4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第四章　三角恒等变换 §2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 1 0 cos(α－β) 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 cos αcos β＋sin αsin β 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 cos αcos β－sin αsin β 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 03 课后案·学业评价 点击进入Word 栏目导航 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　三角恒等变换 1 学业标准 素养目标 1．会用向量知识推导两角差的余弦公式．(难点) 2．掌握两角和与差的余弦公式，并能简单应用．(重点) 1．通过推导两角差与和的余弦公式，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过两角和与差余弦公式的应用，提升数学运算等核心素养. 导学1　推导两角差的余弦公式 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明． [提示]　不正确． 例如：当α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,4)时，cos(α－β)＝cos eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，而cos α－cos β＝cos eq \f(π,2)－cos eq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，故cos(α－β)≠cos α－cos β； 再如：当α＝eq \f(π,3)，β＝eq \f(π,6)时，cos(α－β)＝cos eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2). 而cos α－cos β＝cos eq \f(π,3)－cos eq \f(π,6)＝eq \f(1－\r(3),2)， 故cos(α－β)≠cos α－cos β. 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想． ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝______； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝______； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝______； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝______. 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝______________． eq \f(\r(3),2) eq \f(1,2) ◎结论形成 两角差的余弦公式 公式 Cα－β：cos(α－β)＝_____________________________ 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 导学2　两角和的余弦公式 把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？ [提示]　cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. ◎结论形成 两角和的余弦公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和 的余弦 cos(α＋β)＝____________________________ Cα＋β α，β∈R 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°＋30°)＝cos 60°＋cos 30°.(　　) (2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　　) (3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 都成立．(　　) (4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝1．(　　) 解析　(1)cos(60°＋30°)＝0≠cos 60°＋cos 30°. (2)当α＝－45°，β＝45°时， cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0， cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0， 此时cos(α－β)＝cos α－cos β. (3)结论为两角差的余弦公式． (4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2). 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝(　　) A．eq \f(\r(3),2)　　　 B．eq \f(1,2) C．eq \f(1＋\r(3),2) D．eq \f(\r(3)－1,2) 解析　sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71° ＝cos 11°cos 71°＋sin 11°sin 71° ＝cos(11°－71°)＝cos(－60°)＝eq \f(1,2).故选B． 答案　B 3．cos 165°等于(　　) A．eq \f(1,2)　　　　　　　　 B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(\r(6)＋\r(2),4) D．－eq \f(\r(6)－\r(2),4) 解析　cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15° ＝－cos(45°－30°) ＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°) ＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4). 答案　C 4．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sin α＝eq \f(3,5)，则eq \r(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝(　　) A．eq \f(7,5) B．eq \f(1,5) C．－eq \f(7,5) D．－eq \f(1,5) 解析　∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin α＝eq \f(3,5)，∴cos α＝eq \f(4,5)， ∴eq \r(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝cos α－sin α＝eq \f(1,5). 答案　B 题型一　公式Cα±β 的简单应用 求下列各式的值： (1)cos 15°－cos 75°； (2)sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25°； (3)eq \f(1,2)cos 15°－eq \f(\r(3),2)sin 15°. [解析]　(1)cos 15°－cos 75° ＝cos(60°－45°)－cos(45°＋30°) ＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2). (2)sin 70°cos 25°－sin 20°sin 25° ＝cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25° ＝cos(20°＋25°)＝eq \f(\r(2),2). (3)eq \f(1,2)cos 15°－eq \f(\r(3),2)sin 15° ＝cos 60°cos 15°－sin 60°sin 15° ＝cos 75°＝cos(45°＋30°) ＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4). 公式Cα±β是三角恒等式，既可正用，也可逆用，一定要注意公式的结构特征，灵活变换角或名称，同时在利用两角和与差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系，然后利用公式化简求值． [触类旁通] 1．计算下列各式的值： (1)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α)； (2)eq \f(1,2)cos 105°＋eq \f(\r(3),2)sin 105°. 解析　(1)cos(α－20°)·cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α) ＝cos[(α－20°)－(α＋40°)]＝cos(－60°)＝eq \f(1,2). (2)eq \f(1,2)cos 105°＋eq \f(\r(3),2)sin 105° ＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105° ＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝eq \f(\r(2),2). 题型二　给值(式)求值问题 一题多变 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，求cos α的值； (2)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且sin α＝eq \f(4,5)，cos(α＋β)＝－eq \f(16,65)，求cos β的值． [解析]　(1)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，所以eq \f(π,3)＋α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α)))＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－eq \f(5,13). 