟喷一次，里面每隔6分钟喷一次。中午12：45同时喷过一次后，下次同时喷水是几时几分？ 【变式训练04】五年级（1）、（2）、（3）班要完成大扫除任务。五（1）班来了54人，五（2）班来了48人，五（3）班来了42人。如果把三个班的学生分别分成若干小组，要使三个班每个小组的人数相同，每班可以分成几组？ 考点06：猜数问题 【典例分析06】王老师家的电话号码是个7位数，从高到低依次排列为：最小的合数、最小的质数、3的最小倍数、最大的一位数、既不是质数也不是合数的非0自然数、最小的奇数、8的最大因数，王老师家的电话号码是多少？ 【变式训练01】一个电话号码是0827－ABCDEFG。A：5最小的倍数，B：最小的质数，C：既是6的因数又是6的倍数，D：最小的合数，E：只有一个因数，F：最小的偶数，G：既是质数又是奇数的最小一位数。这个电话号码是多少？ 一、选择题 1．一个正方形的边长是一个质数，这个正方形的周长一定是（    ）。 A．合数 B．奇数 C．质数 2．三个连续自然数的和一定是（    ）。 A．3的倍数 B．偶数 C．奇数 3．将40个苹果分装在两个篮子里，如果第一个篮子里苹果的个数为奇数，那么第二个篮子里苹果的个数是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．奇数或偶数 D．以上都不正确 4．下面各种说法，有（    ）句是正确的。 ①一个数的最小倍数是它本身。         ②一个数有无数个倍数。 ③一个数的倍数大于它的因数。         ④一个数至少有两个因数。 A．1 B．2 C．3 5．m、n均是自然数，下面算式中，m、n一定为互质数的是（    ）。 A．m＋n＝10 B．m－n＝1 C．m÷n＝5 D．m×n＝100 6．A、B是两个连续的自然数，且都不等于0，它们相乘的积一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 二、填空题 7．最小的质数是( )，最小的合数是( )，( )既不是质数也不是合数。 8．24的因数有( )，18的因数有( )。 9．一个四位数256□，要使它是偶数，□里最大填( )；要使它是3的倍数，□里最小填( )；要使它既是2的倍数，又是5的倍数，□里应该填( )。 10．三个连续奇数的和是75，这三个奇数中最小的是( )，最大的是( )。 11．一个七位数，个位上是最小的合数，十位上是最小的质数，千位上的数是一位数中最大的自然数，百万位上的数既是质数又是偶数，其余数位上的数都是0，这个七位数是( )。 12．在1～10中，既不是质数，也不是合数的数是( )；既是奇数，又是合数的数是( )；既是偶数，又是质数的数是( )。 三、判断题 13．一个非0的自然数不是质数就是合数。( ) 14．一个数的因数一定比它的倍数小。( ) 15．一个自然数越大，它的因数个数就越多。( ) 16．个位上是3、6、9的数都是3的倍数。( ) 17．所有的偶数都是合数。所有的奇数都是质数。( ) 18．一个自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。( ) 四、解答题 19．阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 20．把48块月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？（装在至少两个盒子里）每种装法各需要几个盒子？如果有47块月饼呢？ 21．有一个电话号码是****﹣ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D既是4的倍数，又是4的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 22．王爷爷有块长方形的菜地，周长24米，它的长和宽都是质数，这块菜地的面积是多少平方米？ 23．老师带同学们去植树，一共植树312棵，每个人植树数目相同，并且不超过10棵。已知学生人数是3的倍数。一共有多少名学生？ 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$