4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第四章　三角恒等变换 §2　两角和与差的三角函数公式 2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 学业标准 素养目标 1．能利用Cα±β公式、诱导公式等推导两角和与差的正弦公式、正切公式．(难点) 2．掌握两角和与差的正弦公式和正切公式，并能利用公式化简，求值等．(重点) 1．通过两角和与差的正弦、正切公式的推导，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过两角和与差的正弦、正切公式的应用，提升数学运算等核心素养. 导学1　两角和与差的正弦公式 由公式Cα＋β或Cα－β可求sin 75°的值吗？ [提示]　可以，因为sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)． 由公式Cα±β可以得到sin(α＋β)的公式吗？ [提示]　可以，sin(α＋β)＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α－β)) ＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))－β))＝sin αcos β＋cos αsin β. 能利用上述公式把sin(α－β)用sin α，cos α，sin β，cos β表示吗？ [提示]　能．用－β代β即可． ◎结论形成 两角和与差的正弦公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正弦 sin(α＋β)＝__________________________ Sα＋β α，β∈R 两角差 的正弦 sin(α－β)＝__________________________ Sα－β α，β∈R 导学2　两角和与差的正切公式 前面学习的同角三角函数关系中，tan α，sin α，cos α的关系怎样？ [提示]　tan α＝eq \f(sin α,cos α). 利用该关系式及两角和的正、余弦公式，能把tan(α＋β)用tan α，tan β表示吗？ [提示]　能．tan(α＋β)＝eq \f(sinα＋β,cosα＋β) ＝eq \f(sin αcos β＋cos αsin β,cos αcos β－sin αsin β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β). 能用tan α，tan β表示tan(α－β)吗？ [提示]　能．将tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]展开即可． 公式中，α，β是任意实数吗？ [提示]　不是，α，β，α±β≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z. ◎结论形成 两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正切 tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) Tα＋β α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)， k∈Z 两角差 的正切 tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) Tα－β α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)， k∈Z 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)对于任意α，β∈R，sin(α－β)＝sin α－sin β都不成立．(　　) (3)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)都成立．(　　) (4)tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．(　　) 提示　(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (2)当α＝60°，β＝0°时成立． (3)两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，且tan α·tan β≠1． (4)当α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，β≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－eq \f(\r(3),2)　　　　　　　 B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2) 解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)，故选D． 答案　D 3．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))，则tan α＝(　　) A．－1　　 B．0 C．eq \f(1,2)　　　 D．1 解析　由已知得eq \f(1,2)cos α－eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(\r(3),2)cos α－eq \f(1,2)sin α，因此eq \f(1－\r(3),2)sin α＝eq \f(\r(3)－1,2)cos α，于是tan α＝－1． 答案　A 4.eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝________. 解析　原式＝eq \f(\f(\r(3),3)－tan 75°,1＋\f(\r(3),3)tan 75°)＝eq \f(tan 30°－tan 75°,1＋tan 30°tan 75°) ＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1． 答案　－1 题型一　给角求值问题 化简求值： (1)eq \f(sin 47°－sin 17°cos 30°,cos 17°)； (2)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)； (3)tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°. [解析]　(1)原式 ＝eq \f(sin30°＋17°－sin 17°cos 30°,cos 17°) ＝eq \f(sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°,cos 17°) ＝eq \f(sin 30°cos 17°,cos 17°) ＝eq \f(1,2). (2)原式＝cos[(x＋27°)－(x－18°)]＝cos 45°＝eq \f(\r(2),2). (3)∵eq \f(tan 12°＋tan 33°,1－tan 12°tan 33°)＝tan(12°＋33°)＝tan 45°＝1， ∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°， ∴tan 12°＋sin 33°＋tan 12°tan 33°＝1． 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变用公式．如公式T(α＋β)，T(α－β)有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)[或tan(α－β)]，三者知二可求出第三个． [触类旁通] 1．(1)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝________. (2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋eq \r(3)tan 10°)]×eq \r(2sin2 80°)＝________. 解析　(1)∵(1＋tan 21°)(1＋tan 24°) ＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24° ＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan 21°tan 24°)＋tan 21°tan 24° ＝1＋(1－tan 21°tan 24°)tan 45°＋tan 21°tan 24° ＝1＋1－tan 21°tan 24°＋tan 21°tan 24°＝2. 同理可得(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2， ∴原式＝2×2＝4. (2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin 50°＋sin 10°×\f(cos 10°＋\r(3)sin 10°,cos 10°)))×eq \r(2)sin 80° ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin 50°＋sin 10°×\f(2sin 40°,cos 10°)))×eq \r(2)sin 80° ＝eq \f(2sin 50°cos 10°＋2sin 10°cos 50°,cos 10°)×eq \r(2)cos 10° ＝2eq \r(2)(sin 50°cos 10°＋sin 10°cos 50°)＝2eq \r(2)sin(50°＋10°) ＝2eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(6). 