第4章 教考衔接3 正弦型函数的值域(最值)(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第四章　三角恒等变换 教考衔接3　正弦型函数的值域(最值) 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 一、真题展示 (2021·浙江卷)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)． (1)求函数y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))))2的最小正周期； (2)求函数y＝f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值． 二、真题溯源 (教材P173复习题四C组第1题)已知a≠0，函数f(x)＝acos 2x＋eq \r(3)asin 2x－2a＋b，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若函数值域为[－5,1]，求常数a，b的值． 三、类法探究 函数的值域(最值)是三角函数的重要性质，一般以小题的形式出现，大题中有时也出现，借助于三角恒等变换对三角函数的性质进行综合考查，下面就常见题型对点突破． 类型一　求函数的最值(值域) 已知函数f(x)＝cos x(cos x＋eq \r(3)sin x)－1． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上的值域． [解析]　(1)f(x)＝cos2 x＋eq \r(3)sin xcos x－1＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cos 2x－eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－eq \f(1,2)，函数f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,2)＝π； (2)由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，则2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－eq \f(1,2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，所以函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))). 解决此类问题通常利用倍角公式、三角函数的叠加、整体代换及正弦函数的性质进行求解． 类型二　已知函数的最值求参数的值 已知函数f(x)＝eq \r(3)cos xsin x＋sin2 x. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，m))上的最大值为eq \f(3,2)，求m的最小值． [解析]　(1)∵f(x)＝eq \r(3)cos xsin x＋sin2 x ＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cos 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)， ∴f(x)的最小正周期T＝π， 由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)， 可得f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)． (2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，m))时，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，2m－\f(π,6)))，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，m))上的最大值为eq \f(3,2)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))可以取到最大值1，从而2m－eq \f(π,6)≥eq \f(π,2)，可得m≥eq \f(π,3)，∴m的最小值为eq \f(π,3). 这类题除了需要熟练掌握三角公式化简函数外，还必须知道一个周期内函数最值的变化，及何时取到最值，函数取得最值的条件要求与题目给定的区间相符合． 类型三　不等式能(恒)成立问题 已知函数f(x)＝2sin xcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2). (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若存在a，b∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，\f(π,2)))，使得f(a)＋2m＜f(b)成立，求实数m的取值范围． [解析]　(1)因为f(x)＝2sin xcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2) ＝2sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos xcos \f(π,3)－sin xsin \f(π,3)))＋eq \f(\r(3),2) ＝2sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos x－\f(\r(3),2)sin x))＋eq \f(\r(3),2)＝sin xcos x－eq \r(3)sin2 x＋eq \f(\r(3),2) ＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cos 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))， 所以f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π. (2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，\f(π,2)))时，2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(4π,3)))，所以当2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)时，f(x)取得最大值1，当2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(4π,3)时，f(x)取得最小值－eq \f(\r(3),2)，因为存在a，b∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，\f(π,2)))，使得f(a)＋2m<f(b)成立，所以f(x)min＋2m<f(x)max，即－eq \f(\r(3),2)＋2m<1，解得m<eq \f(2＋\r(3),4)，所以实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2＋\r(3),4))). 解决此类问题，除了利用三角公式将已知函数化为正弦型，还要求出最值．更重要的是理解“存在”即不等式有解，进而转化为最值之间的不等关系进行求解．对于恒成立的不等式，求参数通常通过分离参数求最值即可求解． $$