章末达标检测4(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　) A．－　　　　　　 B． C．－ D． 解析　cos2＝＝＋sin 2α＝＋×＝. 答案　D 2．(2024·遂宁三模)已知sin＝，则sin＝(　　) A．－ B． C．± D．－ 解析　∵sin＝cos＝cos＝，∴sin＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－. 答案　A 3．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　) A． B． C． D． 解析　因为2sin 2α＝cos 2α＋1， 所以4sin αcos α＝2cos2 α. 因为α∈，所以cos α＞0，sin α＞0， 所以2sin α＝cos α. 又sin2 α＋cos2 α＝1，所以5sin2 α＝1， 即sin2 α＝. 因为sin α＞0，所以sin α＝.故选B． 答案　B 4．已知函数f(x)＝2cos2 x－sin2 x＋2，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 解析　易知f(x)＝2cos2 x－sin2 x＋2＝3cos2 x＋1＝(2cos2 x－1)＋＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值，最大值为4. 答案　B 5．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan α·tan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 解析　由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①.由tan αtan β＝2得＝2　②，由①②得所以cos(α－β)＝cos α cos β＋sin αsin β＝－3m，故选A． 答案　A 6．(2024·青岛二中高一检测)已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)＝(　　) A．－2 B．－1 C．－ D． 解析　由sin 2α＝，且<2α<π， 可得cos 2α＝－，∴tan 2α＝－， ∴tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝＝－2. 答案　A 7．已知平面直角坐标系中，点A(1,3)，B(a，b)，其中点B在第一象限．若∠AOB＝α，且cos 2α＝sin，则的值为(　　) A．2 B．1 C． D． 解析　由cos 2α＝sin，得cos2 α－sin2 α＝sin α－cos α，即(cos α＋sin α＋1)(cos α－sin α)＝0.由于点B在第一象限，因而cos α＋sin α＋1≠0，故cos α－sin α＝0，即tan α＝1．如图，设∠AOx＝β，则tan β＝3，所以＝tan(β－α)＝＝＝，故选C． 答案　C 8．若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2 cossin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 解析　方法一　设β＝0，则sin α＋cos α＝0，取α＝π，排除A，B；再取α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，取β＝，排除D；选C． 方法二　由sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝sin＝sin ＝sincos β＋cossin β， 故sincos β＝cossin β， 故sincos β－cossin β＝0， 即sin＝0，故sin＝sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，故sin(α－β)＝－cos(α－β)，故tan(α－β)＝－1．故选C． 答案　C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知x∈(0，π)，sin＝cos2，则(　　) A．cos x＝ B．cos x＝－ C．tan x＝ D．tan x＝ 解析　由已知，得sin cos x－cos sin x＝，即cos x－sin x＝－sin x＋，所以cos x＝.因为x∈(0，π)，所以tan x＝.故选AC． 答案　AC 10．已知函数f(x)＝sin x－cos，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最小正周期为2π C．f(x)的图象关于直线x＝kπ＋(k∈Z)对称 D．f(x)的值域为[－，] 解析　因为f(x)＝sin x－cos ＝sin x－ ＝sin x－cos x＝ ＝sin，所以f(x)的最小正周期为2π，所以A错误，B正确； 由x－＝kπ＋(k∈Z)得x＝kπ＋(k∈Z)，即f(x)的图象关于直线x＝kπ＋(k∈Z)对称，所以C正确； 因为x∈R，所以－1≤sin≤1， 所以－≤f(x)≤. 即f(x)的值域为[－，]，所以D正确． 答案　BCD 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是(　　) A．若＝，则△ABC为等腰三角形 B．若＝，则△ABC为等腰三角形 C．若＝，则△ABC为等腰三角形 D．若＝，则△ABC为等腰三角形 解析　对于A，若＝，则根据正弦定理得：＝⇒sin2 A＝sin2 B⇒(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝0， ∵sin A＋sin B≠0，∴sin A＝sin B，则a＝b，即△ABC为等腰三角形，故A正确； 对于B，若＝， 则根据正弦定理得： ＝⇒sin Acos A＝sin Bcos B⇒sin 2A＝sin 2B， ∵A，B∈(0，π)，A＋B∈(0，π)， ∴2A,2B∈(0,2π)且2A＋2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＋2B＝π， 即A＝B或A＋B＝，即△ABC为等腰或直角三角形，故B错误； 对于C，若＝，则根据正弦定理得： ＝⇒tan A＝tan B， ∵A，B∈(0，π)，A＋B∈(0，π)，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形，故C正确； 对于D，若＝，则根据正弦定理得： sin2 A·＝sin2 B·⇒sin Acos A＝sin Bcos B， 则由B选项可知，此时△ABC为等腰或直角三角形，故D错误．故选AC． 答案　AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知tan＝－，则cos 2α＝________. 解析　方法一　tan＝＝＝－，解得tan α＝7. 所以cos 2α＝cos2 α－sin2 α＝＝＝＝－. 方法二　cos 2α＝sin 2 ＝2sin·cos ＝ ＝， 将tan＝－代入上式， 得cos 2α＝＝＝－. 答案　－ 13．(2024·济南高一检测)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则的值为________． 解析　∵m＝2sin 18°，m2＋n＝4， ∴n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°. ∴＝ ＝＝＝＝2. 答案　2 14．函数f(x)＝sin2 x＋sin xcos x＋1的最小正周期是______，单调递减区间是________． 解析　先利用三角恒等变换公式及辅助角公式将所给函数化为正弦型函数，再根据公式求解． ∵f(x)＝sin2 x＋sin xcos x＋1 ＝＋sin 2x＋1 ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin＋， ∴函数f(x)的最小正周期T＝π. 令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之可得函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． 答案　π　(k∈Z) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(2024·淮阴中学校考)已知f(x)＝sin x. (1)若f(α)＝－，且α∈，求f的值； (2)当x∈时，求函数y＝f(2x)＋2f2(x)的值域． 解析　(1)f(α)＝sin α＝－，α∈，故cos α＝＝， f＝sin ＝sin αcos－cos αsin ＝－×－×＝－－. (2)y＝f(2x)＋2f2(x)＝sin 2x＋2sin2 x ＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin ＋1， x∈，则2x－∈， 故sin∈， y＝sin＋1∈(0，＋1]． 故函数y＝f(2x)＋2f2(x)的值域为(0，＋1]． 16．(15分)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 解析　(1)因为tan α＝，tan α＝， 所以sin α＝ cos α. 因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝－. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝， 所以tan 2α＝＝－. 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－. 17．(15分)已知f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)若θ∈，f＝， 求sin的值． 解析　(1)f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x ＝(1＋2sin xcos x)－cos2x ＝sin 2x－＋ ＝sin＋. 所以函数f(x)的最小正周期T＝π. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)由(1)得f＝sin＋＝sin＋＝cos θ＋ ＝，所以cos θ＝， 因为θ∈，所以sin θ＝－， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－， cos 2θ＝2cos2θ－1＝－， 所以sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝－. 18．(17分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)． (1)若A＝2B，求C； (2)证明：2a2＝b2＋c2. (1)解析　由A＝2B，sin Csin＝sin Bsin可得， sin Csin B＝sin Bsin，而0＜B＜， 所以sin B∈， 即有sin C＝sin＞0，而0＜C＜π，0＜C－A＜π，显然C≠C－A，所以C＋C－A＝π，而A＝2B，A＋B＋C＝π，所以C＝. (2)证明　由sin Csin＝sin Bsin可得，sin C＝ sin B， 再由正弦定理可得，accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，然后根据余弦定理可知， －＝－， 化简得2a2＝b2＋c2，故原等式成立． 19．(17分)(2024·青岛检测)如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，点E，F是线段BC(含端点)上的动点，且点E在点F的右下方，在运动的过程中，始终保持∠EAF＝不变，设∠EAB＝θ. (1)写出θ的取值范围，并分别求线段AE，AF关于θ的函数关系式； (2)求△EAF面积S的最小值． 解析　(1)由题意知0≤θ≤，C＝B＝，∠AEB＝π－，∠AFC＝＋θ＋＝＋θ. 在△ABE中，＝， 即＝，得AE＝. 在△ACF中，＝， 即＝，得AF＝. (2)S＝·AE·AFsin∠EAF＝···＝·＝＝≥＝2(－1)，当且仅当θ＝时，等号成立． 所以△EAF面积S的最小值为2(－1)． 学科网（北京）股份有限公司 $$