答案　(1)4　(2)eq \r(6) 题型二　给值求角问题 (2024·洛阳高一检测)已知tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0)). (1)求tan α的值； (2)求2α－β的值． [解析]　(1)由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2得eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2，即tan α＝eq \f(1,3). (2)因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝eq \f(tan α＋tanα－β,1－tan αtanα－β)＝1， 又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，βeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，得2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))， 又tan(2α－β)＝1＞0，∴2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故2α－β＝eq \f(π,4). 给值求角问题的步骤及选取函数的原则 (1)给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围(范围过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角． (2)选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好． [触类旁通] 2．(2024·潍坊高一期末)已知tan α＝eq \f(1,7)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，且α，β为锐角，求α＋2β的值． 解析　因为tan α＝eq \f(1,7)＜1且α为锐角，所以0＜α＜eq \f(π,4). 又因为sin β＝eq \f(\r(10),10)＜ eq \f(\r(50),10)＝eq \f(\r(2),2)且β为锐角． 所以0＜β＜eq \f(π,4)，所以0＜α＋2β＜eq \f(3π,4).① 由sin β＝eq \f(\r(10),10)，β为锐角，得cos β＝eq \f(3\r(10),10)， 所以tan β＝eq \f(1,3). 所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,7)＋\f(1,3),1－\f(1,7)×\f(1,3))＝eq \f(1,2)， 所以tan(α＋2β)＝eq \f(tanα＋β＋tan β,1－tanα＋βtan β)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1．② 由①②可得α＋2β＝eq \f(π,4). 题型三　给值求值问题 一题多变 (1)已知2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tan θ＝(　　) A．－2　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 (2)已知eq \f(π,2)<β<α<eq \f(3π,4)，cos(α－β)＝eq \f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，求cos 2α与cos 2β的值． [解析]　(1)由已知得2tan θ－eq \f(tan θ＋1,1－tan θ)＝7，解得tan θ＝2.故选D． (2)因为eq \f(π,2)<β<α<eq \f(3π,4)，所以0<α－β<eq \f(π,4)，π<α＋β<eq \f(3π,2). 所以sin(α－β)＝eq \r(1－cos2α－β)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq \f(5,13)， cos(α＋β)＝－eq \r(1－sin2α＋β)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5). 所以cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq \f(12,13)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq \f(5,13)＝－eq \f(33,65)， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq \f(12,13)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq \f(5,13)＝－eq \f(63,65). [答案]　(1)D　(2)略 [母题变式] (变条件、变结论)若本例(2)的条件变为：若eq \f(π,2)<β<α<eq \f(3π,4)，sin(α－β)＝eq \f(5,13)，sin(α＋β)＝－eq \f(5,13)，求sin 2β的值． 解析　因为eq \f(π,2)<β<α<eq \f(3π,4)，所以0<α－β<eq \f(π,4)，π<α＋β<eq \f(3,2)π. 所以cos(α－β)＝eq \f(12,13). cos(α＋β)＝－eq \f(12,13). sin 2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq \f(12,13)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))×eq \f(5,13)＝0. [素养聚焦]　在给值(式)求值的题目中，用正弦、余弦、正切的两角和与差公式进行计算，把数学运算的核心素养体现在解题过程中． 给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子间的联系以实现求值． (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值． [触类旁通] 3．已知tan(π＋α)＝－eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(sin α＋2cos α,5cos α－sin α). (1)求tan(α＋β)的值； (2)求tan β的值． 解析　(1)因为tan(π＋α)＝－eq \f(1,3)， 所以tan α＝－eq \f(1,3). 因为tan(α＋β)＝eq \f(sin α＋2cos α,5cos α－sin α)＝eq \f(tan α＋2,5－tan α)， 所以tan(α＋β)＝eq \f(－\f(1,3)＋2,5＋\f(1,3))＝eq \f(5,16). (2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)， 所以tan β＝eq \f(\f(5,16)＋\f(1,3),1－\f(5,16)×\f(1,3))＝eq \f(31,43). [缜密思维提能区]　易错辨析 忽略隐含条件致误 已知tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两个根，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β＝(　　) A．eq \f(π,3)　　　　　　 B．－eq \f(2π,3)或eq \f(π,3) C．－eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D．－eq \f(2π,3) [错解]　因为tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两个根， 所以tan α＋tan β＝－3eq \r(3)，tan αtan β＝4. 所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3). 又α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α＋β∈(－π，π)， 所以α＋β＝－eq \f(2π,3)或α＋β＝eq \f(π,3).故选B． [正解]　因为tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两个根， 所以tan α＋tan β＝－3eq \r(3)<0，tan αtan β＝4>0. 所以tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两个负根， 即tan α<0，tan β<0. 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))， 所以α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))， 所以α＋β∈(－π，0)． 又tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3)， 所以α＋β＝－eq \f(2π,3).故选D． [答案]　D [纠错心得] 确定角的范围是三角求值中最易出错的地方．在解题过程中往往要根据条件，进一步确定角的范围． 知识落实 技法强化 1．公式的推导． 2．给式求值、给值求值、给值求角． 3．公式的正用、逆用、变形用. 1．转化法、整体代换法． 2．注意利用已知条件缩小角的范围. $$