第2章 教考衔接2 平面向量与三角形的“四心”(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第二章　平面向量及其应用 教考衔接2　平面向量与三角形的“四心” 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　平面向量及其应用 1 一、真题展示 (全国卷)已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝|eq \o(OB,\s\up16(→))|＝|eq \o(OC,\s\up16(→))|，eq \o(NA,\s\up16(→))＋eq \o(NB,\s\up16(→))＋eq \o(NC,\s\up16(→))＝0，且eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))＝eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝eq \o(PC,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→))，则点O，N，P依次是△ABC的(　　) (注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心) A．重心　外心　垂心　 B．重心　外心　内心 C．外心　重心　垂心 D．外心　重心　内心 二、真题溯源 (教材P132习题2－6B组第4题)已知点O为△ABC所在平面内一点，且满足|eq \o(OA,\s\up16(→))|2＋|eq \o(BC,\s\up16(→))|2＝|eq \o(OB,\s\up16(→))|2＋|eq \o(CA,\s\up16(→))|2＝|eq \o(OC,\s\up16(→))|2＋|eq \o(AB,\s\up16(→))|2.求证：点O是三条高线的交点． 三、类法探究 在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的新颖别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力． 类型一　平面向量与三角形的重心 已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λ(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))(λ≥0)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 [解析]　因为动点P满足eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λ(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))(λ≥0)，所以eq \o(AP,\s\up16(→))＝λ(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))，取BC中点D(图略)，则eq \o(AP,\s\up16(→))＝2λeq \o(AD,\s\up16(→))，则动点P的轨迹一定过△ABC的重心，故选D． [答案]　D 设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＝0；②eq \o(PO,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))；③动点P满足eq \o(AP,\s\up16(→))＝λ(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))或eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λ(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的重心． 类型二　平面向量与三角形的外心 在△ABC中，设eq \o(AC,\s\up16(→))2－eq \o(AB,\s\up16(→))2＝2eq \o(AM,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))，那么动点M形成的图形必经过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 [解析]　如图所示，设线段BC的中点为D， 则eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝2eq \o(AD,\s\up16(→))，∵eq \o(AC,\s\up16(→))2－eq \o(AB,\s\up16(→))2＝2eq \o(AM,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))， ∴(eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)))·(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝2eq \o(AM,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))， ∴eq \o(BC,\s\up16(→))·(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))－2eq \o(AM,\s\up16(→)))＝0， ∴eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(MD,\s\up16(→))＝0，即MD⊥BC且平分BC． 因此动点M形成图形必经过△ABC的外心，故选C． [答案]　C 设O是△ABC的外心，则有以下结论：①|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝|eq \o(OB,\s\up16(→))|＝|eq \o(OC,\s\up16(→))|⇔eq \o(OA,\s\up16(→))2＝ eq \o(OB,\s\up16(→))2＝eq \o(OC,\s\up16(→))2；②(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝(eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝0；③若(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝(eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝(eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(OA,\s\up16(→)))·eq \o(CA,\s\up16(→))＝0，则O是△ABC的外心． 类型三　平面向量与三角形的垂心 P是△ABC所在平面上一点，若eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))＝eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝eq \o(PC,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→))，则P是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 [解析]　由eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))＝eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))， 得eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))－eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝0， 即eq \o(PB,\s\up16(→))·(eq \o(PA,\s\up16(→))－eq \o(PC,\s\up16(→)))＝0， 即eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＝0，则PB⊥CA，同理可证PA⊥BC，PC⊥AB， 所以P为△ABC的垂心，故选D． [答案]　D 设O是△ABC的垂心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))·eq \o(OA,\s\up16(→))；②|eq \o(OA,\s\up16(→))|2＋|eq \o(BC,\s\up16(→))|2＝|eq \o(OB,\s\up16(→))|2＋|eq \o(CA,\s\up16(→))|2＝|eq \o(OC,\s\up16(→))|2＋|eq \o(AB,\s\up16(→))|2；③动点P满足eq \o(AP,\s\up16(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|cos B)＋\f(\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AC,\s\up16(→))|cos C)))或eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|cos B)＋\f(\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AC,\s\up16(→))|cos C)))，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的垂心． 类型四　平面向量与三角形的内心 若△ABC及内一点O满足关系式：S△OBC·eq \o(OA,\s\up16(→))＋S△OAC·eq \o(OB,\s\up16(→))＋S△OAB·eq \o(OC,\s\up16(→))＝0，即为经典的“奔驰定理”．若△ABC的三边为a，b，c，有a·eq \o(OA,\s\up16(→))＋b·eq \o(OB,\s\up16(→))＋c·eq \o(OC,\s\up16(→))＝0，则O为△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 [解析]　∵eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))， ∴a·eq \o(OA,\s\up16(→))＋b·eq \o(OB,\s\up16(→))＋c·eq \o(OC,\s\up16(→)) ＝a·eq \o(OA,\s\up16(→))＋b(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)))＋c(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))) ＝(a＋b＋c)·eq \o(OA,\s\up16(→))＋b·eq \o(AB,\s\up16(→))＋c·eq \o(AC,\s\up16(→))＝0， ∴eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \f(bc,a＋b＋c) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up16(→)),c)＋\f(\o(AC,\s\up16(→)),b)))， ∵eq \f(\o(AB,\s\up16(→)),c)，eq \f(\o(AC,\s\up16(→)),b)分别是eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))方向上的单位向量， ∴向量eq \f(\o(AB,\s\up16(→)),c)＋eq \f(\o(AC,\s\up16(→)),c)平分∠BAC，即AO平分∠BAC， 同理BO平分∠ABC，∴O为△ABC的内心，故选B． [答案]　B 设O是△ABC的内心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①|eq \o(AB,\s\up16(→))|eq \o(OC,\s\up16(→))＋|eq \o(BC,\s\up16(→))|eq \o(OA,\s\up16(→))＋|eq \o(CA,\s\up16(→))|eq \o(OB,\s\up16(→))＝0(或aeq \o(OA,\s\up16(→))＋beq \o(OB,\s\up16(→))＋ceq \o(OC,\s\up16(→))＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长)；②动点P满足eq \o(AP,\s\up16(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AC,\s\up16(→))|)))或eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AC,\s\up16(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的内心． [跟踪训练] 1．(2024·山师附中高一期末)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)[(1－λ)eq \o(OA,\s\up16(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up16(→))＋(1＋2λ)eq \o(OC,\s\up16(→))]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．△ABC的外心 解析　取AB的中点D，则2eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)).因为eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)[(1－λ)eq \o(OA,\s\up16(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up16(→))＋(1＋2λ)·eq \o(OC,\s\up16(→))]，所以eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)[2(1－λ)eq \o(OD,\s\up16(→))＋(1＋2λ)eq \o(OC,\s\up16(→))]＝eq \f(21－λ,3) eq \o(OD,\s\up16(→))＋eq \f(1＋2λ,3) eq \o(OC,\s\up16(→)).又eq \f(21－λ,3)＋eq \f(1＋2λ,3)＝1，所以P，C，D三点共线，所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心． 答案　C 2．(多选题)(2024·湖北三市高一下联考)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，垂心为H，重心为G，且AB＝2，AC＝3，则下列说法正确的是(　　) A．eq \o(AH,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0 B．eq \o(AG,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝－eq \f(3,5) C．eq \o(AO,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \f(5,2) D．eq \o(OH,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)) 解析　如图，因为H为垂心，所以AH⊥BC，则eq \o(AH,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0，A正确．设D是BC的中点，连接OD，GD，因为G为重心，O为外心，所以A，G，D三点共线，OD⊥BC，所以eq \o(AG,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))·(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,3)(eq \o(AC,\s\up16(→))2－eq \o(AB,\s\up16(→))2)＝eq \f(1,3)×(32－22)＝eq \f(5,3)，B错误； 由B的分析过程得eq \o(AO,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DO,\s\up16(→)))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \f(5,2)，C正确；由AH∥OD，得eq \f(AH,OD)＝eq \f(AG,GD)＝2，所以AH＝2OD，所以eq \o(OH,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \o(AH,\s\up16(→))＝2eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))，即eq \o(OH,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))，D正确．故选ACD． 答案　ACD 3．已知点G是△ABC内任意一点，若点D是△ABC的底边BC的中点，满足eq \o(GD,\s\up16(→))·eq \o(GB,\s\up16(→))＝eq \o(GD,\s\up16(→))·eq \o(GC,\s\up16(→))，则点G可能通过△ABC的________(填：重心、内心、垂心或外心)． 解析　由eq \o(GD,\s\up16(→))·eq \o(GB,\s\up16(→))＝eq \o(GD,\s\up16(→))·eq \o(GC,\s\up16(→))⇔eq \o(GD,\s\up16(→))·eq \o(GB,\s\up16(→))－eq \o(GD,\s\up16(→))·eq \o(GC,\s\up16(→))＝0⇔eq \o(GD,\s\up16(→))·(eq \o(GB,\s\up16(→))－eq \o(GC,\s\up16(→)))＝0，eq \o(GD,\s\up16(→))·eq \o(CB,\s\up16(→))＝0. 答案　外心 4．在△ABC中，O为△ABC的重心，若eq \o(BO,\s\up16(→))＝λeq \o(AB,\s\up16(→))＋μeq \o(AC,\s\up16(→))，则λ－2μ＝________. 解析　设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以eq \o(BO,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)(eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))＝－eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＝－eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))，所以λ＝－eq \f(2,3)，μ＝eq \f(1,3)，所以λ－2μ＝－eq \f(4,3). 答案　－eq \f(4,3) $$