所以cos α＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－\f(π,3))) ＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))cos eq \f(π,3)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))sin eq \f(π,3) ＝－eq \f(5,13)×eq \f(1,2)＋eq \f(12,13)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(12\r(3)－5,26). (2)因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以0<α＋β<π， 由cos(α＋β)＝－eq \f(16,65)，得sin(α＋β)＝eq \f(63,65)， 又sin α＝eq \f(4,5)，所以cos α＝eq \f(3,5)， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,65)))×eq \f(3,5)＋eq \f(63,65)×eq \f(4,5)＝eq \f(204,325). [母题变式] 1．(变条件、变结论)将本例(1)的条件改为“sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))”，求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))的值． 解析　因为eq \f(π,6)＜α＜eq \f(5π,6)，所以－eq \f(π,2)＜eq \f(π,3)－α＜eq \f(π,6). 又因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(12,13)＜0， 所以－eq \f(π,2)＜eq \f(π,3)－α＜0， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))＝eq \f(5,13). 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))－\f(π,4))) ＝eq \f(\r(2),2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＋eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(5,13)＋eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＝－eq \f(7\r(2),26). 2．(变条件)把本例(2)条件中的“α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))”改为“α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))”，其余不变，求cos β的值． 解析　因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以π<α＋β<2π， 由cos(α＋β)＝－eq \f(16,65)，得sin(α＋β)＝－eq \f(63,65)， 又sin α＝eq \f(4,5)，所以cos α＝－eq \f(3,5)， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,65)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(63,65)))×eq \f(4,5)＝－eq \f(204,325). [素养聚焦]　在给值(式)求值的过程中，提升了数学运算、逻辑推理等核心素养． 给值(式)求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． [触类旁通] 2．(1)若sin α－sin β＝eq \f(\r(3),2)，cos α－cos β＝eq \f(1,2)，则cos(α－β)的值为(　　) A．eq \f(1,2)　　　　　　　　 B．eq \f(\r(3),2) C．eq \f(\r(3),4) D．1 (2)(2024·渭南高一期末)已知α，β都是锐角，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq \f(3,5)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,6)))＝(　　) A．eq \f(－4－12\r(3),35) B．eq \f(4－12\r(3),35) C．eq \f(－12＋4\r(3),35) D．eq \f(－12－4\r(3),35) 解析　(1)由sin α－sin β＝eq \f(\r(3),2)， cos α－cos β＝eq \f(1,2)两式平方相加可得2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1， 即2－2cos(α－β)＝1，解得cos(α－β)＝eq \f(1,2). (2)由于α，β都是锐角，则－eq \f(π,6)<α－eq \f(π,6)<eq \f(π,3)，0<α＋β<π， 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,7)>0，cos(α＋β)＝－eq \f(3,5)<0，所以0<α－eq \f(π,6)<eq \f(π,3)，eq \f(π,2)<α＋β<π， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq \f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq \f(4,5)， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,6)))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))))) ＝cos(α＋β)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))) ＝－eq \f(3,5)×eq \f(4\r(3),7)＋eq \f(4,5)×eq \f(1,7)＝eq \f(4－12\r(3),35).故选B． 答案　(1)A　(2)B 题型三　给值求角问题 已知sin(π－α)＝eq \f(4\r(3),7)，cos(α－β)＝eq \f(13,14)，0<β<α＜eq \f(π,2)，求角β的大小． [解析]　因为sin(π－α)＝eq \f(4\r(3),7)，所以sin α＝eq \f(4\r(3),7). 因为0<α<eq \f(π,2)，所以cos α＝eq \r(1－sin2 α)＝eq \f(1,7). 因为cos(α－β)＝eq \f(13,14)，且0<β<α<eq \f(π,2)，所以0<α－β<eq \f(π,2)， 所以sin(α－β)＝eq \r(1－cos2α－β)＝eq \f(3\r(3),14). 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2).因为0<β<eq \f(π,2)，所以β＝eq \f(π,3). 解给值求角问题的一般步骤 (1)确定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案． [触类旁通] 3．已知0＜α＜eq \f(π,2)，－eq \f(π,2)＜β＜0，且α，β满足sin α＝eq \f(\r(5),5)，cos β＝eq \f(3\r(10),10)，则α－β＝________. 解析　因为0＜α＜eq \f(π,2)，－eq \f(π,2)＜β＜0， 且sin α＝eq \f(\r(5),5)，cos β＝eq \f(3\r(10),10)， 故cos α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\f(1,5))＝eq \f(2\r(5),5)， sin β＝－eq \r(1－cos2β)＝－eq \r(1－\f(9,10))＝－eq \f(\r(10),10)， 由0＜α＜eq \f(π,2)，－eq \f(π,2)＜β＜0得，0＜α－β＜π， 故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(\r(2),2). 所以α－β为锐角，所以α－β＝eq \f(π,4). 答案　eq \f(π,4) [缜密思维提能区]　易错辨析 忽视三角形中角的范围致误 已知在△ABC中，sin C＝eq \f(4,5)，cos B＝－eq \f(2,3)，求cos A． [错解]　∵sin C＝eq \f(4,5)且C∈(0，π)， ∴cos C＝±eq \f(3,5)， ∵cos B＝－eq \f(2,3)，B∈(0，π)，∴sin B＝eq \f(\r(5),3)， ∴cos A＝cos[π－(B＋C)]＝－(cos Bcos C－sin Bsin C) ＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,5)))－\f(\r(5),3)×\f(4,5)))＝eq \f(4\r(5)±6,15). [正解]　∵cos B＝－eq \f(2,3)<0，B∈(0，π)， ∴B是钝角，∴sin B＝eq \f(\r(5),3)， ∵sin C＝eq \f(4,5)，且B是钝角， ∴C是锐角，∴cos C＝eq \f(3,5)， ∴cos A＝－cos(B＋C)＝eq \f(6＋4\r(5),15). [纠错心得] 解题过程中，要仔细分析题意，认真对待每个条件，同时要挖掘出隐含条件，如本题要结合三角函数的性质合理确定角的范围． 知识落实 技法强化 1．两角差的余弦公式的推导． 2．Cα－β，Cα＋β的简单应用. 应用Cα±β求值的关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧. $$